直角三角形的边角关系(习题及答案)
中考数学直角三角形的边角关系综合练习题附答案解析
中考数学直角三角形的边角关系综合练习题附答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，反比例函数() 0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=︒.(1)求k 的值及点B 的坐标；(2)求tanC 的值.【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2.【解析】【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数()0k y k x=≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标；（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可.【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上，∴a =2，∴A (1，2)，把A (1，2)代入 k y x =得2k =， ∵反比例函数()0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称，∴()12B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，∵90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，∴C ABH ∠∠=，∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=， ∴AD 22OD 1tanC tan AOD =∠===.【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD 是关键.2．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记AC BC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3CPE V 总是等边三角形【解析】【分析】 （1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FP MC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可．【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FP MC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ，∴△DAF ≌△EAF （AAS ），∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中，∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ，∴△DAP ≌△EAP （SAS ），∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，∴FD ∥BC ∥PM ，∴DM FP MC PB=， ∵点P 是BF 的中点，∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ，∴PC=PD ，又∵PD=PE ，∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形，∴∠CEP=60°，∴∠CAB=60°，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC =，AC BC=tan30°， ∴k=tan30°=3， ∴当k 为33时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．3．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．（1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB ＝5，¼¼AP BP=，求PD 的长．【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】【分析】 （1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶ADAC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；（2）连接OP ，由¶¶APBP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC ，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED=，然后根据勾股定理即可得到结果．【详解】（1）证明：连接AD ，∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，∴¶¶ADAC =， ∴∠ACD ＝∠B ＝∠ADC ，∵∠FPC ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠FPC ，∴∠APC ＝∠ACF ，∵∠FAC ＝∠CAF ，∴△PAC ∽△CAF ；（2）连接OP ，则OA ＝OB ＝OP ＝1522AB =， ∵¶¶APBP =， ∴OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝2BC ，∴tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC，∴12 CE BEAE CE==，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED=，∴2.52 OE GE OPGE CE-==，∴GE＝23，OG＝56，∴PG＝225OP OG6+=，GD＝222 3DE GE+=，∴PD＝PG+GD＝3102．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG∽△EDG是解题的关键．4．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝度（直接填空）；（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝12 EC；（3）当AB＝2E到AC31时，直接写出tan∠CAE的值．【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）633 tan11EAC-∠=【解析】【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．只要证明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可；（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP＝3x，EH＝2PH＝2x，由此FH＝2x+3﹣1，CF＝23x+3﹣3，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP＝3x，AE＝AD，在Rt△ABG中， AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝1+3，由此tan∠EAF＝2﹣3，根据对称性可得tan∠EAC＝6-33．【详解】（1）如图1中，∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，∴∠EDC＝90°，故答案为90；（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．∵∠DAE＝∠BAP＝90°，∴∠BAD＝∠PAE，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠APB＝45°，∴AB＝AP，∵AD＝AE，∴△BAD≌△PAE（SAS），∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，∴∠EPD＝∠EPC＝90°，∵∠C＝30°，∴EC＝2PE＝2BD；（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，∴EP3，EH＝2PH＝2x，∴FH＝31，CF3FH＝33∵△BAD≌△PAE，∴BD＝EP3，AE＝AD，在Rt△ABG中，∵AB＝2∴AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，∴22+（23）231）2+（4﹣3﹣32，整理得：9x2﹣12x＝0，解得x＝43（舍弃）或0∴PH ＝0，此时E ，P ，H 共点，∴AF ＝1+3， ∴tan ∠EAF ＝EF AF ＝3131-+＝2﹣3． 根据对称性可知当点E 在AC 的上方时，同法可得tan ∠EAC ＝6-33． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．如图，已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标； （3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C 坐标为（3，0），点P （1，-2）；（2）点P （7，0）；（3）点N （-75，145）． 【解析】【分析】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）利用S △ABC =12×AC×BH= 12×BC×y A ，求出sinα= 222105BH AB ==，则tanα= 12，在△PMD 中，tanα= MD PM 1222x =+，即可求解； （3）作点A 关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N ⊥AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N ，此时AM+MN 最小，即可求解．【详解】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：9633212bb c⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：132bc=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32，令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-32，故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC=∠BAC=α，由题意得：AB10，AC2BC=4，PC2，S△ABC=12×AC×BH=12×BC×y A，解得：BH2sinα=BHAB22210=5，则tanα=12，由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD=MC=x，在△PMD中，tanα=MDPM22x+12，解得：x2CD2x=4，故点P（7，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：84=-2，则直线A′N表达式中的k值为12，设直线A′N的表达式为：y=12x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b=72，故直线A′N的表达式为：y=12x+72…①，当x=1时，y=4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，联立①②两个方程并求解得：x=-75，故点N（-75，145）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长：_________________；（2）当t =__________时，点Q与点C重合时；（3）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值．【答案】（1）；（2）1；（3）t的值为或或.【解析】【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AQ=AC，即可得出结论；（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°∴AC= , AD=∴CD=；（2）AQ=2AD=当AQ=AC时，Q与C重合即=∴t=1；（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，∴∠QMN ＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△NMQ中，∵AN＋NQ＝AQ，∴③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．7．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP ＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．8．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：12．(1)求此人所在位置点P的铅直高度．(结果精确到0.1米)(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，tan63.4°≈2)【答案】（1）此人所在P的铅直高度约为14.3米；（2）从P到点B的路程约为127.1米【解析】分析：(1)过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，设PF＝5x，在Rt△ABC中求出AB，用含x 的式子表示出AE，EP，由tan∠APE，求得x即可；(2)在Rt△CPF中，求出CP的长.