2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案
2014(模拟赛)全国初中数学竞赛初赛试题一(含详解)
全国初中数学竞赛初赛试题（一）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ） （A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或2．一块含有︒30角的直角三角形（如图），它的斜边AB ＝8cm , 里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm ,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm(C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y 5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。
如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。
依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C ,E ,F (B)C ,E ,G (C)C ,E (D)E ,F .7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A )有整数根 (B )没有整数根 (C )没有有理数根 (D )没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm ,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm .10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11．ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是等于 。
2014年全国初中数学联赛决赛(初二)试题及答案解析
2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若0x >，0y >=的值为（ B ）A. 1B. 2C. 3D. 42．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则错误!未找到引用源。
＝（ D ）A ．16B ．15C ．13D ．123．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，错误!未找到引用源。
则x y +的可能的值有 （ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ C ）A ．21B ．20C ．31D ．305．已知实数,,x y z 满足1()2x y z =++，则xyz 的值为 （ A ）A ．6B ．4C ．3D ．不确定6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ D ）A ．1813B ．2013C ．2213D ．2413 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝1-．2．使得不等式981715n n k <<+错误!未找到引用源。
对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 144 ．3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠=48︒．4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ 8 ．第二试一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记221145224M a ab b a b =-++-+，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．解222233(2)2(2)121(21)(1)44M a b a b b b a b b =-+-+++++=-++++，………………5分注意到b 为正整数，所以2319(11)44M ≥++=，所以M 可能取得的最小整数值为5. ……………………10分当5M =时，223(21)(1)54a b b -++++=，故2217(21)(1)4a b b -+++=.…………………15分 因为b 为正整数，所以2(1)b +是整数且不小于4，所以一定有12b +=，且21(21)4a b -+=，所以1b =，12a =或32a =. ……………………20分 二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，32BF CF -=，求AB . 解 延长ED 到点M ，使DM ED =，连接MB 、MF .又因为D 为AB 的中点，所以△BDM ≌△ADE . …………5分所以AE BM =，A ABM ∠=∠，所以AC //BM ，所以18090CBM C ∠=︒-∠=︒，故△BMF 是直角三角形，于是有222BM BF MF +=. ……………………10分又在直角△CEF 中，有222CE CF EF +=.又由90EDF ∠=︒和DM ED=可得EF MF =， ……………………15分 于是可得222222CE CF BM BF AE BF +=+=+，所以222212BF CF CE AE -=-=，即()()12BF CF BF CF +-=. ……………………20分 又32BF CF -=，所以8BF CF +=，即8BC =. 因此2222268100AB AC BC =+=+=，所以10AB =. ……………………25分三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac ab a bc b ac c ab++=+++，求a b c ++的值. 解 由2221222bc ac ab a bc b ac c ab ++=+++得2221111222111a b c bc ac ab++=+++. 设22a x bc =，22b y ac =，22c z ab =，则8xyz =，且1111111x y z ++=+++，…………………10分 通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++，展开后整理得2xyz x y z =+++，所以6x y z ++=. …………………15分 即2222226a b c bc ac ab++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.又,,a b c 不全相等，所以222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故0a b c ++=. ………………25分。
2014年全国初中数学联赛初二试题
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.
1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝ ．
2．使得不等式
981715
n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠= ．
4．已知n 为正整数，且432
261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ ．
第二试
一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记22
11
45224
M a ab b a b =-++-+
，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．
二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，
90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，3
2
BF CF -=
，求AB .
