第二章 弹塑性断裂力学
弹塑性断裂理论简介
弹塑性断裂理论简介线弹性断裂力学是建立在线弹性力学基础上的，传统断裂力学理论认为，它没能考虑裂纹尖端附近塑性性区的影响，因而只适用于高强度（钢）脆性材料，对于工程中大量使用的中、低强度钢等具有较好塑性的材料是不适用的。
为了将应力强度因子推广到裂纹尖端有小范围塑性区的情况，人们推出了应力强度因子塑性区的修正方法，但适用性并不理想。
为了研究塑性材料的断裂问题，又产生了断裂力学的另一个分支——弹塑性断裂力学。
1. COD 原理及其判据Wells 根据裂纹尖端附近产生大范围屈服时，在裂纹尖端出现钝化，裂纹侧面随着外载增加逐渐张开的现象，提出来是否可用裂纹尖端的张开位移作为控制裂纹失稳扩展的参量。
裂纹的张开位移定义为承受外载情况下裂纹体的裂纹尖端沿垂直于裂纹方向产生的位移，一般用δ表示。
在裂纹失稳扩展的临界状态下，临界的COD 用c δ表示。
c δ也是材料的断裂韧性，是通过实验测定的材料常数。
COD 原理的基本思想是:把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移δ作为一个参量，而把裂纹失稳扩展时的临界张开位移c δ作为材料的断裂韧性指标，用c δδ=这个判据来确定材料在发生大范围屈服断裂时构件工作应力和裂纹尺寸间的关系。
2. J 积分理论1968年，Rice 提出了J 积分理论。
对于二维问题，J 积分的定义如下:⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-Γ=ds x v T x u T Wdy J y x （2-1） Γ--积分回路;ds --Γ上的弧元素;W --应变能密度;y x T T ,--应力分量;v u ,--位移分量;其中，积分回路的起点和终点分别位于裂纹的下表面和上表面，为逆时针回路，如图2-1所示。
J 积分的单位为MPa* mm 。
图2-1 裂纹尖端J 积分路径J 积分是围绕裂纹尖端的闭合曲线积分，在线弹性情况下有:E2I I K G J == （平面应力） （2-2） )1(E22I I v K G J -== （平面应变） （2-3） J 积分断裂准则可表述为:c J J = （2-4）其中，Jc 为裂纹扩展达到临界状态时的J 积分临界值。
弹塑性断裂力学概述及COD理论
指导老师： 王吉会教授
目录
弹塑性断裂力学的提出
弹塑性断裂力学的一种计算方法—— COD理论
对比COD和J积分理论
实际中弹塑性断裂力学的运用
第一章
弹塑性断裂力学的提出
线弹性 断裂力 学
小范围屈 服的金属 材料
脆性材料 高强度钢 大范围屈 服
弹塑性断 裂力学
全面屈服
COD理论与J积分对比
COD理论
计算简单，所得到的一些经 验公式能有效的解决工程实 际问题
在中、低强度钢焊接结构和 压力容器断裂分析中应用广 泛
第三章
J积分理论
计算复杂，但理论更严谨， 直接
已用于发电工业，特别是核 动力装置中材料的断裂准则
实际中的应用： 基于复合梁的钢桥面铺装断裂判 据及疲劳寿命的研究
研究方法
以复合梁为研究对象，从断裂力学的基本理论入手，
通过室内复合梁三点弯曲试验研究桥面铺装复合结构 的COD断裂参数，并建立COD断裂判据；（见论文中 第二章） 利用数值分析方法，选取三种不同复合梁尺寸研究桥 面铺装断裂参数的尺寸效应，并分析COD设计曲线在 铺装安全裕度评价中的应用；（见论文中第三章）
环氧青混凝土低温性能，
同时进行了SMA试件和AC改性沥青混合料试件的对比 试验，试验结果如图2.6
环氧沥青混凝土的塑性特征
根据环氧沥青混凝土的低温
性能可知，它不是一种完全 的弹性变形材料，其断裂特 性随着温度变化会有很大的 不同，并且以5℃为分界点。 因此文中采用弹塑性断裂力 学理论来研究钢桥面铺装的 断裂判据。
研究内容：
钢桥面铺装主要用于提高行车的舒适性和钢桥面 的耐久性，如何延长其使用寿命是钢桥面铺装设计的 重要内容。然而开裂却大大限制了其服役寿命。因此 钢桥面铺装层裂缝的萌生及扩展机理、铺装的剩余寿 命等断裂力学问题成为学术界和工程界关注的焦点。
弹塑性断裂力学
1)回路积分定义，围绕裂尖周围区域的应力、 应变和位移场所组成的围线积分(场强度)。
2)形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对 试样所作的形变功率(实验测定)。
4 J积分
二、J积分回路定义及守恒性
1．J积分回路定义
J Γwdx2Ti u x1i ds
B
G：围绕裂尖一条任意逆时针回 A
2)Paris位移公式