详解：过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，∵斜坡的坡度i＝5:12，设PF＝5x，CF＝12x，∵四边形BFPE为矩形，∴BF＝PEPF＝BE.在RT△ABC中，BC＝90，tan∠ACB＝AB BC，∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋120x.在RT△AEP中，tan∠APE＝1805490123 AE xEP x-≈＝＋，∴x＝20，7∴PF＝5x＝10014.3≈.7答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.由(1)得CP＝13x，∴CP＝13×20≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1.7答：从P到点B的路程约为127.1米.点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.9．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB2﹣1；（3）PE+PF的最小值为+22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x即可解决问题；（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小，最小值为线段EH 的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACE ＝∠ABF ＝∠CAB ＝45°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAC ＝∠BAF ＝22.5°，∴△ABF ∽△ACE ．（2）解：如图1中，作EH ⊥AC 于H ．∵EA 平分∠CAB ，EH ⊥AC ，EB ⊥AB ，∴BE ＝EB ，∵∠HCE ＝45°，∠CHE ＝90°，∴∠HCE ＝∠HEC ＝45°，∴HC ＝EH ，∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC ＝2x ， ∵BC ＝2+1，∴x+x ＝2+1，∴x ＝1，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝ ﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝222+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．10．如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点B 到航线l 的距离BD 为4km ，点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处．现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处．求这艘轮船的航行路程CE 的长度．（结果精确到0.1km ）（参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【答案】20.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在Rt △BDF 中，∵∠DBF=60°，BD=4km ，∴BF=cos 60BD o=8km ， ∵AB=20km ，∴AF=12km ， ∵∠AEB=∠BDF ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△BDF ，∴AE BD AF BF=， ∴AE=6km ， 在Rt △AEF 中，CE=AE•tan74°≈20.9km ．故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km ．点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.11．如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB ，AB 与水面AC 垂直．此时，小华的眼睛所在位置D 到湖面的距离DC 为4米．她测得树梢B 点的仰角为30°，测得树梢B 点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB （结果保留根号）【答案】AB=（3）m ．【解析】【分析】设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，根据∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=BE DE 即可得出x 的值，进而得到答案，【详解】如图：过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，∵∠ADB′=45°，∴DE=B′E=x+8，∵∠BDE=30°，∴tan30°=38BE x DE x ==+ ，解得3， ∴AB=BE+4=（3）m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键12．如图，由一段斜坡AB 的高AD 长为0.6米，ABD 30∠=o ，为了达到无障碍通道的坡道标准，现准备把斜坡改长，使ACD 5.71∠=o ．()1求斜坡AB 的长；()2求斜坡新起点C 与原起点B 的距离.(精确到0.01米)(参考数据：3 1.732≈，tan5.710.100)≈o【答案】()1?AB 1.2=米；()2斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米． 【解析】【分析】()1在Rt ABD V 中，根据AB AD sin30=÷o 计算即可；()2分别求出CD 、BD 即可解决问题； 【详解】()1在Rt ABD V 中，1AB AD sin300.6 1.2(2=÷=÷=o 米)， ()2在Rt ABD V 中，3BD AD tan300.6 1.039(=÷=≈o 米)， 在Rt ACD V 中，CD AD tan5.716(=÷≈o 米)，BC CD BD 6 1.039 4.96(∴=-=-=米)．答：求斜坡AB 的长为1.2米，斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。
中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案
中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案一、直角三角形的边角关系1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，∴CF=tan·DF=，又∵CB=4，∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，tan==0．60，解得=2．5，答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．考点：解直角三角形．3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（215-+；（3758+【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x ，则有AB=AC=x+1，∵△ABC ∽△BCD ， ∴AB BC BD CD =，即111x x+=， 整理得：x 2+x-1=0， 解得：x 1=15-+，x 2=15--（负值，舍去）， 则x=15-+； （3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，∵BD=CD ，∴E 为CD 中点，即DE=CE=154-+， 在Rt △ABE 中，cosA=cos36°=1515144151AE AB -++==-++， 在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=151541EC BC -+-+==， 则cos36°-cos72°=51+=15-+=12． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．4．问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH 的对角互补，那么四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD 的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；（3）①MN=；②证明见解析；（4）MN取得最大值2．【解析】试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN•sin∠MQN，从而可得MN=OP•sin∠MQN，由此即可解决问题；（4）由（3）②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．试题解析：（1）如图一，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；（3）①如图二，∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN•sin∠MQN，∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值．（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．考点：圆的综合题．5．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数6．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为32≈1.4）．【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tan PH PAH∠33，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴3，∵60千米/时=503米/秒，∴时间t=503505033≈8.1（秒），即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。
中考数学 直角三角形的边角关系综合试题附详细答案
中考数学 直角三角形的边角关系综合试题附详细答案一、直角三角形的边角关系1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？ 【答案】【解析】过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可．2．在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），∠BPE=12∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G ． （1）当点P 与点C 重合时（如图1）．求证：△BOG ≌△POE ； （2）通过观察、测量、猜想：BF PE= ，并结合图2证明你的猜想； （3）把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE 的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=12 BM．∴BF=12PE，即BF1PE2=．（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ． ∴BM BN PE PN=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF =tan PE α． ∴BF 1=tan PE 2α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN tan =PN α即可求得BF 1=tan PE 2α．3．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP = 【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∵//CD AB ，∴OCD COA ∠=∠，∴POA QDO ∠=∠．在AOP ∆和ODQ ∆中， {OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =，∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．4．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．（1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB ＝5，¼¼AP BP=，求PD 的长．【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】【分析】 （1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶ADAC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；（2）连接OP ，由¶¶APBP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC ，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED=，然后根据勾股定理即可得到结果．