第1讲n阶行列式的定义与性质
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2 n
例4 求排列( 2k )1(2k 1)2(2k 2)...( k 1)k 的逆序数, 并讨论奇偶性。
解：2k 的逆序数为 2k 1 ； 的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ； 的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ； 的逆序数为0 3 ............ ( k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
教学目的: 《线性代数》是工科数学教学四门主要课
程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位， 在其他课程、科学研究和工程技术中有广泛的应用。因 此，工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以 及解决实际问题的能力， 从而为学习后续课程和进一步 扩大数学知识打下必要的数学基础。
教学内容与时间分配:
a1...al ac1...cnbb1...bm
a b a1...al bc1...cn ab1...bm
把上述对换分解成为： (1)a1...al ac1...cnbb1...bm (2)a1...al c1...cnbab1...bm (3)a1...al bc1...cn ab1...bm 把 (1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作 n 次相
这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。
所以经过若干次对换乘积项 (1) 中两元素 的位置，使列下标排列由 p1 p2 ... pn (逆序数为 ) 变为自然排列 (逆序数为 0 )；则行下标排列相 应地从自然排列就变为某个新的排列，设此新 的排列为 q1q2 ...qn，其逆序数为 s ，则 与s 的
则 则
r (1...i ... j ...n)
新的列下标排列的逆序数为 1，
1 ( p1 ... p j ... pi ... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的，且新的列下标排 列的逆序数 1与原列下标排列的逆序数 的奇 偶性不同，并注意到 r 为奇数，则有： ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)r 1 ( 1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn ( 1) 1 r a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn
q1q2 ...qn
(1) aq11aqq2 2 ...aqnn
(1) 1 2 al1s1 al2 s2 ...aln sn
1 (l1l2 ln )
2 (s1 s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项 ( 1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn (1) 其中 1...i ... j ...n为自然排列， 为列下标排 列 p1 ... pi ... p j ... pn 的逆序数。对换 (1) 中元 素a ip i 与 a jp j 成： ( 1) a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn 设新的行下标排列的逆序数为 r (2)
1) 主对角行列式 1 0 ... 0 2 ... ... ... ... 0 0 ...
2) 次对角行列式 0 ... 0 0 ... 2 ... ... ... n ... 0
n
1
0 0 12 ...n ...
1 2 ... ( n 2) ( n 1) n (n 1) 2
邻对换可得(3)，即共作了 2n+1 次相邻对换由(1)
而得到(3)。由前可知，作一次相邻对换，排列
的奇偶性改变一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性
就改变了2n+1次，即由原来的奇排列就变成了 偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。 ▌
定理2：n 元排列共有 n! 个，其中奇、偶排列的
个数相等，各有 n!/2 个。
定理4
a11 a21 D ... a n1
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n ( 1) aq1 1aq2 2 ...aqnn ... q1q2 ...qn ann ( 1) 1 2 al1s1 al2 s2 ...aln sn
0 ( 1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式
1) 下三角行列式 a11 a21 ... a n1
2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
0 a22 ... an 2
a12 a22 ... 0
... ... ... ...
... ... ... ...
0 0 a11a22 ...ann ... ann
例3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k，
求 pn…p3 p2 p1的逆序数
（ p1 p2 p3…pn是1～ n的某一排列） 解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的 逆序数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数 的组合数即 ：
n( n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1 ... p1 ) C 2 n( n 1) ( pn pn1 ... p1 ) k 2
a1n a2 n a11a22 ...ann ... ann
3) 次上三角行列式 a1,1 ... a1,n1 a1,n n ( n 1) a2,1 ... a2,n1 0 ( 1) 2 a1,na2,n1 ...an ,n ... ... ... ... an ,1 0 0 0
1 3 ... (2k 1) k 2
2 2
当k为偶数时,k 为偶数,当k为奇数时,k 为奇数。
第二节
n阶行列式的定义
一、定义
设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
p1 p2 ... pn
( 1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
称为 n 阶行列式，记作 a11 a21 D ... a n1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
p1 p2 ... pn
( 1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
n( n 1) ( n 1) ( n 2) ... 1 0 2
例2 在1~9构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列 解：由题可知， j、k 的取值范围为{3，8} 当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列 127435689的逆序数为5，即为奇排列 当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列 127485639的逆序数为10，即为偶排列 ∴ j = 8，k = 3
简记为det(aij )。数aij 称为行列式 det(aij )的元素.
