高中椭圆讲义
高二数学讲义椭圆的定义、方程及性质专题
专题：椭圆的定义、方程与性质应用(★★★) 教学目标 1.理解掌握椭圆的定义、标准方程以及几何性质； 2.能灵活运用定义性质解决有关轨迹、面积以及最值问题.知识梳理4 min.1.椭圆的定义： 平面内到两个定点21 F F 、的距离和等于常数）＞（2122F F a a 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点21 F F 、叫做椭圆的焦点，两个焦点21F F 的距离叫做焦距.（1）当212F F a ＞时，动点轨迹是椭圆；（2）当212F F a =时，动点轨迹是线段21 F F ；（3）当212F F a ＜时，动点轨迹不存在.类型 标准方程 焦点坐标 之间的关系、、c b a 焦点在x 轴上 )0(12222＞＞b a by a x =+ )0,( , )0,(21c F c F - 222c b a += 焦点在y 轴上)0(12222＞＞b a bx a y =+ ),0( , ),0(21c F c F - ①函数方程思想、对称思想和分类讨论思想；②定义法：利用椭圆的定义解题，使求解过程更简捷；③点差法：利用椭圆弦的端点坐标、中点坐标、弦所在直线的斜率的相互关系解题，是解决中点弦问题的简捷方法.典例精讲33 min.例1（★★★） 已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点为1F 、2F ，椭圆上一点P 到两焦点21F F 、的距离分别为352 354、，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【答案】解：由13PF =、23PF =，得2a =+，即a =由条件可知2PF ∥y 轴，且1230PF F =∠， ∴1252=30=3c PF cos⋅，即c 253c =，210 3b =. ∴椭圆的方程为2231510x y +=或2231510y x +=. 【平面几何有关知识在解几中的应用在高考中时常出现，有时利用平面几何知识往往可以走捷径】巩固练习（★★★）已知椭圆的中心在原点，一个焦点的坐标是()25,0，直线23-=x y 与椭圆相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是21，求此椭圆的方程. 【答案】2217525y x +=.例2（★★★）过点(1,0)P -作倾斜角为3π的直线L 与椭圆22:24C x y +=相交于A 、B 两点. （1）求AB ；（2）若右焦点为1F ，求△1AFB △的面积.【答案】解：（1）由题意，直线L 的方程为1)y x +.由221)24y x x y ⎧+⎪⎨+=⎪⎩得27+1220x x += 设()11,A x y ，()22,B x y 为L 与椭圆的交点，122AB x x -=.（2）由题意易得右焦点1F ， 设1F 到直线L 的距离为d ，则)=d .∴()1166=2AF B S AB d =△. 【求面积知道弦长找到点到直线距离就可以轻松解答】巩固练习（★★★）3 答案 ：3.椭圆22134x y +=焦点为1F 、2F ，若P 为椭圆上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是多少？【答案】⎛ ⎝⎭.例3（★★★★）已知点A 、B 点分别为椭圆2213620x y +=长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点.若P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 为椭圆长轴AB 上一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到M 距离的最小值.【答案】解：（1）由已知易得()6,0A -，()4,0F .设点P 坐标为,)x y （， 则(6,)AP x y =+，(4,)FP x y =-.∵PA PF ⊥，则0AP FP ⋅=，∴2(6)(4)0x x y +-+=. 联立22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩.则29180x x +-=2.所以32x =或6x =-. 又0y ＞，∴可得3532P （，）. （2）由（1）不难求得AP 方程为36=0x y -+，设点M 的坐标为,0m （）， 则M 到直线AP 的距离为62m +. 于是6=62m m +-. 又∵≤≤-6m 6，解得=2m .椭圆上的点,x y （）到点M 的距离d ，则有222=(2)d x y -+. 将其代入椭圆方程，得2249()1592d x =-+. ∵≤≤-6x 6，∴当92x =时，d 取得最小值15. 【椭圆上的点坐标都是有范围限制，所以最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题】巩固练习（★★★）1. 若点A 的坐标1,1（），1F 是椭圆22195x y +=左焦点，P 为椭圆上的动点.则1PF PA +的最小值为多少？【答案】62-.（★★★★）2.椭圆22194x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，当P 、 1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点时，且12PF PF ＞，求12PF PF 的值. 【答案】当P 为直角顶点时，12PF PF 的值为2； 当2F 为直角顶点时，12PF PF 的值为72.回顾总结 3 min.椭圆的定义、方程是什么？椭圆有哪些性质？解题的思想方法是什么？。
椭圆专题复习讲义
椭圆专题复习★知识梳理★1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.考点1 椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是A ．4aB ．2(a －c)C ．2(a+c)D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 1.短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为（ ）A.3B.6C.12D.242.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）A ． 5B ． 7C ．13D ． 153．设k ＞1，则关于x ，y 的方程（1﹣k ）x 2+y 2=k 2﹣1所表示的曲线是（ ） A.长轴在x 轴上的椭圆 B.实轴在y 轴上的双曲线 C.实轴在x 轴上的双曲线 D.长轴在y 轴上的椭圆 4．椭圆2299x y +=的长轴长为（ ） A ．2 B.3 C.6 D. 95．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点为12,F F ,以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且124F F =，则a 等于___________.题型2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为12222=+b y a x 或)0(12222>>=+b a ay b x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为1163222=+y x 或1321622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系．［警示］易漏焦点在y 轴上的情况．1. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.2．已知()()0,1,0,121F F -是椭圆的两个焦点，过1F 的直线l 交椭圆于N M ,两点，若N MF 2∆的周长为8，则椭圆方程为（ ）A.1151622=+y x B.1151622=+x y C.13422=+x y D.13422=+y x 3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，它的长轴长等于圆222150x y x +--=的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A ．1121622=+y x B ．1422=+y x C ．141622=+y x D ．13422=+y x 4.已知方程),0(,1sin cos 22πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||21=⋅=∆A AC AB S ABC ， 32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=⋅-+=A AC AB AC AB BC2132322||||||-=+=+=BC AC AB e 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定 （2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A .45 B .23 C .22 D .212.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 3．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ） A.2 B.4 C.8 D.4．