【详解】（1）证明：连接AD ，∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，∴¶¶ADAC =， ∴∠ACD ＝∠B ＝∠ADC ，∵∠FPC ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠FPC ，∴∠APC ＝∠ACF ，∵∠FAC ＝∠CAF ，∴△PAC ∽△CAF ；（2）连接OP ，则OA ＝OB ＝OP ＝1522AB =， ∵¶¶APBP =， ∴OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝2BC ，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BCAC，∴12 CE BEAE CE==，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED=，∴2.52 OE GE OPGE CE-==，∴GE＝23，OG＝56，∴PG＝225OP OG6+=，GD＝222 3DE GE+=，∴PD＝PG+GD＝3102．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG∽△EDG是解题的关键．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长：_________________；（2）当t =__________时，点Q与点C重合时；（3）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值．【答案】（1）；（2）1；（3）t的值为或或.【解析】【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AQ=AC，即可得出结论；（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°∴AC= , AD=∴CD=；（2）AQ=2AD=当AQ=AC时，Q与C重合即=∴t=1；（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，∴∠QMN ＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△NMQ中，∵AN ＋NQ ＝AQ ，∴③如图，当PQ 的垂直平分线过BC 的中点F 时，∴BF ＝BC ＝1，PE ＝PQ ＝t ，∠H ＝30°.∵∠ABC ＝60°，∴∠BFH ＝30°＝∠H ，∴BH ＝BF ＝1.在Rt △PEH 中，PH ＝2PE ＝2t.∵AH ＝AP ＋PH ＝AB ＋BH ，∴2t ＋2t ＝5，∴t ＝.即当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．6．如图①,在菱形ABCD 中,60B ︒∠= ，4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动，过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ，过点P 向上作//PN AC ，且32PN PQ =，以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S .（1）用含t 的代数式表示线段PQ 的长.（2）当点M 落在边BC 上时，求t 的值.（3）当0t 1<<时，求S 与t 之间的函数关系式， （4）如图②,若点O 是AC 的中点，作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12：时，直接写出t 的值【答案】（1）23PQ t =；（2）45；（3）2193403163t t -+-；（4） 23t = 或87t = ．【解析】【分析】（1）由菱形性质得∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等边三角形，证出△APQ是等腰三角形，得出PF=QF，PF=PA•sin60°=3t，即可得出结果；（2）当点M落在边BC上时，由题意得：△PDN是等边三角形，得出PD=PN，由已知得PN=3PQ=3t，得出PD=3t，由题意得出方程，解方程即可；（3）当0＜t≤45时，PQ=23t，PN=32PQ=3t，S=矩形PQMN的面积=PQ×PN，即可得出结果；当45＜t＜1时，△PDN是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，FN=3NE=3（5t-4），S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积，即可得出结果；（4）分两种情况：当0＜t≤45时，△ACD是等边三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG是△MNH的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可；当45＜t≤2时，由平行线得出△OEF∽△MEQ，得出EF OFEQ MQ=，即233ttEF t-=+，解得EF=243232t tt--，得出EQ=2332234t ttt--+，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵在菱形ABCD中，∠B=60°，∴∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∵PQ⊥AC，∴△APQ是等腰三角形，∴PF=QF，PF=PA•sin60°=2t×3=3t，∴PQ=23t；（2）当点M落在边BC上时，如图2所示：由题意得：△PDN是等边三角形，∴PD=PN，∵PN=32PQ=32×23t=3t，∴PD=3t，∵PA+PD=AD，即2t+3t=4，解得：t=45．（3）当0＜t≤45时，如图1所示：PQ=23t，PN=32PQ=32×23t=3t，S=矩形PQMN的面积=PQ×PN=23t×3t=63t2；当45＜t＜1时，如图3所示：∵△PDN是等边三角形，∴PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，∴NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4，∴335t-4），∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积32-2×1235t-4）2=-19t233，即S=-19t233（4）分两种情况：当0＜t≤45时，如图4所示：∵△ACD 是等边三角形， ∴AC=AD=4， ∵O 是AC 的中点，∴OA=2，OG 是△MNH 的中位线， ∴OG=3t-（2-t ）=4t-2，NH=2OG=8t-4， ∴△MNH 的面积=12MN×NH=12×23t×（8t-4）=13×63t 2， 解得：t=23； 当45＜t≤2时，如图5所示：∵AC ∥QM ， ∴△OEF ∽△MEQ ，∴EF OF EQ MQ =233tt EF t -=+， 解得：2332t t -，∴23323t t t -∴△MEQ 的面积=12×3t×23323t t t -+=1332，解得：t=87； 综上所述，当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为1：2时，t 的值为23或87．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键．7．如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409R=;（2）25880320xy x xx=-++（3）505-【解析】【分析】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，即可求解；（2）首先证明PD∥BE，则EB BFPD PF=，即：2024588x yxxxy-+-=，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝5【详解】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，解得：R＝409；（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，则BH＝ACsinC＝8，同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝45，则：tan∠CAB＝2，BP＝228+(4)x-＝2880x x-+，DA＝25x，则BD＝45﹣25x，如下图所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，tanβ＝2，则cosβ5，sinβ5，EB ＝BDcosβ＝（45﹣25x ）×5＝4﹣25x ，∴PD ∥BE ，∴EB BFPD PF=，即：2024588x y x xx y-+--=，整理得：y ＝25xx 8x 803x 20-++；（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，两个圆交于点G ，则PG ＝PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ， GD 为相交所得的公共弦， ∵点Q 是弧GD 的中点， ∴DG ⊥EP ， ∵AG 是圆P 的直径， ∴∠GDA ＝90°， ∴EP ∥BD ，由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形， ∴AG ＝EP ＝BD ，∴AB ＝DB+AD ＝AG+AD ＝5 设圆的半径为r ，在△ADG 中， AD ＝2rcosβ5DG 5AG ＝2r ， 5＝52r 51+， 则：DG 550﹣5 相交所得的公共弦的长为50﹣5 【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．8．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3cos5C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P e 与边BC 相切时，求P e 的半径；()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的Q e 与P e 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409；（2）)25880010x x x y x -+=<<；（3）105- 【解析】 【分析】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=45，sinC=HP CP =R 10R -=45，即可求解； （2）PD ∥BE ，则EB PD ＝BFPF，即：2248805x x x y x--+-=，即可求解；（3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG=GP=BD ，即：5求解． 【详解】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=35， sinC=HP CP =R 10R -=45，解得：R=409； （2）在△ABC 中，AC=BC=10，cosC=35， 设AP=PD=x ，∠A=∠ABC=β，过点B 作BH ⊥AC ，则BH=ACsinC=8， 同理可得：CH=6，HA=4，AB=45，则：tan ∠CAB=2BP=()2284x +-=2880x x -+， DA=25x ，则BD=45-25x ，如下图所示，PA=PD ，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，tanβ=2，则cosβ=5，sinβ=5，EB=BDcosβ=（45-25x）×5=4-25x，∴PD∥BE，∴EBPD＝BFPF，即：2248805x x x yx y--+-=，整理得：y=()25x x8x800x10-+<<；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q时弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA=90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG=EP=BD，∴5设圆的半径为r，在△ADG中，55AG=2r，5551+，则：55相交所得的公共弦的长为5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．9．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），①当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；②求出使为直角三角形时的值；（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．【答案】（1），；（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为3或；（3）点，，，构成的四边形的面积为：6或或.【解析】【分析】（1）把点A坐标代入直线表达式y＝，求出a＝−3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设：点P（m，），N（m，）求出PN值的表达式，即可求解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．