【精品】高中选修1-1数学 椭圆及其标准方程 讲义 +练习题 第14讲 - 8.25
1． 知识与技能目标：
掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力．
3． 情感态度与价值观目标：
通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神．
【要点梳理】 要点一：椭圆的定义
平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点
1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．
要点诠释：
（1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点；
（2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程
学生/课程 年级 高一年级 学科 授课教师 江老师
日期
8.25
时段
核心内容
椭圆及其标准方程（第14讲）
要点诠释：
1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-；
3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；
4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导：
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．
以焦点在x 轴上的方程22
221x y a b
+=(0)a b >>为例．
(1)建系
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．
当焦点在x 轴上时， 22
221x y a b
+=(0)a b >>，其中222c a b =-；
当焦点在y 轴上时，22
221y x a b
+=(0)a b >>，其中222c a b =-．
（2）设点
设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)． (2)列式
由于点(,)M x y 为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为： {}122P M MF MF a =+= （称此式为几何条件）
2a （实现集合条件代数化） ① (4)化简
为化简①这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得
2a =
将这个方程两边平方，得
()
2
22 44x c y a ++=－22()x c y +-+，
整理得
2a cx -=
上式两边再平方，得
4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，
整理得
22222222()()a c x a y a a c -+=- ②
方程②结构较复杂，不便记忆，继续化简． 由椭圆的定义可知22a c >，即a c >，所以220a c ->， 将方程②两边同除以222()a a c -，得
22
222
1x y a a c +=-． 令222a c b -=，那么所得的椭圆方程可化为：
22
22
1x y a b +=，(0)a b >>． 因此，方程22
221(0)x y a b a b
+=>>即为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．
要点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法： （1）待定系数法：
①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a ，b ，即：“先定型，再定量”．
②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：
221(,0)mx ny m n m n +=>≠且．
（2）定义法：
先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．
【典型例题】 类型一：椭圆的定义
例1． 若一个动点P (x ，y )到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m >0），试求P 点的轨迹方程．
【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆．．当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆．
举一反三：
【变式1】已知圆22:(2)36A x y ++=，圆A 内一定点()20B ，，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．
【变式2】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
类型二：椭圆的标准方程
例2． 椭圆22110036
x y +=的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB 为过椭圆的一
个焦点F 1的一条弦，F 2为另一个焦点，则2ABF ∆的周长是 ．
【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a ，b 的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息．
举一反三：
【变式1】椭圆22
1x y m n
+=--(m <n <0)的焦点坐标是________．
【变式2】方程22
12516x y m m
+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．
【变式3】已知椭圆的标准方程是22
2125
x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且
|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．
例3．当39
k
<<时，指出方程
22
1
93
x y
k k
+=
--
所表示的曲线．
【总结升华】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息．
举一反三：
【变式】如果方程222(0)
x ky k
+=>表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是．类型三：求椭圆标准方程
例4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35
(,)
22
-．【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴．当
焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为
22
22
1
x y
a b
+=；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为
22
221
y x
a b
+=．
举一反三：
【变式1】已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0，1)，P是椭圆上一点，并且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆的标准方程是________．
【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆
22
1
94
x y
+=有相同的焦点，并且经过点（3，
－2），求此椭圆的方程．
例5．求经过点P（－3，0），Q（0，2）的椭圆的标准方程．
【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程．在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置．
举一反三：
【变式1】过点(－3，2)且与椭圆
22
1
94
x y
+=有相同焦点的椭圆的标准方程是________．
【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程．类型四：椭圆的综合问题