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．16 B ．13C ．36D ．335．椭圆)320(112222<<=+b by x 与渐近线为02=±y x 的双曲线有相同的焦点21,F F ,P 为它们的一个公共点,且9021=∠PF F ,则椭圆的离心率为（ )（A ）66 （B)216 （C ）306 （D)1566．已知椭圆C 的上、下顶点分别为1B 、2B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形1122B F B F 是正方形，则此椭圆的离心率e 等于 A ．13 B ．12C ．22D ．37．过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．8．椭圆C 的两个焦点分别是12,F F ，若C 上的点P 满足1123||||2PF F F =，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e ≤B ．14e ≥C ．1142e ≤≤D ．104e <≤或112e ≤< 9．椭圆22x a＋22y b ＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A 31- B 51- C 15+ D 13+ 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4 ] 已知实数y x ,满足12422=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【解题思路】 把x y x -+22看作x 的函数[解析] 由12422=+y x 得22212x y -=, 2202122≤≤-∴≥-∴x x ]2,2[,23)1(212212222-∈+-=+-=-+∴x x x x x y x当1=x 时,x y x -+22取得最小值23,当2-=x 时,x y x -+22取得最大值6【新题导练】1.已知点B A ,是椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）上两点,且λ=,则λ=2.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________3．已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.考点3 椭圆的最值问题[例5 ]椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________． 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为：|9)sin(5|2211|12sin 3cos 4|22-+=+-+ϕθθθ.22≥ 【名师指引】也可以直接设点),(y x P ，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】1.椭圆191622=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 2. P 是椭圆12222=+b y a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值与最小值3.已知点P 是椭圆1422=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ， O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________．4．已知(,)P x y 是曲线22:143x y C +=上的动点，则2z x y =-的最大值为A.425．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）．A ．B ． D6．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为A ．2．12C ．2．17．动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=,则||PM 的最小值是（ )2 D.38．在椭圆193622=+y x 上有两个动点Q P ,，()0,3E 为定点，EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（ ） A.6 B.33- C.9 D.3612-9．[2014·福建调研]若点O 和点F 分别为椭圆24x ＋23y ＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为( )A.2B.3C.6D.8中点弦问题1．已知椭圆+=22143x y ，则以点-(1,1)M 为中点的弦所在直线方程为( )．A ．-+=3470x yB ．+-=3410x yC ．-+=4370x yD ．++=4310x y2．已知椭圆+=2211216x y ，则以点-(1,2)M 为中点的弦所在直线方程为( )．A ．-+=38190x yB ．+-=38130x yC ．-+=2380x yD ．+-=2340x y3.椭圆221369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．2100x y +-=C ．220x y --=D ．280x y +-=焦点弦问题1．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．2．（2011•浙江）设F 1，F 2分别为椭圆+y 2=1的焦点，点A ，B 在椭圆上，若=5；则点A 的坐标是 _________ ．考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3=． （1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围．【解题思路】通过3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m 的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设2222:1(0)y x C a b a b+=>>由条件知1a =且b c =，又有222a b c =+，解得 21,2a b c ===故椭圆C 的离心率为22c e a ==12122=+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m2x 2＋y 2＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 22消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 24m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12<m <1容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】1.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是 （ ）A.()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132322>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,0123322>>=+y x y x[解析]),(),3,23(y x OQ y x AB -=-=132322=+∴y x ，选A. 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。
第三章 椭圆的简单几何性质讲义
3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．一、椭圆的几何性质问题1观察椭圆x2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？提示范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a ＋c ，最小值为a －c .问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？提示 利用离心率e ＝ca来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆．知识梳理椭圆的离心率：e ＝ca ∈(0,1)．注意点： (1)e ＝1－b 2a2＝11＋b 2c 2. (2)离心率的范围为(0,1)．(3)e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆．例1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其几何性质． 、二、由椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e ＝63.反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的标准方程．(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆的标准方程．