天津市十二区县重点学校2013届高三毕业班联考(一)数学 理科
二、填空题: 每小题 5 分，共 30 分. 9．25；10． 108 3 ； 11． 2 ； 12． 3 5 ； 13． x -1 x <3 ； 三、解答题 15． （本小题满分 13 分） 设函数 f ( x) (sin x cos x) 2cos
2 2
14． -
2 ). 3
k
2 P( X k ) C 3
k 6
1 3
1
6 k
( k 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
X 的分布列为： X 0 2 3 4 5 6
本卷第 5 页（共 11 页）
P
1 729
12 729
60 729
160 729
240 729
或因为 X～B(6，
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A， 则 P( A) C4 ( ) ( ) C4 ( ) ( )
2 2 4 1 5 6
„„„„12 分
（每个概率计算正确一分，共三分；列一个大式子，若计算错误则无分） 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为
ABC 60 0 ， E 为 BC 的中点， AA1 平面 ABCD ．
（Ⅰ）证明：平面 A1 AE 平面 A1 DE ； （Ⅱ）若 DE A1 E ，试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角 C -A1D-E 的余弦值. 18． （本小题满分 13 分） 设等比数列 an 的前 n 项和为 S n ，已知 an1 2Sn 2(n N ) .
2 2
x( 0) 的最小正周期为
2 ． 3
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 f x 在区间 -
， 上的值域； 6 3
（Ⅲ）若函数 y g ( x) 的图像是由 y f ( x) 的图像向右平移 求 y g ( x) 的单调增区间． 16． （本小题满分 13 分）
3i = （ 1 i
） C. 2 i
2ห้องสมุดไป่ตู้
B. 1 2i
D. 2 i ）
2.“ lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“ y xz ”成立的（ A．充分非必要条件 C．充要条件 B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 ）
3.阅读右面的程序框图，则输出的 S = （ A．14 4.设函数 f ( x) B．30
OM ON OC ，求实数 的取值范围.
20． （本小题满分 14 分） 已知函数 f x ln 2ax 1 M
O
x
x x 2 2axa R 3
3
（Ⅰ）若 x 2 为 f x 的极值点，求实数 a 的值； （Ⅱ）若 y f x 在 3, 上为增函数，求实数 a 的取值范围；
1 x b 有实根，求实数 b 的最大值. 1 (Ⅲ)当 a 时，方程 f 1 x 3 x 2
3
2013 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一） 数学理科参考答案
一、选择题:每小题 5 分，满分 40 分 题 号 答 案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 C 6 B 7 A 8 C
2013 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）
数
钟． 祝各位考生考试顺利！
学 (理 )
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分
第Ⅰ卷 选择题 (共 40 分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题 卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
22 9
x( 0) 的最小正周期为
， 上的值域； 6 3
2 ． 3
（Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 f x 在区间 -
本卷第 4 页（共 11 页）
（Ⅲ）若函数 y g ( x) 的图像是由 y f ( x) 的图像向右平移 求 y g ( x) 的单调增区间． 解： （Ⅰ） f x = sin x+cos x +2cos
1 4 的二项展开式中， x 的系数为（ 2x
B．120
10
） D．15
A．-120
C．-15
本卷第 1 页（共 11 页）
6.在钝角△ABC 中，已知 AB= 3 ， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是（
）
A．
3 2
2
B．
3 4
C．
3 2
D．
3 4
）
7.己知抛物线方程为 y =2 px（ p >0 ） ， 焦点为 F ，O 是坐标原点， A 是抛物线上的一点，
an 是单调递增数列，则实数 a 的取值范围是（
Ｂ． 1,8
） Ｄ． 4,7
Ａ． 7,8
Ｃ． 4,8
第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分)
二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图（如下图） ．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在［2500，3000） （元） 月收入段应抽出 人． 2 2 2
本卷第 2 页（共 11 页）
O
B
P
AP 与 CB 的延长线交于点 P ， A 为切点．若 PA 10 ，
PB 5 ，则 AB 的长为
13.若不等式 x + .