【详解】解：（1）把点坐标代入直线表达式，解得：，则：直线表达式为：，令，则：，则点坐标为，将点的坐标代入二次函数表达式得：，把点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的解析式为：，故：答案为：，；（2）①∵在线段上，且轴，∴点，，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，有最大值是3，②当时，点的纵坐标为-3，把代入抛物线的表达式得：，解得：或0（舍去），∴；当时，∵，两直线垂直，其值相乘为-1，设：直线的表达式为：，把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，将上式与抛物线的表达式联立并解得：或0（舍去），当时，不合题意舍去，故：使为直角三角形时的值为3或；（3）∵，，在中，，则：，，∵轴，∴，若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点，点的坐标为，设：点坐标为：，则：，过点作的平行线，则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，解得：过点直线表达式为：，将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，，将代入上式并整理得：，解得：，则点的坐标为，则：点坐标为，则：，∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：，解得：，则点、的横坐标分别为，，作交直线于点，则，作轴，交轴于点，则：，，，则：， 同理：， 故：点，，，构成的四边形的面积为：6或或. 【点睛】 本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N 的位置是本题的难点，核心是通过△＝0，确定图中N 点的坐标．10．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BE ：AB=3：5，若CE= 2 ，cos ∠ACD= 45 ，求tan ∠AEC 的值及CD 的长．【答案】tan ∠AEC=3, CD=12125【解析】 解：在RT △ACD 与RT △ABC 中∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos ∠ABC=cos ∠ACD=45 在RT △ABC 中，45BC AB = 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由35BE AB = ,BE=3k 则CE=k,且CE=2 则k=2，AC=32 ∴RT △ACE 中，tan ∠AEC=AC EC =3 ∵RT △ACD 中cos ∠ACD=45CD AC = ,，CD=12125.11．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，AE 为⊙O 的切线，过点B 作BD ⊥AE 于D ．（1）求证：∠DBA=∠ABC ；（2）如果BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）如图，连接OA，由AE为⊙O的切线，BD⊥AE得到∠DAO=∠EDB=90°，于是得到DB∥AO，推出∠DBA=∠BAO，由于OA=OB，得到∠ABC=∠BAO，即可得到结论；（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．试题解析：（1）如图，连接OA，∵AE为⊙O的切线，BD⊥AE，∴∠DAO=∠EDB=90°，∴DB∥AO，∴∠DBA=∠BAO，又∵OA=OB，∴∠ABC=∠BAO，∴∠DBA=∠ABC；（2）∵BD=1，tan∠BAD=，∴AD=2，∴AB=，∴cos∠DBA=；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=．∴⊙O的半径为2.5．考点：1.切线的性质；2.勾股定理；3.解直角三角形．12．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC 上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）．（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时：①求∠AFC的度数；②求222AFFC BFAF FC+-⋅的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B 方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．【答案】（1）①120°；②1；（2）当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．【解析】【分析】（1）①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，易证△FAG 是等边三角形，结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC，则有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，从而可得∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中运用直角三角形的性质可得BH3，GH=12y，从而有FH=x﹣12y．在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2，代入所求代数式就可解决问题；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，从而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，进而可得DN=EC．由△DEM是等边三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，从而可得∠NDE=∠MEC，进而可证到△DNE≌△ECM，则有∠DNE=∠ECM=90°，故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题．【详解】（1）如图1，由题可得BD=CE=t．∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．在△BDC和△CEA中，BD CEB ECABC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDC≌△CEA，∴∠BCD=∠CAE，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2．∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA，∴△FAG是等边三角形，∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAB=∠FAC．在△AGB和△AFC中，AG AFGAB FACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGB≌△AFC，∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，∴∠BGF=60°，∴∠GBH=30°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，GH=12y，BH=3y，∴FH=FG﹣GH=x﹣12y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=（32y）2+（x﹣12y）2=x2﹣xy+y2，∴222AF FC BFAF FC+-⋅=2222x y x xy yxy+--+（）=1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6，∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=12BE=6﹣t，∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，∵DN ECNDE CEMDE EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sin B=6×3=33；当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C；∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为33．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形外角的性质等知识，综合性比较强，有一定的难度；构造旋转型全等三角形（由共顶点的两个等边三角形组成）是解决第1（2）小题的关键，证到∠ECM=90°是解决第（2）小题的关键．。
直角三角形的边角关系(含答案)
第十四章直角三角形的边角关系基础知识梳理1．锐角三角函数．在Rt△ABC中，∠C是直角，如图所示．（1）正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=AA∠∠的对边的邻边．（2）正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=A∠的对边邻边．（3）余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=A∠的邻边邻边．（4）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（5）锐角的正弦和余弦之间的关系．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即：如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cos（90°-A）=cosB；cosA=sin（•90•°-•A）•=sinB．（6）一些特殊角的三角函数值（如下表）．三角函数角sin cos tan30°12323345°2222160°32123（7）已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值；同样，•已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小．（8）三角函数值的变化规律．①当角度在0°～90°间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．②当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（•或增大）．（9）同角三角函数的关系．①sin2A+cos2A=1；②tanA=sincosAA．2．运用三角函数解直角三角形．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．（3）边角之间的关系：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab．所以，在直角三角形中，只要知道除直角外的两个元素（其中至少有一个是边），•就可以求出其余三个未知元素．解直角三角形的基本类型题解法如下表所示：类型已知条件解法两边两直角边a，bc=22a b+，tanA=ab，B=90°-A一直角边a，斜边cb=22c a-，sinA=ac，B=90°-A一边、一锐角一直角边a，锐角AB=90°-A，b=tanaA，c=sinaA斜边a，锐角A B=90°-A，a=c·sin，b=c·cosA注意：解直角三角形需要注意的问题：（1）尽量使用原始数据，使计算更加准确；（2）不是解直角三角形的问题，添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题；（3）恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题；（4）在选用三角函数式时，尽量做乘法，避免做除法，以使运算简便；（5）必要时画出图形，分析已知什么，求什么，它们在哪个三角形中，•应当选用什么关系式进行计算；（6）添加辅助线的过程应书写在解题过程中．3．解直角三角形的实际问题．解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语．（1）坡度、坡角．如图所示，坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示，即i=hl．坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角），则i=hl=tanα．（2）仰角、俯角．当从低处观测高处的目标时，视线和水平线所成的锐角称为仰角．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．如图所示．（3）方位角和方向角．①方位角：正北方向顺时针旋转与已知射线所成的角叫做方位角．如图所示的∠α（0°<α<360°）．②方向角：正北或正南方向与已知射线所成的锐角叫做方向角．如图14-5所示的∠β（0°<β<90°），若∠β=30°，则方向角可记作南偏西30°．（4）燕尾槽的深度、燕尾角．燕尾槽的横断面如图所示，AE是燕尾槽的深度，AD是外口宽，BC是里口宽，∠B是燕尾角．考点与命题趋向分析（一）能力1．通过实例认识锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），知道30°，45°，60•°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．2．运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题． （二）命题趋向分析1．三角函数是代数与几何衔接点之一，是三角学的基础，近年来锐角三角函数常与四边形、相似形、坐标系、圆等相结合出题，多涉及实际应用问题，如梯子的倾斜程度、坡度等问题．【例1】（2004年河南省）如图1，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为75°．如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB 是________米．