电磁场与电磁波第三版 郭辉萍 第三章习题答案
第三章 习题答案
3.1设一点电荷与无限大接地导体平面的距离为d ，如图3.1所示。
求： q
（1）空间的电位分布和电场强度； （2）导体平面上感应电荷密度； （3）点电荷所受的力。
q
解：
（1）(,,)1r x y z d =−u r
2(,,)r x y z d =+u r
1211
(4q
r r φπε=
−04q πε=
E φ=−∇u u r 3333330212121
[()()(]4a a a x y z q x x y y z d z d r r r r r r πε+−=−−+−+−
uu r uu
r ur u
（2）在导体平面上有z=0 则 12==
r r 32
2
22
02()
E a z qd
x y d πε=−
++u u r
ur u
032222
.2()
z a E s qd x y d ρεπ==−
++uu r u u r
（3）由库仑定律得
222
00()4(2)16q q q d d πεπε−=
=−u u r uu r ur z z u F a a
或22320,0,002[()]4(2)16z x y z d
q d q q d d
πεπε=
====−=−u u r uu r ur
v
z
u F E a a 3.6两无限大接地平行板电极，距离为，电位分别为0和U ，板间充满电荷密度为d 00x
d
ρ
的电荷，如题3.6图所示。
求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。
解： 板间电位满足泊松方程 2
00ρφε∇
=x
−
d
由于平行电容器y 与z 方向都为无穷大，故待求函数仅为x 的函数
泊松方程可以写为：2020x d dx d
ρφ
ε=−
边界条件为0U φφ(0)=0,(d)= 对方程进行两次积分得
3
01206ρφε=−++x C x C d
代入边界条件得 00210
0,6U d
C d ρε==+
C 所以板间电位分布为：
300000
()66x U d x d d ρρφεε=−++
2000()2600E a x x U d d d ρρφεε=−∇=−−u u r uu r
2000()26
00D E a x x U d d d ρερε==−−u u r u u r uu r
x =0的极板上的电荷密度
00
00
60x a D
s x U d
d ερρ==⋅=−
−
uu r u u r
x =d 的极板上的电荷密度
00
()3
0x a D
sd x d
U d
d
ερρ==−⋅=
−
uu r u u r
3.9一个沿+y 方向无限长的导体槽，其底面保持电位为，其余两面的电位为零，如图3.9所示。
求槽内的电位函数。
0U 解：
电位分布满足拉普拉斯方程
2
0φ∇
=由于金属管在z 方向为无穷大，电位只跟x 、y 有关，得
222
20x y
φφ
∂∂+=∂∂ 边界条件
00
(1)0 (2)0(3)0 (4)U x x a y y φφφ
φ
===∞
=====
设()()f x g y φ=
已知边界条件（1）、（2）得：(0)0,()0f f a ==
故()f x 的合理的解为：12()sin()cos()x x f x A k x A k x =+， 根据边界条件（1）、（2）得1()sin()n f x A x a
π
= 由于
2
2
0x y k k +=设
12()()()x x g y B sh k y B ch k y =+由于 2x x k y k y x e e shk y −−=，2
x x k y k y
x e e chk y −+=
再根据边界条件（3）得，则()0g ∞=12B B =− 故 1()n y a
g y B e
π−=
则电位的通解为a 1
sin()a n y n n n D x e ππ
φ∞
−==∑ 代入边界条件00
y U φ
==得01
sin(
)a
n n n U D x π
∞
==∑ 两边同时乘以m x a
π
sin(
)，并对x 从0到a 积分，并由三角函数的正交特性： 0sin()sin()2a n m m n x x dx a a a
ππ==∫时
0sin()sin()0a n m m n x x dx a a
ππ
≠=∫时得
001sin sin()sin()2a
a 0n n m n m U x D x x dx a a a πππ∞==∑∫∫()=n a D 0
(1cos )2n a a U n n πD π
−=
则0
4(1,3,5n U D n n )π==K
代入电位的通解方程得
0a
1,3,54sin()a n y n U n x e n ππφπ∞
−==∑K。
电磁场与电磁波第三章作业题解答
第三章 恒定电流与恒定电场 作业习题解答3-1．半径为a 和b 的同心球，内球的电位为0u U =，外球的电位为0u =，两球之间介质的电导率为σ，试求这个球形电阻器的电阻。
解 设内球与外球之间的总电流为I ，而体电流密度矢量J V 在半径为r 的球面上大小相等，沿e r 方向，由此可写出电流密度矢量为24V r Ir =p J e 根据欧姆定律V =s J E 得到两球间的电场强度矢量24r Ir =ps E e由电场强度矢量，可计算两球间的电压，有2201444bbbrr aaa I IU d dr dr rr Ib aU ab πσπσπσ=⋅=⋅=-==⎰⎰⎰E l e e由此可得两球间的电阻为 014U b a R I ab-==ps 3-2．已知电流密度矢量22221022(A/m )V x y z y z x y x z J e e e =-+，试求：（1）穿过面积3x =，23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤，沿e x 方向的总电流；（2）在上述面积中心处电流密度的大小；（3）在上述面积上电流密度X 方向的分量J x 的平均值。