4 m-2 +1对一切非零实数 x 均成立,记实数 m 的取值范围为 M .已知集 x
合 A= x x M ，集合 B= x R x -x-6<0 ，则集合 A
1.5
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入（元） 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
3
1.5
正视图 侧视图
2
2 2 俯视图
第 10 题图 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 11. 已知圆 C 的参数方程为 .
192 729
64 729
（注：每个概率 1 分，列表 1 分,共 8 分，没有过程只列表扣 3 分）„„„8 分
EX
1 2916 (0 1 112 2 60 3 160 4 240 5 192 6 64) = 4. 729 729 2 2 )，所以 EX 6 4 . 即 X 的数学期望为 4． „„„9 分 3 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 32 . 81
„„„„12 分
„„„„13 分
16． （本小题满分 13 分） 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个 球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
2 ． 3
（Ⅰ）记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率； 解： （Ⅰ）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知 X～B(6，
-1 2 sin 3x+ 2 4
1 f x 2+ 2 ，即 f x 的值域为 1,2+ 2
（Ⅲ）依题意得: g ( x) 由 2k
„„„„8 分
„„„„9 分
5 2 sin 3( x ) 2 2 sin(3x ) 2 2 4 4
个单位长度得到， 2
在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球， 至少投进 4 个球且最后 2 个球 都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
2 ． 3
（Ⅰ）记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率. 17． （本小题满分 13 分） 如图，四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形，且 AB 1 ， BC 2 ，
2 2
个单位长度得到， 2
x
„„„„2 分 „„„„4 分 „„„„5 分 „„„„6 分
=sin 2 x+cos2 x+sin 2 x+1+cos 2 x
sin 2 x cos 2 x 2 2 sin(2 x ) 2 4 2 2 3 依题意得 ，故 的值为 . 2 3 2 5 （Ⅱ）因为 - x , 所以 - 3x + ， 6 3 4 4 4
2
B=
.
14.已知点 M 为等边三角形 ABC 的中心, AB=2 ,直线 L 过点 M 交线段 AB 于点 P ，交线 段 AC 于点 Q ，则 BQ CP 的最大值为 .
三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 13 分） 设函数 f ( x) (sin x cos x) 2cos
x cos , ( 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴 y sin 2,
为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 sin 的弦长是 .
cos 1 , 则直线截圆 C 所得
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分， 共150分. 考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页， 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时， 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后， 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动, 用橡皮擦干净后， 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题， 每小题5分， 共40分.参考公式:·如果事件A ， B 互斥， 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高.·如果事件A ， B 相互独立， 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题： 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
（1) 已知集合A = ｛x ∈R | |x ｜≤2｝, A = {x ∈R | x ≤1}， 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ （B) ［1，2］ （C ） [－2，2] (D) ［－2,1]（2) 设变量x ， y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为（A) －7 （B) －4(C) 1 (D ） 2（3） 阅读右边的程序框图， 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S 的值为（A) 64 （B) 73(C) 512 （D) 585（4） 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是：（A ） ①②③ （B) ①②(C ） ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点， O 为坐标原点。
天津市十二区高三数学毕业班联考(一)试题 理
2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题 (共40分) 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.i 是虚数单位，复数31ii--= （ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.阅读右面的程序框图，则输出的S = （ ） A ．14 B ．30 C ．20 D ．55 4.设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则函数()f x （ ） A ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均有零点 B ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均无零点 C ．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,)+∞内无零点 D ．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,)+∞内有零点5.在1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，4x 的系数为（ ） A ．-120 B ．120 C ．-15 D ．15 6.在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是（ ）0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距A ．