2014年全国初中数学联赛(初二年级组)试题参考答案
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2
bc ac ab 2 2 1 ，求 2a bc 2b ac 2c ab
2
1 1 1 bc ac ab 2 2 1. 2 2 1得 2 2a 2b 2c 2a bc 2b ac 2c ab 1 1 1 bc ac ab
设x
2a 2 2b 2 2c 2 1 1 1 ，y ，z ，则 xyz 8 ，且 1， bc ab ac x 1 y 1 z 1
的值为（ B ）
D. 4 D．12
2．已知△ ABC 中， AB AC 2 ，点 D 在 BC 边的延长线上， AD 4 ，则 BD CD ＝（ D ）
3．已知 x, y 为整数，且满足 (
1 x
1 1 1 2 1 1 )( 2 2 ) ( 4 4 ) ，则 x y 的可能的值有 （ C ） y x y 3 x y
当 M 5 时， (a 2b 1) 2 (b 1) 2
3 17 5 ，故 (a 2b 1)2 (b 1) 2 . 4 4 1 ，所以 4
因为 b 为正整数，所以 (b 1)2 是整数且不小于 4，所以一定有 b 1 2 ，且 (a 2b 1) 2
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4．用 1g、3g、6g、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置 砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ C ） A．21 B．20 C．31 D．30 5．已知实数 x, y, z 满足 x 1
点 E ，如果点 P 为△ ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点） ，则 PAC 4．已知 n 为正整数，且 n4 2n3 6n2 12n 25 为完全平方数，则 n ＝ 8 ．
48
．
第二试
一、 （本题满分 20 分）设 b 为正整数， a 为实数，记 M a 2 4ab 5b2 2a 2b 的情况下，求 M 可能取得的最小整数值，并求出 M 取得最小整数值时 a, b 的值． 解
11 ，在 a, b 变动 4
M (a 2b)2 2(a 2b) 1 b2 2b 1
3 3 (a 2b 1)2 (b 1)2 ， 4 4
注意到 b 为正整数，所以 M (1 1)2
3 19 ，所以 M 可能取得的最小整数值为 5. 4 4
2 2 2 2
又 BF CF
2
3 ，所以 BF CF 8 ，即 BC 8 . 2
2 2 2 2
因此 AB AC BC 6 8 100 ，所以 AB 10 . 三． （本题满分 25 分）设不全相等的非零实数 a, b, c 满足
a b c 的值.
解 由
b 1， a
1 3 或a . 2 2
二． （本题满分 25 分）在直角△ ABC 中， D 为斜边 AB 的中点， E 、 F 分别在 AC 、 BC 上，
EDF 90 ，已知 CE 4 ， AE 2 ， BF CF
A
E D M
3 ，求 AB . 2 解 延长 ED 到点 M ，使 DM ED ，连接 MB 、 MF . 又因为 D 为 AB 的中点，所以△ BDM ≌△ ADE . 所 以 A E B M ， A ABM ， 所 以 AC // BM ， 所 以 CBM 180 C 90 ， 故 △ BMF 是 直 角 三 角 形 ， 于 是 有 BM 2 BF 2 MF 2 .
18 13
B．
20 13
C．ຫໍສະໝຸດ Baidu
22 13
D．
24 13
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．如果关于 x 的方程 | x 3| | x 2 | | x 1| a 恰好只有一个解，则实数 a ＝ 2．使得不等式
1
．
9 n 8 ． 对唯一的整数 k 成立的最大正整数 n 为 144 17 n k 15 3．已知 P 为等腰△ ABC 内一点， AB BC ， BPC 108 ， D 为 AC 的中点， BD 与 PC 交于
2014 年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案
第一试
一、选择题： （本题满分 42 分，每小题 7 分） 1．若 x 0 ， y 0 ，且 x ( x A. 1 A．16 B. 2 B．15
y ) 3 y ( x 5 y ) ，则代数式
C. 3 C．13
2 x xy 3 y x xy y
1 y 2 z ( x y z ) ，则 xyz 的值为 2
（ A ）
A．6 B．4 C．3 D．不确定 6．已知△ ABC 的三边长分别为 2，3，4， M 为三角形内一点，过点 M 作三边的平行线，交各边于 ，如果 DE FG PQ x ，则 x ＝ D 、 E 、 F 、 G 、 P 、 Q （如图） A． （ D ）
通分即得 ( y 1)( z 1) ( x 1)( z 1) ( x 1)( y 1) ( x 1)( y 1)( z 1) ， 展开后整理得 xyz x y z 2 ，所以 x y z 6 .
即
2a 2 2b2 2c 2 6 ，所以 a3 b3 c3 3abc ，分解因式得 bc ac ab
又在直角△ CEF 中，有 CE CF EF .
