不等式学案1(学生版)
均值不等式学案
日照实验高中2014级数学导学案3.2均值不等式学案（1）【编写人】孙丽君 【审核人】张茂花【学习目标】1．通过本节探究，学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义；2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高运算能力和逻辑推理能力；3．通过本节学习，养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．【学习重点和难点】学习重点：均值不等式的推导和理解.学习难点：均值不等式成立的条件和等号成立条件的认识.【定理探究】1.探讨2a b +.2.均值定理：3.文字表述：（1）,,,______;,a b a b a b +∈R 的算数平均值是的几何平均值是_____.（2）结论：两个___数的____平均值_____它们的_______平均值.4.几何解释：____________5.公式变形及推广：（1）a b +≥_______.（2≤________,即ab ≤___________.思考：均值不等式与不等式222a b ab +≥的关系如何?【定理理解和应用】判断正误：1(1)0,2;lg lg (2)0,0,2π9(3)0,sin 6;2s 1,,1,in .4x x x y x x a b a b x y y x x x +≠+≥=+>>≥⎛⎤∈+ ⎥⎝+⎦∈=R 若则若则当时，(4)已知且则的最大值值是为的最小练一练下列函数最小值是2的是（ ）1.A y x x =+ 1.sin (0)sin 2B y x x x π=+<<.C y = 1.tan (0)tan 2D y x x x π=+<< 例1已知0ab >，求证：2b a a b+≥并推导出式中等号成立的条件.练习1已知11,,()() 4.a b a b a b +∈++≥R 求证：【课堂小结】【课后作业】1.课本 练习A 组2、3、42.练习册 均值不等式（1）。
人教A版高中数学必修五河北省张家口第三章不等关系与不等式学案
3.1 不等关系与不等式（一）一、教学目标1．通过具体实例使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组，解决实际问题。
让学生学会用数学思想来思考问题，用数学知识来解决问题。
2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．3. 培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。
二、教学重、难点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
差值比较法：作差→变形→判断差三、教学过程（一）[创设问题情境]下面的几个不等关系用什么样的不等词表示？能用简洁的数学符号表示吗？你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？1. 限速40km/h 的路标，表示汽车的速度v 不超过40km/h 。
2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%。
3. a 与b 的和是非负数。
4. 大圆1O 的半径为R ，小圆2O 的半径为r ，两圆的圆心距为d ，若两圆相交，则d 需要满足什么条件？5. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？6. 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
7. 某厂使用两种零件A 、B,装配两种产品甲乙，该厂的生产能力是甲月产量最多2500件，乙月产量最多1200件，而组装一件产品，甲需要4个A ，2个B ；乙需要6个A ，8个B 。
某个月，该厂能用的A 最多有14000个，B 最多有12000个，用不等式将甲乙两种产品产量之间的关系表示出来。
基本不等式答案
基本不等式学案(含答案)一 :基础演练1.若x>0，则x ＋2x 的最小值为________．答案：22解析：∵ x>0，∴ x ＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x ＝2时等号成立． 2. 设x<0，则y ＝3－3x －4x 的最小值为________．答案：3＋43解析：∵ x<0，∴ y ＝3－3x －4x ＝3＋(－3x)＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥3＋2（－3x ）·⎝⎛⎭⎫－4x ＝3＋43，当且仅当x ＝－233时等号成立，故所求最小值为3＋4 3.3. 若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x ＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3.4. 设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是________．答案：183解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．5. (必修5P 88例2改编)已知函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析：∵ 函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a ，∴ a ＝4.∵ x －2>0，∴ f(x)＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x ＝4时等号成立，故此函数的最小值是6. 二:典型例题例1 (1) 已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2) 已知x>0，y>0且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1) x<54，∴ 4x －5<0.∴ y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x)＋1（5－4x ）]＋3≤－2（5－4x ）1（5－4x ）＋3＝1，y max ＝1.(2) ∵ x>0，y>0且1x ＋9y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋yx ≥10＋29x y ·yx＝16，即x ＋y 的最小值为16.例2已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1) 由a ＝4，∴f(x)＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.(2) x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a>0恒成立．等价于a>－x 2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)， ∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a 的取值范围是()－3，＋∞. 例3 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：原不等式等价于(x ＋y)2≥4xy ，即(x －y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．