(1) (2) 【分析一】AB=AC+CB=tan 75a ︒+tan 45b︒．如图2，在Rt △ACB 中，∠C=90°．∠A=15•°，•∠ABC=75°， 在∠ABC 内部作∠ABD=15°，则∠BDC=30°，∠DBC=60°， 设BC=1，则BD=2，3， ∵∠A=∠ABD=15° ∴AD=BD=2 ∴3 ∴tan75°=AC BC23+3∴∴sin75°=ACAB 如图1所示：NB=CB=b 米∴b 米∴米 在Rt △MAC 中，sin75°=AMMC∴4a=（）b解得-1）a∴AB=AC+CB=tan 75a ︒+tan 45b︒+b=（a+）a=a （米）【分析二】在图1中连MN ，可由MC=NC ，∠MCN=60°得等边三角形MCN ，作MH•⊥BN 于H ．由∠A=∠MHB=90°，∠MCA=∠MNH=75°，MC=MN ．可证△MAC ≌△MHN ，得AM=MH ．•再证四边形MABH 为矩形，可得AB=MH=AM=a 米． 【解】此空应填a ．2．涉及特殊角的三角函数值的应用题是近年中考中的热点，•对学生的综合能力要求较高，要勤于观察生活中的数学现象，并善于将生活中的实际问题转化为数学问题并加以解决．【例2】（2004年哈尔滨市）如图，在测量塔高AB 时，•选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 、D 两点，用测角仪器测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°．•已知测角器高CE=1.5m ，CD=30m ．求塔高AB ．（答案保留根号） 【分析】由CD=30m ，可求EG=30m ，考虑到∠AGF 是△AEG 的外角，可知EG=AG ，故AG=30m ，在Rt △AGF 中可求AF 长．AB=AF+FB 问题得以解决． 【解】由题意可知：EG=CD=30米 ∵∠AEG=30°，∠AGF=60°∴∠EAG=30°∴EG=AG=30米在Rt△AFG中，sin60°=AF AG∴AF=AG·sin60°=30×32=153（米）∴AB=AF+FB=153+32（米）答：塔高AB为（153+32）米．【规律总结】本题发现EG=AG=30米，以及熟记特殊角三角函数值是关键．3．近10年来含特殊角的三角函数值的应用问题中中考中呈现上升趋势，•这类考题往往给定一些角的三角函数值供考生选用，且这类题多以中档解答题为主，望读者引起注意．【例3】（2004年沈阳市）某地一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为h米，•此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β（如图1）．小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，•又能最大限度地使冬天温度的阳光射入室内．小明查阅了有关资料，获得了所在地区∠α和∠β的相应数据：∠α=24°36′，∠β=73°30′，小明又量得窗户的高AB=1.65米．若同时满足下面两个条件：（1）•当太阳光与地面夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内；（2）•当太阳光与地面夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内．请你借助图形（如图2），帮助小明算一算，•遮阳篷BCD中，BC和CD的长各是多少？（精确到0.01米）以下数据供计算中选用:sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296【分析】图中有两个直角三角形，即△BCD 和△ACD ．•利用这两个直角三角形求解．另外题中所给数据中cot24°36′实际上是tan24°36′的倒数，今后我们会学习到． 【解】∵在Rt △BCD 中，tan ∠CDB=BCCD，∠CDB=∠α ∴BC=CD ·tan ∠CDB=CD ·tan α ∵在Rt △ACD 中，tan ∠CDA=ACCD，∠CDA=∠β ∴AC=CD ·tan ∠CDA=CD ·tan β ∵AB=AC-BC=CD ·tan β-CD ·tan α =CD （tan β-tan α） ∴CD=tan tan AB βα-= 1.653.3760.458-≈0.57（米）∴BC=CD ·tan ∠CDB ≈0.57×0.458≈0.26（米） 答：BC 的长约为0.26米，CD 的长约为0.57米．【规律总结】本题的解决关键是把∠α、∠β置于两个直角三角形中，另外要细心体会把实际问题转化为数学模型的过程和方法．4．运用解直角三角形知识解决实际问题是近年中考的热点题型，•主要涉及测量（特别是底部不可到达的物体的高度的测量）、航空、航海、工程等领域，且说理性题（如船会不会触礁，速度应提高多少，巡逻艇能否追上走私船等）比重有所加大．这类题主要考查学生应用相关知识解决实际问题的能力． 【例4】（2003年青岛）如图14-11所示，•人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26•海里/时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问 （1）需要几小时才能追上？（点B 为追上时的位置） （2）确定巡逻艇追赶方向（精确到0.1°）（参考数据：sin66.8°≈0.9191，cos66.8°≈0.3939，•sin67.•4•°≈0.•9231，cos67.4°≈0.3843，sin68.4°≈0.9298，cos68.4°≈0.3681，•sin70.•6•°≈0.9432，cos70.6°≈0.3322）．【分析】由于已知速度，本题第（1）问可利用直角△ABO 的各边长列方程求解，•第（2）问可利用sin ∠AOB=ABOB，求出∠AOB 的度数． 【解】（1）设需要t 小时才能追上，则AB=24t ，OB=26t ．在Rt △ABO 中，OB 2=AB 2+OA 2，即（26t ）2=（24t ）2+102，解得t=±1，t=-1不合题意，舍去，∴t=1，即需要1小时才能追上． （2）在Rt △ABO 中 ∵sin ∠AOB=AB OB =2426t t =1213≈0.9231， ∴∠AOB ≈67.4°即巡逻艇的追赶方向是北偏东67.4°．解题方法与技巧1．数形结合思想．【例1】已知tan α=34，求sin cos sin cos αααα+-的值． 【分析】利用数形结合思想，将已知条件tan α=34用图形表示．【解】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，设BC=3k ，AC=4k ，则AB=22AC BC +=22(4)(3)k k +=5k ．∴sin α=BC AB =35k k =35 cos α=4455AC k AB k ==， ∴原式=34553455+-=-7.方法2：转化思想 【例2】已知tan α=34，求sin cos sin cos αααα+-的值． 【分析】可将所求式子的分子、分母都除以cos ，转化为含有sin cos αα的式子，•再利用tan α=sin cos αα进行转化求解． 【解】将式子sin cos sin cos αααα+-的分子、分母都除以cos α，得原式＝31tan143tan114αα++=--＝-7【规律总结】因为tanα=34所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．方法3：方程思想【例3】去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？【分析】过C作AB的垂线段CM，把AM、BM用含x的代数式3x，x表示，利用AM+MB=2列方程得，3x+x=2，解出CM的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM的长，列方程解题的思想方法．【解】作CM⊥AB，垂足为M，设CM为x千米，在Rt△MCB中，∠MCB=∠MBC=45°，则MB=CM=x千米．在Rt△AMC中，∠CAM=30°，∠ACM=60°tan∠ACM=AM CM∴AM=CM·tan60°=3x千米∵AM+BM=2千米∴3x+x=2∴x=3-1≈1.732-2=0.732∴CM长约为0.732千米，大于0.7千米∴这条公路不会穿过公园．方法4：建模思想【例4】如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，•途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距离台风中心2010•里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A•正南方向的B处，且AB=100里．（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，•试求轮船最初遇到台风的时间；若不，请说明理由．（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（取整数，13≈3.6）【分析】本题是航海问题，把航海问题抽象成纯数学问题，建立起“解直角三角形”的“数学模型”．【解】（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C 处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t，AE=AB-EB=100-40t，EC=2010在Rt△ACE中，AE2+AC2=EC2∴（20t）2+（100-40t）2=（2010）2∴t2-4t+3=0△=（-4）2-4×1×3=4>0∴途中会遇到台风解方程①得t1=1，t2=3∴最初遇到台风的时间为1小时．（2）设台风抵达D港的时间为t小时，此时台风中心至M点，过D作DF⊥AB，垂足为F，连结DM．在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°∴DF=303，FA=30又FM=FA+AB-BM=130-40tMD=2010∴（303）2+（130-40t）2=（2010）2整理，得4t2-26t+39=0解之得t1=13134-，t2=13134+∴台风抵达D港的时间为13134-小时，到D港的速度为60÷13134-≈25.5（海里/时）．因此为使台风抵达D 港之前轮船到D 港，轮船应提高6海里/时．方法5：说理性问题的解法【例5】如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，•取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？【分析】说明输水路线是否穿过居民区，应过A 作MN 的垂线段AH ，计算出AH 的长，然后把AH 与500m 比较大小．【解】过A 作AH ⊥MN ，垂足为H ∵MK ∥BG∴∠GBH=∠KMH=30°又∵∠GBA=75°，∠HBA=45° ∴∠BAH=45° ∴AH=BH设AH 为xm ，则BH=xm ，在Rt △MHA 中，∠HMA=∠KMA-∠KMB=60°-30°=30°． ∵tan ∠HMA=AHMH∴MH=tan 30x =33x =3x∵MB=MH-BH∴3x-x=400 解得x=200（3+1）∴AH ≈546.4m>500m答：输水路线不会穿过居民区．【规律总结】此题是说理性问题，这类题要求学生对基本概念、基本定理、基本思路有清醒的认识，能根据实际问题进行相关的计算，并利用计算所得结果说明问题的原因、依据．方法6：探索性问题【例6】某学校为了改善教职工居住条件，•准备在教学楼（正楼）的正南方向建一座住宅楼（正楼），要求住宅楼与教学楼等高，均为15.6米，已知该地区冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为30°，如果住宅楼与教学楼间相距19.2米，如图1所示．（1）此时住宅楼的影子落在教学楼上有多高？（精确到0.1米）（2）要使住宅楼的影子刚好落在教学楼的墙角，则两楼间的距离应是多少？•（精确到0.1米） 【分析】（1）如图所示，设冬至正午太阳最低时，住宅楼顶A•点的影子落在教学楼上的C 处，那么CD 的长就是影子落在教学楼上的高度．（2）如图2所示，BC 的长就是两楼间的距离．(1) (2) 【解】（1）如图1所示，作CE ⊥AB 于E ， 在Rt △ACE 中，∠ACE=30°，EC=19.2， ∴AE=EC ·tan30°=19.2319.2 1.7323⨯≈11.1 CD=EB=AB-AE≈15.6-11.1=4.5（米）∴住宅楼的影子落在教学楼上约有4.5米高 （2）如图2所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=30° BC=tan 30AB ︒3315.6×1.732≈27.0（米）∴要使冬至正午的太阳能够照到教学楼的墙角，两楼间的距离至少应为27.0米．【规律总结】此题为探索性题，结论没有直接给出，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等活动，逐步确定结论．方法7：开放性问题【例7】某处有一天线，高度超过10米，底部四周有铁丝网围墙，•使得不能直接到达天线底部，数学小组的同学们只有测倾器和测量长度用的量绳，请你为他们设计一个能测得天线高度的方案（包括测量方法，并推导计算公式）．【分析】本题是一道开放性试题，是近年来有关解直角三角形的中考试题中，开放程度很高的题目，着重考查学生如何借助解直角三角形知识解决这类测量问题．解题中要注意测量工具所能测得的数据，以免审题失误．【解】如图所示，测倾器离地面b 米，在点B 处测得天线顶端仰角为α，从B•点向前走a 米，到达点C ，在点C 处测得天线顶端仰角为β，设AG 为x 米． 在Rt △AGC 中，CG=tan tan AG xββ= 在Rt △AGB 中，BG=tan tan AG xαα=∵BC=BG-CG ∴tan x α-tan x β=a∴x=11()tan tan aαβ-=tan tan tan tan a αββα-∴AM=AG+GM=tan tan tan tan a αββα-+b【规律总结】对于开放性问题，一般都有多种解题方法，首先应对解直角三角形知识有关的基本图形非常熟悉，然后才能给出设计方案，选择适合自己的解题方法，灵活巧妙地解答问题．