解 （1）根据电流I 与电流密度矢量J V 之间的通量关系()VS I d =⋅⎰⎰JS则穿过面积3x =，23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤，沿e x 方向的总电流为()33522222381022..x xy z x .I y z x y x z dydz =-+⋅⎰⎰ee e e()352223810399A ..y zdydz ==⎰⎰（2）面3x =，23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤中心处的坐标为3x =， 2.5y =， 4.5z = 代入J V 的表达式，得到2222222102210 2.5 4.523 2.523 4.5281.254581(A/m )V x y zx y z x y z y z x y x z J e e e e e e e e e =-+=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=-+ 电流密度矢量的大小为2296.12(A/m )V V J J ==≈（3）面3x =，23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤上电流密度的平均值为()()()2399285A/m 325238x x I J S ..===-- 由此可以看出，由于电流密度矢量非均匀，X 方向平均电流密度的大小与该面中心处的电流密度大小不相等。
电磁场与电磁波：第三章作业答案
3.1 长度为L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l ρ。
（1）计算线电荷平分面上任意点的电位ϕ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E ，并用ϕ=-∇E 核对。
解 （1）建立如题3.1图所示坐标系。
根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P 的电位为2(,0,0)L L ϕρ-==⎰2ln(4L l L z ρπε-'+=04l ρπε=02l ρπε （2）根据对称性，可得两个对称线电荷元z l 'd 0ρ在点P 的电场为d d E ρρρθ'===Ee e 022320d 2()l z z ρρρπερ''+e故长为L 的线电荷在点P 的电场为2022320d d 2()L l z z ρρρπερ'==='+⎰⎰E E e20002L l ρρπερ'=e ρe 由ϕ=-∇E 求E ，有002l ρϕπε⎡⎢=-∇=-∇=⎢⎥⎣⎦E(00d ln 2ln 2d l L ρρρπερ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦e0012l ρρπερ⎧⎫⎪--=⎬⎪⎭e ρe可见得到的结果相同。
3.3 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为2()0()()cos a a A aϕρρϕρρφρρ=≤⎧⎪⎨=-≥⎪⎩（1）求圆柱内、外的电场强度；L L -ρρ题3.1图（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解 （1）由ϕ=-∇E ，可得到a ρ<时， 0ϕ=-∇=Ea ρ>时， ϕ=-∇=E 22[()cos ][()cos ]a a A A ρφρφρφρρρφρ∂∂----=∂∂e e 2222(1)cos (1)sin a a A A ρφφφρρ-++-e e（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为0002cos S n a a A ρρρρεεεφ=====-e E e E3.4 已知0>y的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? （1）cosh y e x -； （2）x e y cos -；（3）cos sin e x x （4）z y x sin sin sin 。
电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答
三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量d d zz SSS Φ====⎰⎰D S D e22322232()[]2d 4()()aq a ar r r a r a ππ--=++⎰ 22121)0.293()aqaq q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ，试证明之。
解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZer π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 333434a a Ze Zer r ρππ=-=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r ra r Ze rr r ρπππ==-D ee 题3.1 图题3. 3图()a故原子内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。
求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。
电磁场与电磁波课后习题及三章习题解答
三章习题解答3.1 真空中半径为 a 的一个球面， 球的两极点处罚别设置点电荷q 和 q ，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题 3.1 图所示 )。
q赤道平面aq题图解 由点电荷 q 和 q 共同产生的电通密度为Dq [ R3R3 ]4 RRq { e r re z ( z a)e r r e z ( z a) }4[ r 2 (z a)2 ]3 2[ r 2 ( z a) 2 ] 3 2则球赤道平面上电通密度的通量Dgd SD ge zz 0d SSSq a( a)a3 2 ]2 r d r4[(r 22 3 2(r 22a )a )qaa 1(r 2( 1)qa 2 )1 2 021911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为r a 的球体原子模型，其球体内平均散布有总电荷量为Ze 的电子云，在球心有一正电荷 Ze （ Z 是原子序数， e 是质子电荷量） ，经过实验得到球体内的电通量密度表达式为D e Ze 1 r，试证明之。