证明：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y.原不等式等价于1x ＋1y ≥4x ＋y ，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2) 由(1)可知，1a －b ＋1b －c ≥4a －c 恒成立，而1a －b ＋1b －c ≥ka －c ，k 的最大值为4.例4 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1) 现有可围成36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2) 若使每间虎笼的面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长为xm ，宽为ym ，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝36，x>0，y>0，面积S ＝xy.由于2x ＋3y ≥22x·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时取等号．则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝18⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时，可使面积最大．(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则l ＝4x ＋6y ，且xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥2×22x·3y ＝46xy ＝4×6×24＝48(m)，当且仅当2x ＝3y 时取等号．⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝242x ＝3y⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋网的总长最小为48m.例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m 2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162xm.总造价为f(x)＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2·162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋1 2960≥1 296×2x·100x ＋12 960＝38 880元．当且仅当x ＝100x(x>0)，即x ＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴ 1018≤x ≤16.设g(x)＋x ＋100x ⎝⎛⎭⎫∴ 1018≤x ≤16，由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数，∴ 当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m ，宽为1018 m 时，总造价最低，为38 882元．三:能力提僧升1. (2013·上海)设常数a>0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析：9x ＋a 2x≥29x·a 2x ＝6a ，所以6a ≥a ＋1，即a ≥15. 2. 已知正实数x 、y 、z 满足2x(x ＋1y ＋1z )＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为________． 答案：2解析：∵ 2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，∴ 1y ＋1z ＝yz2x －x ， ∴ ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝x 2＋x ⎝⎛⎭⎫1y ＋1z ＋1yz ＝yz 2＋1yz≥ 2.3. 已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，x 、y ∈R ，则1x ＋4y 的最小值是________．答案：9解析：因为B 、C 、P 三点共线且AP →＝xAB →＋yAC →，故x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y)＝5＋y x ＋4x y≥9. 4. 若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x 、y 恒成立，则整数k 的最大值为________．答案：3解析：原不等式可化为4x y ＋9y x ≥2k 而4x y ＋9yx ≥12，∴ 2k ≤12，则整数k 的最大值为3.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011，则1a 2＋1a 2 010的最小值为________．答案：2解析：由题意得S 2 011＝2 011（a 1＋a 2 011）2＝2 011，∴ a 1＋a 2 011＝2.又a 2＋a 2 010＝a 1＋a 2 011＝2，∴ 1a 2＋1a 2 010＝12⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 2 010(a 2＋a 2 010)＝12(a 2 010a 2＋a 2a 2 010)＋1≥2.。
一元二次不等式及其解法(优秀教案1)
一元二次不等式及其解法（第一课时）一、 课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法 四、 教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系 （完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三） 合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1） 类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2） 当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、 知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、 训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组 第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。
高中数学最新学案 第3章 第10课时 基本不等式的证明(1)(学生版) 新人教A版必修5