三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足
222
1222bc ac ab
a bc
b a
c c ab
++=+++，求a b c ++的值.。
2014年全国初中数学联赛七年级模拟试题二答案好
2014年全国初中数学联赛七年级模拟试题二一、 选择题（共6小题，每小题6分，共36分）1、若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为 （ D ）A 、2013B 、2014C 、2015D 、0解：最大的负整数是－1，∴=－1；绝对值最小的有理数是0，∴=0；倒数等于它本身的自然数是1，∴=1. ∴==0.2、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是 （ B ）A 、9504元B 、9600元C 、9900元D 、10000元3、如果20140a -<<，那么|2014||2014|||+-+++-a x x a x 的最小值是 （ A ）A 、2014B 、2014+aC 、4028D 、4028+a4. 已知实数满足则代数式的值是 （ A ） A 、 B 、3 C 、D 、7 解：两式相减得5．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1中的线段MN 在图2中的对应线段是 （ ）A 、B 、C 、D 、【答】C ．解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B 点，所以线段d 与AM 重合，MN 与线段c 重合.6.设n 是大于1909的正整数，使得n n --20091909为完全平方数的n 个数是（ ）A 、3B 、4C 、5D 、6解：设n −19092009−n =N （N 为完全平方数，N=0，1，4，9，16，…，即是：n −2009+1002009−n=1002009−n-1=N ，所以1002009−n=N+1，即（N+1）（2009-n ）=100，N+1和2009-n 都是正整数，都是100的因数，∴N=49时，n=2007；N=9时，n=1999；N=4，n=1989，N=1，n=1959．故选B ．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23，28，33，39，x ，y ，则____=+y x ．938. 若，则= 8 .解：∵，∴.则，即.∴9．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m 是关于x 的方程（x －a ）（x －b ）（x －c ）（x －d ）=2014中大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，则m 的值为 .【答】20．解：∵（m －a ）（m －b ）（m －c ）（m －d ）=2014，且a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，由于m 是大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，∴（m －a ）、（m －b ）、（m －c ）、（m －d ）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，∴（m －a ）+（m －b ）+（m －c ）+（m －d ）=1+2+19+53=75.又∵a+b+c+d =5，∴m =20.10.依次将正整数1，2，3…的平方数排成一串：149162536496481100121…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数学是4，排在第2014个位置的数字是 .解：12到32，结果都只各占1个数位，共占1×3=3个数位；42到92，结果都只各占2个数位，共占2×6=12个数位；102到312，结果都只各占3个数位，共占3×22=66个数位；322到992，结果都只各占4个数位，共占4×68=272个数位；1002到3162，结果都只各占5个数位，共占5×217=1085个数位；此时还差2008-（3+12+66+272+1085）=570个数位．3172到4112，结果都只各占6个数位，共占6×95=570个数位．所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是4112的个位数字，即为1．故答案为：1．三、解答题（第13题14分，第14题16分，共48分）11.已知0422=-+a a ，2=-b a ，求ba 211++的值。
2014年全国初中数学联合竞赛试题
2014年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，错误！未找到引用源。
则x y +的可能的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ）A ．47B ．59C ．916D ．12253．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则错误！未找到引用源。
＝ （ ）A B C D4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．345．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B ．3 C ．1(32 D ．16．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒错误！未找到引用源。
，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△A D E 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A ．4-B ．2C ．11)2 D 1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．2．使得不等式981715n n k <<+错误！未找到引用源。
对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ．3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．第二试 （A ）一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b +的值．二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .N三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？。
2014年全国初中数学联赛试题
A
H OD
F B
M
N E C
三．（本题满分 25 分）
设 n 是整数，如果存在整数 x, y, z 满足 n x3 y3 z3 3xyz ，则称 n 具有性质 P .
（1）试判断 1，2，3 是否具有性质 P ； （2）在 1，2，3，…，2013，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质 P 的数有多少
2014 年全国初中数学联合竞赛试题
第一试得分
（3 月 23 日上午 8:30—11:00）
第二试得分
总分
计分人
考生注意：1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解题书写不要超过装订线.