在裂纹面需求张开位移点虚加一对力F1，则
limV
F10 F1 在恒载荷作用下(单位厚度板)
G I V a F V ( F ， F 1 ， ) V 0 ( F ， F 1 ) 0 G I d a
V0(F， F1)为无裂纹体应变能，为裂纹扩展长度
2 基本假定和应用范围
承认结构中含有宏观裂缝，而远离裂缝缝端的广大区域仍假定为均匀连续体。既 均匀性假设仍成立，但仅在缺陷处不连续。断裂力学应用的前提是结构发生低应力脆 断，故其应用范围是，材料本身的微观结构对脆断敏感，且有拉（剪、扭）应力在起 用的带宏观裂缝的缺陷体。可见，断裂力学只处理和裂缝有关的问题，不可代替传统 的强度设计和校核，只是在出现宏观裂缝的条件下对传统理论的补充和发展。
2 裂尖塑性区的形成
➢ 上述塑性区尺寸按Irwin弹性应力 场公式得到， y 0 曲线如右图虚 线ABC所示。实际上，由于材料
y A
塑性变形，导致塑性区内应力重 新分布，产生应力松弛。考虑静
ys D B E
力平衡，应力松弛必然引起塑性
区扩大。对于理想塑性材料
， ymax
ys
如图中实线所示
➢ 根据力平衡，曲线AB下的面积
ys x
塑性区尺寸
R c a a s2 π es c 1 a 2 2 π s 2 π 8 K s I 2
断裂力学 弹塑性断裂力学共49页
Hale Waihona Puke 40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
断裂力学 弹塑性断裂力学
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
弹塑性断裂力学
思考题
线弹性断裂力学的局限性
材料的弹塑性问题
线弹性的适用范围
测试工作的要求
线弹性断裂力学的局限性
材料的弹塑性问题
实际材料的应力应变关系-低碳钢
应 力
塑性 应变
载荷增大
线弹性断裂力学的局限性
线弹性的适用范围
线弹性力学是建立在小范围屈服的基础上的
当裂纹尖端的塑性区尺寸比裂 纹尺寸或其它特征几何尺寸小 K主导区
E E 2 平面应变 1
c 8 s a c ln sec 2 E s
D-B模型塑性区宽度：
适用情况：
(1) 无限大板穿透裂纹体； (2) 材料被认为是理想弹塑性材料
R a(sec 1) 2 s
(3) =s, ,不适用于整体屈服 (4) (σ/σs)≤0.6的小范围到大范围屈服。
线弹性断裂力学的局限性
测试工作的要求
在测试材料的KIC时,为保证平面应变和小范围 屈服,要求试样厚度
B ≥ 2.5 K I s
如：中等强度钢 要求B=99mm
2
试样太大，浪费材料 一般试验机很难做到
线弹性断裂力学的局限性
弹塑性断裂力学的提出
对于塑性变形占很 大比重的弹塑性断 裂体的断裂问题 用小试样测试 KIC的问题
a
a*
2V
O O’
ry
原裂尖点处的张开位移就是COD(或）
COD参量及其计算
平面应变 沿y方向的位移 o点的坐标为：
KI V E
2r
sin
2 1 cos 2 2
2
1 r ry 2
KI s
第2章断裂力学4塑性区及修正
①特雷斯卡（Tresca）假设
最大剪应力是屈服的控制因素
即•1 2 c•,••2 3 c, •3 1 c 时，
材料屈服，屈服函数为：
f * [(1 2 )2 c2 ][( 2 3)2 c2 ][( 3 1)2 c2 ] 0
在主应力空间是六棱柱，在 1 2 平面是六边形
2
KⅠ2
2 s
同学验证
2024/8/5
27-17
塑性区形状
r r0
cos2
2
1
3
sin
2
2
当 0时,
r0
1
2
KⅠ2
2 s
平面应力 情况
塑性区形状
平面应变 情况
μ=0.1， 0.3，0.5
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27-18
塑性区形状
若是平面应变， z 3 0
3
1 E
[ 3
( 2
1 )]
a M P KⅠ
MP
1
2
1
s
塑性区修正因子
27-25
2024/8/5
27-26
••1 x y
2
2
(
x
2
y
)2
2 xy
••1 2
KⅠ
2 r
cos
2
1 sin
2
27-16
无穷大板双向受拉Ⅰ型裂纹
平面应力时Mises屈服条件是：
( 1
2)2
2 2
2 1
2
2 s
或 : •12
1 2
2 2
2 s
代入得：
r
KⅠ2
2
2 s
cos2
2
1 3sin2
弹塑性断裂力学
A
A
x
R
2a R
2c
COD参量及其计算
利用弹性化理论分析方法证明：
原裂纹尖端的张开位移（COD）
8a s ln sec( )