3.4基本不等式的证明(1)【学习导航】学习要求1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.【课堂互动】自学评价１．算术平均数： ２．几何平均数３．设a ≥0,b ≥0则2a b+的关系为４．基本不等式的证明方法： 【精典范例】例1．.设a 、b 为正数, 求证明：2a b+³点评：１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法２．本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b 时成立．３．把不等式2a b+³≥0,b ≥0)称为基本不等式4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦． 例2. 利用基本不等式证明下列不等式： (1) 已知a>0,求证 a+12a³ (2).已知a, b, c ∈R , 求证: a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac .(3).已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8x y z--->点评：1..基本不等式的变形公式： (1) 222(,)a b ab a bR +澄(2) 22(,)2a b ab a b R +Ｎ(3) ,)a b a b R ++澄(4) 2()(,)2a b ab a b R ++Ｎ2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．思维点拔：1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若a i ≥0(i=1,2,…,n),12na a a n++鬃?(n>1,n ÎN)追踪训练１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．学习札记（１）２与８（２）３与１２（３）Ｐ与９Ｐ（４）２与２2p２．已知a>1求证a+11a-≥3３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥1 3４．已知a , b , c不全相等的三个正数, 且。
不等式学案
不等式认识不等式：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号＞,＜,≥,≤.2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.例1、用不等式表示： ⑴ a 是正数；⑵ b 不 是负数；⑶ c 是非负数； ⑷ x 的平方是非负数；⑸ x 的一半小于-1；⑹ y 与4的和不小于３.例2、用不等式表示： ⑴ a 与1的和是正数；⑵ x 的2倍与y 的3倍的差是非负数；⑶ x 的2倍与1的和大于—1；⑷a 的一半与4的差的绝对值不小于a.例3、当x=2时，不等式x-1＜2成立吗？当x=3呢？当x=4呢？注：检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立.练习：1．下列各式：(1)5(2)0.0010(3)9(4)320(5)1(6)5x y x y a x +>=->≠≤.其中,不等式有( )个A 3B 4C 5D 62.下列各数,是不等式32x -<的解的有( )个23,2,2,5,0,1,6,1003---A 5B 6C 7D 83.y 与3的和的一半是负数，用不等式表示为（ ）Ａ．1302y +> Ｂ．1302y +< Ｃ．1(3)02y +< Ｄ．1(3)02y +> 4．不等式23x +>-的非正整数解是（ ） Ａ．1-，2- Ｂ．0，1-，2-，3-，4- Ｄ．1-，2-，3- Ｄ．1-，2-，3-，4-5.下列说法正确的是( )A 1x =是不等式21x <的解B 不等式21x <的解是0x =C 12x =是不等式21x <的解 D 所有负数都是不等式21x <的解 6．用不等式表示：①“3a -是不大于3-的数”为________；②“x 的21与y 的2倍的和是非负数”为________. ③ “长为a +b ，宽为a 的长方形面积小于边长为3a -1的正方形的面积”为________.7．下列各数12,2,3,2,43--中,______________是不等式370x -≥的解,___________不是不等式30x +<的解.8.用“<”或“>”填空 103___53,104___54,10___5x x ++--++ 9.用不等式表示数量关系 (1)x 的相反数与13的和是正数 (2)a 不是一个负数 (3)y 的2倍加3小于5(4)y 的绝对值与2的差不大于9 (5)x 大于2-且不小于2 (6)一个数x 的平方不大于这个数的相反数不等式的解集如图：请你在数轴上表示：(1)小于3的正整数；(2)不大于3的正整数；(3)绝对值小于3大于1的整数；(4)绝对值不小于--3的非正整数； 概括：（1）、一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集. （2）、求不等式的解集的过程，叫做解不等式.（3）、不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于在左边，大于在右边.当不等号为“>”“<”时用空心圆圈，当不等号为“≤”“≥”时用实心圆圈.例1、将下列不等式的解集在数轴上表示出来.（1）x<221 （2）x 2-≥ （3）-121<x 3≤练习：写出如图所示的不等式的解集．解一元一次不等式1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是 1.像这样的不等式叫做 一元一次不等式2．不等式性质1，如果a>b ，那么a ±b______b ±c ，如果a<b ，那么a ±c_____b ±c ． 这就是说：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 b________．3．不等式性质2，如果a>b ，并且c____0，那么ac>bc ． 4．不等式性质3，如果a>b ，并且c_____0，那么ac<bc ．这就是说：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向______；•不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向________． 基础训练1.设a<b,用“〈”或“〉”号填空:(1)a+1 b+1; (2)a-3 b-3; (3)3a 3b; (4)-a _-b; (5)a+2 a+3; (6)-4a-5 -4a-3 （7）则a-2 b-1 2.(1)若m+2<n+2,则有m-1 n-1,-5m -5n ；（2）若ac 2>bc 2,则a b,-a-1 -b-1. （3）若a>b,则ac bc(c ≤0),ac 2bc 2(c ≠0). 3．不等式2x ≥4的解集是________． 4．当x_______时，不等式x+3>6成立． 5．x<1是_______的解集？A ．2x-1>0B ．x+3<4C ．x+3<-4D ．-x+2<06．不等式x-1>2的解集为x>3，如图，用数轴上表示这个解集正确的是（ ）7.能使不等式x-7≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．x>8 B ．x ≤8 C ．x ≥8 D ．x ≤7 拓展练习：1、不等式（m-2）x>1的解集为x<21m ，则（ ）A ．m<2 B. m>2 C. m>3 D.m<3.2、写出不等式x+3<6的正整数解.课堂检测1．（1）若x>3，那么x-m_____3-m；（2）若a<b，那么a+6_______b+6；（3）a<-b，那么a+b______0；（4）若7a-2m<7b-2m，那么7a____7b．