_弹塑性断裂力学
弹塑性断裂理论简介
弹塑性断裂理论简介线弹性断裂力学是建立在线弹性力学基础上的，传统断裂力学理论认为，它没能考虑裂纹尖端附近塑性性区的影响，因而只适用于高强度（钢）脆性材料，对于工程中大量使用的中、低强度钢等具有较好塑性的材料是不适用的。
为了将应力强度因子推广到裂纹尖端有小范围塑性区的情况，人们推出了应力强度因子塑性区的修正方法，但适用性并不理想。
为了研究塑性材料的断裂问题，又产生了断裂力学的另一个分支——弹塑性断裂力学。
1. COD 原理及其判据Wells 根据裂纹尖端附近产生大范围屈服时，在裂纹尖端出现钝化，裂纹侧面随着外载增加逐渐张开的现象，提出来是否可用裂纹尖端的张开位移作为控制裂纹失稳扩展的参量。
裂纹的张开位移定义为承受外载情况下裂纹体的裂纹尖端沿垂直于裂纹方向产生的位移，一般用δ表示。
在裂纹失稳扩展的临界状态下，临界的COD 用c δ表示。
c δ也是材料的断裂韧性，是通过实验测定的材料常数。
COD 原理的基本思想是:把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移δ作为一个参量，而把裂纹失稳扩展时的临界张开位移c δ作为材料的断裂韧性指标，用c δδ=这个判据来确定材料在发生大范围屈服断裂时构件工作应力和裂纹尺寸间的关系。
2. J 积分理论1968年，Rice 提出了J 积分理论。
对于二维问题，J 积分的定义如下:⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-Γ=ds x v T x u T Wdy J y x （2-1） Γ--积分回路;ds --Γ上的弧元素;W --应变能密度;y x T T ,--应力分量;v u ,--位移分量;其中，积分回路的起点和终点分别位于裂纹的下表面和上表面，为逆时针回路，如图2-1所示。
J 积分的单位为MPa* mm 。
图2-1 裂纹尖端J 积分路径J 积分是围绕裂纹尖端的闭合曲线积分，在线弹性情况下有:E2I I K G J == （平面应力） （2-2） )1(E22I I v K G J -== （平面应变） （2-3） J 积分断裂准则可表述为:c J J = （2-4）其中，Jc 为裂纹扩展达到临界状态时的J 积分临界值。
11-弹塑性断裂力学1
4 KI 4 GI E s s
2
Dugdale 和Barrennlett 分别通过对中心裂纹薄板拉伸实验研究，提出了 裂纹尖端塑性区呈现尖劈带状特征的假设（简称D－ B模型）：
（1）裂纹尖端区域的塑性区沿裂纹线两边延伸呈尖劈带状； （2）塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区 所包围； （3）塑性区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σ s.
1 n 1
( 6)
式中，I n 仅与n 有关；对I 型、 II 型、混合型、平面应力和 ~ ~、 ij ij ( , n) 、 平面应变情况下的HRR 场 I n 及角分布函数( , n)
~ ui ( , n)
的数据由Symington 给出。
Rice J 积分理论
HRR 场特点: (1) HRR 场中应力的奇异性为 r , 应变的奇 n 异性为 r n 1 。当n=1时，HRR 场退化为K 奇异场。
于是，原模型（见图a）可以用图（b）所示模型代替：它承受远场拉 应力σ作用，裂纹长度从2a延长到2c (其中塑性区尺寸R=c-a),在延伸裂 纹长度上作用有均匀拉应力σs。这是一个线弹性裂纹问题，其裂尖应 力为有限值(要求KI＝0)。在这里，原裂尖的张开位移就是COD.