跟踪训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OF A ＝23，则椭圆的标准方程是__________．三、求椭圆的离心率例3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．延伸探究1．若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．反思感悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法或不等式法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3 (1)某月球探测器发射后顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，近月点与月球表面的距离为100 km ，远月点与月球表面的距离为400 km.已知月球的直径约为 3 476 km ，则该椭圆形轨道的离心率约为( ) A.125 B.340 C.18 D.35(2)椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 的长为185，若△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为( )1．知识清单：(1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的几何性质求标准方程． (3)求椭圆的离心率．2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)．3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e ＜1及长轴长与a 的关系．1．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±34D ．离心率为322．已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( )A.x 236＋y 227＝1 B.x 26＋y 23＝1 C.x 227＋y 236＝1 D.x 29＋y 26＝13．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.644．若椭圆C ：x 2m ＋y 2m 2－1＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C 的长轴长为________．课时对点练1．(多选)为使椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，正数m 的值可以是( )A ．1 B. 3 C.83 D.322．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋25y 2＝400，则关于椭圆C 下列叙述正确的是( ) A ．椭圆C 的长轴长为10B ．椭圆C 的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3) C ．椭圆C 的离心率等于35D ．若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，则|PQ |＝3253．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对4．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.12 B ．2 C.14 D ．45．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.456．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地心最近的一点)距地面m km ，远地点B (离地心最远的一点)距地面n km ，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R km ，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ,2b ,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________________．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求椭圆的离心率．10.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B —→，求椭圆的标准方程．11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( ) A.x 28＋y 29＝1 B.x 218＋y 216＝1 C.x 212＋y 26＝1 D.x 29＋y 28＝112．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点是F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝5|PF 2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎣⎡⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫23，113．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.14．如图，把椭圆x 216＋y 29＝1的长轴AB 八等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 7F |的值为________．15．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，55 B.⎣⎡⎭⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎤0，255 D.⎣⎡⎭⎫255，116．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．+。
椭圆复习讲义
椭圆讲义课前双击巩固1.椭圆的定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作 .这两个定点叫作椭圆的 ,两焦点间的距离叫作椭圆的 . 集合P={M||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a>0,c>0,且a ,c 为常数: (1)若 ,则集合P 为椭圆; (2)若 ,则集合P 为线段; (3)若 ,则集合P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0) y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)图形性质范围对称性对称轴: 对称中心:顶点A 1 ,A 2B 1 ,B 2 A 1 ,A 2 B 1 ,B 2轴长轴A 1A 2的长为 短轴B 1B 2的长为焦距 |F 1F 2|= 离心率 e=ca ,e ∈a ,b ,c 的关系c 2=常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点P(x 0,y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作r 1=|PF 1|,r 2=|PF 2|. ①x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),r 1=a+ex 0,r 2=a-ex 0; ②y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),r 1=a+ey 0,r 2=a-ey 0;③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点). (2)焦点三角形:椭圆上的点P(x 0,y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形.r 1=|PF 1|,r 2=|PF 2|,∠F 1PF 2=θ,△PF 1F 2的面积为S,则在椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)中:①当r 1=r 2时,即点P 的位置为短轴端点时,θ最大;②S=b 2tan θ2=c |y 0|,当|y 0|=b 时,即点P 的位置为短轴端点时,S 取最大值,最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长l min =2b 2a.(4)AB 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的弦,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦中点M(x 0,y 0),则 ①弦长l=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+1k 2|y 1-y 2|;②直线AB 的斜率k AB =-b 2x 0a 2y 0.题组一 常识题1.[教材改编] 椭圆36x 2+81y 2=324的短轴长为 ,焦点为 ,离心率为 .2.