线性代数第一章n阶行列式【哈工大版】学习资料
合集下载
大一线性代数行列式知识点
大一线性代数行列式知识点线性代数是大学数学课程中的重要内容之一，而线性代数中的行列式更是一个关键的概念。
行列式具有广泛的应用，在矩阵运算、方程求解、向量空间等方面都发挥着重要的作用。
本文将介绍一些大一学生常见的线性代数行列式知识点，包括行列式的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义行列式可以看作是一个方阵的一个具体的实数值。
对于一个n阶方阵A，行列式的定义如下：det(A)=∑(−1)^σP(a1,σ(1))a2,σ(2)...an,σ(n)其中，det(A)表示方阵A的行列式，σ表示一个置换，P表示这个置换的奇偶性，a1, a2, ..., an表示A的元素。
二、行列式的性质行列式具有许多重要的性质，下面将介绍其中一些常见的性质。
1. 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。
这意味着行列式的值不受行、列次序的影响，只取决于方阵中元素的值。
2. 互换某两行（列）的位置，行列式的值变号。
这个性质说明了方阵中交换两行（列）的位置对行列式的值有影响。
3. 方阵中某行（列）的元素都乘以一个数k，行列式的值乘以k。
这个性质说明了方阵某行（列）的元素乘以一个数k对行列式的值有影响。
4. 方阵中某行（列）的元素表示为两个数之和，可以将行列式分成两项之和。
这个性质可以用于简化行列式的计算。
三、行列式的计算方法计算行列式的值是线性代数中的重要技能之一，下面将介绍两种常见的计算行列式的方法。
1. 代数余子式法代数余子式法是一种逐步缩小行列式规模的计算方法。
具体步骤如下：- 选定方阵A的第一行（列）；- 对于第一行（列）的每个元素aij，计算其代数余子式Mij；- 根据公式det(A) = ∑((-1)^(i+j))aijMij，计算行列式的值。
2. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种从行或列展开的计算方法。
具体步骤如下：- 选定方阵A的第一行（列）；- 对于每个选定的元素aij，计算其余子式Aij；- 根据公式det(A) = ∑((-1)^(i+j))aijAij，计算行列式的值。
哈尔滨工业大学数学系 第一章 行列式
a11a22-a12a21
=
a11 a12 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
返
二阶行列式
a11 a12 符号为二阶矩阵 称形如 a21 a22 的符号为二阶矩阵 a11 a12 的行列式,简称二阶行列式. 简称二阶行列式 的行列式 简称二阶行列式 a21 a22
2 3 =11≠0 解: D= 1 7 9 3 =75 D1= -4 7 2 9 =-17 D2= 1 -4
x=75/11 y=-17/11
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31 +a13a21a32 -a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31
= ∑(-1)t(p1p2…pn) aP11aP22
bnPn aPnn = D
性质(2) 换行 (列) 换号（即 D1= - D ） a11 a12 … a1n r r b11 b12 … b1n i j b21 b22 … b2n D= a21 a22 … a2n
… … … … … … … … … …
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
返
三阶线性方程组
a11x1+a12x2 +a13x3 =b1 a21x1+a22x2 +a23x3 =b2 a31x1+a32x2 +a33x3 =b3 a11 a12 a13 若 D= a21 a22 a23 ≠0 a31 a32 a33
线性代数教学课件第一章行列式第一节n 阶行列式
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
为了便于记忆，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行，
纵排叫列，aij叫行列式的元素，元素aij 的第一个
下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 13
二阶行列式的计算
行列式中的横排叫行，纵排叫列，叫元素. 三阶 行列式所表示的代数和可利用下图所示的对角线 法则来记忆，实线上三元素之积取正号，虚线上 三元素之积取负号.
16
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
28
同理可得下三角行列式
a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann
a11a22 ann .
29
特殊情况:
a11 0 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 0 a33 0 0 a11a22 ann . 0 0 0 0 ann
这种行列式称为对角行列式.
30
类似可证：
关，如方程 x2 1 0
在有理数范围和实数范围均无解，但在复数
范围有解：x i
5
因此同一问题在不同的数集内可有不同的结 果. 另一方面，有理数、实数和复数有许多共同 的关于加、减、乘、除的运算性质, 为了把具有 这些共同运算性质的数集统一处理，便引入以下 数域的概念.
定义1.1 设F是至少含有两个不同复数的数集，若 中任意两个数（可以相同）的和、差、积、商（除 数非零）仍为F中的数，则称F是一个数域(field of numbers). 若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中， 则称F关于这一运算封闭. 因此，F为数域当且仅当 至少含有两个不同数且关于加、减、乘、除（除数 非零）的运算封闭.