利用无限大板中心裂纹应力强度因子公式： KI
Rice 的J 积分定义:
u J (Wdy T ds) x
式中： u 是位移矢量； y 是在垂直于裂纹面方向上的距离； s 积分路径的弧长； T 是应力矢量； w 是应变能密度； Γ 是包含裂纹尖端的、始点源于裂纹面下表面、终止于裂 纹面上表面的任一线积分路径。
弹塑性断裂力学
1)回路积分定义，围绕裂尖周围区域的应力、 应变和位移场所组成的围线积分(场强度)。
2)形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对 试样所作的形变功率(实验测定)。
4 J积分
二、J积分回路定义及守恒性
1．J积分回路定义
J Γwdx2Ti u x1i ds
B
G：围绕裂尖一条任意逆时针回 A
2)Paris位移公式
在裂纹面需求张开位移点虚加一对力F1，则
limV
F10 F1 在恒载荷作用下(单位厚度板)
G I V a F V ( F ， F 1 ， ) V 0 ( F ， F 1 ) 0 G I d a
V0(F， F1)为无裂纹体应变能，为裂纹扩展长度
2 基本假定和应用范围
承认结构中含有宏观裂缝，而远离裂缝缝端的广大区域仍假定为均匀连续体。既 均匀性假设仍成立，但仅在缺陷处不连续。断裂力学应用的前提是结构发生低应力脆 断，故其应用范围是，材料本身的微观结构对脆断敏感，且有拉（剪、扭）应力在起 用的带宏观裂缝的缺陷体。可见，断裂力学只处理和裂缝有关的问题，不可代替传统 的强度设计和校核，只是在出现宏观裂缝的条件下对传统理论的补充和发展。
2 裂尖塑性区的形成
➢ 上述塑性区尺寸按Irwin弹性应力 场公式得到， y 0 曲线如右图虚 线ABC所示。实际上，由于材料
y A
塑性变形，导致塑性区内应力重 新分布，产生应力松弛。考虑静
ys D B E
力平衡，应力松弛必然引起塑性
区扩大。对于理想塑性材料
， ymax
ys
如图中实线所示
➢ 根据力平衡，曲线AB下的面积
ys x
塑性区尺寸
R c a a s2 π es c 1 a 2 2 π s 2 π 8 K s I 2
第七章弹塑性断裂力学简介详解
； xy =0
5
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy =0
对于平面问题，还有： yz=zx=0；
sz=0 sz=(sx+sy)
则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
s1 =s 2 =
K1
2p r
；
s3=20 K1/
2p r
平面应力 平面应变
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
sys
B A
假定材料为弹性-理想塑性，
D K
屈服区内应力恒为sys，应力分
o rp
x
布应由实线AB与虚线BK表示。 a
与原线弹性解(虚线HK) 相比较，少了HB部分大 于sys的应力。
8
TAhBeHs区im域pl表e a示na弹ly性sis材as料ab中o存ve在is
sy H
n的ot力st，ric但tl因y c为or应re力ct 不be能cau超se过it屈was
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
K1 / 2p rp = s ys (1- 2)K1/ 2prp = s ys
(平面应力) (平面应变)
故塑性屈服区尺寸rp为：
rp=
1 2p
(
sKy1s)2
rp = 21p(sKy1s)2(1-2)2
线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于 无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不 可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的 材料必然要进入塑性，发生屈服。
2
第二章 弹塑性断裂力学
J积分的第一项:
Wdy
/2
Wr
/ 2
cos d
(1
v)(1 4E
2v)
K2
J积分的第二项(平面应变状态下)：
Tx
ux x
Ty
uy y
ds
1
v3
4E
2v
K2