23 B ．43 C ．23 D ．43 7.己知抛物线方程为2=2y px （>0p ），焦点为F ，O 是坐标原点， A是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60°，若OAF ∆p 的值为（ ）A ．2B ．．2或．28．已知函数5(4)4(6),()2(6).x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩()0,1a a >≠ 数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．[)7,8 Ｂ．()1,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．()4,7第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11. 已知圆C 的参数方程为2x y θθ⎧=⎨=+⎩cos ,sin ,(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 .12．如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，PCAP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若10=PA ，5=PB ，则AB 的长为 .13.若不等式4+-2+1x m x≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈，集合{}2=--6<0B x R x x ∈，则集合=AB .14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线L 过点M 交线段AB 于点P ，交线段AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 设函数22()(sin cos )2cos(0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域； （Ⅲ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．16．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率. 17．（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，60=∠ABC ，E 为BC 的中点， ⊥1AA 平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； （Ⅱ）若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值；ABCDE1A 1B 1C 1D（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角1--C A D E 的余弦值. 18．（本小题满分13分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，证明：1516n T <.19．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率1=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足λ=+，求实数λ的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=2312ln 23（Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113有实根，求实数b 的最大值.2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一） 数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．25；10．π3108+ ； 11 12． 13．{}-1<3x x ≤； 14．22-9三、解答题15．（本小题满分13分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域； （Ⅲ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．解： （Ⅰ）()()22=sin +cos +2cos f x x x x ωωω22=sin +cos +sin 2+1+cos 2x x x x ωωωω …………2分sin 2cos 22)24x x x πωωω=++=++ …………4分依题意得2223ππω=，故ω的值为32. …………5分 （Ⅱ）因为-,63x ππ≤≤所以5-3+444x πππ≤≤， …………6分-13+4x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭…………8分()1f x ≤≤()f x 的值域为⎡⎣ …………9分（Ⅲ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦…11分 由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤ …………12分解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤ 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈ …………13分 16．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率； 解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知X ～B(6，23).6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)X 的分布列为：1(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=29164729=. 或因为X ～B(6，23)，所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． ………9分 （Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+= …………12分（每个概率计算正确一分，共三分；列一个大式子，若计算错误则无分） 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81……………………………13分17．（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，60=∠ABC ，E 为BC 的中点， ⊥1AA 平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； （Ⅱ）若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角1--C A D E 的余弦值. 17.