方法8：综合性问题【例8】如图所示，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A•为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平移，设OM=x ，ON=y （y>x ≥0），△AOM•的面积为S ，且cos α，OA 是方程2z 2-5z+2=0的两个根．（1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N 移动的距离； （2）求证：AN 2=ON ·MN ； （3）试求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．【分析】本题把解直角三角形与一元二次方程、相似三角形、平移、旋转、函数等知识糅合在一起，形成一道综合性很强的考题．本题从解一元二次方程入手，逐步挖掘隐含条件，构造直角三角形，将其转化为解直角三角形问题．【解】（1）解方程2z2-5z+2=0，得z1=12，z2=2∵α为锐角∴O<cosα<1∴OA=2，cosα=1 2∴α=60°，即∠POQ=∠MAN=60°∴ON=OA=2，如图14-20所示．当AM旋转到AM′时，点N移动到N′∴∠M′N′A=30°，∠OAN′=90°，在Rt△OAN′中，ON′=2AO=2×2=4，∴MN′=ON′-ON=4-2=2∴点N移动距离为2（2）如图1所示，在△OAN和△AMN中，∠AON=∠MAN，∠ANO=∠MNA，∴△AON•∽△MAN，∴ANMN=ONAN，∴AN2=ON·MN(1) (2) （3）如图2所示，过A作AH⊥OP于点H．∵MN=ON-OM=x-y，∴AN2=ON·MN=y（y-x）=y2-xy在Rt△AOH中，OH=OA·cos60°=2×12=1∴AH=OA·sin60°3∴HN=ON-OH=y-1在△ANH中，AN2=AH2+HN2=32+（y-1）2=y2-2y+4，∴y2-xy=y2-2y+4，整理得y=42x．∵y>O ∴2-x>O ∴x<2 又∵x ≥O∴x 的取值范围是O ≤x<2（4）如图2所示，在△AOM 中，OM 边上的高AH 为，∴S=12OM ·AH=12·x 2x∵S 是x ∴S 随x 的增大而增大∴O ≤ 【规律总结】本题通过作OM 边上的高AH ，从而将其转化为解直角三角形问题，在解有关综合性问题时，要注意挖掘隐含条件，合理运用相应知识，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系沟通各知识点间的联系．中考试题归类解析（一）锐角三角函数 【例1】（2003，大连）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则B 的值为（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34【思路分析】由勾股定理可知AB=5，根据锐角三角函数的定义可知cosB=35BC AB 解：答案B 【例2】（2003，南京）在△ABC 中，∠C=90°，tanA=1，那么cotB 等于（ ）A C ．1 D ．3【思路分析】由互为余角的三角函数关系可知：cotB=tanA=1 解：答案C【规律总结】本题也可由tanA=1得到∠A=45•°，•所以∠B=•45•°，• 故cotB=cot45°＝1【例3】（2003，黄冈）已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ） A ．0°∠A ≤60° B ．60°≤A ∠90° C ．0°∠A ≤30° D ．30°≤A ∠90°【思路分析】锐角三角函数的余弦值随角度的增大而减小，因为∠A 为锐角，所以O<cosA ≤12，即cos90°<cosA ≤cos60°，所以60°≤A<90° 解：答案B【例4】（2004，山西）计算：sin 248°+sin 242°-tan44•°·•tan45•°·•tan46•°=_______．【思路分析】利用互为余函数的关系化为同角函数，再利用同角三角函数公式就可求出值．【解】sin 248°+sin 242°-tan44°·tna45°tan46°=sin 248°+cos 248°-tan44°·cot44°tan45° =1-1×1 =0 故应填：0【规律总结】解决这样的问题一是要善于互化函数，往公式上靠，二是特殊角的三角函数值要记住．【例5】（2004，宁波）计算：（π-3）°-（12）-2+（-1）3-sin 245° 【思路分析】按运算法则和运算顺序直接计算即可． 【解】（π-3）°-（12）-2+（-1）3-sin 245° =1-211()2+（-1）3-（2）2 =1-4-1-12=-412【规律总结】在中考题中象这样代数值的运算和三角函数值的运算结合在一起的比较多．（二）解直角三角形【例1】已知如图所示，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．【求证】S △ABC =12absinc=12bcsinA=12casinB ． 【思路分析】要求面积关键是作高，构造出直角三角形利用锐角三角函数的定义加以理解．【证明】过A 点作AD ⊥BC 垂足为D 在Rt △ABD 中，sinB=ADAB∴AD=AB ·sinB=c ·sinB∴S=12AD ·BC=12ac ·sinB 同理可证，S=12absinc=12bcsinA【例2】如图，若CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=_____．【思路分析】先利用勾股定理求出AC 长再利用相似比就可求出BC 【解】∵AC 2=AD 2+DC 2 而AD=3 CD=4 ∴AC=3234+=5 Rt △CDA ∽Rt △BDCAD CD =ACBCBC=542033AC CD AD ⨯⨯==故应填：203【规律总结】：本题也可以利用射影定理去解．【例3】一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，周围4.8海里范围内是水产养殖场，渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C•在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘船是否有进入养殖场的危险． 【思路分析】是否有进入养殖场的危险就是看C 点到BD 的距离是多少，•如果大于4．8海里就没有进入养殖场的危险，否则就有危险．【解】过C 点作BD 的垂线与BD 交于E 点 ∠BAC=60°-45°=15° ∠BCA=45°-30°=15° 在Rt △CBE 中， sin ∠CBE=CEBCCE=BC·sin∠CBE=10×1 2=5（海里）∵4.8<5∴没有进入养殖场的危险．【规律总结】这种类型题关键是要构建直角三角形计算距离，再根据距离大小来判断是否有危险．中考试题集萃（一）填空题1．（2004，宁波）sin45°=________．2．（2004，衡阳）∠A为锐角，若cosA=13，则sin（90°-A）=_______．3．（2004，芜湖）在直角三角形ABC中，∠C=90°，已知sinA=35，则cosB=________．4．（2004，常州）若∠α′的余角是30°，则∠α′=_______°，sin∠α′=________． 5．（2004，江西）在△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则cosA=________．6．（2004，沈阳）在Rt△ABC中∠C=90°，tanA=23，AC=4，则BC=_______．7．（2004，上海）在△ABC中，∠A=90°，设∠B=θ，AC=b，则AB=______．（用b和θ的三角比表示）8．（2004，深圳）计算：3tan30°+cot45°-2tan45°+2cos60°=________．9．（2004，西宁）某人沿倾斜角为β的斜坡走了100m，则他上升的高度是______m． 10．（2004，潍坊）某落地钟钟摆的摆长为0.5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆运过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则b-a=_______m（不取近似值）．（二）选择题1．小强和小明去测量一座古塔的高度（如图）他们在离古塔60m•的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5m，则古塔BE的高为（• ）A．（203-1.5）m B．（203+1.5）mC．31.5m D．28.5m2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化3．用科学计算器计算锐角α的三角函数值时，•不能直接计算出来的三角函数值是（ ）A ．cot αB ．tan αC ．cos αD ．sin α 4．计算sin30°·cot45°的结果是（ ）A ．12B ．2C ．6D ．45．=（ ）A ．1-3 B -1 C ．3-1 D ． 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，cosA=1213，则tanA 等于（ ） A ．513 B ．1312 C ．125 D ．5127．已知α为锐角，tan αcos α等于（ ）A ．12B ．2C 8．在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则cosB 的值为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．39．在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，CA=4，那么sinA 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．45（三）解答题1．（2004，芜湖）在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，，AB=10，•求△ABC 的面积．2．（2004，大连）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，•中柱CD=1m，∠A=72°，求跨度AB的长（精确到0.01m）．3．（2004，南京）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°，已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度．（结果保留根号）．4．（2004，贵阳）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时，问：（1）超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（•结果保留整数，•参考数据：sin32°≈53100，cos32°≈106125，tan32°≈58）5．（2004，济南）如图表示一山坡路的横截面，•CM•是一段平路，•它高出水平地面24m，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100m，•把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01m）（1）求山坡路AB的高度BE．（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）答案:一、填空题1．222．133．354．60°，325．236．837．b·cos或tanb83．100sinβ 10．12（1-cos10°）•二、选择题1．B 2．D 3．A 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．C 三、解答题1253 32．3.93m3．解：作CD⊥AB，垂足为D，设气球离地面的高度是xm在Rt△CBD中，∠CAD=45°∴AD=CD=x在Rt△CBD中，∠CBD=60°∴cot60°=BD CD∴BD=3 3∵AB=AD-BD，∴20=x-33x∴x=30+103．答：气球离地面的高度是（30+103）m．4．（1）如图设CE=x米，则AF=（20-x）米，tan32°=AFEF，即20-x=15·tan32°x=11∵11>6，∴居民住房的采光有影响．（2）如图：tan32°=ABBF，BF=20×85=32两楼应相距32米．5．（1）在Rt△ABE中BE=ABsin∠BAE=100sin5°=100×0.0872=8.72（米）．（2）在Rt△CBH中CH=CF-HF=15.28BC=sin CH CBH ∠=15.28sin12︒≈73.497在Rt△DBI中DB=sin DIDBI∠=15.28sin5︒≈175.229∴DB-BC≈175.229-73.497=101.732≈101.73（米）．。
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案
在 Rt△ ABE 中，AE= AB2 BE 2 =6 ，
∴ coaA= AE 6 4 ． AB 7.5 5
（2）如图 2 中，作 PH⊥AC 于 H．
∵ PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t， ∴ PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，
∵ S△ PQM= 9 S△ QCN， 5
∵ ∠ QOC+∠ QOG=90°，
∴ ∠ EOC=∠ QOG，
∴ tan∠ EOC=tan∠ QOG，
∴ EC GQ ， OC OG
8 5t 3t
∴
4 5 ， 3 44t
5
整理得：5t2-66t+160=0，
解得 t 16 或 10（舍弃） 5
∴ 当 t 16 秒时，OE⊥OQ． 5
【点睛】
【答案】（1） t=4s ；（2） S四边形PEGO
3t2 8
15 t 8
6
， (0
t
5) ；（3） t
5 2
时，
S四边形PEGO
取得最大值；（4）
t
16 5
时，
OE
OQ
.