其中 p1 p2 … pn是1～ n 的任一排列， 是排列 p1 p2 … pn的逆序数，即 = ( p1 p2 … pn )。
二、几个பைடு நூலகம்殊的行列式
1. 对角行列式
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
同时，就称这两个元素构成了一个逆序。
3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为 奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 5.计算排列逆序数的方法： 不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数， 并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为 这 n 个自然数的一个排列，考虑元素pi (i=1,2,…n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元 素有τi个，就说 pi 这个元素的逆序数是 i，
即： ( p1 p2 …pn)= 1 + 2 +…+ n 就是这个排列的逆序数。 例1 求排列13…(2n 1)24…(2n)的逆序数。
解：在该排列中，1 ～(2n1)中每个奇数的逆
序数全为0，2的逆序数为(n 1)，4的逆序数 为(n 2),…，(2n 2)的逆境序数为1，2n的 逆序数为0，于是该排列的逆序数为
§1.1 二阶、三阶行列式， 全排列及其逆序数 §1.2 n 阶行列式的定义 §1.3 行列式的性质（1）
第一节
二、三阶行列式 全排列及其逆序数
一、二阶行列式与三阶行列式
a11 a21 a11 a21 a31 a12 a22 a12 a22 a32 a11a22 a12 a21 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a23 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 a33
1-行列式(4学时) 2-矩阵及其应用(4学时) 3-矩阵的初等变换及线性方程组(6学时) 4-向量组的线性相关性(6学时)
5-相似矩阵及二次型(8学时)
课程特点：
四多：概念多 定理多 符号多 运算规律多 内容相互纵横交错，知识前后紧密联系。
要求： 课堂认真听讲，作业独立完成。
第一讲 n阶行列式的定义与性质
定理3：任意一个 n 元排列都可以经过一些对 换变成自然排列，并且所作对换的个数与这个
排列有相同的奇偶性。
四、行列式的等价定义
a11 a21 D ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
(q1q2 L qn )
奇偶性相同，且有 ( 1) a1 p1 a2 p2 ...aipi ...anpn ( 1) s aq1 1aq2 2 ...aq j j ...aqnn 又若 pi j，则q j i (即aipi aij aq j j )，由此可见 排列 q1q2 ...qn 完全是由排列 p1 p2 ... pn所唯一确定。
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积， 并冠以符号(-1)τ，得形如 (1) a1 p a2 p ...anp (1) 的项，其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个
1 2 n
排列，τ为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有 n! 个，因而形如(1)式的项共有 n! 项。 所有这 n! 项的代数和
况。
a b 设a1...al abb1...bm a1...al bab1...bm
(a1...al abb1...bm ) k
a b (a1 al bab1...bm ) k 1 当 a b (a1 al bab1...bm ) k 1 由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。再 证一般情况，设：
4) 次下三角行列式 0 ... 0 a1,n n ( n 1) 0 ... a2,n1 a2,n ( 1) 2 a1,na2,n1 ...an ,n ... ... ... ... an ,1 ... an ,n1 an ,n
三、对换与排列奇偶性的关系
1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余 元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。 将相邻两元素对换，称为相邻对换。 定理1:对换一个排列中的任意两个元素， 排列改变奇偶性。 证明：该定理的证明可分为两步来证。第一 步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情
注：
该定义称之为对角线法则。
二、全排列与逆序数
1.全排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做
这 n 个元素的全排列（简称排列）。 2.逆序：对于 n 个不同的元素，先规定各元素
之间的一个标准次序（如 n 个不同的自然数，
可规定由小到大）于是在这 n 个元素的任一排
列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不
例4 求排列( 2k )1(2k 1)2(2k 2)...( k 1)k 的逆序数, 并讨论奇偶性。
解：2k 的逆序数为 2k 1 ； 的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ； 的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ； 的逆序数为0 3 ............ ( k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
教学目的: 《线性代数》是工科数学教学四门主要课
程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位， 在其他课程、科学研究和工程技术中有广泛的应用。因 此，工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以 及解决实际问题的能力， 从而为学习后续课程和进一步 扩大数学知识打下必要的数学基础。
教学内容与时间分配:
a1...al ac1...cnbb1...bm
a b a1...al bc1...cn ab1...bm