E
2 s
裂纹开始扩展的临界张开位移：
E E 平面应力
E
1
E
2
平面应变
c
8 sa E
ln
s
ec
2
c s
D-B模型塑性区宽度：
R a(sec 1) 2 s
适用情况：
弹塑性断裂力学
COD方法
J积分方法
阻力曲线等方法
主要内容
线弹性断裂力学的局限性 COD参量及其计算 J积分原理及全塑性解 各断裂参量之间的关系 断裂分析在有限元软件中处理方法 思考题
COD参量及其计算
COD的定义和基本思想 小范围屈服条件下的COD D-B带状屈服模型的COD 全屈服条件下的COD判据
极好的量度。
•英国、日本焊接验收标准 •我国压力容器缺陷验收标准
y R
o
O
a 2 v
COD参量及其计算
COD的基本思想
把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移作为一个参量， 建立这个参量与外加应力（或应变e）和裂纹长度a的 关系，计算弹塑性加载时裂纹尖端的张开位移，然后 把材料起裂时的c值作为材料的弹塑性断裂韧性指标。 利用＝c作为判据判断是够是否发生破坏。
y R
o
O
a 2 v
是裂纹开始扩展的判据,不是 裂纹失稳扩展的断裂判据
应力松弛引起的裂纹体刚度下降与裂纹 长度增加的效果是一样的
COD参量及其计算
小范围屈服条件下的COD
等效裂纹长度 a*=a+ry
断裂力学基础
断裂力学基础目 录第一章 绪论第二章 线弹性断裂力学 第三章 弹塑性断裂力学 第四章 疲劳裂纹扩展第五章 复合型裂纹的脆性断裂理论 附 录 弹性力学基础第一章 绪 论ssss2a2bss2a?一、引例][s s ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a 21maxs s Inglis(1913)用分子论观点计算出绝大部分固体材料的强度103MPa ，而实际断裂强度100MPa ？——材料缺陷第一章 绪论第一章 绪论 二、工程中的断裂事故1．1860~1870英国铁路事故死200人/年；2．1938年3月14日比利时费廉尔大桥断成三节，1947~1950比利时又有14座大桥脆性破坏； 3．美国二次大战期间2500艘自由轮，700艘严重破坏，其中145艘断成两段，10艘在平静海面发生。
同时期大量的战机事故——广泛采用焊接工艺和高强度材料； 4．1954年1月10日英国大型喷气民航客机彗星号坠落，同时期共三架坠落；二、工程中的断裂事故5．1958美国北极星号导弹固体燃料发动机壳体爆炸； 6．1969年11月美国F3左翼脱落； 7．1972年我国歼5坠毁；8．近年来桥梁、房屋、锅炉和压力容器、汽车等第一章 绪论二、工程中的断裂事故 第一章 绪论 二、工程中的断裂事故9．2007年11月2日美国F15 空中解体；第一章 绪论三、断裂力学发展简史1．1913年，C. E. Inglis(英格列斯)将裂纹(缺陷)简化为椭圆形切口，用线弹性方法研究了含椭圆孔无限大板受均匀拉伸问题——按应力集中观点解释了材料实际强度远低于理论强度是由于固体材料存在缺陷的缘故。
2．1921 年，A. A. Griffith(格里非斯)用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则，成为线弹性断裂力学的核心之一—能量释放率准则。
第一章 绪论 三、断裂力学发展简史3．1955~1957年，G. R. Irwin(欧文)通过对裂尖附近应力场的研究，提出了新的断裂参量—应力强度因子，并建立断裂判据，成为线弹性断裂力学的另一核心—应力强度因子断裂准则。
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J积分的第一项:
Wdy
/2
Wr
/ 2
cos d
(1
v)(1 4E
2v)
K2
J积分的第二项(平面应变状态下)：
Tx
ux x
Ty
uy y
ds
1
v3
4E
2v
K2
所以，有J积分：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(1
v)(1 4E
2v)
K2
1
v3 2v
4E
K
2
1 v2 E
K2
G
类似的，平面应力状态下有：
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
BC
(Wdy
T
i
ui x
ds)
(Wdy DA
T
i
ui x
ds)
(2.7)
由于在BC和DA段上dy 0及 Ti 0，所以(2.7)中后两个积分为零,即：
J
(Wdy
Ti
ui x
ds)