【解析】
【分析】
（1）当点 E 在∠ BAC 的平分线上时，因为 EP⊥AB，EC⊥AC，可得 PE=EC，由此构建方程
即可解决问题．
可解决问题．
【详解】
（1）在 Rt△ ABC 中，∵ ∠ ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴ AC= 102 82 =6（cm），
∵ OD 垂直平分线段 AC， ∴ OC=OA=3（cm），∠ DOC=90°， ∵ CD∥ AB，
∴ ∠ BAC=∠ DCO，
直角三角形的边角关系测试题(含A组答案)
直角三角形的边角关系测试题一、选择题(每小题2分,共计24分):1．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ） A ．sin a c B = B ．cos a b B = C ．tan c a B = D ．tan a b A =2. 已知△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且（cosA-12 ）2+|tanB-3 |=0，你认为最确切的判断是( )A.△ABC 是等腰三角形B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是等边三角形 3.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=12，则sinB 等于( ) A 、15 B 、15 5 C 、25 5 D 、24. 当锐角A 的cosA ＞22时，∠A 的值为（ ）。
A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°5.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D′处，那么tan ∠BAD′等于（ ） A. 22 B.22C. 2D. 16.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则tan C ＝（ ）A ．53B ．54C ．34D ．437.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC ＝4，BC ＝3，则sin ∠ACD的值为（ ）A ．34 B ．43 C ．54 D ．538．如图，从山顶A 望到地面C ，D 两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD ＝100m ，点C 在BD 上，则山高AB 等于 （ ）A ．100 mB ．350mC ．250mD ．50（13+）m9.如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）5题 6题7题 8题A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米D ．500tan35°米10.如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ ）。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 测试题 (含答案)
直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。
第一章《直角三角形的边角关系》单元测试题(含答案)
第一章 直角三角形的边角关系一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，那么sin A 的值为( )A.12B.22C.32 D ．1 2．在△ABC 中，∠C ，∠B 为锐角，且满足⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，则∠A 的度数为( )A ．100°B ．105°C ．90°D ．60°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，cos A ＝14，则AC 等于( )A ．45B ．5 C.15 D.1454．在Rt △ABC 中，如果边长都扩大为原来的5倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值( )A ．都没有变化B ．都扩大为原来的5倍C ．都缩小为原来的15D ．不能确定5．如图1－Z －1，过点C (－2，5)的直线AB 与坐标轴分别交于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB 的值为( )图1－Z －1A.25B.23C.52D.326．如图1－Z －2①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿AB 的长应设计为(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19)( )图1－Z －2A ．38.1 cmB ．49.8 cmC ．41.6 cmD ．45.3 cm 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝14，则tan B ＝________．8．如图1－Z －3，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________．图1－Z －39．如图1－Z －4，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．图1－Z －410．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图1－Z －5，在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为________米．图1－Z －511．已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，则△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，共56分) 12．(8分)计算：24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.13．(10分)如图1－Z －6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43.求：(1)BD 的长； (2)sin B 的值．图1－Z －614．(12分)某大坝修建有以下方案：大坝的横断面为等腰梯形，如图1－Z －7，AD ∥BC ，坝高10米，迎水坡面AB 的坡度i ＝53，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度i ＝56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB 的长(结果保留根号)；(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7米，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米．图1－Z －715．(12分)“和谐号”高铁列车的小桌板收起时可近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平，其示意图如图1－Z －8所示．连接OA ，此时OA ＝75 cm ，CB ⊥AO ，∠AOB ＝∠ACB ＝37°，且桌面宽OB 与BC 的长度之和等于OA 的长度．求支架BC 的长度(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)．图1－Z －816．(14分)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)．如图1－Z －9①，在△ABC 中，AB ＝AC ，底角∠B 的邻对记作can B ，这时can B ＝底边腰＝BCAB .容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝________；(2)如图②，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，can B ＝85，S △ABC ＝24，求△ABC 的周长．图1－Z －9详解详析1．[解析] A ∵∠C ＝90°，AB ＝2BC ，∴sin A ＝BC AB ＝12.故选A.2．[解析] B ∵⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，∴sin C －22＝0，32－cos B ＝0，则sin C ＝22，cos B ＝32，故∠C ＝45°，∠B ＝30°，∴∠A ＝180°－45°－30°＝105°.故选B. 3．[答案] B4．[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变． 5．[解析] B 方法1：设直线AB 的表达式是y ＝kx ＋b .根据题意，得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝5，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝2，则直线AB 的表达式是y ＝－32x ＋2.在y ＝－32x ＋2中令y ＝0，解得x ＝43.则点B 的坐标是(43，0)，即OB ＝43.则tan ∠OAB ＝OB OA ＝432＝23.故选B.方法2：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∵C (－2，5)， ∴CD ＝2，OD ＝5.∵A (0，2)，∴OA ＝2， ∴AD ＝OD －OA ＝3.在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23.故选B.6．[解析] C 连接BD ，由题意得OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵∠DOB ＝100°，∴∠DAO ＝∠ADO ＝50°，∠OBD ＝∠ODB ＝40°，∴∠ADB ＝90°.又∵BD ＝32 cm ，∴AB ＝BD sin ∠DAO ≈320.77≈41.6(cm)．故选C. 7．[答案] 158．[答案] 12[解析] 过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图，在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝2，则tan ∠AOB ＝AD OD ＝12. 9．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，垂足是E ，∴△AED 为直角三角形，则sin A ＝DE AD ，即35＝6AD ，∴AD ＝10，∴菱形ABCD 的周长为10×4＝40.10．[答案] 9[解析] 过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意可知，四边形ACDE 为矩形，则AE ＝CD ＝6米，AC ＝DE .设BE ＝x 米．在Rt △BDE 中，∵∠BED ＝90°，∠BDE ＝30°，∴DE ＝3BE ＝3x 米，∴AC ＝DE ＝3x 米． 