2．不等式3+x≥6的解集是（）A．x=3 B．x≥3 C．所有大于3的数 D．大于或等于3的整数3．若代数式x-3的值为负数，则（）A．x<3 B．x<0 C．x>3 D．x>04．下列说法正确的是（）A．方程4+x=8和不等式4+x>8的解是一样的; B．x=2是不等式4x>5的唯一解C．x=2是不等式4x>15的一个解;D．不等式x-2<6的两边都加上1，则此不等式成立5．若a>b，且c不为0，则（）A．ac>bc B．ac<bc C．ac2>bc2 D．ac2≥bc26．若a<0，关于a的不等式ax+1>0的解集是（）A．x<1aB．x>1aC．x<-1aD．x>-1a7．若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（）A．x>-43B．x≥-43C．x<-43D．x≤-438．解不等式:（1）12x>-3 （2）-2x<6 （3）3x-6≤0 （4）-12x-6>0课堂检测2：1．若a<b，用“>”或“<”号填空：（1）a+4_______b+4；（2）a-2______b-2；（3）25a_____25b；（4）-2a______-2b．2．在下列各题的“____”中填写不等号并写出理由：（1）因为x>5，所以-x____-5，理由是_______________．（2）因为4x>12，所以x_____3，理由是_____________．（3）-17x<-2，所以x_______14，理由是________________．3．若8+3a<8+3b，那么a，b的大小关系是（）A．a=b B．a<b C．a>b D．以上都不对4．由x<y，得ax>ay，则a应满足的条件是（）A．a≥0 B．a≤0 C．a>0 D．a<05．求不等式x+4≥3x-2的非负整数解．6．利用不等式的性质，求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来．（1）x-3≥1 （2）4x-15>3x-2 （3）2x-3x<0 （4）-13x≥17．（1）若（m+1）x< m+1的解集是x>1，求m的取值范围．（2）若关于x的方程x-3k+2=0的解是正数，求k的取值范围．一元一次不等式综合练习1．若x|a-1|>a+1，则a=_______．2．下列不等式中是一元一次不等式的是（）A．x+y<2 B．x2>3 C．-2x<1 D．2x>-3①2a-1=4a+9；②3x-6>3x+7；③1x<5；④x2>1；⑤2x+6>x．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．在解不等式22135x x+->的下列过程中，错误的一步是（）A．去分母得5（2+x）>3（2x-1） B．去括号得10+5x>6x-3 C．移项得5x-6x>-3-10 D．系数化为1得x>13 5．使不等式x-5>4x-1成立的值中最大整数是（）A．2 B．-1 C．-2 D．06．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）3x+1≤2x+4 （2）5（x-1）>4（x+2）8．解不等式532123x x++-<，小兵的解答过程是这样的．解：去分母，得x+5-1<3x+2 ①移项得x-3x<2-5+1 ②合并同类项，得-2x<-2 ③系数化为1，得x<1 ④请问：小兵同学的解答是否正确？如果错误，请指出错在哪里？并给出正确的解答．1．当x_______时，代数式312x+的值是负数．2．不等式12123x x+-≥的正整数解为________．3．下列说法中，正确的是（）A．如果a>1，那么0<1a<1 B．若a<1，则1a>1C．若a2>0，则a>0 D．若-1<a<0，则a2>1A ．2（1-y ）+y<4y+2B ．x 2-2x-1<0 C ．12+13>16D ．x+3<x+4 5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． （1）4（x-1）<5（x-1）+1 1(2)132x x --≤5335212567(3)(4)123234x xx x x ---+-<-≥-7．（1）当x 取何值时，代数式43132x x +-与的值的差大于1？（2）当x 取哪些正整数时，代数式3-3543286x x --的值不小于的值？一元一次不等式组知识点：1．将_____个（或几个）一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组． 2．几个一元一次不等式的解集的________叫做由几个不等式所组成的一元一次不等式组的解集．例1、解不等式组()()31211282x x x ⎧->+⎨>⎩ 例2、解不等式组()()2111312x x ⎧+<-⎨-≤⎩练习1： 练习2：课堂检测 1．不等式组30,20x x +>⎧⎨-<⎩的解集是_________．2．下列各组合中，是一元一次不等式组的是（ ）．A ．22313513 (3425)72025x x y x x B C D y x y x x +<+=-<⎧+≤⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-<-=+>-<⎩⎩⎩⎩⎩⎨⎧-<++>-148112x x x x ()⎪⎩⎪⎨⎧->+≤--1321423x x x x3．不等式组102050xxx+<⎧⎪+<⎨⎪+>⎩的解集是（）A．x>-5 B．-5<x<-1 C．x<-2 D．-5<x<-24．如图8-3-1，不等式5234xx-<-⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上为（）5．不等式组204060xxx+>⎧⎪->⎨⎪-<⎩的整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．解下列不等式组（1）2102552310(2)46715320xa axa ax-≥⎧-<-⎧⎪+>⎨⎨-≥-⎩⎪-<⎩7．（注重书写过程）求同时满足不等式6x+3>4x+7和8x-3≤5x+12的整数x．课堂检测21．不等式2≤x-5<6的解集为________． 2．不等式31047x x ->⎧⎨<⎩的解集是_______，其中整数解是________．3．在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x ，y 满足x+y>0，则m 的取值范围在数轴上表示，应是（ ）4．不等式组841,x x x m+<-⎧⎨>⎩的解集为x>3，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥3B ．m=3C ．m<3D ．m ≤3 5．解下列不等式组．2110236(1)(2)31324122x x x x x -+<-⎧+>⎧⎪⎨⎨+-≤->⎩⎪⎩ 13103(3)2(1)(3)20(4)1212513x x x x x x x +>⎧--≥+⎧⎪⎪+>-⎨⎨-<⎪⎪-≤⎩⎩6．解不等式组523483x x x x -<+⎧⎪+⎨≥-⎪⎩，并求出它的非负整数解．。
衔接不等式学案1