(Wdy '
T
i
ui x
ds)
所以J积分与路径无关。
J积分理论
J积分使用范围的前提条件：
ui x
ds]
应用Green公式，上式可写成：
I
W
x
dxdy
xi
ij
ui x
dxdy
(2.4)
J积分理论
又
W
x
W ij ij x
ij
ij
x
ij
x
1 2
ui,
j u j,i
考虑到 ij ji ，又对 ui 的偏导可以交换求导的顺序，上式可写为：
W
x
ij
图2－1 J积分回路
J积分理论
由于我们研究的是二维问题，nz 0 。ds 为积分回路线的弧长。应
变能密度为：
W (mn )
d mn
0
ij ij
首先证明J积分的守恒性（即其值与积分回路无关）
沿ABCDA不包含裂纹尖端在内的一个闭合回路的积分。此闭合回路 所包围的面积为A，令：
I
Ñ [Wdy
Ti
J ys
其中 为裂纹尖端张开位移，即COD。
但Dugdale模型过于简化，实际上许多材料都存在硬化现象。由实验 和有限元计算证明，J积分与COD之间存在更一般的关系：
J k ys
其中k的值约在1.1～2.0之间，其数值主要由试件的几何形状、约束 条件和材料的硬化特性等决定。
第二章结束
2
xx
yy
2
2 xy
将裂尖附近应力、应变表达式带入上式
W K12 1 1 2 sin 2 cos2
2r 2
2
2
J积分理论
由于J积分与积分路无关，我们可以选以裂纹尖端点为圆心，r为半 径的圆弧作为积分回路，反时针向从裂纹下表面下一点沿弧线积分 至裂纹上表面上一点(P39页图2.2)。
x
j
ui, z
x j
ijui, x
ij, j
ui, x
(2.5)
又因为 ij, j 0
所以又可以写为：W x
x j
ijui, x
(2.6)
将式(2.6)带回(2.4)，可知 I 0。
J积分理论
现在考虑ABCDA回路，它由积分回路及加上BC段和DA段组成。即：
I
(Wdy
Ti
ui x
J积分理论
一、J积分定义及其守恒性
Rice定义J积分为：
J
Wdy
T
u x
Wdy
Ti
ui x
ds
式中， 为包围裂纹尖端的一曲线(图
2向-终1)止，于起裂始纹于上裂表纹面下。表T面r 作，用逆于时积针分方 路径上单位长度上的力，其分量为：
Ti ijni i, j 1, 2, 3,
n 是 回路的外法线单位矢量。
第二章 弹塑性断裂力学
主要内容
一、J积分理论 1、J积分定义及其守恒型； 2、线弹性条件下J积分与K和G的关系；
二、裂纹顶端张开位移(COD) 1、按Irwin塑性区求COD；
三、J积分和COD的关系
J积分理论
Rice于1968年提出了一个与积分路径无关的J积分，在弹塑 性断裂力学发展中引起了很重要的作用。它避开了直接计算 在裂纹尖端附近的弹塑性应力、应变场，而用J机返作为表 示裂纹尖端应变几种特性的平均参量。对于服从弹塑形变理 论的材料，可以证明： 1、J积分与积分路径无关； 2、J积分在物理上可解释为变形功的差率； 3、J积分可作为弹塑性含裂纹体断裂准则，即在裂纹起裂时 有J JC，JC为平面应变条件的临界J积分——以J积分表示 的断裂韧度。
E
并考虑到：COD 2v
得到：
4 E
a rp*
2
a2
4 E
2arp*
2
将
rp*
1 2
K I ys
带入上式，得：
4
K
2 I
E ys
(当 C时，发生破坏)
J积分和COD的关系
利用J积分值与积分回路无关的这一特性，通过Dugdale模型求J积分 和COD的关系，得到如下表达式：
J
1 E
K2
G
裂纹顶端张开位移(COD)
COD断裂准则：当裂纹顶端张开位移达到其临界值值，裂纹将会起裂
扩展，断裂准则可写成：
c COD是在真实裂纹顶端位移的虚拟裂纹的张开位移。 按Irwin塑性区求COD: 有效裂纹长度为真实裂纹长度与塑性区半径之和，即：
aeff a rp*
由式(1.19)知： v 2 a2 x2
唯一的了；函数W ij 就没有确定的意义了。
(2)要求结构在裂纹附近为小变形。
(3)是无体力条件下的平衡方程。
J积分理论
二、线弹性条件下J积分与K和G的关系
线弹性情况下，应变能密度可写成：
W
d mn
0
ij ij
1 2
mn
mn
考虑平面应变情况，得：
W 1 2E
1
2 xx
2 yy
(1)
ij
W
ij
(2)
ij
1 2
ui, j u j,i
(3) ij, j 0
(4) ij ji
(1)是塑性力学中形变理论的结果；本质上与非线性弹性理论相
当，即 ij 由 ij 唯一确定，而与加载过程无关。在真实情况下， 意味着不允许发生卸载；因为若发生卸载， ij 与 ij 的关系就不是