所以，有J积分：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(1
v)(1 4E
2v)
K2
1
v3 2v
4E
K
2
1 v2 E
K2
G
类似的，平面应力状态下有：
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
BC
(Wdy
T
i
ui x
ds)
(Wdy DA
T
i
ui x
ds)
(2.7)
由于在BC和DA段上dy 0及 Ti 0，所以(2.7)中后两个积分为零,即：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
所以J积分与路径无关。
J积分理论
J积分使用范围的前提条件：
ui x
ds]
应用Green公式，上式可写成：
I
W
x
dxdy
xi
ij
ui x
dxdy
(2.4)
J积分理论
又
W
x
W ij ij x
ij
ij
x
ij
x
1 2
ui,
j u j,i
混凝土弹塑性断裂力学概述
混凝土弹塑性断裂力学概述与线弹性体不同的是，当含裂缝的弹塑性体受到外荷载作用时，裂缝尖端附近会出现较大范围的塑性区，线弹性断裂力学将不再适用，而需要采用弹塑性断裂力学的方法。
弹塑性断裂力学的主要任务，就是在考虑裂缝尖端屈服的条件下，确定能够定量描述裂缝尖端场强度的参量，进而建立适合工程应用的断裂判据。
目前应用最广泛的包括裂缝尖端张开位移（Crack Opening Displacement，COD）（Wells，1962）理论和J积分理论（Rice，1968a，b）。
一、Orowan对Griffith理论的改进试验证实，Griffith理论只适用于理想脆性材料的断裂问题，实际上绝大多数金属材料在裂缝尖端处存在屈服区，裂缝尖端也因屈服而钝化，使得Griffith 理论失效。
在Griffith理论提出二十多年之后，Orowan（1948）和Irwin（1955）通过对金属材料裂缝扩展过程的研究指出：弹塑性材料在其尖端附近会产生一个塑性区，该区域的塑性变形对裂缝的扩展将产生很大的影响，为使裂缝扩展，系统释放的能量不仅要供给裂缝形成新自由表面所需的断裂表面能，更重要的是需要提供裂缝尖端塑性流变所需的塑性应变能（通常称为“塑性功”）。
所以，“塑性功”有阻止裂缝扩展的作用。
裂缝扩展单位面积时，内力对塑性变形所做的“塑性功”称为“塑性功率”，假设用Γ表示，则对金属材料应用Griffith理论时，式（2.4b）和式（2.5）应修正为对于金属材料，通常Γ比γ大三个数量级，因而γ可以忽略不计，则式（2.33）和式（2.34）可改写为以上即为Orowan把Griffith理论推广到金属材料情况的修正公式。
以上是针对平面应力状态讨论的，当平板很厚时，应视为平面应变状态，只要把上述公式中的E用代替即得平面应变状态下相应的解。
二、裂缝尖端的塑性区金属材料裂缝尖端会形成塑性区，裂缝扩展所需要克服的塑性功在量级上可高达断裂表面能的三个数量级。
第七章弹塑性断裂力学简介
利用E(k)的近似表达，Q可写为：
1.64 = + Q [1 1.47(a / c) - 0.212( s / s ys ) 2]1/ 2
s / s ys 越大， Q越小，K越大，裂尖屈服区越大。
18
例7.2 某大尺寸厚板含一表面裂纹，受远场拉应力s 作用。材料的屈服应力为sys=600MPa, 断裂韧 性K1c=50MPam1/2，试估计：
R为：
o rp R a
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
K 1 R= p ( s 1 ) 2 = 2 r p ys
10
依据上述分析，并考虑到平面应变时三轴应力作 用的影响，Irwin给出的塑性区尺寸R为： K1 2 1 1 R=2 rp = ap ( ) a = s ys 2 2 (平面应力) (平面应变)
(7-4)
上式指出： 裂纹尖端的塑性区尺寸R 与(K1/sys)成正比； 平面应变时的裂尖塑性区尺寸约为平面应力 情况的1/3。
11
Most of the classical solution in fracture 一般地说，裂纹前的条件既不是平面
mechanics reduce the problem to two dimensions.