第一试
得分 评卷人 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 本题共有 6 个小题，每题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个答案，其中有且 仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选
abc ____．
2．使得不等式 9 n 8 错误!未找到引用源。对唯一的整数 k 成立的最大正整 17 n k 15
数n为
．
3．已知 P 为等腰△ ABC 内一点，AB BC ，BPC 108 ，D 为 AC 的中点，BD
与 PC 交于点 E ，如果点 P 为△ ABE 的内心，则 PAC
上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）
A． 1 2
B． 2 5
C． 2 3
D． 3 4
5．设[t]表示不超过实数 t 的最大整数，令{t} t
[t] .已知实数 x 满足
x3
1 x3
18 ，
2014年全国初中数学竞赛试题答案
2014年咸宁市初中数学竞赛决赛九年级试题参考答案一、选择题1．D 2．B 3．B 4．D 5．A二、填空题6．103 7．577 8．3 9．173610．526-或526-- 三、解答题11．解：（1）由已知可得1AO x =-，2OB x =.∵123x x m +=，1240x x m =-<，∴0m >. ·········································· 3分 ∵2CO m =，2()121OA OB CO +=+，∴212()1221x x m -+=⨯+，即21212()4241x x x x m +-=+.····························································· 6分整理，得 29810m m --=， 解得 11m =，219m =-. ∵0m >，∴11m =. ∴抛物线的解析式为213222y x x =--. ·············································· 10分 （2）存在这样的点P ，使得APB ∠为锐角. ··········································· 11分2132022x x --=，得11x =-，24x =. ∴(1,0)A -、(4,0)B ，而(0,2)C -. 如图所示，连接AC 、BC ，可得25AC =，220BC =，225AB =，∴222AC BC AB +=,∴△ABC 为直角三角形. ···································· 14分 过A 、B 、C 三点作⊙1O ，则AB 为⊙1O 的直径.∵⊙1O 与抛物线都关于直线32x =对称，∴C 点关于直线32x =的对称点M 是⊙1O 与抛物线的另一个交点，∴(3,2)M -.设P 点的坐标为0x ，当003x <<时，点P 在⊙1O 外.连接PA 交⊙1O 于点Q ，连接QB 、BP .而90APB AQB ∠<∠=，故APB ∠为锐角. ········································ 18分 同理，当01x -<<0或03x <<4时，有APB ∠为钝角.故0x 的取值范围是003x <<. ·························································· 20分 12．解： 连接AD .∵AB 是⊙O 的直径,∴90ADB ∠=.∴90ABD BAD ∠+∠=.∵AC 是⊙O 的切线，∴90BAC ∠=.∴90CAD BAD ∠+∠=,∴ABD CAE ∠=∠. y x B PM O 1Q C A O（第11题答图） A B C D E O （第12题答图）∵ABD BDO CDE ∠=∠=∠,∴CAD CDE ∠=∠.可得△CDE ∽△CAD ,有CD CA DE AD= ① ·············································· 4分 又有△ADE ∽△BDA ,有AE AB DE DA= ② ··············································· 8分 由①、②及AB AC =,得AE CD =. ···················································· 12分 在Rt △OAC 中，222OA AC OC +=. 即222()()22m m m CD +=+，解方程并取正根得512CD m -=. ∴512AE m -=. ·········································································· 20分 13．解： 设两个偶数为2n ，22n +（n 为正整数）. 则292322(22)x x n n +-=+. ······················································· 3分 ∵x 为有理数，∴△为完全平方数.△=22349[22(22)]n n +⨯⨯++ 2144144601n n =++236(441)565n n =+++=26(21)565n ++ ············································································ 6分 设△2m =（不妨设m ≥0且m 为整数）.∴22[6(21)]565m n -+=， ······························································ 10分 (126)(126)56511135m n m n ++--=⨯=⨯， ∴1265651261m n m n ++=⎧⎨--=⎩ 或1261131265m n m n ++=⎧⎨--=⎩， 解得 28323m n =⎧⎨=⎩ 或 594m n =⎧⎨=⎩. ··························································· 15分 当23n =时，292324648x x +-=⨯，解得17x =-或1309x = 当4n =时，29232810x x +-=⨯，解得2x =或419x =-. 综上所述，当17x =-或1309x =或2x =或419x =-时，代数式 29232x x --的值恰为两个正偶数的乘积. ····································································· 20分14．解：（1）取90n = ················································································ 2分290325n ==⨯⨯，90共有2,3,5三个质因数.12p =，672902<<，∴16a =.23p =，453903<<，∴24a =.35p =，23590<<5，∴32a =.642(90)23590p =++>. ······································································· 6分（2）取310k n =⨯（k ≥0，k 为整数） ························································· 8分 则n 共有3,2,5三个质因数（12p =，23p =，35p =）∵39310327k k k n ⨯<=⨯<⨯，2333k k n ++<<∴23p =，22a k =+要使312132 1.1a a a p p p n ++>，即312133 1.1310311a a k k k p p +++>⨯⨯=⨯ 只要证明31213113325a a k k k n p p ++>3⨯-=⨯=即可 ① ····························· 12分 由于n 含有因数5，所以必存在唯一的正整数b ，使得153105b k b n +<=⨯<成立∴15b n +>，55b n >，则3355a b n p => ② ················································ 16分 ∵②成立，∴31135a a n p p +>比成立，则①式得证. ·································· 18分 由于k ≥0，k 为整数时，310k n =⨯有无穷多个， 原命题成立. ··················································································· 20分。
2014年全国初中数学联赛决赛(初三)试题及其解答
PAE 1 (BAD CAE) 1 (66 30) 18 ，
2
2
所以 PAC PAE CAE 18 30 48 .