不 等 式【要点回顾】1．一元二次不等式及其解法[1]定义：形如 为关于x 的一元二次不等式．[2]一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠及一元二次方程20ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)．（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象．①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断) ．则②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2b a -，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22x b x x a==-(也可由根的判别式0∆=来判断) ．则：③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0∆<来判断) ．则：（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：(1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x ．那么“0>”型的解为12x x x x <>或(俗称两根之外)；“0<”型的解为12x x x <<(俗称两根之间)；(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24b ac b ax bx c a x a a -++=++，结合完全平方式为非负数的性质求解．2．简单分式不等式的解法解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.3．含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 ax b >的形式．[1]当0a >时，不等式的解为：b x a>； [2]当0a <时，不等式的解为：b x a<； [3]当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>；① 若0b >，则不等式的解是全体实数；② 若0b ≤，则不等式无解．例1 解下列不等式：(1) 2280x x --<(2) 2440x x -+≤(3) 220x x -+<例2 已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．例3 解下列不等式： (1)2301x x -<+ (2) 132x ≤+例4 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解例5 解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数).例6 已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数)在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．例7 求关于x 的不等式222m x mx m +>+的解．练 习1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0；（3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．2.解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．3．m 取什么值时,方程组 24,2y x y x m⎧=⎨=+⎩ 有一个实数解?并求出这时方程组的解．4．解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．【巩固练习】1．解下列不等式：(1) 220x x +< (2) 23180x x --≤(3) 231x x x -+≥+ (4) (9)3(3)x x x +>-2．解下列不等式：(1) 101x x +≥- (2) 31221x x +<- (3) 21x >- (4) 221021x x x -+>+3．解下列不等式：(1) 22222x x x ->+ (2) 21110235x x -+≥4．解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．5．已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．6．若不等式2231x x k k+->+的解是3x >，求k 的值．7．a 取何值时，代数式2(1)2(2)2a a ++--的值不小于0？8．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式bx2＋cx＋4≥0．9，试求关于x的函数y＝－x2＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．。
学案1：1.4.1 充分条件与必要条件
1.4充分条件与必要条件学习目标1、知识目标1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．2、素养提升1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.重点难点重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．．难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．学习过程一、预习导入阅读课本，填写.1．充分条件与必要条件2. 充要条件一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ．此时，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．概括地说，(1)如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件． (2)若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则称p 是q 的充分不必要条件． (3)若q ⇒p ，但p ⇒/q ，则称p 是q 的必要不充分条件． (4)若p ⇒/q ，且q ⇒/p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件． 3.从集合角度看充分、必要条件小试牛刀1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p 是q 的必要条件,则q 是p 的充分条件. ( ) (2) 若q 是p 的必要条件，则q 成立，p 也成立. ( ) (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件. ( ) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若p 是q 的充分条件,q 是r 的充分条件,则p 是r 的 条件. (2)“a >0,b >0”是“ab >0”的 条件.(3)“若p ,则q ”的逆命题为真,则p 是q 的 条件. 3．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件A B是q 的充分不必是q 的必要不充p,q 互为充要条件q 的既不充分也不必要条件D ．既不充分也不必要条件 自主探究题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1.