线弹性分析给出的应力强度因子误差越大。
16
3. 小范围屈服时表面裂纹的K修正
无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为：
M f s p a 前表面修正系数通常取为Mf=1.1； K1 = E(k)是第二类完全椭圆积分。 E(k)
考虑裂尖屈服，按Irwin塑性修正， 1.1 s p (a + rp) 用a+ rp代替原裂纹尺寸a，故有： K1 = E(k) 无限大体中半椭圆表面裂纹最深处处于平面应变状 态，故由(7-4)式知： K1 2 1 rp = ( ) 4 2p s ys
第06讲：弹塑性断裂力学基本概念
J积分与COD的关系
取Dugdale模型弹塑性的边界ABC作为
积分路径。
J
u Wdy Ti i ds ABC x
沿AB、BC段： dy 0, ds dx, Ti ys 代入上式得：
J ys
Dugdale模型是在材料理想弹塑性的假设前提下得到的，实际上 材料都存在硬化现象。J积分与COD更一般的关系为：
针对这些情况，必须采用弹塑性力学观点研究。
3
弹塑性断裂力学简况
用弹塑性力学的理论研究裂纹扩展规律及断裂问题 的学科叫弹塑性断裂力学。
弹塑性断裂力学的要解决的中心问题是：如何在大 范围屈服的条件下，确定出能定量描述裂纹尖端区 域应力应变场强度的参量，以便能用理论建立这些 参量与裂纹几何特性、外载荷之间的关系。又易于 用试验测定它们，最后建立便于工程应用的判据。 目前应用最多的是J积分和COD理论。
4
本讲内容
1
塑性力学的基本概念
J积分理论
COD理论 断裂参量小结
2
3 4
5
塑性变形过程和力学特点
弹塑性共存 加载卸载过程应力应变关系不同 塑性变形与变形历史或加载路径有关 材料的硬化或强化现象
6
塑性状态下本构关系
由于塑性应力应变关系与加载路线或加载的历史 有关。因此，离开加载路线来建立应力与全量塑性应 变之间的普遍关系是不可能的。
四个断裂参量都是描述和判断同一现象——断裂；它 们之间的关系如下：
31
G与K的关系
对于Ⅰ型裂纹：
K G E
E
2 I
其中：E E(平面应力);
E 2 (平面应变) 1
G与K之间有确定的关系，力学等价。
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c ? a / cos ?? ? a sec ??
2? s
2? s
（5）
由于塑性区尺寸 R=c-a ，将式（5）代入并化简得
R
?
? a ?sec
?
?? 2? s
?
? 1?
?
若将
sec
?? 2? s
按级数展开，则
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sec
2? s
? 1?
1 ? ??
2
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2?
s
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5 ? ??
24
? ?
2?
? ? ?
KI
?s
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（8）
将式（8）与Irwin小范围屈服下平面应力的塑性
第三章 弹塑性断裂力学
第一节 弹塑性断裂力学概述 第二节 COD理论 第三节 J积分理论
第一节 弹塑性断裂力学概述
1）线弹性断裂力学的适用范围 （1）脆性材料，如玻璃、陶瓷、岩石，及高强度钢 等材料。 （2）小范围屈服的金属材料，可用小范围屈服的塑 性修正断裂准则来计算。
2）实际中的问题 （1）大范围屈服：对中、低强度构件，其塑性区尺 寸超过了裂纹尺寸。（低温、厚截面和高应变速率 下除外） （2）全面屈服：焊接件等由于局部应力和残余应力 的作用，使局部地区的应力超过屈服应力。
s
?4 ? ?
?
当?
/? s 较小时，
??
sec
2? s
? 1?
1 ? ??
2
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2?
s
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（6）
代入式（ 6），得R的近似表达式为：
R?
a ? ?? ? 2
2
? ?
2?
s
? ?
（7）
考虑到无限大平板有中心穿透裂纹时，? ? a ? KI，有：
R
?
?
8
? ? ?
KIБайду номын сангаас
?s
?2 ? ?
?
0.39
（2）带状塑性区的大小 R
假想地把塑性区挖去，在弹性区与塑性区界面上
加上均匀拉应力 σs ，于是得到如图 2b所示的裂纹长度 为2c，在远场应力 σ和界面应力 σs作用下的线弹性问
题。
此时裂纹尖端点 c的应力强度因子 KIC 应由两部分组
成：一是由远场均匀拉应力 σ产生的 KI?1，? 另一个是由 塑性区部位的“裂纹表面”所作用的均匀应力 σs所产
（2）在大范围屈服条件下，确定出能定量描述裂纹尖 端区域弹塑性应力、应变场强度的参量，以便既能用 理论建立起这些参量与裂纹几何特征、外加载荷之间 的关系，又易于通过实验来测定它们，并最后建立便 于工程应用的断裂准则。
第二节 COD理论
1）COD定义
1961 年Wells提出 COD理论。 COD 是英文（ Crack Opening Displaement ）的缩写，其意是“裂纹张开位 移”。指裂纹体受载后，裂纹尖端垂直于裂纹方向上 产生的张开量，就称主裂纹（尖端）张开位移，通常 用δ表示。
（1）D-B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹线两边 延伸呈尖劈带状；塑性区的材料为理想塑性状态，整 个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围；塑性
区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力 σs 。
于是，可以认为模型在远场均匀拉应力 σ作用下
裂纹长度从 2a延长到2c，塑性区尺寸 R=c-a，当以带 状塑性区尖端点 c为“裂尖”点时，原裂纹（ 2a）的 端点的张开量就是裂纹尖端张开位移。
但是由于裂纹尖端的钝化，很难确切地指出原 裂纹尖端的位置，因而亦难确定裂纹尖端的张开位移。
目前，有人用 2AB作为理解纹张开位移（从变形 后的裂纹顶端测量）；有人用 2CD作为裂纹张开位移 （在 D点测量， D为线弹性的直线与非线性的曲线的 交点）；有人用 2EF作为裂纹张开位移（从裂纹尖端 作450线与裂纹面相交处 F的分离的大小）。
生的 ： KI?2?