[教材改编] 已知动点P (x ,y )的坐标满足√x 2+(y +7)2√x 2+(y -7)2,则动点P 的轨迹方程为 .3.[教材改编] 若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为10,一个焦点的坐标是(-√5,0),则椭圆的标准方程为 .4.[教材改编] 椭圆x 249+y 233=1上一点P 与椭圆两焦点F 1,F 2的连线的夹角为直角,则Rt △PF 1F 2的面积为 . 题组二 常错题◆索引:椭圆的定义中易忽视2a>|F 1F 2|这一条件;忽视焦点的位置;易忽视椭圆方程中未知数的取值范围.5.平面内一点M 到两定点F 1(0,-9),F 2(0,9)的距离之和等于18,则点M 的轨迹是 .6.短轴长等于6,离心率等于45的椭圆的标准方程为 .7.设点P (x ,y )在椭圆4x 2+y 2=4上,则5x 2+y 2-6x 的最大值为 .课堂考点探究探究点一 椭圆的定义1 (1)过椭圆x 24+y 2=1的左焦点F 1作直线l 交椭圆于A ,B 两点,F 2是椭圆右焦点,则△ABF 2的周长为( )A.8B.4√2C.4D.2√2(2) 在平面直角坐标系xOy 中,P 是椭圆y 24+x 23=1上的一个动点,点A (1,1),B (0,-1),则|PA |+|PB |的最大值为( )A.5B.4C.3D.2[总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P 在椭圆上时,与椭圆的两焦点F 1,F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|,通过整体代入可求其面积等. 式题 (1)若椭圆x 236+y 216=1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1,F 2的连线互相垂直,则△PF 1F 2的面积为 ( ) A.36B.16C.20D.24(2)已知椭圆x 24+y 2b 2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b= . 探究点二 椭圆的标准方程2 (1) 椭圆E 的焦点在x 轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E 的标准方程为 ( )A.x 22+2√2=1B.x 22+y 2=1 C.x 24+y 22=1 D.y 24+x 22=1(2) 已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若线段AB 的中点的坐标为(1,-1),则E 的方程为 ( )A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=1[总结反思] 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有:(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;(2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ),再用待定系数法求出m ,n 的值即可.式题 (1)已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F 1的直线l 交椭圆于M ,N 两点,若△MF 2N 的周长为8,则椭圆方程为 ( )A.x 24+y 23=1 B.y 24+x 23=1 C.x 216+y 215=1 D.y 216+x 215=1(2) 过点A (3,-2)且与椭圆x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215+y 210=1B.x 225+y 220=1 C.x 210+y 215=1D.x 220+y 215=1探究点三 椭圆的几何性质3 (1) 设F 1,F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b 相切的☉F 2交椭圆于点E ,且点E 恰好是直线EF 1与☉F 2的切点,则椭圆的离心率为 ( )A.√32B.√23C.√53D.√54(2)椭圆x 2+y 2b =1(0<b<1)的左焦点为F ,上顶点为A ,右顶点为B ,若△FAB 外接圆的圆心P (m ,n )在直线y=-x 的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为 ( ) A.(√22,1) B.(12,1) C.(0,√22) D.(0,12)[总结反思] 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法: (1)求出a ,c ,代入公式e=ca .(2)根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=a 2-c 2转化为关于a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e 的值或取值范围.式题 (1)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e.P 是椭圆上一点,位于第一象限,满足PF 2⊥F 1F 2,点Q 在线段PF 1上,且F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ .若F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则e 2=( ) A.√2-1 B.2-√2 C.2-√3 D.√5-2(2)中心为原点O 的椭圆的焦点在x 轴上,A 为该椭圆右顶点,P 为椭圆上一点,若∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )A.[12,1) B.(√22,1) C.[12,√63) D.(0,√22)探究点四 直线与椭圆的位置关系4已知点M是圆E:(x+√3)2+y2=16上的动点,点F(√3,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围. [总结反思](1)解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+1k2)[(y1+y2)2-4y1y2](k为直线斜率).(3)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点)中点弦或弦的中点点差法(结果要检验Δ>0)式题 已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为12,点A 在椭圆C上,|AF 1|=2,∠F 1AF 2=60°,过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,N 为线段PQ 的中点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知点M 0,18,且MN ⊥PQ ,求线段MN 所在的直线方程.课时作业一、 填空题1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于________．2．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为________．3．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是________．4．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距等于2，则m 的值为________．5．若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．6．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C的离心率等于________．7．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________．9．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点(12，12)平分，则这条弦所在的直线方程是________．10．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．11．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________． 二、解答题12．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.13．已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE 与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；。
椭圆讲义
椭圆一、椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是线段F 1F 2 ；②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．二、椭圆的标准方程：(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( a > b > 0)；(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b x a y ，其中( a > b > 0)。