例6．设F1、F2是椭圆
22
1
94
x y
+=的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则
△PF1F2的面积等于________．
【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理．
举一反三：
【变式1】已知P 为椭圆22
1169
x y +=上的一点，12,F F 是两个焦点，1260O F PF ∠=，求12F PF ∆的
面积．
【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么椭圆C 的方程为______．。
【精品】高中数学选修1-1 椭圆及其标准方程 知识讲解 讲义+巩固练习
椭圆及其标准方程【学习目标】 1． 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力．3． 情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神．【要点梳理】 要点一：椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．要点诠释：（1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点；（2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程要点诠释：1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-；3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．以焦点在x 轴上的方程22221x y a b+=(0)a b >>为例．(1)建系建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．（2）设点设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)列式由于点(,)M x y 为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为： {}122P M MF MF a =+= （称此式为几何条件）即2a （实现集合条件代数化） ① (4)化简为化简①这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得2a =将这个方程两边平方，得()222 44x c y a ++=－22()x c y +-+，整理得2a cx -=上式两边再平方，得4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，整理得22222222()()a c x a y a a c -+=- ②方程②结构较复杂，不便记忆，继续化简． 由椭圆的定义可知22a c >，即a c >，所以220a c ->， 将方程②两边同除以222()a a c -，得222221x y a a c +=-． 令222a c b -=，那么所得的椭圆方程可化为：22221x y a b +=，(0)a b >>．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．要点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a ，b ，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0)mx ny m n m n +=>≠且．（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．【典型例题】 类型一：椭圆的定义例1． 若一个动点P (x ，y )到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m >0），试求P 点的轨迹方程．【解析】∵|PA|+|PA ＇|=m ，|AA ＇|=2，|PA|+|PA ＇|≥|AA ＇|， （1）当0<m<2时，P 点的轨迹不存在； （2）当m=2时，P 点的轨迹就是线段AA ＇ ∴其方程为y=0（－1≤x≤1）；（3）当m ＞2时，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以A 、A ＇为焦点的椭圆 ∵2c=2，2a=m ，∴2m a =，1c =，222214m b a c =-=-∴点P 的轨迹方程为22221144x y m m-=-．【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆．．当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆．举一反三：【变式1】已知圆22:(2)36A x y ++=，圆A 内一定点()20B ，，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．【答案】设圆P 的半径为r ，则|PB|=r ， ∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为6，∴两圆的圆心距|PA|=6－r ，即|PA|+|PB|=6（大于|AB|）． ∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∴2a=6，2c=|AB|=4．∴a=3，c=2，b 2=a 2－c 2=32－22=5．∴点P 的轨迹方程为22195x y +=【高清课堂：椭圆的方程356766 例2】【变式2】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【答案】2213627x y +=类型二：椭圆的标准方程例2． 椭圆22110036x y +=的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB 为过椭圆的一个焦点F 1的一条弦，F 2为另一个焦点，则2ABF ∆的周长是 ．【答案】1216(8,0),(8,0)40F F -【解析】由椭圆方程知22100,36a b ==∴22264c a b =-=， ∴8,216c c ==．∴两焦点为12(8,0),(8,0)F F - 又因为三角形的周长为为22||||||AB AF BF ++=22440a a a +==【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a ，b 的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息．举一反三：【变式1】椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________．【答案】，(【变式2】方程2212516x y m m+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．【答案】92<m <25【解析】因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >92，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m 的取值范围为9252m <<．【变式3】已知椭圆的标准方程是222125x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．【答案】【解析】因为F 1F 2＝8，即即所以2c ＝8，即c ＝4，所以a 2＝25＋16＝41，即a =，所以△ABF 2的周长为4a ＝例3． 当39k <<时，指出方程22193x y k k +=--所表示的曲线．【解析】∵39k <<∴90-3>0k k ->且（1） 若9-k>k-3，即36k <<时，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆； （2） 若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆221x y +=；（3） 若9-k<k-3， 即69k <<时，则方程表示焦点在y 轴上的椭圆．【总结升华】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息．