KI?1? ? ? ? c
KI?2 ?
?
?
2? ?
s
?
c
cos?1
? ??
a c
? ??
从而有： KIC ? KI?1? ? KI?2? ? ?
? c ? 2? s ?
?
c
cos?1
? ??
a c
? ??
（4）
由于c点是塑性区的端点，应无奇性，故其
K
C I
=0
，
于是代入式（ 4）得
3）Irwin小范围屈服条件下的COD
在讨论小范围屈服的塑性区修正时，曾引入有效 裂纹长度a? ? a ? ry 的概念，这意味着为考虑塑性区的影 响假想地把原裂纹 O移至O' ，OO?? ry 。这样一来当以 假想的有效裂纹尖端点作为“裂尖”时，原裂纹点 O 发生了张开位移，这个位移就是张开位移，简称为
?
?
2V
? ??
r?
ry
?
1 2?
? ???
KI ?s
?2 ???
?
4
?
KI2
E? s
?
4GI
?? s
（3）
此即为Irwin提出的小范围屈服下的 COD计算公式。 式中σs为材料的屈服极限， GI为裂纹扩展能量释放率。
4）D-B带状塑性区模型的 COD
Dugdale 通过拉伸试验，提出裂纹尖端塑性区呈 现尖劈带状特征的假设，从而得到一个类似于 Barrenblett 的模型。该模型称为 D-B模型，这是一个对 小范屈服和大范围屈服都适用的模型，可以用来处理 含中心穿透裂纹的无限大薄板在均匀拉伸应力作用下 的弹塑性断裂问题。
裂纹张开位移的定义
2）COD判据
Wells认为；当裂纹张开位移 δ达到材料的临界值 δC 时，裂纹即发生失稳扩展，这就是弹塑性断裂的 COD 准则，表示为：
δ = δC
（1）
δC是材料弹塑性断裂的韧性指标，是一个不随试 件尺寸改变的材料常数。
对于COD准则，要解决三个方面的问题：（ a） 找出裂纹尖端张开位移 δ与裂纹几何尺寸、外加载荷 之间的关系式，即 δ的计算公式。（ 2）实验测定材料 的裂纹张开位移的临界值 δC 。（3）COD准则的工程 应用。
3）弹塑性断裂力学的提出
（1）解决如何通过小试样在全面屈服条件下断裂韧度 的测试去确定中、低强度重型构件的平面应变断裂韧 度KIC。
因为用线弹性断裂力学方法测定中、低强度钢的 断裂韧度KIC ，不仅需用大型试件和大吨位的试验机， 而且还由于大锻件不同部位的 KIC差别很大，用大试 样所测得的 KIC只是一个平均值，得不出各个具体部 位的KIC值。
COD，简写为δ 。
由平面应力条件下的位移公式并代入 k ? ?3? ? ?/ ?1? ? ? 推演得：
V ? KI E
2r
?
sin
?
2
???2
?
?1 ?
?
?cos2
?
2
? ??
（2）
当以O' 点为裂尖时， O点处(即
?
?
?， r
?
ry
?
1
2?
? ? ?
KI
?s
??)2 ，
?
沿y方向的张开位移则为：