0 r 4r 2 r a 3解位于球心的正电荷 Ze 球体内产生的电通量密度为D 1e r 4Zer 2原子内电子云的电荷体密度为Ze3Ze4 r 3 3 4 r 3baa4 r 33Ze r 0ca电子云在原子内产生的电通量密度则为D 2 e r e r4 r 24 r a 3题 3. 3 图 (a)Ze 1 r故原子内总的电通量密度为DD 1 D 2 e r 4 r 2 r 3a3.3 电荷平均散布于两圆柱面间的地区中，体密度为0 C m 3, 两圆柱面半径分别为 a 和b ，轴线相距为c (cb a) ，如题 图 (a) 所示。
求空间各部分的电场。
解 因为两圆柱面间的电荷不是轴对称散布，不可以直接用高斯定律求解。
小圆柱面内看作同时拥有体密度分别为 0 的两种电荷散布， 这样在半径为有体密度为 0 的平均电荷散布，而在半径为a 的整个圆柱体内则拥有体密度为但可把半径为 a 的b 的整个圆柱体内具0 的平均电荷散布，如题 3.3 图 (b) 所示。
电磁场与电磁波课后答案 郭辉萍版1-6章
第一章 习题解答1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z aC =5x a -2za求：错误!未找到引用源。
矢量A 的单位矢量A a ； 错误!未找到引用源。
矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误!未找到引用源。
A ·B 和A ⨯B错误!未找到引用源。
A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；错误!未找到引用源。
A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C解：错误!未找到引用源。
A a =A A=（x a +2y a -3z a ） 错误!未找到引用源。
cos AB θ=A ·B /A BAB θ=135.5o错误!未找到引用源。
A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a 错误!未找到引用源。
A ·（B ⨯C ）=-42（A ⨯B ）·C =-42错误!未找到引用源。
A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。
解：等值面方程为ln （2x +2y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +ze 在点P （2，-1，0）的梯度。
解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a zψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +ze z a 得ψ∇=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误!未找到引用源。
电磁场与电磁波(第三版)课后问题详解__谢处方
第二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为43230049U d x ρε--=-，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。
如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。
解 （1） 43230004d ()d 9dQ U d x S x τρτε--==-=⎰⎰110044.7210C 3U S dε--=-⨯ （2）4320024d ()d 9dd Q U d x S x τρτε--''==-=⎰⎰11004(10.9710C 3U S d ε--=-⨯ 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=⨯的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解 质子的质量271.710kg m -=⨯、电量191.610C q -=⨯。
由21mv qU = 得 61.3710v ==⨯ m s 故 0.318J v ρ== 2A m26(2)10I J d π-== A2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。
设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为sin r φωθ=⨯=v r e ω球内的电荷体密度为343Qa ρπ=故 333sin sin 434Q Q r r a aφφωρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。
设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为sin a φωθ=⨯=v r e ω球面的上电荷面密度为24Q a σπ=故 2sin sin 44S Q Q a a aφφωσωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处的电场强度。
电磁场与电磁波 第三章答案
x x x 2 ( y h) 2 x 2 ( y h) 2 e x ( y h) ( y h) x 2 ( y h) 2 x 2 ( y h) 2 e y
电场能量密度为
h 2 ( x 4 y 4 h 4 2x 2 h 2 2x 2 y 2 2 y 2 h 2 ) 1 w r E2 l 2 2 r [ x 2 ( y h ) 2 ] 2 [ x 2 ( y h) 2 ] 2
