n阶行列式的定义及性质
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第1节 n阶行列式的定义(全)
表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式 二阶行列式， 数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中， 称为元素 元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第 行； 行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第 列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ； 个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换， 同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。 个偶排列均变成奇排列，
从而， 从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解 按对角线法则，有 按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)
第一章n阶行列式的定义
an1bn1 an2bn2 ann
1 a a a b t p1 p2pn 1 p1 2 p2
12n p1 p2 pn
npn
p1 p2 pn
由于 p1 p2 pn 1 2 n, 所以
D2
1 a a a b t p1 p2pn 1 p1 2 p2
12n p1 p2 pn
5、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1t .
特殊行列式：
a 11
(1) 主对角行列式：
a 22
a a a
11 22
nn
(2) 副对角行列式：
a nn a 1n
a 2 n1
a n1
n n1
(1) 2 a a
a
1n 2 n1
n1
a11
(3)
下三角行列式：
a21
a22
a11a22 ann
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每一项的三个元素，行标标准、列标非标准．
a1 p1a2 p2a3 p3
(其中
p 1
p 2
p 3
是由123组成的所有三级排列
)
（4）每一项的符号由列标的逆序数确定，列标
偶数取正，列标奇数取负。
(1)t a a a 1 p1 2 p2 3 p3
a11 a12 a13
n 阶行列式的定义与性质
是标准排列。故
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
综上, 我们有
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
关于行列式的一般定义及计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值一样。
即nnn n nn a a a a a a a a a212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行〔列〕，行列式的值变号.322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==〔1如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行〔或两列〕完全一样，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
〔第i 行乘以k ，记作r i k ⨯〕推论1：一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
3-1 n阶行列式的概念
第三章 n阶行列式 阶行列式
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
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推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
anpn
k
p1 p2
(1) ( p1 p2
pn
pn )
a1 p1
ai 1 pi1 aipi ai 1 pi1
anpn
kD
2 1 0 3 1 2
1 1 1
2
2 1 1 2 1 1 0 1 1 8 0 1 1 8 2 16 24 16 8 3 2 1
a ain ain i1 ann
an1 an 2
性质1.5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然 后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变.
a11
a1i
a1 j
a1n
a 21 a 2 i a 2 j a 2 n k a n1 a ni
(321) 3
7
定理1.1
对换改变排列的奇偶性，即经过一次对换，奇排列 变成偶排列，偶排列变成奇排列.
定理 1.2
在全部n级排列中(n≥2)，奇偶排列各占一半.
定理1.3
任意一个
n 级排列可经过一系列对换变成自然排列，
并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同.
三、ｎ阶行列式定义
引：三阶行列式的定义的另一种表示：
2、把该项的元素按行 标自然顺序排列，然 后求列标的逆序数
(1)
2
d1d 2 d n
14
用定义计算
a11 D 0 0 0
0 a22 a32 0
0 a23 0 a43
0 0 a34 a44
15
a11a22a34a43 a11a23a32a44
用定义计算
a11
a12
a13 a23 0 0 0
a11 a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
(p p3 ) a a a a11 a22 a33 a 1p 2a 12 a 23 31 13 21 32
p1 p 13 2 p3 22 31
1 a a a a
1 2 3 a a a a a 12 21 33 11 23 32
a1 p a2 p a3 p
• 左边是一个三行三列的“数表”， • 每项均为不同行不同列的三个元素的乘积； • 右边共含6项，包含了所有由不同行不同列的三个元素的组合；
问题：右边各项之前所带的正负号有什么规律 ？？
9
三、ｎ阶行列式定义
a11 a21 an1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
a11a22
三、ｎ阶行列式定义
当行列式中的零元素相当多时，可以用定义计算其值
•特别对于象对角行列式、三角行列式；
例
d1 0 0
0 0 dn
0 0
0 0 d1d 2 d n
1、所有n!项中，只 有1项不等于零！
d2
dn
0 d2 0
d1 0 (1) [ n( n1)21] d d d 1 2 n n( n 1) 0
a11 ci kc j
a nj
a nn
a1n ann
25
(a1i ka1 j ) a1 j
a 21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 n an1 (a ni kanj ) anj
a11a23a34a42
a12a23a34a41
(1342 ) 2 , (2341 )3
11
例 证明n阶行列式
a11 0 0 0 a12 a 22 0 0 a13 a 23 a 33 0 a1n a 2n a 3n a11 a 22 a 33 a nn a nn
故只需考虑 已取
乘积中因子不出现零的项. 对于上三角行列式，第n行中当
pn 1 n 1 或 pn 1 n这两种情形. 但是 pn n，并且 pn 1 pn，因此只有 pn 1 n 1
ann可能不为零，而 (12 n) 0
结论得证
依次类推，可知在n阶行列式的展开式中只有唯一的一项
p1 p2 pn
( p1 p2 pn ) ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn
p1 p2 pn
( p1 p2 pn ) ( 1 ) a p11a p2 2 a pnn
说明
• 等式右端的求和是对所有的n级排列求和，
• 右端的展开式中共含 n! 项，各项均为左端 的不同行不同列的元素乘积； • 上述n阶行列式可简记为 det(aij ) • 一个数也可看为一阶行列式
又如
(135(2n 1)246(2n))
(n 1) (n 2) 2 1 0 n(n 1) 2
练一练： (135264 )
(462531 )
＝4 ＝11
5
思考： 解：
n(n 1)(n 2)...21 是奇排列还是偶排列？？
n(n 1) (n(n 1)( n 2)...21) 1 2 (n 1) 2
(31254）=3，所以31254是奇排列
.例如，自然数1，2，3的排列共有六个： 1 2 3， 3 1 2， 2 3 1， 1 3 2， 2 1 3， 3 2 1.
偶排列: 逆序数为偶 数的排列
奇排列：
逆序数为偶 数的排列
(312) 2,
n! 结论：一个ｎ级排列中奇偶排列各占一半，即 2
,n
DT
b11 b21
b12 b22
b1n b2 n bnn
bn1 bn 2
p1 p2
(1) ( p1 p2
( p1 p2
pn )
pn
b1 p1 b2 p2
bnpn
a pn n
D
p1 p2
(1)
pn
pn )
a p11a p2 2
性质1.2 互换行列式的两行(列)，行列式变号.
.例如
2 1 0 3 1 2
1 1 1
2
1
1 1 2
2
0 1 3 1
2
注意：第i行(列)与第j行(列)交换记为:
ri rj (ci c j )
推论 ： 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
20
性质1.3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k，等于用数k乘此行列式.
DT ，
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
an1 an 2 ann
T
T D 即 D 是这样得到的：把D中第i行作为 的第i列，这就是说
D T 的第i行第j列处的元素为D的第j行第i列处的元素. 称D
为行列式D的转置行列式.
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等. ， ) bij a ji , i , j 1, 2, 证 记 D det(aij 则由行列式的定义式(1.8)与(1.9)可得
a a
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32
11
21
a a
12 22
a11a22 a12 a21
a13a21a32
a13 a 23 a33
a11a22 a33 a12 a23a31
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
1
第一章 行列式
这种主对角线(从左上角到右下角的对角线)以下(上
)的元素都是0的行列式，称为上(下)三角行列式.
pn n
证 由于n阶行列式的展开式中每一项的一般形式是(Βιβλιοθήκη ) ( p1 p2pn )
a1 p1 a2 p2
anpn
其中只要有一个元素等于零，乘积就是零，所以只需计算
pn n 时， anpn 0，故只需考虑 pn n 的项即可. 又因 为在第 n 1行中，当 pn 1 n 1, n 时，an1, pn1 0