把上述对换分解成为： (1)a1...al ac1...cnbb1...bm (2)a1...al c1...cnbab1...bm (3)a1...al bc1...cn ab1...bm 把 (1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作 n 次相
这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。
所以经过若干次对换乘积项 (1) 中两元素 的位置，使列下标排列由 p1 p2 ... pn (逆序数为 ) 变为自然排列 (逆序数为 0 )；则行下标排列相 应地从自然排列就变为某个新的排列，设此新 的排列为 q1q2 ...qn，其逆序数为 s ，则 与s 的
则 则
r (1...i ... j ...n)
新的列下标排列的逆序数为 1，
1 ( p1 ... p j ... pi ... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的，且新的列下标排 列的逆序数 1与原列下标排列的逆序数 的奇 偶性不同，并注意到 r 为奇数，则有： ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)r 1 ( 1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn ( 1) 1 r a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn
q1q2 ...qn
(1) aq11aqq2 2 ...aqnn
(1) 1 2 al1s1 al2 s2 ...aln sn
1 (l1l2 ln )
2 (s1 s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项 ( 1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn (1) 其中 1...i ... j ...n为自然排列， 为列下标排 列 p1 ... pi ... p j ... pn 的逆序数。对换 (1) 中元 素a ip i 与 a jp j 成： ( 1) a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn 设新的行下标排列的逆序数为 r (2)
1) 主对角行列式 1 0 ... 0 2 ... ... ... ... 0 0 ...
2) 次对角行列式 0 ... 0 0 ... 2 ... ... ... n ... 0
n
1
0 0 12 ...n ...
1 2 ... ( n 2) ( n 1) n (n 1) 2
邻对换可得(3)，即共作了 2n+1 次相邻对换由(1)
而得到(3)。由前可知，作一次相邻对换，排列
的奇偶性改变一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性
就改变了2n+1次，即由原来的奇排列就变成了 偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。 ▌
定理2：n 元排列共有 n! 个，其中奇、偶排列的
个数相等，各有 n!/2 个。
定理4
a11 a21 D ... a n1
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n ( 1) aq1 1aq2 2 ...aqnn ... q1q2 ...qn ann ( 1) 1 2 al1s1 al2 s2 ...aln sn
0 ( 1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式
1) 下三角行列式 a11 a21 ... a n1
2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
0 a22 ... an 2
a12 a22 ... 0
... ... ... ...
... ... ... ...
0 0 a11a22 ...ann ... ann
例3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k，
求 pn…p3 p2 p1的逆序数
（ p1 p2 p3…pn是1～ n的某一排列） 解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的 逆序数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数 的组合数即 ：
n( n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1 ... p1 ) C 2 n( n 1) ( pn pn1 ... p1 ) k 2
a1n a2 n a11a22 ...ann ... ann
3) 次上三角行列式 a1,1 ... a1,n1 a1,n n ( n 1) a2,1 ... a2,n1 0 ( 1) 2 a1,na2,n1 ...an ,n ... ... ... ... an ,1 0 0 0
1 3 ... (2k 1) k 2
2 2
当k为偶数时,k 为偶数,当k为奇数时,k 为奇数。
第二节
n阶行列式的定义
一、定义
设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
p1 p2 ... pn
( 1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
称为 n 阶行列式，记作 a11 a21 D ... a n1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
p1 p2 ... pn
( 1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
n( n 1) ( n 1) ( n 2) ... 1 0 2
例2 在1~9构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列 解：由题可知， j、k 的取值范围为{3，8} 当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列 127435689的逆序数为5，即为奇排列 当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列 127485639的逆序数为10，即为偶排列 ∴ j = 8，k = 3
简记为det(aij )。数aij 称为行列式 det(aij )的元素.