在Rt △ABC 中， ∵∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝3AC ＝3×3x ＝3x (米)． ∵AB －BE ＝AE ，∴3x －x ＝6， ∴x ＝3，∴AB ＝3×3＝9(米)， 即旗杆AB 的高度为9米． 11．[答案] 8或24[解析] △ABC 有两种情况：(1)如图①所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD＝23BD ＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8；(2)如图②所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD ＝23BD ＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.综上所述，△ABC 的面积为8或24.12．解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32 ＝14＋34－36＋ 3 ＝1＋5 36.13．[解析] (1)根据在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43，可以求得AD 的长，从而可以求得BD 的长；(2)由(1)中BD 的长和题目中CD 的长可以求得BC 的长，从而可以求得sin B 的值．解：(1)∵在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝8，tan A ＝43，∴tan A ＝CD AD ＝43，解得AD ＝6，∴BD ＝AB －AD ＝22－6＝16.(2)由(1)知BD ＝16，∵CD ⊥AB ，CD ＝8， ∴BC ＝CD 2＋BD 2＝82＋162＝8 5，∴sin B ＝CD BC ＝88 5＝55.14．[解析] (1)过点B 作BF ⊥AD 于点F ，在直角三角形ABF 中求得AF ，AB 的长； (2)过点E 作EG ⊥AD 于点G ，延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN . 由S △ABE ＝S 梯形CMND 从而求得DN 的长．解：(1)如图，过点B 作BF ⊥AD 于点F . 在Rt △ABF 中，∵i ＝BF AF ＝53，且BF ＝10米，∴AF ＝6米，∴AB ＝102＋62＝2 34(米)．答：原方案中此大坝迎水坡AB 的长为2 34米． (2)如图，过点E 作EG ⊥AD 于点G . 在Rt △AEG 中，∵i ＝EG AG ＝56，且EG ＝BF ＝10米，易得AG ＝12米，BE ＝GF ＝AG －AF ＝6米． 延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN .∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变， ∴S △ABE ＝S 梯形CMND ， ∴12·BE ·EG ＝12(MC ＋ND )·EG ， 即BE ＝MC ＋ND ，∴ND ＝BE －MC ＝6－2.7＝3.3(米). 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3米．15．解：延长CB 交AO 于点D ，∴CD ⊥OA . 设BC ＝x cm ，则OB ＝(75－x )cm. 在Rt △OBD 中，∵∠DOB ＝37°， ∴OD ＝OB ·cos ∠DOB ≈0.8(75－x )＝(60－0.8x )cm ，BD ＝OB ·sin ∠DOB ≈0.6(75－x )＝(45－0.6x )cm ，∴DC ＝BD ＋BC ≈(0.4＋45x )cm.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝37°，∴AD ＝DC ·tan ∠ACD ≈0.75(0.4x ＋45)＝(0.3x ＋33.75)cm. ∵OA ＝AD ＋OD ＝75 cm ，∴0.3x ＋33.75＋60－0.8x ＝75， 解得x ≈37.5， ∴BC ≈37.5 cm ，故支架BC 的长度约为37.5 cm. 16．解：(1) 3(2)过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵can B ＝85，可设BC ＝8x ，AB ＝5x ，则BE ＝12BC ＝4x ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝3x .∵S △ABC ＝24， ∴12BC ·AE ＝12x 2＝24， 解得x ＝2(负值已舍去)，故AB ＝AC ＝5 2，BC ＝8 2， ∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝5 2＋5 2＋8 2＝18 2.。
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直角三角形的边角关系（习题）
➢要点回顾
1.默写特殊角的三角函数值：
2.三角函数值的大小只与角度的有关，跟所在的三角形
放缩（大小）没有关系．
3.计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在
中研究，常利用或两种方式进行处理．➢例题示范
例：如图，在△ABC 中，∠B=37°，∠C=67.5°，AB=10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41）
如图，过点A 作AD⊥BC 于点D，
由题意AB=10，∠B=37°，∠C=67.5°
在Rt△ABD 中，AB=10，∠B=37°，
sin B =AD
，cos B =
BD AB AB
∴AD=6，BD=8
在Rt△ADC 中，AD=6，∠C=67.5°，
tan C =
AD
CD
∴CD=2.49
∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5
即BC 的长约为10.5．
从下面书写板块的名称中选取合适的内容，写到对应的横线上．
①得出结论；
②解直角三角形；
③准备条件．
1
2
➢巩固练习
1.在Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2 倍，那么锐
角A 的正弦值（）
A．扩大2 倍B．缩小2 倍C．没有变化D．不确定2.在Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=3，BC=5，则sin A 的值为
（）
A.
3
5
B.
4
5
C．
5 34
34
D．
3 34
34
3.在△ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且
⎛1 ⎫2
sin A - + - cos B ⎪
⎝⎭
= 0 ，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
4.若∠A 为锐角，且cos A 的值大于
1
，则∠A（）
2
A．大于30°B．小于30°
C．大于60°D．小于60°
5.已知β为锐角，且
3
A．30︒≤β≤60︒
C．30︒≤β< 60︒
≤tan β< ，则β的取值范围是（）
B．30︒<β≤60︒
D．β< 30︒
6.如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE=α，
若cosα=
3
，AB=4，则AD 的长为（）
5
A．3 B．
16
3
C．
20
3
D．
16
5
第6 题图第7 题图
7.如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，若cos A =
3
，BE=2，则
5
tan∠DBE= ．
2
3
2
3
3
8.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=6，BC=2，则cos A=
．9. 在△ABC 中，∠A=120°，若AB=4，AC=2，则sin B= ．
10.如图，在△ABC 中，AB=A C，∠A=45°，AC 的垂直平分线分
别交AB，AC 于D，E 两点，连接CD．如果AD=1，那么
tan∠BCD= ．
第10 题图第11 题图
11.如图，在△ABC 中，若∠C=90°，sin B =
3
，AD 平分∠CAB，
5
则sin∠CAD= ．
12. 如图，在△ABC 中，∠C=75°，∠BAC=60°，AC=2，AD 是
BC 边上的高，则△ABC 的面积为，AD 的长为．
第12 题图第13 题图
13.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值
为（）
A．
1
2
14.计算：
B. 5
C. 0 10
D. 2
5
5
（1）6 tan2 30︒- 3 sin 60︒+ 2 tan 45︒；（2 cos 30︒- sin 45︒；
）
sin 60︒- cos 45︒
3
12 sin 60︒ 1- 2 tan 60︒+ tan2 60︒ ⎪ ⎛1 ⎫
（3）(
-2 -1)0 -+；
tan 45︒⎝3 ⎭
（4）- tan 60︒．
15.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD；
（2）若sin C =12
，BC=12，求AD 的长．13
16. 如图，在△ABC 中，∠A=26.6°，∠B=45°，AC= 2
的长．（参考数据：tan26.6°≈0.50）
5 ，求AB
4
3
4 + 2 3 ( 3 +1) 2 ➢ 思考小结
1. 30°，45°，60°，120°，135°，150°都属于我们常用的特殊角，
在解直角三角形中经常用到．
120°，135°，150°经常使用它们的补角构造直角三角形，如右图 1．
2. 解直角三角形的常考形式
直角三角形：“一角一边”求其余元素
非直角三角形：“两角一边”求其余元素，往往通过构造直角三角形，把已知角度信息放到直角三角形求解，如右图 2 （α，β，m 已知）．
3. 我们已经知道 30°，45°所在的直角三角形的三边关系之比，
借助这个内容，可以推导 15°和 22.5°所在的直角三角形的三边关系之比，如何推导呢？
如图 1，通过延长 CB 到 D ，使得 BD =AB ，可以构造 15°角， 根据三边关系填空．（已知 = = 3 +1 ）
类比上述内容，请你画出研究 22.5°角所在的直角三角形所需图形并填空．
tan22.5°= ；tan67.5°= ．
（可跟随堂测试题目 3 的方法进行对比）
5
4.探索思考下面的结论，尝试在下面两个图形中证明结论：
若tanα=1
，tanβ=
1
，则α+β=45︒．（标注信息，简要写2 3
出思路）
6
【参考答案】
➢要点回顾
1.
α30°45°60°
正弦sin α1
2
2
2
3
2
余弦cos α
3
2
2
2
1
2
正切tan α
3
3
1 3
2.大小
3.直角三角形，转移、构造
➢巩固练习
1. C
2. C
3. D
4. D
5. C
6. B
7. 2
8. 2 2 3
9.
21 14
10. 2 -1
11.
5 5
12. 3 +
2
3
，
2 + 6
2
13. B
14. （1）5
2
；（2）1；（3）7；（4）-1
15. （1）证明略；（2）8
16. 6
7
3 3 2 ➢ 思考小结
3. 2 - ， 2 + ， 6 - 2 ； 4
-1， +1
4. 证明略
8 2。