解（Ⅰ）依题意，CD AB BC EC BE ====21所以ABE ∆是正三角形，060=∠AEB ……1分又00030)120180(21=-⨯=∠CED ……2分 所以090=∠AED ，AE DE ⊥ ……3分因为⊥1AA 平面ABCD ，⊂DE 平面ABCD ，所以DE AA ⊥1 因为A AE AA = 1，所以⊥DE 平面AE A 1 ……4分 因为⊂DE 平面DE A 1，所以平面⊥AE A 1平面 DE A 1 ……5分ABCDE1A 1B 1C 1D（Ⅱ）取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ，连接C B 1，则D A C B EF 11//// 所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角 ……7分 因为3=DE ，2211AE A A E A +=，所以21=A A ，22=BF ，26121=+==EF AF ……8分 所以662cos 222=⨯⨯-+=∠EF AE AF EF AE AEF ……9分（Ⅰ）（Ⅱ）解法2：以A 为原点，过A 且垂直于BC 的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴、1AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系 ……1分 设a AA =1（0>a ），)0 , 0 , 0(A 则)0 , 2 , 0(D ) , 0 , 0(1a A )0 , 21, 23(E ……2分 （Ⅰ）设平面AE A 1的一个法向量为) , , (1p n m n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002123111ap AA n n m n 0=p ，取1=m ，则3-=n ，从而)0 , 3 , 1(1-=n ， ……3分同理可得平面DE A 1的一个法向量为)2, 1 , 3(2an =， ……4分直接计算知021=⋅n n ，所以平面⊥AE A 1平面DE A 1 ……5分 （Ⅱ）由E A DE 1=即22222)21()23(0)212()23(a ++=+-+ 解得2=a)0 , 21, 23(=，)2 , 2 , 0(1-=A ……7分所以异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值66||||cos 11=⋅=D A AE θ ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知21=A A ，平面DE A 1的一个法向量为2( 3 , 1 , n =又31=-,02CD ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)2 , 2 , 0(1-=D A 设平面1CA D 的法向量()3=,,n x y z 则133=0=0A D n CD n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩得(3=1,3,n ……11分设二面角1--C A D E 的平面角为ϕ，且ϕ为锐角 则232323cos =cos ,=n n n n n nϕ⋅所以二面角1--C A D E ……13分 18．（本小题满分13分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，证明：1516n T <.18．解（Ⅰ）由122(n n a S n +=+∈N *）得122(n n a S n -=+∈N *，2n ≥），两式相减得：12n n n a a a +-=， 即13(n n a a n +=∈N *，2n ≥）， ……2分∵{}n a 是等比数列，所以213a a =，又2122,a a =+ ……3分 则11223a a +=，∴12a =， ……4分 ∴123n n a -=. …………………………………5分 （Ⅱ）由（1）知123n n a +=，123n n a -=∵1(1)n n n a a n d +=++ ……7分， ∴1431n n d n -⨯=+， ………8分令123111n T d d d =+++…1nd +， 则012234434343n T =++⨯⨯⨯+ (11)43n n -++ ① …………9分+⋅+⋅=2134334231n T …114343n n n n -+++ ② ………10分①-②得01222113434343n T =+++ (111)4343n nn -++- 111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⨯-=-- …………12分11525151616316n n n T -+∴=-<. ……………13分 19．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线kx y l +=：点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为(12222>=+b a by a x 由已知得：2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为： 22186x y += ……………5分 (Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t -=⇒=≠ ……………6分把t kx y +=代入22186x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k ktx x +-=+ 22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ……………8分因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC … 9分 又因为点C 在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ …………… 10分 222222221134()(1t kt tλ⇒==+++ …………… 12分因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t …………… 13分所以 202λ<<，所以 λ的取值范围为 (0)(0,2) …………… 14分20．（本小题满分14分）已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=2312ln 23（Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113有实根，求实数b 的最大值. 20．解：（I ）()()()[]122441222122222++--+=--++='ax a x a ax x a x x ax a x f ………2分 因为2=x 为()x f 的极值点，所以()02='f ，即02142=-+a a a，解得0=a ……4分 （II ）因为函数()x f 在[)+∞,3上为增函数，所以()()()[]0122441222≥++--+='ax a x a ax x x f 在[)+∞,3上恒成立 ………6 分①当0=a 时，()()02≥-='x x x f 在[)+∞,3上恒成立，所以()x f 在[)+∞,3上为增函数，故0=a 符合题意 ………7分②当0≠a 时，由函数()x f 的定义域可知，必须有012>+ax 对3≥x 恒成立，故只能0>a ，所以()()02441222≥+--+a x a ax 在[)+∞,3上恒成立 ………8分令函数()()()2441222+--+=a x a ax x g ，其对称轴为ax 411-=，因为0>a ，所以1411<-a，要使()0≥x g 在[)+∞,3上恒成立，只要()03≥g 即可， ………9分 即()016432≥++-=a a g ，所以41334133+≤≤-a 因为0>a ，所以41330+≤<a .综上所述，a 的取值范围为⎡⎢⎣ ………10分（Ⅲ）当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113可化为()()xb x x x =-+--11ln 2问题转化为()()322ln 11ln x x x x x x x x x x b -+=-+--=在()+∞,0上有解，即求函数()32ln x x x x x g -+=的值域 ………11分 因为函数()32ln x x x x x g -+=，令函数()()0ln 2>-+=x x x x x h ， ………12分 则()()()x x x x x x h -+=-+='112211，所以当10<<x 时，()0>'x h ，从而函数()x h 在()1,0上为增函数，当1>x 时，()0<'x h ，从而函数()x h 在()+∞,1上为减函数，因此()()01=≤h x h………13分 而0>x ，所以()0≤⋅=x h x b ，因此当1=x 时，b 取得最大值0.………14分 （第三问如用数形结合求解，相应给分）。