举一反三：【变式】如果方程222(0)x ky k+=>表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是．【答案】01k<<类型三：求椭圆标准方程【高清课堂：椭圆的方程356766 例1】例4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35(,)22-．【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>．∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4 ∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为221 259x y+=；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为22221(0) y xa ba b+=>>由椭圆的定义知，2a==，∴a=又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6∴所求椭圆的标准方程为221 106y x+=【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为22221x ya b+=；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为22221y xa b+=．举一反三：【变式1】已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0，1)，P是椭圆上一点，并且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆的标准方程是________．【答案】221 43y x+=【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆22194x y+=有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程．【答案】221 1510x y+=．例5．求经过点P（－3，0），Q（0，2）的椭圆的标准方程．【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）．∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），∴91,4 1.mn=⎧⎨=⎩∴1,91.4mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求椭圆方程为221 94x y+=．【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程．在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置．举一反三：【变式1】过点(－3，2)且与椭圆22194x y+=有相同焦点的椭圆的标准方程是________．【答案】221 1510x y+=【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程．【答案】2219xy+=或221819y x+=．类型四：椭圆的综合问题例6．设F1、F2是椭圆22194x y+=的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c=PF1＋PF2＝2a＝6．又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝2可知△PF 1F 2是直角三角形， 故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4．【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理．举一反三：【变式1】已知P 为椭圆221169x y +=上的一点，12,F F 是两个焦点，1260O F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．【答案】【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么椭圆C 的方程为______．【答案】221168x y += 类型五：坐标法的应用例7．△ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6）和C （0，－6），另两边AB 、AC 的斜率的乘积是49-，求顶点A 的轨迹方程．【解析】设顶点A 的坐标为（x ，y ） 由题意得664(0)9y y x x x -+⋅=-≠， ∴顶点A 的轨迹方程为221(0)8136x y x +=≠．【总结升华】求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件．举一反三：【变式1】已知A 、B 两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为49-，则M 的轨迹方程是（ ）A ．221100259x y += B ．221(5)100259x y x +=≠±C ．221225254x y += D ．221(0)225254x y x +=≠ 【答案】D【变式2】△ABC 两顶点的坐标分别是B （6，0）和C （－6，0），另两边AB 、AC 的斜率的积是49-，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．221(6)8136x y y +=≠±B ．221(6)8116y x y +=≠±C ．221(6)1636x y x +=≠±D ．221(6)3616x y x +=≠±【答案】D【高清课堂：椭圆的方程356766 例3】【变式3】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，求线段PP ′中点M 的轨迹．【答案】设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y则00,2y x x y ==因为00(,)P x y 在圆224x y +=上，所以22004x y += 将00,2x x y y ==代入上方程得2244x y +=即2214x y +=所以点M 的轨迹是一个椭圆【巩固练习】 一、选择题1．满足条件13,5a c ==的椭圆的标准方程为（ ）A ．221169144x y +=B ．221169144y x +=C ．222211169144169144x y y x +=+=或 D ．不确定2．如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a > B ．2a <-C ． 3a >或2a <-D ．3a >或62a -<<-3．直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．1m > B ．1m ≥或01m <<C ． 1m ≥且5m ≠D ．05m <<且1m ≠4．设P 是椭圆2212516x y +=上的点，若12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5C ．8D ．105．0m n >>是方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． ．若椭圆的2221kx ky +=的一个焦点为（0，-4），则k 的值为（ ）Ａ． 132 B ．18C ．8D ．32 二、填空题7．过点(－3，2)且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程是________． 8．若△ABC 的两个顶点坐标A (－4，0)，B (4，0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为________．9．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是|PF 1|的中点，若|OQ|＝1，则|PF 1|＝________．10．设F 1、F 2是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积等于________．11．椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________． 三、解答题12．ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．13．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝100及点A (－3，0)，P 是圆C 上任意一点，线段P A 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．14． 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．15．已知F 1、F 2是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点． (1)若∠F 1PF 2＝3π，求△F 1PF 2的面积； (2)求12||||PF PF ⋅的最大值．【答案与解析】1．【答案】C【解析】∵13,5,a c == ∴2222169,144,a b a c ==-=∴当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为221169144x y +=； 当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为221169144y x +=，故选C ． 2．【答案】D【解析】焦点在x 轴上，则标准方程中2x 项的分母应大于2y 项的分母，即26,a a >+解得选D ．3．【答案】C【解析】直线过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上．4．【答案】Ｄ【解析】由椭圆定义知12||||210PF PF a +==，所以选Ｄ5．【答案】Ｃ【解析】将方程221mx ny +=转化为22111x y m n +=，根据椭圆的定义，要使焦点在ｙ轴上，必须满足101011m nm n ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪<⎪⎩解得0m n >>；故选Ｃ６．【答案】A ； 【解析】方程变形为221(0)112y x k k k+=>，∴11116,232k k k -== 7．【答案】2211510x y += 【解析】因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为222215x y a a +=-． 由点(－3，2)在椭圆上知229415a a +=-，所以a 2＝15．所以所求椭圆的标准方程为2211510x y +=． 8．【答案】()2210259x y y +=≠ 【解析】顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5，2c ＝8，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故顶点C 的轨迹方程为221259x y +=．又A 、B 、C 三点构成三角形，所以y ≠0．所以顶点C 的轨迹方程为()2210259x y y +=≠．9．【答案】6【解析】如图所示，连结PF 2，由于Q 是PF 1的中点，所以OQ 是△PF 1F 2的中位线，所以PF 2＝2OQ ＝2，根据椭圆的定义知，PF 1＋PF 2＝2a ＝8，所以PF 1＝6．10．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴PF 1＋PF 2＝2a ＝6．又PF 1∶PF 2＝2∶1，∴PF 1＝4，PF 2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF 1F 2是直角三角形，故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4．11．【答案】(n m -，0)，(－n m -，0)【解析】因为m <n <0，所以－m >－n >0，故焦点在x 轴上，所以c ＝()m n ---＝n m -， 故焦点坐标为(n m -，0)，(－n m -，0)．12．【解析】（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．13．【解析】∵l 是线段P A 的垂直平分线，∴AQ ＝PQ ．∴AQ ＋CQ ＝PQ ＋CQ ＝CP ＝10，且10>6．∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，且2a ＝10，c ＝3，即a ＝5，b ＝4．∴点Q 的轨迹方程为2212516x y +=． 14．【解析】设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ． 从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos 21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ． ∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 15． 【解析】。
人教A版高中数学选修1-1 九 2.1.1 椭圆及其标准方程 精讲优练课型
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业九椭圆及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【解析】选D.设该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则|PF2|=7.2.(2016·日照高二检测)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是( )A.2B.4C.8D.【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,则|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.又ON为△MEF的中位线,所以|ON|=|ME|=4.3.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.以上都不对【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,因为△PF1F2为正三角形,所以|OP|=|F1F2|,可得b=c,即= c.①又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为,所以a-c=,②联立①②,可得a=2,c=,b==3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为+=1或+=1.5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为( )A. B. C. D.【解题指南】由·=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离. 【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设|=m,|=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2, 所以=·mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,故h=.二、填空题 (每小题5分,共15分)6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.【解析】由题意可得所以故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.答案:+=17.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是.【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”,故|PF1|·|PF2|的最大值是16.答案:168.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2= .【解析】由题意=c2=,所以c=2,所以a2=b2+4.