数学建模教程及例题分析-PPT课件
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数学建模的简单实例ppt课件
数学建模的简单实例
§1.1 方桌问题
问题：适当变换方桌的方位，能否将方桌放稳？
分析：问题的目标是“放
A
A
D
稳”。“放稳”可以用各
脚离地面的高度这一数量
B
指标来表达。于是，引入
各脚离地面的高度的数学
记号。
B
C
C
1
依次记 A、B、fc fD
A
D
fA( ) fB ( ) fC ( ) fD ( )
2
注意到，在任何情况下，总有三只脚能同时着地，且这三 只脚中总有两只脚处在对角位置上，于是我们记：
f ( ) fB( ) fD( ) g( ) fA( ) fC ( )
则 有 , f ( ) g( ) 0
仓库;可关闭2号或3号仓库。 公司不主张仓库的个数 超过4个。 由于向客户供货的运费和仓库改建的费用
均由公司负担， 故需建模为公司选择方案。
若有可能， 应将所建模型推广为适应于类似地更一般 情 形 下 的 方 案 选 择。
13
问题分析
公司的目标是费用尽可能小
费用是怎样构成的
工厂到仓库
运输费用
工厂到客户 问题分析
0
cij Ai到B j及Ck的单位运输费;
d jk B j到Ck的单位运输费;
e1 B1扩建的月增费; e5 B5的月增费; e2 , e3 B2 , B3变更时发生的费用;
保留B2 关闭B2
;
xij
Ai
到B
j
及C
的运
k
量;
新建B5 不建B5
;
y jk
B
j
到C
的运
§1.1 方桌问题
问题：适当变换方桌的方位，能否将方桌放稳？
分析：问题的目标是“放
A
A
D
稳”。“放稳”可以用各
脚离地面的高度这一数量
B
指标来表达。于是，引入
各脚离地面的高度的数学
记号。
B
C
C
1
依次记 A、B、fc fD
A
D
fA( ) fB ( ) fC ( ) fD ( )
2
注意到，在任何情况下，总有三只脚能同时着地，且这三 只脚中总有两只脚处在对角位置上，于是我们记：
f ( ) fB( ) fD( ) g( ) fA( ) fC ( )
则 有 , f ( ) g( ) 0
仓库;可关闭2号或3号仓库。 公司不主张仓库的个数 超过4个。 由于向客户供货的运费和仓库改建的费用
均由公司负担， 故需建模为公司选择方案。
若有可能， 应将所建模型推广为适应于类似地更一般 情 形 下 的 方 案 选 择。
13
问题分析
公司的目标是费用尽可能小
费用是怎样构成的
工厂到仓库
运输费用
工厂到客户 问题分析
0
cij Ai到B j及Ck的单位运输费;
d jk B j到Ck的单位运输费;
e1 B1扩建的月增费; e5 B5的月增费; e2 , e3 B2 , B3变更时发生的费用;
保留B2 关闭B2
;
xij
Ai
到B
j
及C
的运
k
量;
新建B5 不建B5
;
y jk
B
j
到C
的运
数学建模课堂PPT(部分例题分析)
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计 中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现 象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来 预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回 归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之 间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模 型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻 辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用 于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票 价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下 ，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经 济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性 ，不能完全准确地预测股票价格的走势。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计 中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现 象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来 预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回 归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之 间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模 型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻 辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用 于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票 价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下 ，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经 济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性 ，不能完全准确地预测股票价格的走势。
数学建模的一般步骤和案例(课堂PPT)
进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。把储油罐分成中间的圆 柱体和两边的球冠体分别求解。中间的圆柱体求解类似于第一问，要分 为三种情况。在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直 于圆柱底面。根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系， 测量的油位高度 实际的油位高度 计算体积所需的高度
于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向 偏转角度 ）之间的一般关系。再利用附表2中的数据列方程组寻找与 最准确的取值。
.
