第1讲n阶行列式的定义与性质
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n阶行列式的定义及性质
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
n阶行列式的定义及性质
综上, 我们有
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
第一节 n阶行列式的定义
一、内容提要本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法．此外还介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克莱姆法则．二、学习要求正确理解n阶行列式的定义；熟悉行列式的性质，会利用行列式的性质化简行列式；熟悉行列式按行（列）展开的方法；熟练掌握行列式的计算方法；掌握克莱姆法则．第一节 n阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22– a12a21≠0 时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成如果记则当D≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成(3)这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1用二阶行列式解线性方程组解：这时，因此，方程组的解是对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2令当D≠0时，(4)的解可简单地表示成(6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3解线性方程组解：所以，例4已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．解，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识。
线性代数-N阶行列式概要
线性代数
南京工业大学理学院 信息与计算科学系 程 浩
介 绍
线性代数是研究在日常生活里、在工程技术
的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的
代数问题的一门学科。 这些代数问题包括：矩阵的运算，线性方 程组的求解理论与方法，化二次型为标准型，
线性空间与线性变换等。
1 什么全国大学生数学建模竞赛？ 2 数学建模竞赛在我校的情况？ 3 该怎样参加数学建模竞赛？
－ ＋ ＋ a31 a32 a33
1 2
＋
－ ＋
A12 = (1)
a21 a23 a31 a33 a21 a22 a31 a32
(a21a33 a23a31 )
和
A13 = (1)
1 3
a21a32 a22a31
而且
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a31 a32 a33
例1． 解线性方程组
x1 2 x2 0 3 x1 4 x2 1 解 由于方程组的系数行列式 1 2 D 4 6 2 0 3 4 又 1 0 0 2 D2 1 D1 2 3 1 1 4
所以方程组的解为
D1 x1 1 D
D2 1 x2 D 2
1 3
解
8
0 1 1 1
例2．计算行列式 D 1 2 3
D =1 2 1 1 (1) 1 0 3 3
1 2 3 1 3 1 0 (1) 1
=8
但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向
一般 n 阶行列式推广。
事实上，三阶行列式的计算，除了主、副对 角线法则
南京工业大学理学院 信息与计算科学系 程 浩
介 绍
线性代数是研究在日常生活里、在工程技术
的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的
代数问题的一门学科。 这些代数问题包括：矩阵的运算，线性方 程组的求解理论与方法，化二次型为标准型，
线性空间与线性变换等。
1 什么全国大学生数学建模竞赛？ 2 数学建模竞赛在我校的情况？ 3 该怎样参加数学建模竞赛？
－ ＋ ＋ a31 a32 a33
1 2
＋
－ ＋
A12 = (1)
a21 a23 a31 a33 a21 a22 a31 a32
(a21a33 a23a31 )
和
A13 = (1)
1 3
a21a32 a22a31
而且
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a31 a32 a33
例1． 解线性方程组
x1 2 x2 0 3 x1 4 x2 1 解 由于方程组的系数行列式 1 2 D 4 6 2 0 3 4 又 1 0 0 2 D2 1 D1 2 3 1 1 4
所以方程组的解为
D1 x1 1 D
D2 1 x2 D 2
1 3
解
8
0 1 1 1
例2．计算行列式 D 1 2 3
D =1 2 1 1 (1) 1 0 3 3
1 2 3 1 3 1 0 (1) 1
=8
但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向
一般 n 阶行列式推广。
事实上，三阶行列式的计算，除了主、副对 角线法则
n阶行列式的定义
课程信息
教材：《线性代数》
教师： 林军
同济大学
课程要求：(1) 课前预习 (2) 认真听讲 (3) 课后复习,认真 完成作业
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在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
2
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我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
3
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第一章 行列式
•
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换 （选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
解 ∵k1=3 k2=3 k3=0 k4=1 k5=0
t(35412) = k1 + k2 + ---+ k5=3+3+0+1+0 =7
例3、求n元排列123---n和n(n-1)---321的逆序数，
解 n元排列123---n是标准排列
t(123---n)=0
n元排列n(n-1)---321中，
4
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
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第一节 n阶行列式 一、n元排列的定义与逆序：
教材：《线性代数》
教师： 林军
同济大学
课程要求：(1) 课前预习 (2) 认真听讲 (3) 课后复习,认真 完成作业
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在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
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在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
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第一章 行列式
•
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换 （选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