天津市各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(10) 圆锥曲线.pdf
一、选择题: 7. （天津市十二区县重点中学2013年高三毕业班联考一）己知抛物线方程为（），焦点为，是坐标原点， 是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为60°，若的面积为，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】A 5．（天津市2013年滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理）已知双曲线的左右焦点分别为，在双曲线右支 上存在一点满足且，那么双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C因为且，所以,又，所以，即双曲线的离心率为，选C. 二、填空题: 12. （天津市南开中学2013届高三第四次月考理）已知双曲线的左右焦点为，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围是 。
【答案】 三、解答题: 19．（天津市十二区县重点中学2013年高三毕业班联考一理）（本小题满分1分）轴上的椭圆过点，且它的离心率. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围. 把代入并整理得： ┈7分 设，则有 ……………8分 因为，， 所以，… 9分 又因为点在椭圆上， 所以， …………… 10分 …………… 12分 因为 所以 …………… 13分 所以 ，所以 的取值范围为 …………… 14分 20．（本小题满分1分）轴上 的椭圆过点，且它的离心率. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围. 20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为┈┈┈┈┈┈┈ 1分 由已知得： 解得 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 所以椭圆的标准方程为： ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分 19．（天津市新华中学2012届高三第二次月考文）椭圆的右焦点为，椭圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于，且，过点作直线交椭圆于不同两点 （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率的取值范围； （3）若在轴上的点，使，求的取值范围。
最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编15：选修部分
最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编15：选修部分一、选择题1 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）极坐标方程cos ρθ=和参数方程⎩⎨⎧+=--=t y tx 321(t 为参数)所表示的图形分别是（）A ．圆,直线B ．直线,圆C ．圆,圆D ．直线,直线二、填空题2 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）如图,CB 是⊙O 的直径,AP是⊙O 的切线,AP 与CB 的延长线交于点P ,A 为切点.若10=PA ,5=PB ,则AB 的长为_________.3 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知圆C 的参数方程为2x y θθ⎧=⎨=+⎩cos ,sin ,(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是_______________.4 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））已知:如图⊙O 和⊙P 相交于A,B 两点,⊙O的弦BC 切⊙P 于点B,CP 及其延长线交⊙P 于D,E 两点,过点E 做EF ⊥CE 延长线与点F.若CD=2,CB=22,则EF 的长为 .PC5 ．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.6 ．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）如图,过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆O 于,A B 两点.且7PB =,C 是圆O 上一点且使得5BC =,BAC APB ∠=∠,则AB =_________.7 ．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）圆4sin ρθ=的圆心到直线1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)的距离是_____ 8 ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）如图所示,圆O 是△ABC 的外接圆,过点C 的切线交AB 的延长线于点D,CD=72,AB=BC=3,则AC 的长为__________.9 ．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)，设直线l 与抛物线C 的两交点为A ，B ，点F 为抛物线C 的焦点，则|AF |＋|BF |＝__________.10．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M．若OC =1OM =，则MN =_____．ABCOM N11．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）如图过⊙0外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C 是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB= .12．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）点P(x,y)在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数,θ∈R)上,则yx的取值范围是 . 13．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）直线4,:(),:)12.4x a t l t C y t πρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆(极轴与x 轴的非负半轴重合,且单位长度相同),若直线l 被圆C截得的弦长为5,则实数a 的值为____________. 14．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F,E是AB 延长线上一点,且DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为______.15．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）如图,已知PA 是圆O 的切线,切点为A ,AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B ,4PA =,圆O 的半径是,那么__________ PB .