20
本题是一道比较开放的题目，同学对问题的理解和所 关注的侧面（角度）的不同，会导致答卷的多样性。 以下几点在评阅中值得特别关注： 1. 影响力的定义，即因素的选定：考虑到3天时间不 太可能进行一个全面的影响力分析，如何恰当地选择 一个影响力的侧面极其相关因素是解题的基本前提。 容易考虑到的影响力包括经济、旅游、社会、文化等 多个方面，也可以是一个较小的侧面（比如表演、自 愿者、摄影）。要求有明确具体的定义，要有合理的 论证，要有数据支撑。 2. 因素的组织结构模型和有关信息的搜索：因素的相 关性、信息的完备性等都是值得注意的问题。鼓励直 接从网络采集因素数据，比如词汇搜索量、点击率等 等。 3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理 性，注意数据之间的可比性与归一化。鼓励纵向（时 间）和横向（其它重大事件）的比较。 4. 科学、直观地表达结论：结论一般不应该是一个简 单常识。
一般要求设计2~3个模型（一个简单的、再对模型进 行改进，得到第二个模型，就会生动）
推导时，公式若很长，可放在附录中 利用现成的软件计算模型数据 讨论误差
.
19
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。 从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正 日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体 现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选 择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数 据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向 偏转角度 ）之间的一般关系。再利用附表2中的数据列方程组寻找与 最准确的取值。
.
20
本题是一道比较开放的题目，同学对问题的理解和所 关注的侧面（角度）的不同，会导致答卷的多样性。 以下几点在评阅中值得特别关注： 1. 影响力的定义，即因素的选定：考虑到3天时间不 太可能进行一个全面的影响力分析，如何恰当地选择 一个影响力的侧面极其相关因素是解题的基本前提。 容易考虑到的影响力包括经济、旅游、社会、文化等 多个方面，也可以是一个较小的侧面（比如表演、自 愿者、摄影）。要求有明确具体的定义，要有合理的 论证，要有数据支撑。 2. 因素的组织结构模型和有关信息的搜索：因素的相 关性、信息的完备性等都是值得注意的问题。鼓励直 接从网络采集因素数据，比如词汇搜索量、点击率等 等。 3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理 性，注意数据之间的可比性与归一化。鼓励纵向（时 间）和横向（其它重大事件）的比较。 4. 科学、直观地表达结论：结论一般不应该是一个简 单常识。
一般要求设计2~3个模型（一个简单的、再对模型进 行改进，得到第二个模型，就会生动）
推导时，公式若很长，可放在附录中 利用现成的软件计算模型数据 讨论误差
.
19
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。 从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正 日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体 现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选 择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数 据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
《数学建模培训》PPT课件
数学建模案例解析
04
经济学案例：供需平衡模型
供需平衡理论
通过数学语言描述市场需求与供给之间的平衡关 系，涉及价格、数量等关键变量。
建模过程
收集相关数据，建立需求函数和供给函数，通过 求解方程组找到均衡价格和均衡数量。
模型应用
预测市场趋势，分析政策对市场的影响，为企业 决策提供支持。
物理学案例：热传导模型
Lingo在数学建模中的应 用案例
展示Lingo在数学建模中的实 际应用，如线性规划、整数规 划、非线性规划等优化问题的 求解。
其他数学建模相关软件与工具简介
Mathematica软件
简要介绍Mathematica的特点和功能，以及其 在数学建模中的应用。
SAS软件
简要介绍SAS的特点和功能，以及其在数学建模 中的应用。
数据预处理
包括数据清洗、缺失值处 理、异常值检测等，保证 数据质量。
数据可视化
利用图表、图像等手段展 示数据，便于理解和分析 。
数据分析方法
如回归分析、时间序列分 析、聚类分析等，用于挖 掘数据中的信息和规律。
数学建模常用方法
03
回归分析
线性回归
通过最小二乘法拟合自变量和因 变量之间的线性关系，得到最佳
模型应用
预测舆论走向，分析社会热点问题，为政府和企业提供决策支持。
数学建模软件与工
05
具介绍
MATLAB软件介绍及使用技巧
MATLAB概述
简要介绍MATLAB的历史、功能和应用领域 。
MATLAB常用函数
列举并解释MATLAB中常用的数学函数、绘 图函数、数据处理函数等。
MATLAB基础操作
详细讲解MATLAB的安装、启动、界面介绍 、基本语法和数据类型等。
《数学建模》PPT课件
( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法 该法用于目标函数比较复杂的情 况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用 近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近 似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函 数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。 直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用 到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法 常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种： （1）消去法 该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区 间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型 的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金 分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区 间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定 是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中 间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在 区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分 割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。