EP
C
D
A
4．已知正整数 a, b, c 满足:1 a b c ， a b c 111， b2 ac ，则 b
．
【答】36.
设 a, c 的最大公约数为 (a, c) d ， a a1d ， c c1d ， a1, c1 均为正整数且 (a1, c1) 1， a1 c1，则
F
故12 x2 [ 2(1 x)]2 ，即 x2 4x 1 0 .又 0 x 1，故可得 x 2 3 .
A
B E
故 BE 2x 4 2 3 .
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1．已知实数 a, b, c 满足 a b c 1， 1 1 1 1，则 abc ____． abc bca cab
8.
a2 b2 a2b2
a2b2
22
二．（本题满分 25 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且满足 ECD ACB ,
AC 的延长线与△ ABD 的外接圆交于点 F . 证明： DFE AFB ．
D
证明 由 ABCD 是平行四边形及已知条件知 ECD ACB DAF .
【答】 0.
由题意知 1 1 1 1，所以 1 2c 1 2a 1 2b
(1 2a)(1 2b) (1 2b)(1 2c) (1 2a)(1 2c) (1 2a)(1 2b)(1 2c)
整理得 2 2(a b c) 8abc ，所以 abc 0.
2014 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第 2 页（共 6 页）
全国初中数学竞赛2014年预赛.doc
全国初中数学竞赛（2014年预赛）（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为【】（A）2013（B）2014（C）2015（D）02. 已知实数满足则代数式的值是【】（A）（B）3（C）（D）73．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1中的线段MN在图2中的对应线段是【】（A）（B）（C）（D）4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7个代数式，，，，，，中，其值为正的式子的个数为【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在反比例函数（x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【】（A）（x<0）（B）（x<0）（C）（x<0）（D）（x<0）6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．已知，化简得.8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为.9. 若，则= .10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为.11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE 沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1= .12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x 的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6.（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），设DP 为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；（2）若AE=2EB. ①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）15. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA =AB=BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.（1）连接PA、PE，求证：PA=PE；（2）连接PC，若PC+P E=，试求AB的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△M NC为钝角三角形时，求m的范围.答案1．【答】D．解：最大的负整数是－1，∴=－1；绝对值最小的有理数是0，∴=0；倒数等于它本身的自然数是1，∴=1.∴==0.2. 【答】A．解：两式相减得3.【答】C．解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d 与AM重合，MN与线段c重合.4【答】C．解：由图象可得：，，，∴，，.抛物线与轴有两个交点，∴.当=1时，，即.当=时，，即.从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即，∴.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.5. 【答】B．解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么∽，则，故..6.【答】B．解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为=2.7.【答】．解：∵，∴，，原式=.8.【答】．解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所以P（摸出一个红色玻璃球）=.9.【答】8．解：∵，∴.则，即.∴10. 【答】．解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，∴AO=CO=，BO=DO=4，∴阴影部分面积====.【答】．解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x，在Rt△A1BM中，，∴=，∴x =A1M=，∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=.12. 【答】20．解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.又∵a+b+c+d =5，∴m =20.13. 解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，则有，.易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34,……………………………………4分∴，，即.∵x，y，z均为正整数，≥0，即0＜z≤14∴z只能取14，9和4 (8)分①当z为14时，=2，=28. .②当z为9时，=26，=18. .③当z为4时，=50，=8. .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支.……………………………………………………………………14分14. 14、解：（1）在Rt中，…………………………………………………………5分（2）①∽.………………………7分若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的左侧，过点作于，则可设. 