1.1 n阶行列式的定义

2 0 01 0 0 110 1
τ (31254) = 2 + 0 + 0 + 1 + 0 = 3
4、排列的奇偶性
奇排列 偶排列 反序数为奇数的排列称为奇排列; 反序数为偶数的排列称为偶排列；
例如
2431 45321 12…n
τ (2431) = 4
τ (45321) = 9 τ (12…n) = 0
由于 D = 3
D1 =
5 = 3 × 2 − 5 × (−1) ≠ 0 −1 2
1 5
2 2 3 1 D2 = = 3 × 2 − 1× (−1) = 7, −1 2
二元一次方程组的解为：
= 1× 2 − 5 × 2 = −8,
D1 −8 ⎧ ⎪ x1 = D = 11 ; ⎨ D2 7 ⎪ x2 = = . 11 D ⎩
a11 a12 a22 a32 a13 a23 ≠ 0, a33
系数行列式
D = a21 a31
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , ⎪ ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⎪a x + a x + a x = b ; ⎩ 31 1 32 2 33 3 3
推广: n个不同元素的排列共有 n! 种, 其中n 阶排列中都有 一个从小到大的排列（例如1,2,3,...n）称为 标准排列(或自然顺序排列).
2、反序
在一个排列中,如果某两个元素比较,前面的数大于后面的 数, 就称这两个数构成一个反序; 如在一个排列中,某个数字的右边有r个比它小的数字,则 说明该数字在此排列中有r个反序。
第一节 n 阶行列式的定义
§ 1.1.1 二阶、三阶行列式 一、引例 本节从二元方程组的解法入手，介绍二、三阶行列
式的概念以及学会用对角线法则求二、三阶行列式 n 阶行列式的概念源于对线性方程组的研究：
例
⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 设有二元线性方程组 ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2
此解的公式不易记, 为便于记忆和应用, 萨鲁斯 (P.F. Sarrus)创造性地引进行列式的记号: 定义:设 a11 , a12 , a21 , a22 是四个数，称
a11 a 21
a12 a 22
= a11a 22 − a12 a 21 为二阶行列式。
aij (i, j = 1, 2) 称为这个二阶行列式的元素；
物电学院计算物理教研室
目
录
§1.1 n 阶行列式的定义
§1.1.1 二、三阶行列式的定义 §1.1.2 n 阶行列式的定义
§1.2 行列式的主要性质 §1.3 行列式按行(列)展开
§1.3.1 按一行(列)展开行列式 §1.3.2 拉普拉斯定理
一、内容提要
行列式是研究线性代数的一个重要工具，近代被广 泛运用到理工科各个领域，特别在工程技术和科学研 究中，有很多问题需要用到“行列式”这个数学工具。 本章主要讨论如下几个问题： 1、行列式的概念和性质； 2、行列式的计算； 3、拉普拉斯 (Laplace) 展开定理； 4、Cramer 法则求解方程组。
最大的反序数：
(n − 1)L 21] = (n − 1) + (n − 2) + L + 1 + 0 = n(n − 1) τ [n
n(n − 1) 0 ≤ τ ( j1 j2 K jn ) ≤ 2 2
一般情形为:
6、互换
定义: 在一个排列中，将某两个数的位置对调 （其它数不动）的变动叫做一个互换。 2431 2134 定理1.1 一个排列中的任意两个数互换后，排列 改变奇偶性。 定理1.2 推论 在全部n(n≥2)阶排列中，奇偶排列各 占一半。
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ⎪ ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ⎪a x + a x + a x = b ⎩ 31 1 32 2 33 3 3
的解法，引入三阶行列式：
定 义
设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a13 a21 a31 a22 a32 a23 a33
分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码 方法1 个数之和，即算出排列中每个元素的反序数， 这每个元素的反序数之总和即为所求排列的反 序数. 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 方法2 个数之和，即算出排列中每个元素的反序数， 这每个元素的反序数之总和即为所求排列的反 序数.
例1
求排列31254的反序数. 3 1 2 5 4 解
n!个n阶排列在同一个互换下,两两配对, 由一个变成另一个。
证明定理1.1 奇偶性．
对一个排列施行一个互换改变排列的
证明：情形1 (互换两元素相邻) 设排列为 互换 a 与 b a1 Lal ab b1 Lbm a1 Lal ba b1 Lbm ba 除 a, b 外，其它元素的反序数不改变. 当 a < b时， 经互换后 a 的反序数不变 , b 的反序数增加1; 当 a > b时， b 经互换后 a 的反序数减少1， 的反序数不变. 因此互换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
(3) (2k )1(2k − 1)2(2k − 2)3(2k − 3)L(k + 1)k
解
(2k ) 1 (2k − 1) 2 (2k − 2) 3 (2k − 3)L(k
↓
↓
0 1
1
2
2
t = 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + L + ( k − 1) + ( k − 1) + k
D =
a11 a 21
a12 = a11 a 22 − a12 a 21 ≠ 0 a 22
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
b1 D1 = b2
若 a11a22 − a12 a21 ≠ 0 则该线性方程组有唯一解：
ba −a b ⎧ x1 = 1 22 12 2 ⎪ a11a22 − a12 a21 ⎪ ⎨ ⎪ x = a11b2 − a21b1 ⎪ 2 a11a22 − a12 a21 ⎩
式中的分子和分母都是方程组中 四个数分两对相乘再相减而得。
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列， =
L
↓
k
[2(1 + k − 1)(k − 1)]
= k2, +k
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
5、小结
1 2 3
n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
排列具有奇偶性. 计算排列反序数常用的方法有2 种.
4
n 阶全排列反序数的范围:
最小的反序数:
τ (123L n ) = 0
解
6 4 −7 4 4 4 n 4 4 48 41 n(n − 1)(n44L4 22 4 1−4) 4321 3 (n − 2 )
n( n − 1) = , 2 当n = 4k, 4k + 1 时为偶排列；
t = ( n − 1) + ( n − 2 ) + L + 2 + 1
当n = 4k + 2, 4k + 3 时为奇排列。
a11
定义: 称
a12
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
上式称为数表所确定的三阶行列式. 三阶行列式
=
a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
三、三阶行列式的计算
a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33 D = a21 a31
例如: 有一排列: 31254, 其中, 3 后面比 3 小的有1, 2 两个数字, 故 3 在该排列中有两个反序.
反序数
一个排列中所有数字的反序之和称为该排列的反序数。 对于排列
j1 j2 L jn 其反序数记为 τ ( j1 j2 L jn )
例如
τ (1,2,L, n) = 0
τ (23541) = 1 + 1 + 2 + 1 + 0 = 5
对于二元线性方程组
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
a 11 D = a 21 a 12 , a 22
系数行列式
对上面线性方程组，若用行列式记号，则：
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
偶排列 奇排列 偶排列
注意: 1、标准排列是偶排列.
例
计算下列排列的反序数，并讨论它们的奇偶性.
(1) 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
1 0 4 5 4 3 0 1 0
τ = 1+ 0 + 4 + 5 + 4 + 3 + 0 +1+ 0
= 18
此排列为偶排列.
(2) n(n − 1)(n − 2)L 321
a12 = b1 a 22 − a12 b 2 a 22
D2 =
a11
b1
a 21 b2
= a11b2 − b1 a 21