《数学建模讲义》PPT课件
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
return
2. 可以直接使用函数fun.m
例如：计算 f(1,2), 只需在Matlab命令窗口键入命令：
x=[1 2]；fun(x)
15
4.4 函数调用和参数传递
在MATLAB中，调用函数的常用形式是： [输出参数1,输出参数2,…] = 函数名(输入参数1,输入参数2, …)
14
M文件建立方法：
1. 在Matlab中点:File->New->M-file 2. 在编辑窗口中输入程序内容 3. 点：File->Save存盘，文件名必须函数名一致。
例：定义函数 f(x1,x2)=100(x2-x12)2+(1-x1)2 1.建立M文件：fun.m
function f=fun(x)
（5）使用方便，具有很好的扩张功能。 使用MATLAB语言编写的程序可以直接运行，无需编译。 可以M文件转变为独立于平台的EXE可执行文件。
MATLAB的应用接口程序API是MATLAB提供的十分重要 的组件 ，由 一系列接口指令组成 。用户就可在FORTRAN 或C中 ， 把MATLAB当作计算引擎使用 。 （6）具有很好的帮助功能 提供十分详细的帮助文件（PDF 、HTML 、demo文件）。 联机查询指令：help指令（例：help elfun，help exp，help simulink），lookfor关键词（例： lookfor fourier ）。 5
6
一、变量与函数
1、变量 MATLAB中变量的命名规则
(1)变量名必须是不含空格的单个词； (2)变量名区分大小写； (3) 变量名必须以字母打头，之后可以是任意字 母、数字或下划线，变量名中不允许使用标点符
《数学建模大学》PPT课件
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
编辑ppt
8
3 走路步长的选择 问题提出 模型建立 模型求解 请你思考
∴ 因此，总能量消耗为
编辑ppt
10
模型求解 为了使能量消耗最小，应有
约去v/4得
例如，某人m=65kg, l=1m，m’=10kg， v=1.5m/s，则
(米/步)
n=v/s=1.5/0.37≈4(步/秒)
模型基本上符合实际。编辑ppt
11
请你思考 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是锯
uk~第k次渡船上的商人数
uk, vk=0,1,2;
vk~第k次渡船上的随从数
k=1,2,
dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
sk+1=sk +(-1)kdk
~状态转移律
多步决策 问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由编s辑1=pp(t 3,3)到达 sn+1=(0,0). 18
比例系数不随行星而 改变 这规其律中的（必反绝定映对是，某哼常哼一数，力）我学
要找出它。。。。
编辑ppt
22
简单推导如下：
如图，有椭圆方程 :
r p
1ecos
矢径所扫过的面 积A的微分为: dA 1 r2d
2
由开普勒第二定 律:
dA 1r2w常数
dt 2
立即得出: 0d(r2w)2rr•wr2w •
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
编辑ppt
8
3 走路步长的选择 问题提出 模型建立 模型求解 请你思考
∴ 因此，总能量消耗为
编辑ppt
10
模型求解 为了使能量消耗最小，应有
约去v/4得
例如，某人m=65kg, l=1m，m’=10kg， v=1.5m/s，则
(米/步)
n=v/s=1.5/0.37≈4(步/秒)
模型基本上符合实际。编辑ppt
11
请你思考 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是锯
uk~第k次渡船上的商人数
uk, vk=0,1,2;
vk~第k次渡船上的随从数
k=1,2,
dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
sk+1=sk +(-1)kdk
~状态转移律
多步决策 问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由编s辑1=pp(t 3,3)到达 sn+1=(0,0). 18
比例系数不随行星而 改变 这规其律中的（必反绝定映对是，某哼常哼一数，力）我学
要找出它。。。。
编辑ppt
22
简单推导如下：
如图，有椭圆方程 :
r p
1ecos
矢径所扫过的面 积A的微分为: dA 1 r2d
2
由开普勒第二定 律:
dA 1r2w常数
dt 2
立即得出: 0d(r2w)2rr•wr2w •
数学建模过程PPT课件
第13页/共39页
为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席 位。
21个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
3 42 Q3 1(1 1) 578
1 0 32 Q1 3(3 1) 888.4
6 32 Q2 2(2 1) 661.5
3 42 Q3 1(1 1) 578
甲1 乙1 丙1
4 6 7 10 11 13 16 17 19 20 5 8 12 14 18 9 15 21
甲：11，乙：6，丙：4
第24页/共39页
练习 学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， d’Hondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。
第25页/共39页