解题技巧：（充分条件与必要条件的判断方法） (1)定义法若p ⇒q ，q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件； 若p ⇏q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； 若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p ⇏q ，q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B A ，则p 是q 的必要不充分条件． (3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断． 跟踪训练一1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 题型二 充要条件的探求与证明例2 (1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( )A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.跟踪训练二2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)(2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.题型三 利用充分、必要条件求参数的范围例3 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为____变式． [变条件] 【例3】本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．解题技巧：（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围） (1)化简p 、q 两命题，(2)根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围． 跟踪训练三3．已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．当堂检测1．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A 是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b34．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．5．下列说法正确的是________．(填序号)①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件；6．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；7．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一个必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围．8．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．参考答案小试牛刀1．答案：(1) √(2) × (3)×2．（1）充分（2）充分 （3）必要 3．A 自主探究例1 【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即﹁q ⇒﹁p ，但﹁p ⇒﹁q ，所以p 是q 的充分不必要条件． (3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件． (4)由于a ＜b ，当b ＜0时，ab＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有ab ＜1；当a ＞0，b ＞0，ab ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，ab ＜1时，可以推出a ＞b .因此p 是q 的既不充分也不必要条件． 跟踪训练一 1．【答案】D例2 【答案】（1）B （2）见解析【解析】(1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B. (2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y 的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy <0⇔xy >0.所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y 的充要条件是xy >0. 跟踪训练二2．【答案】 （1）B （2）见解析【解析】（1）由x (x －2)<0得0<x <2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．（2）证明 假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0. ①证明p ⇒q ，即证明必要性．∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ②证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0.故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 例3 【答案】{m |m ≥9}(或[9，＋∞))【解析】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且q ⇒/p . 即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.变式． 【答案】见解析【解析】由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p ⇒/q . 则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10} 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．跟踪训练三 3．【答案】见解析【解析】因为“x ∈P ”是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5即a 的取值范围是[－1,5]．当堂检测1-3．CAA 4．(－∞，1) 5．①6．【答案】见解析 【解析】 (1)∵|x |＝|y |x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要不充分条件． (2)∵△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形，△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形，∴p 是q 的既不充分也不必要条件． (3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p 是q 的必要不充分条件． 7．【答案】见解析【解析】由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3， －a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}{x |1－a <x <1＋a }(a >0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a >4，解得a >2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]． 8．【答案】见解析【解析】当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1＞0， 当a ＞0时，－1a <0，若Δ＝4－4a ≥0，则a ≤1，即0＜a ≤1时，f (x )有两个负实数根． 当a ＜0时，因为f (0)＝1，Δ＝4－4a ＞0恒成立， 所以方程恒有负实数根． 综上所述，a ≤1为所求．。