线性代数课程课件-第一节n阶行列式的定义
行列式性质3
如果行列式的某行(列）的各元 素是两个元素之和，那么这个 行列式等于两个行列式的和。
行列式转置性质
行列式D的转置行列式DT等于 D，即DT=D。
行列式性质2
把行列式中某一行（列）的所 有元素都乘以一个数K，等于 用数K乘以行列式。
行列式性质4
如果行列式中有两行（列）相 同，那么行列式为零。
n阶行列式的运算规则
01
行列式按行（列）展开法则
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
02
克拉默法则
如果线性方程组系数行列式D≠0，则该线性方程组有唯一解，且解向量
可由系数行列式的各列元素唯一确定。
03
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素
性质
范德蒙德行列式的值等于$prod_{1 leq j < i leq n} (x_i - x_j)$，即所有不同两行对应元素之差的乘积。若$x_i = x_j$（$i neq j$），则范德蒙德行列式的值为零。
04 n阶行列式的性质与运算
n阶行列式的性质
行列式性质1
互换行列式的两行（列），行 列式变号。
主对角线
从左上角到右下角的连线 称为主对角线，主对角线 上的元素称为主对角元素。
n阶行列式的性质
01
02
03
04
行列式转置
行列式行与列互换，其值不变 。
行列式性质
对换行列式的两行（列），行 列式变号。
行列式的数乘性质
某一行（列）的所有元素的公 因子可以提到行列式符号的外
面。
行列式的加法性质
若行列式中有两行（列）完全 相同，则此行列式为零。
线性代数 n阶行列式
t 01 0 01 3 4 4 5
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
t n 1 n 2 2 1
a11 a12 a22 a1 n
0 0
a2 n 1 12n a a a 11 22 nn a11a22 ann . 0 ann
1 2 3 4
例5
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 4 0 0 3 2 5 0 4 1 1 4 5 8 160. 6 8
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
5、 a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1 j1 j2 jn
其中 j1 j2 jn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列.
D
a11 a21 an1
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 设排列为 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm a1 al ab b1 bm 除 a,b 外，其它元素的反序数不改变. 当a b 时
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
t n 1 n 2 2 1
a11 a12 a22 a1 n
0 0
a2 n 1 12n a a a 11 22 nn a11a22 ann . 0 ann
1 2 3 4
例5
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 4 0 0 3 2 5 0 4 1 1 4 5 8 160. 6 8
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
5、 a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1 j1 j2 jn
其中 j1 j2 jn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列.
D
a11 a21 an1
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 设排列为 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm a1 al ab b1 bm 除 a,b 外，其它元素的反序数不改变. 当a b 时
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
线性代数第一章行列式第四节对换
排列各占一半. 排列变为a ··mlbab1 · b . 显然, ·al 和 · · · · · · 排列变为a1 · albab1 1·ba. 显然, m排列 a1 ·排列 a1 · · · · 个不同的 证明b 设在全部 设在全部 n 阶排列中有 这 个不同 证明 n 阶排列中有 s而 a , b s而 a , b · · b1 · bm 经对换后的逆序数并不改变, · · 1 · bm 经对换后的逆序数并不改变, 推论奇排列和 t 个不同的偶排列,需证 s = t. 奇排列和 两个元素的逆序数改变为: = t. t 2 奇排列变成标准排列的对换次数为 个不同的偶排列,需证 s 当a<b时,经对换后 两个元素的逆序数改变为: 当a<b时,经对换后 a 奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 当a>b时 的逆序数增加 把 而 个奇排列最左边的两个数对换,则 1 s b 的逆序数不变; 当a>b时,经 把 s 的逆序数增加 1 而 b 的逆序数不变; 个奇排列最左边的两个数对换,则 s 个
一种表示法. 排列改变奇偶性. 对于行列式的任一项
(1) a1 p1 aipi a jp j anpn ,
t
其中 1i j n 为自然数排列，t 为排列
p1 pi p j pn
的逆序数， 对换元素 aipi 与 a jp j 成
(1)t a1 p1 a jp j aipi anpn ,
对换模型 a 的逆序数不变而 b 的逆数减少 1. 对换后 个不同的偶排列, 所以 ≤ 所以 对换后 a 的逆序数不变而s b 的逆数减少 s1. 所以 s ≤ 奇排列变成了 s 奇排列变成了 个不同的偶排列, t .
