函数定义域总结

函数定义域总结
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定义域的求法
一、常规型
注意根号，分式，对数，幂函数，正切
2、常见的定义域
①当f(x)是整式时，定义域为R 。

②当f(x)是分式时，定义域为使分母不为零的x 的取值的集合。

③偶次根式的定义域是使被开方式非负的x 的取值的集合。

④零指数幂或负指数幂的定义域是使幂的底数不为0的x 的取值的集合。

⑤对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x 的取值的集合。

⑥正切函数y=tanx, , y=x x 1 x 1 x a log tan x 21-x 32
-x x 0
1求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。

2 求函数2x
161x sin y -+=的定义域。

复合函数定义域的求法
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

测试：设函数()f x 的定义域为[]0,1，求函数()()(0)y f x a f x a a =++->的定义域。

（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

测试：已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-，求函数f(x)的定义域。

（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(t(x))的定义域。

其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，也就是t(x)的值域，求出t(x)的定义域
测试、已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-，求函数(21)y f x =-的定义域。

三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为
R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例1 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。

例2 已知函数3
kx 4kx 7kx )x (f 2+++=
的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

四 参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例6 已知)x (f 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。

解：因为)x (f 的定义域为［0，1］，即1x 0≤≤。

故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：
⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0，即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a 1x a 即两个区间［－a ，1－a ］与［a ，1+a ］的交集，比较两个区间左、右端点，知
（1）当0a 2
1≤≤-时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-； （2）当21a 0≤
≤时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {-≤≤； （3）当21a >或2
1a -<时，上述两区间的交集为空集，此时F （x ）不能构成函数。

五 对数有关定义域为R
（1）y =log 2
2c bx ax ++（a ≠0）的定义域为R,则满足 （2）当值域为R 则满足
定义域的作用分析
一．利用函数的定义域判断函数是否是同一函数
例1．判断函数2()lg f x x =与()g x =2lg x 是否同一函数
二．函数定义域是构成函数关系式的重要组成部分
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数关系式时必须考虑所求函数的定
义域，否则所求函数关系式就可能出错.另外，根据函数定义可知函数定义域是非空的数的集合，若一个关系式中某一个变量取值范围的集合是空集，那么这个关系式中的几个变量之间就不能构成一个函数关系式．
例1．把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，求矩形面积S 与矩
形长x 的函数关系式.
解：设矩形的长为x cm ，则宽为2250x -cm ，由题意得： 2250x x S -=，故所求的函数关系式为：2250x x S -=.
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x 的范围，解题思
路还不够严密．因为当自变量x 取负数或不小于50的数时，S 的值是负数或零，即矩形的面积为非正数，这与实际问题相矛盾，故还要补上自变量x 的范围：500<<x ，所以函数关系式为：2250x x S -=（500<<x ）.
评析：从此例可以看出，用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的
取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，结果很有可能出错.
例3．判断式子
解：要使上面的式子有意义，则1-x 2≥0且x 2-1>0，其解集为空集，由函数定义可知这个式子不表示函数关系式．
评注：解题时若忽视了定义域的作用，则很可能得到一个错误结果．
三．函数定义域对函数值域的限制作用
函数的值域是指全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定后，函数值也
随之而定.因此在求函数值域时，应特别注意函数定义域.
其实以上结论只是对二次函数)0(2>++=a c bx ax y 在R 上适用，而在指定的定义域区间],[q p 上，它的最值应分如下情况：
⑴当p a
b <-
2时)(x f y =在],[q p 上单调递增函数)()(),()(max min q f x f p f x f ==； ⑵当q a b >-2时，)(x f y =在],[q p 上单调递减函数)()(),()(min max q f x f p f x f ==；
⑶当q a b p ≤-
≤2时)(x f y =在],[q p 上最值情况是：a
b a
c a b f x f 44)2()(2min -=-=， )}(),(m ax {)(max q f p f x f =．即最大值是)(),(q f p f 中最大的一个值。

例4．求函数32-+=x x y 的值域．
错解：令3,32+=-=t x x t 则
∴22)1(322)3(222≥++=++=++=t t t t t y ，故所求的函数值域是),2[+∞．
四．函数定义域对函数奇偶性的作用
例1．判断函数
y=(1+x) 错解∵21)(x x f --=，∴)()(x f x f =-，∴函数
例6：判断函数y=sinx ，x ∈[0，6π]的周期性．
六．函数定义域对函数单调区间的作用 函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的
情况，而函数的单调区间是函数定义域的子集，所以讨论函数单调性一定要在函数的定义域内讨论函数的单调区间．
例1．指出函数)3lg()(2x x x f +=的单调区间．
七．函数定义域对求反函数的影响
有些函数不存在反函数，但在其单调区间内存在反函数，在求这类函数的反函数时，除注意其值域外，也要注意定义域
例8．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．
错解：函数)20(242≤≤++-=x x x y 的值域为y ∈ [2 , 6]，
又6)2(2+--=x y ，即y x -=-6)2(2，∴y x -±=-62，
∴所求的反函数为y=2 ±6-x (2≤x ≤6)．
八．函数定义域对解不等式、方程或求值的作用
有时巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与讨论，
例9．设x 、y
为实数，且y =，试求lg(x+y)之值． 解：x 应满足⎪⎩
⎪⎨⎧≠+≥-≥-01010122x x x ，即x ＝1，将其代入已知等式，得y ＝0，
故lg(x+y)=lg1=0．。