解 ∵k1=3 k2=3 k3=0 k4=1 k5=0
t(35412) = k1 + k2 + ---+ k5=3+3+0+1+0 =7
例3、求n元排列123---n和n(n-1)---321的逆序数，
解 n元排列123---n是标准排列
t(123---n)=0
n元排列n(n-1)---321中，
4
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
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第一节 n阶行列式 一、n元排列的定义与逆序：
线性代数课件1-1n阶行列式的定义
03
行列式在数学和工程领域的应用
在数学中，行列式是矩阵和 线性方程组的重要工具。
在物理学中，行列式用于描 述物体的形状、结构等。
在计算机科学中，行列式用于 计算矩阵的逆、转置等操作。
在工程学中，行列式用于解决各 种实际问题，如结构分析、控制 系统等。
02
n阶行列式的定义
二阶行列式
01
二阶行列式表示为2x2矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})
02
其中，(a_{11})、(a_{12})、(a_{21})和(a_{22})是矩阵中的元 素。
03
二阶行列式可用于计算向量叉积和点积。
三阶行列式
三阶行列式表示为3x3矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33})
行列式的代数余子式
代数余子式定义
对于一个n阶行列式，去掉某行和 某列后得到的(n-1)阶行列式称为 原行列式的代数余子式。
代数余子式的性质
代数余子式的符号由其所在的行 和列的元素符号决定，具体为 “+”或“-”。
代数余子式的计算
方法
通过展开法则计算代数余子式， 即行列式等于其所有代数余子式 的乘积之和。
解的求解
行列式也可以用来求解线性方程组。通过高斯消元法或LU分解等算法，我们可以利用行列式来求解线 性方程组。
在矩阵运算中的应用
矩阵的逆
行列式与矩阵的逆有密切关系。如果一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵就有逆矩 阵。
行列式在数学和工程领域的应用
在数学中，行列式是矩阵和 线性方程组的重要工具。
在物理学中，行列式用于描 述物体的形状、结构等。
在计算机科学中，行列式用于 计算矩阵的逆、转置等操作。
在工程学中，行列式用于解决各 种实际问题，如结构分析、控制 系统等。
02
n阶行列式的定义
二阶行列式
01
二阶行列式表示为2x2矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})
02
其中，(a_{11})、(a_{12})、(a_{21})和(a_{22})是矩阵中的元 素。
03
二阶行列式可用于计算向量叉积和点积。
三阶行列式
三阶行列式表示为3x3矩阵，其计算公式为：(D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33})
行列式的代数余子式
代数余子式定义
对于一个n阶行列式，去掉某行和 某列后得到的(n-1)阶行列式称为 原行列式的代数余子式。
代数余子式的性质
代数余子式的符号由其所在的行 和列的元素符号决定，具体为 “+”或“-”。
代数余子式的计算
方法
通过展开法则计算代数余子式， 即行列式等于其所有代数余子式 的乘积之和。
解的求解
行列式也可以用来求解线性方程组。通过高斯消元法或LU分解等算法，我们可以利用行列式来求解线 性方程组。
在矩阵运算中的应用
矩阵的逆
行列式与矩阵的逆有密切关系。如果一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵就有逆矩 阵。
第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质
第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质1.二阶行列式定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，2112112211112a b b a b a b a D -==得 .,2211DD x DD x ==例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 称为三阶行列式。
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
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这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。
所以经过若干次对换乘积项 (1) 中两元素 的位置，使列下标排列由 p1 p2 ... pn (逆序数为 ) 变为自然排列 (逆序数为 0 )；则行下标排列相 应地从自然排列就变为某个新的排列，设此新 的排列为 q1q2 ...qn，其逆序数为 s ，则 与s 的
4) 次下三角行列式 0 ... 0 a1,n n ( n 1) 0 ... a2,n1 a2,n ( 1) 2 a1,na2,n1 ...an ,n ... ... ... ... an ,1 ... an ,n1 an ,n
三、对换与排列奇偶性的关系
1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余 元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。 将相邻两元素对换，称为相邻对换。 定理1:对换一个排列中的任意两个元素， 排列改变奇偶性。 证明：该定理的证明可分为两步来证。第一 步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情
况。
a b 设a1...al abb1...bm a1...al bab1...bm
(a1...al abb1...bm ) k
a b (a1 al bab1...bm ) k 1 当 a b (a1 al bab1...bm ) k 1 由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。再 证一般情况，设：
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
即： ( p1 p2 …pn)= 1 + 2 +…+ n 就是这个排列的逆序数。 例1 求排列13…(2n 1)24…(2n)的逆序数。
解：在该排列中，1 ～(2n1)中每个奇数的逆
序数全为0，2的逆序数为(n 1)，4的逆序数 为(n 2),…，(2n 2)的逆境序数为1，2n的 逆序数为0，于是该排列的逆序数为
a1...al bb1...bm
a b a1...al ab1...bm
把上述对换分解成为： (1)a1...al bb1...bm (2)a1...al bab1...bm (3)a1...al ab1...bm 把 (1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作 n 次相
例3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k，
求 pn…p3 p2 p1的逆序数
（ p1 p2 p3…pn是1～ n的某一排列） 解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的 逆序数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数 的组合数即 ：
n( n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1 ... p1 ) C 2 n( n 1) ( pn pn1 ... p1 ) k 2