最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编15：选修部分参考答案一、选择题 1. 【答案】A解:由cos ρθ=,得2cos ρρθ=,即22,x y x +=即2211()24x y -+=,所表示的图形为圆.消去参数t 得方程为310x y ++=,图形为直线,所以选A.二、填空题2.4.25. 42≤≤-a6. .357.8.2739.16310. 111.【解析】因为PA 是圆的切线，所以BAP APB ∠=∠，又C A C A P B ∠=，所以BAP ∆与BCA∆相似，所以AB PB CB AB =，所以27535AB PB CB ==⨯=，所以AB = 12.【答案】[ 【解析】消去参数θ得曲线的标准方程为22(2)1x y ++=，圆心为(2,0)-，半径为1.设yk x=，则直线y kx =，即0kx y -=，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离1d ==，即2k =222141,3k k k =+=，所以解得3k =±，由图象知k 的取值范围是k ≤≤y x的取值范围是[。
2013年全国高考数学理科试卷天津卷(解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③(D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D)(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。
2013年天津高考数学理试题（含答案）
2013年(天津卷)理 科 数 学第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么那么)()()(B P A P A P B È=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R p = 其中R 表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B Ç=(A) (,2]-¥ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ³--£+-ì-£ïíïî则目标函数z = y －2x 的最小值为的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等②若两组数据的平均数相等, , , 则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等; ;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③①②③ (B) ①②①②(C) ②③②③ (D) ②③②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = 2,p 1010310515-13,0-1513+-51ö- = . x 的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为 . | = . 的长为的长为 . 的长为的长为 . = 时2sin23 2243。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 1010 (B) 105 (C) 31010 (D) 55(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,02130,2⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分) 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为33, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.- 11 - 2013高考真题。
2013年高考天津卷理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷） 第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2] D ．[－2,1] 答案 D解析 A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝[－2,2]，B ＝{x ∈R |x ≤1}＝(－∞，1]，∴A ∩B ＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A 解析可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7，选A.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585 答案 B解析 第1次运行：S ＝0＋13＝1<50 第2次运行：x ＝2，S ＝1＋23＝9<50 第3次运行：x ＝4，S ＝9＋43＝73>50 ∴输出S ＝73，选B. 4．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切，其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 答案 C解析 ①正确，②不正确，③正确，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．3答案 C解析 e ＝2，⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝4，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴|AB |＝2·p2tan 60°又S △AOB ＝3，即12·p 2·2·p 2tan 60°＝3，∴p 24＝1，∴p ＝2，选C.6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010，选C.7．函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.另法：0.52log 10xx -=⇒ 0.51log 2x x =⇒0.51log ()2xx =，画这两个函数的图像，看图可知选B8．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 答案 A解析 f (x )＝x (1＋a |x |)，f (x ＋a )＝(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)， 由f (x ＋a )<f (x )得，x ＋a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<x ＋ax |x |， 而a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<ax |x |，(1)当a ＝0时，不合题意． (2)当a >0时有1＋(x ＋a )|x ＋a |<x |x |由于当x ＝0时1＋|a |<0无解，故a <0，去掉C. (3)当a <0时，1＋(x ＋a )|x ＋a |>x |x | 取a ＝－12，则1＋⎝⎛⎭⎫x －12⎪⎪⎪⎪x －12>x |x |* ①当x ≤0时，由*得－34<x ≤0②当0<x ≤12时，由☆得0<x ≤2＋279>12此时⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A 符合题意，由于－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0， －12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－52去掉B 、D ，故选A. 