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第 课时
一、课题
不等式问题的题型与方法 二、高考要求
1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理， 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │。
2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．
4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．
5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。
在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法
三、经典例题剖析
1．有关不等式的性质。
此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起
例1．（2006年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1
x
<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b
C. x <-1a 或x >1b
D.x <1b －或x >1
a
例2．(2007年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围
是
(A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1
2.有关不等式的解法
此类问题在高考中选择题，填空题及解答题中均有出现，并且这几年考查也为较为平凡，
要求掌握几种简单的不等式的解法，如分式不等式，高次不等式，无理不等式及含有绝对值的不等式的解法，特别要注意含参数不等式，这类问题经常一集合结合在一起出现在解答题中。
例3（2007年北京卷）已知集合{}
|1A x x a =-≤，{}
2
540B x x x =-+≥．若
A B =∅ ，则实数a 的取值范围是
点评：本题将绝对不等式，一元二次不等式的解法与集合的知识结合起来考查，属中档题 例4．（2007年湖北卷）设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）
Ａ．{}|01x x <<
Ｂ．{}|01x x <≤
Ｃ．{}|12x x <≤
Ｄ．{}|23x x <≤
点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。
此处的新定义一般称为两个集合的差。
注意点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解{}2|log 1P x x =<时出
错。
例5．（2007年江西卷）已知函数1(0)()2(1)
x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪
=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，
内连续，且2
9()8f c =
．（1）求实数k 和c 的值；（2
）解不等式()18
f x >+
3．有关不等式的证明
不等式的证明非常活跃，它可以和很多知识如函数、数列、三角、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到相关的技能、技巧，应注意加强逻辑推理能力的训练。
例6．（1）（《步步高》不等式综合运用例3）已知数列{}n a 是首项为2，公比为
2
1
的等比数列。
n s 为它的前n 项和。
（1）用1n n s s +表示。
（2）是否存在自然数c 和k ，使12n k s c
s c
+->-成立。
（2）（《步步高》不等式综合运用例2）已知2()f x x bx c =-+，若()0f x =的
根都在[]1,0内。
（1）求证：1c ≤。
（2）求证：1
(0)(1)16
f f ∙≤ （3）若()0f x =有一根为21，并且当[]0,1x ∈时，()f X 的最大值为M ，求证：1
4
M ≥
5.导数与不等式
例7．（2007年全国卷I ）设函数()x x
f x e e -=-
（Ⅰ）证明：()f x 的导数'()2f x ≥；
（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围。
例8（2007年福建卷）已知函数f(x)＝－kx ，. （1）若k ＝e ，试确定函数f(x)的单调区间； （2）若k>0，且对于任意
确定实数k 的取值范围；
（3）设函数F(x)＝f(x)+f(-x)，求证：F(1)F(2)…F(n)>（
）。
强化训练
选择题
1．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ）
Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．b a ab
2
211< Ｄ．b a a b < 2．设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,
22b
c
a
a b c ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 ( )
A.a b c <<
B.c b a <<
C.c a b <<
D.b a c <<
3.设2
()lg(
)1f x a x
=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞
4．设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≥-<<-+-≤+)1(11
)11(22)1()1(2x x
x x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )
A (－∞，－2)∪(－21，+∞)
B (－21，21
)
C (－∞，－2)∪(－21，1)
D (－2，－2
1
)∪(1，+∞)
5．下列四个命题中 ①a +b ≥2ab ②sin 2x +x
2sin 4
≥4 ③设x ，y 都是正数，
若y
x 9
1+=1，则x +y 的最小值是12 ④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε，其中所有真命题的个数为（ ）
A ．0
B ．3
C ．2
D ．1
6. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52
x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是。