2 2 2
C
F
B
又由 EDF 90 和 DM ED 可得 EF MF ， 于是可得
CE 2 CF 2 BM 2 BF 2 AE 2 BF 2 ，
所以 BF CF CE AE 12 ，即 ( BF CF )( BF CF ) 12 .
bc ac ab 2 2 1 ，求 2a bc 2b ac 2c ab
2
1 1 1 bc ac ab 2 2 1. 2 2 1得 2 2a 2b 2c 2a bc 2b ac 2c ab 1 1 1 bc ac ab
设x
2a 2 2b 2 2c 2 1 1 1 ，y ，z ，则 xyz 8 ，且 1， bc ab ac x 1 y 1 z 1
的值为（ B ）
D. 4 D．12
2．已知△ ABC 中， AB AC 2 ，点 D 在 BC 边的延长线上， AD 4 ，则 BD CD ＝（ D ）
3．已知 x, y 为整数，且满足 (
1 x
1 1 1 2 1 1 )( 2 2 ) ( 4 4 ) ，则 x y 的可能的值有 （ C ） y x y 3 x y
当 M 5 时， (a 2b 1) 2 (b 1) 2
3 17 5 ，故 (a 2b 1)2 (b 1) 2 . 4 4 1 ，所以 4
因为 b 为正整数，所以 (b 1)2 是整数且不小于 4，所以一定有 b 1 2 ，且 (a 2b 1) 2
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4．用 1g、3g、6g、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置 砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ C ） A．21 B．20 C．31 D．30 5．已知实数 x, y, z 满足 x 1
点 E ，如果点 P 为△ ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点） ，则 PAC 4．已知 n 为正整数，且 n4 2n3 6n2 12n 25 为完全平方数，则 n ＝ 8 ．
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第二试
一、 （本题满分 20 分）设 b 为正整数， a 为实数，记 M a 2 4ab 5b2 2a 2b 的情况下，求 M 可能取得的最小整数值，并求出 M 取得最小整数值时 a, b 的值． 解
11 ，在 a, b 变动 4
M (a 2b)2 2(a 2b) 1 b2 2b 1
3 3 (a 2b 1)2 (b 1)2 ， 4 4
注意到 b 为正整数，所以 M (1 1)2
3 19 ，所以 M 可能取得的最小整数值为 5. 4 4
2 2 2 2
又 BF CF
2
3 ，所以 BF CF 8 ，即 BC 8 . 2
2 2 2 2
因此 AB AC BC 6 8 100 ，所以 AB 10 . 三． （本题满分 25 分）设不全相等的非零实数 a, b, c 满足
a b c 的值.
解 由
b 1， a
1 3 或a . 2 2
二． （本题满分 25 分）在直角△ ABC 中， D 为斜边 AB 的中点， E 、 F 分别在 AC 、 BC 上，
EDF 90 ，已知 CE 4 ， AE 2 ， BF CF
A
E D M
3 ，求 AB . 2 解 延长 ED 到点 M ，使 DM ED ，连接 MB 、 MF . 又因为 D 为 AB 的中点，所以△ BDM ≌△ ADE . 所 以 A E B M ， A ABM ， 所 以 AC // BM ， 所 以 CBM 180 C 90 ， 故 △ BMF 是 直 角 三 角 形 ， 于 是 有 BM 2 BF 2 MF 2 .
18 13
B．
20 13
C．ຫໍສະໝຸດ Baidu
22 13
D．
24 13
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．如果关于 x 的方程 | x 3| | x 2 | | x 1| a 恰好只有一个解，则实数 a ＝ 2．使得不等式
1
．
9 n 8 ． 对唯一的整数 k 成立的最大正整数 n 为 144 17 n k 15 3．已知 P 为等腰△ ABC 内一点， AB BC ， BPC 108 ， D 为 AC 的中点， BD 与 PC 交于
2014 年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案
第一试
一、选择题： （本题满分 42 分，每小题 7 分） 1．若 x 0 ， y 0 ，且 x ( x A. 1 A．16 B. 2 B．15
y ) 3 y ( x 5 y ) ，则代数式
C. 3 C．13
2 x xy 3 y x xy y
1 y 2 z ( x y z ) ，则 xyz 的值为 2
（ A ）
A．6 B．4 C．3 D．不确定 6．已知△ ABC 的三边长分别为 2，3，4， M 为三角形内一点，过点 M 作三边的平行线，交各边于 ，如果 DE FG PQ x ，则 x ＝ D 、 E 、 F 、 G 、 P 、 Q （如图） A． （ D ）
通分即得 ( y 1)( z 1) ( x 1)( z 1) ( x 1)( y 1) ( x 1)( y 1)( z 1) ， 展开后整理得 xyz x y z 2 ，所以 x y z 6 .
即
2a 2 2b2 2c 2 6 ，所以 a3 b3 c3 3abc ，分解因式得 bc ac ab
又在直角△ CEF 中，有 CE CF EF .
2 2 2
C
F
B
又由 EDF 90 和 DM ED 可得 EF MF ， 于是可得
CE 2 CF 2 BM 2 BF 2 AE 2 BF 2 ，
所以 BF CF CE AE 12 ，即 ( BF CF )( BF CF ) 12 .