第Ⅱ卷二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴a ＋b i ＝1＋2i.10.⎝⎛⎭⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．答案 15解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r (－x －12)r ＝(－1)r C r 6x 6－3r 2(r ＝0,1，…，6)， 由题意得6－3r2＝0，∴r ＝4.故常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝C 26＝6×52×1＝15. 11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 答案 2 3解析 由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ而x 2＋y 2＝4x ， ∴(x －2)2＋y 2＝4，圆心C (2,0)， 点P ⎝⎛⎭⎫4，π3的直角坐标为P (2,23)．∴|CP |＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.另法：如图建系:由题意AD=1，60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ，)0,212(-xB ， 1(2,22AC x =+,1(,22BE x =-由题意 .1AD BE = 得：143)21)(212(=+-+x x ，得41=x ，∴AB 的长为21。
2013年天津市十二区县重点中学高三毕业班联考
2013年天津市十二区县重点中学高三毕业班联考(一)文科综合能力测试历史部分考生一律用黑笔作答。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上。
答卷时，卷Ⅰ答案填涂在答题卡上，卷Ⅱ答案写在答题纸上，答在试卷上的无效。
第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，把历史答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
2．本卷共11题，每题4分，共44分。
在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、选择题（每小题4分，共44分）1．“即承旨诸臣亦只供传述缮撰，而不能稍有赞画于其间”。
该机构是A．枢密院B．门下省C．内阁D．军机处2．右图是西汉长安城的城市布局复原图。
对此图所反映的信息解读正确的有①经济政策影响城市商业区布局②城市商业活动受到严格的时空限制③政府设置专职机构管理城市的商业活动④城市皇家宫室布局体现政治功能突出A．①②B．②④C．①④D．①③3．据《古今图书集成》记载：古代女子列入“闺节”、“闺烈”的烈女节妇，唐朝为51人，宋朝为267人，明朝为36000人。
这种变化趋势表明A．礼教束缚渐趋强大B．君主专制逐渐强化C．中央集权不断加强D．夫权社会基本形成4．马克思说：“美洲的发现，绕过非洲的航行，给新兴的资产阶级开辟了新天地。
”对这句话理解正确的是A．加快了资本原始积累B．欧洲主导的世界市场雏形开始出现C．商业经营方式发生变化D．股份公司、证券交易所产生5．“一旦人民可以把他撵下台，他就不能抱怨人民使用暴力……只靠暴力维持的，只有用暴力来推翻。
”发表以上言论的思想家最有可能是A．康德B．伏尔泰C．孟德斯鸠D．卢梭6．1919年6月10日，天津总商会致电北京政府加急电报：“本日仅准曹汝霖辞职，似此可以谢国人乎？……查栖息于津埠之劳动者数十万众，现已发生不稳之象，倘迁延不决，其危厄之局，痛苦有过于罢市者”。
极为震惊的北京政府在当晚发布了准免章宗祥职务的命令。
最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编5：数列
最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编5：数列一、选择题1 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知函数5(4)4(6),()2(6).x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩()0,1a a >≠ 数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈,且{}n a 是单调递增数列,则实数a的取值范围是（） A ．[)7,8B ．()1,8C ．()4,8D ．()4,72 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））已知等差数列{}na 中,a 7+a 9=16,S 11=299,则a 12的值是（） A ．15B ．30C ．31D ．643 ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）数列}{n a 的前n 项和为)()1(,1*2N n a b n n S n n n n ∈-=++=,则数列}{n b 的前50项的和为（） A ．49B ．50C ．99D ．1004 ．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）已知正项等比数列{a n }满足：765=2a a a +，若存在两项,n m a a 使得14a =，则nm 41+的最小值为（） A ．23 B ．35 C ．625D ．不存在5 ．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）等差数列{a n }中，如果147=39a a a ++，369=27a a a ++，数列{an}前9项的和为（） A ．297B ．144C ．99D ．666 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）若∆ABC 的三个内角成等差数列,三边成等比数列,则∆ABC是（）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形7 ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得14a =，则14m n+的最小值为（） A ．32B ．53C ．256D ．不存在8 ．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，5283()S a a =+，则53a a 的值为（） A ．16B ．13C ．35D ．569 ．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）已知等比数列{a n }的首项为1，若1234,2,a a a 成等差数列，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前5项和为（） A ．1631 B ．2 C ．1633 D ．3316 二、填空题10．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）正项等比数列中，若，则等于______.11．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某公园设计节日鲜花摆放方案,其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛,顶层一个,以下各层均堆成正六边形,且逐层每边增加一个花盆(如图).设第n 层共有花盆的个数为)(n f ,则)(n f 的表达式为_____________________.12．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）数列{a n }中，若a 1=1，123n n a a +=+（n ≥1），则该数列的通项a n =________。