三、n 阶行列式的等价定义
利用定理 1 一个排列中的任意两个元素对换, 下面来讨论行列式定义的另
《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题课
00 00
x 1
0 0 x 1
00
x 1 0 0
0 0 (1)nn( x a1) 0 x
00
0 1
00 0x
证法二：按第一列展开，得
Dn=xDn-1+an 再根据上面的递推公式可得结果。
c1 xc2 xn1cn
证法三：Dn
0
1 0
0
x 1
00 00
0
00
0
0
an
例2 计算
1111
abcd D
a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解：构造
1111 1 abcd x
f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3
a4 b4 c4 d 4 x4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
1
11
1
an
an1 an Dn1
an1 an (a1a2 an2 an1Dn2 )
方法三：升级法。看例1
11
1 11
1
解：原式= 0 1 a1
1
1
a1
0
01
1 an 1 0
an
1 aa c1
i
n 2
1 ai 1
ci
n 1
i1 i
1
1
0
a1
0
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式 ２）关于代数余子式的重要性质
a A n ki k 1
线性代数1-3 n阶行列式的计算
311 131 113
1234 2341 3412 4123
例7 计算行列式 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0
D5 0 1 1 a a 0 . 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
解： 将行列式的其它行加到第一行得
a 0 0 0 1 1 1a a 0 0 D5 0 1 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
3 2 0 ... 0 0
1 3 2 ... 0 0
3Dn1 2 ... ... ... ... ... ... 3Dn1 2Dn2
0 0 0 ... 3 2 0 0 0 ... 1 3
3 2 0 ... 0 0 1 3 2 ... 0 0
即
Dn 3Dn1 2Dn2
1
0 0 0 y
1 1 1 y
第一章 行列式
1
xy 2 x 1
1
1 1 y
1
1 x 1 0 1 y 0
1 1 y
1
1 1 1
xy2
x
0
0
y 0
1 y 0 x
1 y
1
1
y
xy 2 x( y 2 xy2 ) x 2 y 2
13
第一章 行列式
Dn Dn1 2n
第一章 行列式
Dn 2n Dn1 2n (2n1 Dn2 )
0
a xa
0 0
a 0 xa 0
a 0 0 xa
( x a)n1[ x (n 1)a].
第一章 行列式
行列式的每一行的n个元素之和相等时常用此法.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x1
D1 D
,
x2
D2 , D
x3
D3 D
其中， a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
a21 a11
a21
b1
b2 D2
a12
D
a22
说明
1. 行列式是一个数； 2. 计算规则：对角线法则； 3. 每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的
正负号不同；共有 2! 2
4. 一行一列称为1阶行列式， 记为 a a
5. 二行二列称为2阶行列式 三行三列称为3阶行列式 ………………… n行n列称为n阶行列式
123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆 序数的概念及性质。
全排列及其逆序数
定义 由1，2，···，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。（简称排列）记为 j1 j2 ···jn.
例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列
3级全排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，132，213，321 n级全排列的种数为
n (n 1 ) 3 2 n !1
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的
自然数，规定由小到大为自然排序（标准次序）。
每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同
a 11 a 12 a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 231
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
对角线法则
a1a 122 a33a12a23a31a13a2a132 a13a22a31a12a2a133a1a12a33.2
a 31 a 32 a 33
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
线性代数
教材：郑宝东主编. 线性代数与空间解析几
何. 高等教育出版社，北京，2013
参考书：［1］同济大学数学教研室编.线性 代数(第六版).高等教育出版社.2014年 ［2］赵连偶，刘晓东.线性代数与几何(面向 21世纪课程教材).高等教育出版社 ［3］居余马等.线性代数. 清华大学出版社
第一章 n阶行列式
于是，当 a11a22a12a210, 有唯一解：
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
,
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
写成行列式形式有：
b1
x1
b1a22 b2a12 a11a22 a12a21
b2 a11
a21
a12
a22 D1
a12
D
a22
a11
第一节 行列式的概念 第二节 行列式的性质 第三节 行列式按行(列)展开 第四节 克莱姆法则
本章的基本要求与重难点
❖ 深刻理解n阶行列式的定义。 ❖ 熟记行列式的性质。 ❖ 熟练掌握行列式的计算。 ❖ 重点：行列式的计算。 ❖ 难点：n阶行列式的计算。
第一节 行列式的概念
行列式起源于解方程组
引例
方程组
2 x
x 1 1
2
3 x
x
2
2
8 3
系数行列式
23 2(2)137
1 2
称为二阶行列式。
二阶行列式（determinant）
给定 a、b、c、d 四个复数，称
ab adbc
cd
为二阶行列式。 为方便记
Da11 a21
aa1222a11a22a12a21.
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行标，第二个下标 j 为列 标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
a 1 1 a 2 3 a 3 2 a 1 2 a 2 1 a 3 3 a 1 3 a 2 2 a 3 1
如果 D 0 ，那么对于三元一次方程组：
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
b1 b2
a31x1 a32x2 a33x3 b3
利用消元法也有相同的结果，
a31 a32 b3
三阶行列式
称
a 11 a 12 a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 231
为三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23
4 6 3 4 2 8 24 1.4
例2 证明 证明：
a2 ab b2 2a ab 2b (ab)3 111
左 边 a2(ab)2ab22ab2b2(ab)2a2b2a2b a3a2b2ab22ab2ab2b32a2b2a2b a33a2b3ab2b3 （ ab） 3右 边
在三阶行列式，共有 3! 6项；
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
副对角线
a 21
a12 a11a22a12a21.
a 22
例如
13 17(2)313
2 7
考虑线性方程组：
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
通过消元法，有：
((a a1 11 1a a2 22 2 a a1 12 2a a2 21 1))x x1 2 b b1 2a a2 12 1 b b2 1a a1 22 1
2 三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a a2 32 2
a a2 33 3a12a a2 31 1
a a2 33 3a13a a2 31 1
a22 a32
a 1 1 a 2 2 a 3 3 a 1 2 a 2 3 a 3 1 a 1 3 a 2 1 a 3 2