例题：1、与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( )A 1858014520125201202522222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x2、求与椭圆224936x y +=3、椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ）A. 1-B. 1C.5D. 三、离心率：,01ce e a=＜＜（222a b c =+） 例题：1．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A.12B.32C.34D.642．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．323．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )A.12B.2C.D. 24．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( ) A .x 24＋y 23＝1 B .x 216＋y 24＝1 C .x 216＋y 212＝1 D .x 216＋y 23＝1 四、课内练习： 1、距离问题：1、P 为22298x y +=上的动点，A （0,5），求PA |最值。
高二《椭圆》讲义(两次大课)
（2）设 的椭圆 上一点，直线 与 轴交于点M，直线PB与 轴交于点N.
求证： 为定值.
14.[2015新课标全国Ⅰ卷理]已知椭圆C： ，直线 不过原点O且不平行于坐标轴， 与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与直线 的斜率的乘积为定值；
(Ⅱ)若直线 过点 ，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线 的斜率；若不能，说明理由。
15.[2015新课标全国Ⅰ卷文]设 , 分别是椭圆 的左右焦点，M是C上一点且 与x轴垂直，直线 与C的另一个交点为N.
(Ⅰ)若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且 ，求a,b.
16.[2014新课标全国Ⅰ卷]已知点 （0，-2），椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭圆E的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.
③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0
④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数，那么()
A．①的逆命题为真B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假
2．若 A⇔ B， C⇒ B，则A是C的()
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．a<0是方程ax2＋1＝0有一个负数根的()
6．设a、b∈R，已知命题p：a＝b；命题q：()2≤，则p是q成立的________条件．
以下7-9口答即可，不用动笔
7．写出命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
8．写出下列命题的否定，并判断它们的真假；
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
8.5.1椭圆讲义-高三数学一轮复习
椭圆一、课标要求1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质二、知识梳理1.椭圆的定义（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于（大于|F1F2|）的点的轨迹.（2）焦点：两个定点F1，F2.（3）焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半.2.椭圆的标准方程与几何性质标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标A1(−a,0)，A2(a,0)A1(0,−a)，A2(0,a)B1(0,−b)，B2(0,b)B1(−b,0)，B2(b,0)焦点坐标，，半轴长长半轴长为a，短半轴长为b离心率e=a，b，c的关系a2=提醒1.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a＞0,c＞0，且a,c为常数.（1）若a＞c，则集合P表示椭圆；（2）若a=c，则集合P表示线段；（3）若a＜c，则集合P为空集.2.焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大.三、典例探究考点一椭圆的定义及应用例1：已知两圆C1:(x−4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A. x 264−y248=1 B. y264+x248=1 C. x248−y264=1 D. x264+y248=1练习：“4<k<10”是“方程x 2k−4+y210−k=1表示焦点在x轴上的椭圆”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 考点二 椭圆的标准方程 例2 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为13，A 1 ,A 2 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点.若BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 ,则C 的方程为( ) A.x 218+y 216=1 B.x 29+y 28=1 C.x 23+y 22=1 D.x 22+y 2=1练习：已知椭圆过点P (35,−4) 和点Q (−45,−3) ，则此椭圆的方程是 ( ) A. y 225+x 2=1 B.x 225+y 2=1 或x 2+y 225=1C.x 225+y 2=1D. 以上均不正确四、课堂练习1.已知F 1 、F 2 是定点,|F 1F 2|=6 .若动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6 ,则动点M 的轨迹是( ) A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆2.已知椭圆的两个焦点为F 1(−√5,0) ，F 2(√5,0) ，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2 ，|MF 1|⋅|MF 2|=8 ，则该椭圆的方程是( ) A. x 27+y 22=1 B. x 22+y 27=1 C.x 29+y 24=1D.x 24+y 29=13. [2023辽宁沈阳模拟]已知两定点F 1(−1,0) ，F 2(1,0) 和一动点P ，若|F 1F 2| 是|PF 1| 与|PF 2| 的等差中项，则动点P 的轨迹方程为( ) A.x 216+y 29=1 B.x 24+y 23=1C. x 216−y29=1 D. y24+x23=14. [2021全国甲，15，5分]已知F1，F2为椭圆C:x 216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为5.设F1,F2分别是椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|,且|AB|=4,△ABF2的周长为16,则|AF2|=。
椭圆及其标准方程(讲义)
椭圆及其标准方程授课教师：刘老师知识一：椭圆的定义【问题导思】1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？2．如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？3．在问题2中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.知识二：椭圆的标准方程【问题导思】1．观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？2．在椭圆的标准方程中，a2和b2能相等吗？你能否根据椭圆的标准方程判定椭圆的焦点位置？类型一：求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；(2)经过点A (0,2)和B (12，3)．类型二：椭圆的定义及其应用设P是椭圆x225＋y2754＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．在本例中，若把椭圆方程改为“x 24＋y 23＝1”，把∠F 1PF 2＝60°，改为“∠PF 1F 2＝90°”，其余条件不变，试求△PF 1F 2的面积．类型三：与椭圆有关的轨迹问题如图所示，圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且|P′M|＝λ|PP′|(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？