其中 p1 p2 … pn是1～ n 的任一排列， 是排列 p1 p2 … pn的逆序数，即 = ( p1 p2 … pn )。
二、几个பைடு நூலகம்殊的行列式
1. 对角行列式
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
同时，就称这两个元素构成了一个逆序。
3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为 奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 5.计算排列逆序数的方法： 不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数， 并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为 这 n 个自然数的一个排列，考虑元素pi (i=1,2,…n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元 素有τi个，就说 pi 这个元素的逆序数是 i，
即： ( p1 p2 …pn)= 1 + 2 +…+ n 就是这个排列的逆序数。 例1 求排列13…(2n 1)24…(2n)的逆序数。
解：在该排列中，1 ～(2n1)中每个奇数的逆
序数全为0，2的逆序数为(n 1)，4的逆序数 为(n 2),…，(2n 2)的逆境序数为1，2n的 逆序数为0，于是该排列的逆序数为
§1.1 二阶、三阶行列式， 全排列及其逆序数 §1.2 n 阶行列式的定义 §1.3 行列式的性质（1）
第一节
二、三阶行列式 全排列及其逆序数
一、二阶行列式与三阶行列式
a11 a21 a11 a21 a31 a12 a22 a12 a22 a32 a11a22 a12 a21 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a23 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 a33
1-行列式(4学时) 2-矩阵及其应用(4学时) 3-矩阵的初等变换及线性方程组(6学时) 4-向量组的线性相关性(6学时)
5-相似矩阵及二次型(8学时)
课程特点：
四多：概念多 定理多 符号多 运算规律多 内容相互纵横交错，知识前后紧密联系。
要求： 课堂认真听讲，作业独立完成。
第一讲 n阶行列式的定义与性质
定理3：任意一个 n 元排列都可以经过一些对 换变成自然排列，并且所作对换的个数与这个
排列有相同的奇偶性。
四、行列式的等价定义
a11 a21 D ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
(q1q2 L qn )
奇偶性相同，且有 ( 1) a1 p1 a2 p2 ...aipi ...anpn ( 1) s aq1 1aq2 2 ...aq j j ...aqnn 又若 pi j，则q j i (即aipi aij aq j j )，由此可见 排列 q1q2 ...qn 完全是由排列 p1 p2 ... pn所唯一确定。
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积， 并冠以符号(-1)τ，得形如 (1) a1 p a2 p ...anp (1) 的项，其中p1p2…pn为自然数1、2、…、n的一个
1 2 n
排列，τ为这个排列的逆序数。由于这样的排 列共有 n! 个，因而形如(1)式的项共有 n! 项。 所有这 n! 项的代数和
况。
a b 设a1...al abb1...bm a1...al bab1...bm
(a1...al abb1...bm ) k
a b (a1 al bab1...bm ) k 1 当 a b (a1 al bab1...bm ) k 1 由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。再 证一般情况，设：
4) 次下三角行列式 0 ... 0 a1,n n ( n 1) 0 ... a2,n1 a2,n ( 1) 2 a1,na2,n1 ...an ,n ... ... ... ... an ,1 ... an ,n1 an ,n
三、对换与排列奇偶性的关系
1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余 元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。 将相邻两元素对换，称为相邻对换。 定理1:对换一个排列中的任意两个元素， 排列改变奇偶性。 证明：该定理的证明可分为两步来证。第一 步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情
注：
该定义称之为对角线法则。
二、全排列与逆序数
1.全排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做
这 n 个元素的全排列（简称排列）。 2.逆序：对于 n 个不同的元素，先规定各元素
之间的一个标准次序（如 n 个不同的自然数，
可规定由小到大）于是在这 n 个元素的任一排
列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不