d’Hondt方法 有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。 做法： 用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数，从 所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来 自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。
2 建模步骤
模型准备
模型假设
模型检验 模型应用
模型分析
第2页/共39页
模型建立 模型求解
1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。
有时需查资料或到有关单位了解情况等。
第3页/共39页
为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席 位。
21个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
3 42 Q3 1(1 1) 578
1 0 32 Q1 3(3 1) 888.4
6 32 Q2 2(2 1) 661.5
3 42 Q3 1(1 1) 578
甲1 乙1 丙1
4 6 7 10 11 13 16 17 19 20 5 8 12 14 18 9 15 21
甲：11，乙：6，丙：4
第24页/共39页
练习 学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， d’Hondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。
第25页/共39页
d’Hondt方法 有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。 做法： 用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数，从 所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来 自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。
2 建模步骤
模型准备
模型假设
模型检验 模型应用
模型分析
第2页/共39页
模型建立 模型求解
1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。
有时需查资料或到有关单位了解情况等。
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数学模型初步——模型一
反应距离？ 司机从意识到要停车的时刻到真正刹车时刻期
间车辆走过的距离 刹车距离？ 刹车后使车辆完全停下来所滑行的距离。 反应距离相关的子模型： 反应距离=f（反应时间，速率） 相关影响因素：个体驾驶因素，系统时间（几 乎可以忽略，原因是现代车辆比较安全）（子 模型一）
数学模型初步——模型一
识别问题：
该法则是否很好？太模糊！最好提出一个新
的问题，该问题的解决和回答有助于我们进 行更为精确地数学分析，并同时实现目标。 问题陈述： 预测作为车辆速率的函数的车辆的总的停止 距离。 问题假设： 围绕一个很明显的原理进行假设： 总的停止距离=反应距离+刹车距离
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
考察四脚呈长方形的椅子
数学建模的一般步骤
数学建模初步
共享资源:
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数学模型初步——总论
一、模型？ 模型是实物、过程的表示，可能是对实体的模仿、 模拟，也可能是某些基本属性的抽象。
二、数学模型？ 对所研究的对象进行模拟，是用数学思维方法将 要解决的问题进行简化、抽象处理，用数学符号、 公式、图表等刻画实物本质属性及内在规律。 是联系实际问题与数学的一座桥梁。
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
实践
理论
实践
数学模型初步——线性规划
例1-1.某木匠制作桌子和书架出售，他希望确
定每种家具每周制作多少，即希望制定制作桌 子和书架的周生产计划，使获得利润最大。制 作桌子和书架的单位成本分别是5美元和7美 元。每周收益可以分别用下面的表达式估计： 2 5 0 x 0 .2 x 其中 x 1 是每周生产桌子数量； 1 1
数学模型初步——总论
三、适用的范围？
社会、经济、环境、生态、医学等等领域。
要建立一个好的数学模型，不尽需要数学的
知识，还必须了解其他领域内与之相关的内 容。
数学模型初步——模型一
车辆的停止距离
正常的驾驶条件对车与车的跟随距离的要求
是每十英里的速率可以允许一辆车的跟随距 离，但是在不利的天气或道路条件下要有更 长的跟随距离。 如何处理不利的情况？ 两秒钟法则—— 不管车速多少，看着你前面的车子刚驶过你 能确定的固定点，然后默数“一千零一，一 千零二”，如果你刚数完就到了那个固定点， 就表示你与前车靠的太近。
C
C
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
数学模型初步—模型二
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
• 椅子位置
数学模型初步—模型二
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B A´
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
数学模型初步——模型一
个体驾驶因素的反应时间又由反射的本能、
警觉程度、能见度等多重因素决定。但由于 我们是研究一个一般的规律，所以只在研究 中取以上几因素的平均值 反应距离的影响因素考察完毕，一下是对影 响刹车距离的因素考察。 最最最最重要的是：车身总量，行驶速度。 相关合理因素：刹车的效率，车胎类型和状 态，道路表面的情况，天气条件等。为了研 究方便，仍然取这些因素的平均值。
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
数学模型初步—模型二
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
数学模型初步——模型一
刹车距离=h（重量，速率）（子模型二） 总结建模过程： 1.识别问题； 对现象做一般性观察
2.做出假设；
关于现象的假设、研制检验假设方法、用数据
检验假设 3.求解模型； 4.验证模型；
数学模型初步—模型二
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设