解得…………………10分若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的右侧，过点作于，则可设解得即满足条件的圆的半径为或6.…………………………………………13分②6个.………………………………………………………………………………………16分15. 解：（1）证明：如图1，连接AE.…………………………………………………………5分(2)∵PC+P E=，∴PC+PA=.显然有OB=AC≤PC+P A=.……………7分在Rt△B OC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=，∴≤，∴≤2.即AB的最大值为2.…………………………10分(3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.分三种情况讨论：①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥M N时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△M NC为钝角三角形.过N作NF⊥x轴，垂足为F，∵A点坐标为（1，），∴可设N点坐标为（，），则D F=a－m，NF=，FC=4－a. ∵△O MD∽△FN D∽△FCN，∴.解得，，即当0<<时，△M NC为钝角三角形； (14)分②当N点在AB上时，不能满足△M NC为钝角三角形； (15)分③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥M N时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△M NC为钝角三角形.智浪教育—普惠英才文库∴当<<4时，△M NC为钝角三角形.综上所述，当0<<或<<4时，△M NC为钝角三角形 (1)。
2014年全国初中数学联赛(初二年级组)试题和评分标准
2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若0x >，0y >=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则BD CD ⋅＝（ ）A ．16B ．15C ．13D ．123．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ ）A ．21B ．20C ．31D ．305．已知实数,,x y z 1()2x y z =++，则xyz 的值为 （ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．不确定6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ ）A ．1813B ．2013C ．2213D ．2413二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝ ．2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠= ．4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ ．第二试一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记221145224M a ab b a b =-++-+，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，32BF CF -=，求AB . 三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac ab a bc b ac c ab ++=+++，求a b c ++的值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案
（九年级组）
第一试
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B
二、填空题
7．1792（两边同时乘以a+b+c）
8．-8
9．25x （提示：x≤x＜x+1，原方程化为x≤2x+27＜x+1，解得x=－3，代入原方程求出x.）
10．（1，21）（1011,51）（提示：除直角三角形ABC斜边的中点外，直线AB上与该中点关于斜边上高的垂足对称的点也
满足题意）
第二试
一、解：设甲仓库供应给A校，B校，C校的电脑分别为x台，y台，yx-12台，则乙仓库供应给A校，B校，C校
的电脑分别为（9-x）台，（15-y）台，y-15x-9-20台，
设总运输费为S元，
则S=10x+5y+6yx-12+4（9-x）+8（15-y）+15y-15x-9-20，
得S=15x+6y+48=9x+6(x+y)+48，…………………………………………………………10分
又0≤x≤9，0≤y≤15，4≤x+y≤12，
S≥9×0+6×4+48=72，………………………………………………………………………15分
此时，x=0，y=4，又yx-12=8，
故甲仓库供应给A校，B校，C校的电脑分别为0台，4台，8台.……………………20分
二、(1)证明：由AB=AD，知∠ABD=∠ADB=α,由等弧对等圆周角知，∠ACD=∠ACB=α.令∠DFC=β则∠BAD=∠BFC=2β，
故∠ABD+∠ADB+∠BAD=α+α+2β=180°，于是α+β=90°，∠CDF=90°.又∠FBC=180°-α-2β=α=∠FCB，所以
FB=FC …………………………10分
(2)解：设边BC的中点为M，连接FM. 易知△FCD≌△FBM,BC=2CD
又AC是∠BCD的角平分线，由角平分线定理，得2CDBCDEBE …………………25分
三、解：点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点C坐标为（0，﹣3）．
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；点E的坐标为（1，0）．………………………………5分
（1）当点M在对称轴右侧时．
①若点N在射线CD上，如图，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴21DEBEMNCN， ∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=223a，
∴CG=FG﹣FC=22a，
∴M（223a，﹣3+22a）．代入抛物线解得a=927，
∴M（37，﹣920）； ………………………………………………………………13分
②若点N在射线DC上，如图，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴21DEBEMNCN，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN﹣NF=a，
∴MG=FG=22a，
∴CG=FG+FC=223a，
∴M（22a，﹣3+223a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5，
∴M（5，12）；………………………………………………………………………………21分
（2）当点M在对称轴左侧时．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，∴点M不存在．…………………………24分
综上可知，点M坐标为（37，﹣920）或（5，12）．……………………………………25分