第4讲n阶行列式定义

第一章行列式 （一）n阶行列式的定义 1 第四讲 n阶行列式定义 （一） n阶行列式定义 我们接上一讲-二阶、三阶行列式的定义，本讲中我们将首先介绍全排列及其逆序数，其次看n阶行列式的定义 3. 全排列及其逆序数 定义3 把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的一个全排列（也简称排列）或n级排列。 注 (1) 由于可将 n个不同元素按1-n进行编号，所以n个不同元素的全排列可看成

n,,2,1这n个自然数的全排列，以后我们就用n,,2,1来表示n个不同元素。

(2) n,,2,1的全排列的个数--!n种，通常用nP表示。 由高中数学知识知，n个不同元素的全排列共有!n种，通常用nP表示。 (3) 标准排列（或自然排列） 显然n12也是一个全排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，称此排列为标准排列（或自然排列）；其它的排列或多或少地破坏自然顺序，我们用逆序数来衡量被破坏的程度. 如全排列：2341， 4312，4321，破坏了自然顺序。 定义4 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 注： 排列njjj21的逆序数记为)(21njjj 定义5 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列. 例3 讨论 1 ， 2 ， 3 的全排列。 全排列 123 231 312 132 213 321 逆序数 0 2 2 1 1 3 奇偶性 偶 奇

下面讨论计算排列的逆序数的一种方法：设12nppp为n,,2,1 的一个全排列，则其逆序数为：12121()nnniippptttt，其中it为排在ip前，且比ip 大的数的个数。 例4 求逆序数 第一章行列式 （一）n阶行列式的定义 2 （1） 求32514的逆序数； （2）求(1)21nn的逆序数。

解：(1)由于10t，21t，3450,3,1ttt，所以51(32514)5iit; (2)由于10t，21t，,1,,1kntnktn，所以1(1)((1)21)2niinnnnt

现在我们来讨论n阶行列式定义. 4. n阶行列式定义 为了作出n阶行列式定义，先来研究三阶行列式的结构。 三阶行列式定义为

111213212223313233

aaaaaaaaa=112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa。 （3）

如图1.1

333231232221131211aaaaaa

aaa

图1.1

332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa

用线段连起来的位于不同行不同列的三个元素的乘积并冠于正负号表示三阶行列式的项，线上三元素的积冠以正号，号。其中实虚线上三元素的积冠于负 第一章行列式 （一）n阶行列式的定义

3 容易看出： (i) （3）式右边的共有6项并且每一项恰好是三个元素的乘积，这三个元素位于不同行、

不同列的，因此（3）式右边任一项除正负号外可以写成123123jjjaaa。这里的行标排

成自然顺序123，而列标排成123jjj，它是1,2,3三个数的某个排列，这样的排列共有6种，对应（3）式右边共含6项。 (ii) 当各项的行指标按自然顺序排列时，各项的正负号与列标的排列对照： 带正号的三项列标排列是：123，231，312；带负号的三项列标排列是：321，213，132 经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列，因此各项所带正负号可以表

示为(1)，其中为列标排列的逆序数。

综上可知，三阶排列可以写成123123123111213()212223123313233(1)jjjjjjjjjaaaaaaaaaaaa，其中123()jjj为排列123jjj的逆序数，123jjj 表示对1,2,3三个数的所有排列123jjj取和。 容易验证，二阶（级）行列式1112112212212122aaaaaaaa＝，

如图1.22211aa到把22211211aaaa的联线称为主对角线，

图1.22112aa到把

的联线称为副对角线，

21122211aaaa

于是二阶行列式便是主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积。

，也可以表示成上述形式，即二阶（级）行列式共有2!项且每一项恰好是2个元素的乘积，这2个元素位于不同行、不同列的；当各项的行指标按自然顺序排列时，各项的正负号由列标的逆序第一章行列式 （一）n阶行列式的定义 4 数决定，显然项1122aa前带正号，项1221aa前带负号。

仿此，可以把二、三阶行列式推广到一般情形-n阶行列式

定义6 由2n个数ija(,1,2,,ijn)组成的n行n列的记号111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 称为n阶行列式，它等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212njjnjaaa的代数和，其中12njjj是1,2,,n的一个排列。每一项1212njjnjaaa都按下列规则带有符号：当

12njjj是偶排列时，1212njjnjaaa前带有正号，当12njjj是奇排列时，1212njjnjaaa

前带有负号，即就是111212122212nnnnnnaaaaaaaaa121212()12(1)nnnjjjjjnjjjjaaa，这里12njjj 表示对1,2,,n的所有排列12njjj取和。 注记：I.只要大家掌握以下四点，就将n阶行列式完全掌握。 (1) n阶行列式是一个代数和 (2) n阶行列式有n！项，(3)n阶行列式中每一项的组成， (4) n阶行列式中每一项的符号。

II. n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa常简记为det()ija，其中数ija成为行列式det()ija的一

般元素。这是由于行列式的英文是“determinant”，所以常用D表示行列式，或者用det()ija

表示行列式。

II. 一阶行列式||aa，注意不要与绝对值记号相混淆。 现在我们看几个特殊的行列式。 例 5 特殊的n阶行列式 （1）n阶对角行列式---主对角线以外元素都是0的行列式 第一章行列式 （一）n阶行列式的定义 5 1212n

n





，其中主对角线上的元素是i，未写出的元素都是0。

（2）n阶副对角形行列式---副对角线以外元素都是0的行列式 1(1)2212(1)nnnn

（3）n阶上三角形行列式---主对角线以下元素都是0的行列式。 111212221122nnnn

nn

aaaaaaaaa



（4）n阶下三角形行列式---主对角线以上元素都是0的行列式。 112122112212nn

nnnn

aaaaaaaaa

 （5）n阶副上三角形行列式---副对角线以下元素都是0的行列式

111(1)1(1)212(1)212(1)11(1)nnnnnnnnnaaaaaaaaa





（6）n阶副下三角形行列式---副对角线以上元素都是0的行列式 1(1)1(1)2(1)2212(1)112(1)nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa





 证明： 只证（3），（5），其它是类似证明。

（3）设11121222nnnnaaaaaDa，由于当ij，0ija，故D的各项中可能不为零的元第一章行列式 （一）n阶行列式的定义 6 素为iija，其下标应为iij，即11j，22,,njnj。在所有排列12njjj中，能满足上述关系的排列只有一个自然排列12n，所以D中可能不为零的项只有一项1122nnaaa，此项的符号为(12)0(1)(1)1n，从而1122nnDaaa。

（5）设111(1)1212(1)1nnnnaaaaaDa，由于当1jni，0ija，故D的各项中可能不为零的元素为iija，其下标ij应满足1inij，即1nj，21,,1nnjj。在所有排列12njjj中，能满足上述关系的排列只有一个排列(1)1nn，所以D中可能不为零的项只有一项12(2)1nnnaaa，此项的符号为(1)(12)2(1)(1)nnn，从而(1)212(1)1(1)nnnnnDaaa。

例6 计算行列式：3(31)212(1)1236;3D

4(41)212(2)(1)123424;34D

（3）5(51)212(1)12345120.345D

上面都是副对角形行列式，都是副对角线上元素的乘积，其前加上适当的符号，正负号由(1)2nn的奇偶性决定，请大家思考在什么情况下(1)2nn

是奇数，或是偶数？ 小结：1.n阶行列式是由n2个数排成的符号后按某种确定运算规律得到的一个