动点P在y＝2x2＋1上移动，则P点与Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是什么？忽略椭圆标准方程的隐含条件致误若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，求k 的取值范围．课堂小结：1．求椭圆的标准方程常用待定系数法．首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问题．2．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件转换成x，y 间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法．(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．(3)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是() A．椭圆B．线段C．圆D．以上都不对2．设P是椭圆x225＋y216＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．10B．8C．5D．43．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是() A．(±5，0) B．(0，±5)C．(±56，0) D．(±536，0)4．已知一椭圆的标准方程中b＝3，c＝4，求此椭圆的标准方程．一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，如图，求圆心P的轨迹方程．。
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椭圆1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．2．椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a－b≤x≤b概念方法微思考1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？提示当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示 由e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，椭圆越圆．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二 教材改编2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．123．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215＋y 210＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 210＋y 215＝1 D.x 220＋y 215＝14．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________．题组三 易错自纠5．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)6．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝105，则m 的值为________．7．设点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则5x 2＋y 2－6x 的最大值为________，最小值为________．第1课时 椭圆及其性质椭圆的定义及其应用1．(2019·保定模拟)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．2.如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．3．设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．4．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．椭圆的标准方程命题点1 定义法例1 (1)(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 22＋y 2＝1 D .x 24＋y 22＝1(2)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1命题点2 待定系数法例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为__________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．跟踪训练1 (1)(2019·福建泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( ) A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1 D .x 24＋y 29＝1(2)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆标准方程为________．椭圆的几何性质命题点1 离心率例3 (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( ) A.5－12 B.33 C.22 D.63(3)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．命题点2 与椭圆有关的范围(最值)例4 (1)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．(2)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)跟踪训练2 (1)正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3－12(2)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D .x 24＋y 23＝12．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.243．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D .x 216＋y 212＝14．(2020·湖北八市重点高中联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.22 C.23 D.635．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.326．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1 D.⎣⎡⎭⎫33，17．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B (离地面最远的点)距地面n 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ,2b ,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )8．(多选)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q 的周长为439．焦距是8，离心率等于45的椭圆的标准方程为________________．10．已知椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．11．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹方程．12．如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．13．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|P A |＋|PB |的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．214．(2019·浙江)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．15．(2019·衡水模拟)阿基米德(公元前287年－公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为74，面积为12π，则椭圆C 的方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 218＋y 232＝1 D.x 24＋y 236＝116．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P使1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1＝a 2c 2，求该椭圆的离心率的取值范围．。