电磁场与电磁波课后答案第三章习题
s i n x s i n y s i n z s i n x s i n y s i n z s i n x s i n y s i n z 0
函数 sinxsinysinz 不是 y 0 空间中电位的解。
3.7无限大导体平板分别置于x＝0 和 x＝d处，板间充满电荷，其体
电荷密度为
函数 e 2ysinxcosx不是 y 0 空间中电位的解。
(4)
2
2
2 2
( s i n x s i n y s i n z ) ( s i n x s i n y s i n z ) ( s i n x s i n y s i n z )
x 2
y 2
x 2 z 2
M
ez
1
d
d
M
ez
0
20
I
1
d
d
1
0
由
B2
H
e
I 2
看出 0
处有奇异性，所以在磁介质中
0 处存在磁化线电流 I m 以z轴为中心、 为半径做一个圆形
回路C，由安培环路定律有
IIm10
BdlI
2eychx0
函数 e ychx 不是 y 0 空间中电位的解。
(2) x 2 2(e yc o sx) y 2 2(e yc o sx) z 2 2(e yc o sx) e yc o sx e yc o sx 0
函数 ey cos x 是 y 0 空间中电位的解。
(3)
x 2 2 ( e 2 y s in x c o s x ) y 2 2 ( e 2 y s in x c o s x ) z 2 2 ( e 2 y s in x c o s x )
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案第一题题目一个半径为R的均匀带电球壳的电荷面密度为σ，以电荷面密度为0的球心C为球心作半径为R的球面S，球面上一点P的电场强度E的大小与距离R的关系。
### 答案由于球壳上各点带电量的方向相反，由球壳对球内外各一点的电场叠加，所以无论球面内或球面外，点P的电场强度大小与距离R 无关。
即E不随R的变化而变化。
第二题题目电势能缺少的条件是什么？ ### 答案电势能缺少的条件有两个：第一是电势为零点的规定，第二是确定电势差。
电势能只能说是一个与地球或其他准零电位的参考体系有关的概念，它取决于选取零点时电势与参考体系的差，而不是取决于问题中的具体点或场点的电势。
题目在有限导体平面上有一面密度为质量面密度σ的均匀带电薄片，试推导在它所在面的垂直平分线上的电势。
### 答案在面上任选此点坐标为(x,0)，显然它距离面上各点的距离和面在此点的电势分别为：r = (x^2 + y^2) ^ (1/2)，V = kq / r。
这里面的q = σdx。
由于对称性可知任一垂直平分线上的电势是相等的，所以我们可以通过积分的方法求出垂直平分线上的电势。
电势V为此线两边同号。
所以，由于σdx$$ V=\\int_0^{+\\infty}\\frac{k\\sigma dx}{x^2}+\\int_0^{-\\infty}\\frac{k\\sigma dx}{x^2} =+\\infty $$两项分别收敛。
所以原版电势。
题目试推导导体表面任意点上电场强度的切线与导体表面的夹角θ与电势的关系。
### 答案任意一个点r(k)在导体表面上，电场E的方向就垂直于导体表面，从而与该点处的法向量n垂直。
另一方面，根据高斯定理得出E.EA=Φ/ε，导体表面n方向上在2S表面积内的电荷为，即σ*2S,而2S又等于dA。
从而得到该方向上场强为E的切向分量EEE=2EE其中，E=dΦ/dA=-dΦ2S/εdA这样就有了场强与导体表面的法线方向上单位面积上电荷量与电势的关系题目试设内半径为a，外半径为b，中心位于轴线上的两同心导体球壳A、B，A球壳带正电+q，B球壳不带电，试详细分析以下两种情况：(1)球壳之间无绝缘介质；(2)球壳之间有绝缘介质。
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第二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为43230049U d x ρε--=-，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。
如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。
解 （1） 43230004d ()d 9dQ U d x S x τρτε--==-=⎰⎰110044.7210C 3U S dε--=-⨯ （2）4320024d ()d 9dd Q U d x S x τρτε--''==-=⎰⎰11004(10.9710C 3U S d ε--=-⨯ 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=⨯的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解 质子的质量271.710kg m -=⨯、电量191.610C q -=⨯。
由21mv qU = 得 61.3710v ==⨯ m s 故 0.318J v ρ== 2A m26(2)10I J d π-== A2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。
设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为sin r φωθ=⨯=v r e ω球内的电荷体密度为343Qa ρπ=故 333sin sin 434Q Q r r a aφφωρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。
设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为sin a φωθ=⨯=v r e ω球面的上电荷面密度为24Q a σπ=故 2sin sin 44S Q Q a a aφφωσωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处的电场强度。