同时，就称这两个元素构成了一个逆序。
3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为 奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 5.计算排列逆序数的方法： 不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数， 并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为 这 n 个自然数的一个排列，考虑元素pi (i=1,2,…n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元 素有τi个，就说 pi 这个元素的逆序数是 i，
邻对换可得(3)，即共作了 2n+1 次相邻对换由(1)
而得到(3)。由前可知，作一次相邻对换，排列
的奇偶性改变一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性
就改变了2n+1次，即由原来的奇排列就变成了 偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。 ▌
定理2：n 元排列共有 n! 个，其中奇、偶排列的
个数相等，各有 n!/2 个。
§1.1 二阶、三阶行列式， 全排列及其逆序数 §1.2 n 阶行列式的定义 §1.3 行列式的性质（1）
第一节
二、三阶行列式 全排列及其逆序数
一、二阶行列式与三阶行列式
a11 a21 a11 a21 a31 a12 a22 a12 a22 a32 a11a22 a12 a21 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13 a21a32 a23 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 a33
0 ( 1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式
1) 下三角行列式 a11 a21 ... a n1
2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
0 a22 ... an 2
a12 a22 ... 0
... ... ... ...
... ... ... ...
0 0 a11a22 ...ann ... ann
1 3 ... (2k 1) k 2
2 2
当k为偶数时,k 为偶数,当k为奇数时,k 一、定义
设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
则 则
r (1...i ... j ...n)
新的列下标排列的逆序数为 1，
1 ( p1 ... p j ... pi ... pn )
由于(2)与(1)的值是相等的，且新的列下标排 列的逆序数 1与原列下标排列的逆序数 的奇 偶性不同，并注意到 r 为奇数，则有： ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)r 1 ( 1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn ( 1) 1 r a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn
a1n a2 n a11a22 ...ann ... ann
3) 次上三角行列式 a1,1 ... a1,n1 a1,n n ( n 1) a2,1 ... a2,n1 0 ( 1) 2 a1,na2,n1 ...an ,n ... ... ... ... an ,1 0 0 0
定理4
a11 a21 D ... a n1
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n ( 1) aq1 1aq2 2 ...aqnn ... q1q2 ...qn ann ( 1) 1 2 al1s1 al2 s2 ...aln sn
定理3：任意一个 n 元排列都可以经过一些对 换变成自然排列，并且所作对换的个数与这个
排列有相同的奇偶性。
四、行列式的等价定义
a11 a21 D ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
(q1q2 L qn )
教学目的: 《线性代数》是工科数学教学四门主要课
程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位， 在其他课程、科学研究和工程技术中有广泛的应用。因 此，工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以 及解决实际问题的能力， 从而为学习后续课程和进一步 扩大数学知识打下必要的数学基础。
教学内容与时间分配:
1) 主对角行列式 1 0 ... 0 2 ... ... ... ... 0 0 ...
2) 次对角行列式 0 ... 0 0 ... 2 ... ... ... n ... 0
n
1
0 0 12 ...n ...
1 2 ... ( n 2) ( n 1) n (n 1) 2
2 n
例4 求排列( 2k )1(2k 1)2(2k 2)...( k 1)k 的逆序数, 并讨论奇偶性。
解：2k 的逆序数为 2k 1 ； 的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ； 的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ； 的逆序数为0 3 ............ ( k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
p1 p2 ... pn
( 1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
称为 n 阶行列式，记作 a11 a21 D ... a n1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ... a1n a2 n ... ann
p1 p2 ... pn
( 1) a1 p1 a2 p2 ...anpn
n( n 1) ( n 1) ( n 2) ... 1 0 2
例2 在1~9构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列 解：由题可知， j、k 的取值范围为{3，8} 当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列 127435689的逆序数为5，即为奇排列 当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列 127485639的逆序数为10，即为偶排列 ∴ j = 8，k = 3
q1q2 ...qn
(1) aq11aqq2 2 ...aqnn
(1) 1 2 al1s1 al2 s2 ...aln sn
1 (l1l2 ln )
2 (s1 s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项 ( 1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn (1) 其中 1...i ... j ...n为自然排列， 为列下标排 列 p1 ... pi ... p j ... pn 的逆序数。对换 (1) 中元 素a ip i 与 a jp j 成： ( 1) a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn 设新的行下标排列的逆序数为 r (2)
简记为det(aij )。数aij 称为行列式 det(aij )的元素.