由题意得点P坐标为(1,),把x=1,y=代入椭圆方程+=1中得+=1,解得b2=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为+=1.故椭圆的标准方程为+=1或+y2=1.10.(2016·郑州高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(x P,y P),因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以x P=x,且y P=y.因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·郑州高二检测)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )A.m<2B.1<m<2C.m<-1或1<m<2D.m<-1或1<m<【解析】选D.由题意得即所以1<m<或m<-1.2.(2016·临沂高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点,若|MN|=16,则椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选 B.因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c,整理得2+-1=0,所以=.所以a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=(x-c),代入椭圆方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或c,得M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以c=5,所以椭圆方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是.【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以△PF1F2是直角三角形,所以=·|F1F2|·|PF2|=.答案:4.(2016·唐山高二检测)已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF 交C于点B,若=3,则||=【解题指南】设出A点的坐标,利用=3求出A点坐标,即可求出||的大小.【解析】设A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,得(1,y0)=3(x1-1,y1),所以又点B在椭圆C上,所以+=1,解得y0=±1,所以A点坐标为(2,±1),所以||==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·烟台高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程.(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y轴上,且c=1.又因为3a2=4b2,所以a2-b2=a2=c2=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆标准方程为+=1.(2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1.又由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=,|PF2|=,|F1F2|=2,cos∠F1PF2==.6.(2016·连云港高二检测)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|·|PF2|≤==4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=λ得x0=,y0=-.又+=1,所以有λ2+6λ-7=0,解得λ=-7或λ=1,C异于B点,故λ=1舍去.所以λ=-7.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1周长最大,最大值为8.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆的定义平面内与两个定点1F 、2F 距离的和等于常数（大于|F F |21）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 到两定点1F （-2，0）和2F （2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是A. 椭圆B. 线段C. 圆D. 以上都不对2. 椭圆125y 9x 22=+的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则△2ABF 的周长是A. 20B. 12C. 10D. 6 3. 椭圆1y 25x 22=+上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为A. 5B. 6C. 7D. 84. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和()为常数且a ,0a a 2|PB ||PA |>=+； 命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件题型二：椭圆的标准方程椭圆的两种标准方程1b y a x 2222=+，1bx a y 2222=+中都有：（1）0b a >>；（2）222b a c -=或222c b a +=；（3）焦点坐标（c ±，0）或（0，c ±）；（4）2x 与2y 所对应的分母，哪个大，焦点就在哪个轴上，请用以上知识解决以下5~8题。
5. 椭圆116y 32x 22=+的焦距等于A. 312B. 8C. 6D. 46. 若方程1a y ax 222=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是A. 0a <B. 0a 1<<-C. 1a <D. 无法确定7. 椭圆0ab by ax 22=++（0b a <<）的焦点坐标是A. ()0,b a -±B. ()0,a b -±C. ()b a ,0-±D. ()a b ,0-±8. 椭圆112y 13x 22=+上一点到两个焦点的距离和为A. 26B. 24C.134D. 132题型三：椭圆的标准方程的应用 紧扣标准方程的两种方式，焦点位置取决于两个分母哪个大，特别注意看似非标准形式的标准形式，如11k y kx 222=--，这说明01k <-，另外注意c 2|PF ||PF |21>+的约束条件，请用以上知识解决以下9~10题。
苏教版高中数学选修1-1椭圆同步练习(1)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）椭圆同步练习（1）一．选择题：1．已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（）A． B．C． D．2．椭圆的焦点坐标是（）．A． B．C． D．3．已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（）A． B．C． D．二．填空题：4．与椭圆有相同焦点且过点的椭圆方程是。
5．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为．6．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．三．解答题：7．椭圆的焦距为6且经过点，求焦点在轴上的椭圆的标准方程．8．椭圆的一个焦点是，且截直线，所得弦的中点横坐标为，求椭圆的标准方程．9．已知方程，，对不同范围内的值分别指出方程所代表的曲线的类型，并画出显示其特征的草图．10．已知直线交椭圆于，两点，点坐标为（0，4），当椭圆右焦点恰为的重心时，求直线的方程．11．椭圆与直线相交于，两点，是的中点，若，为原点，的斜率为，求椭圆的方程．参考答案：一．选择题：1．C 2．C 3．B二、填空题：4． 5． 6．，三．解答题：7．8．设所求椭圆方程为，由，得，将与联立消去得．设，，则，解出、，所求椭圆方程为．9．当时，方程的图形为直线；当时方程的图形为中心在原点、焦点在轴上的椭圆；当时方程的图形为以原点为圆心、2为半径的圆；当时方程的图形为中心在原点、焦点在轴上的椭圆．画图略．10．设，，由及为的重心有，得，，．所以中点为（3，－2）．又、在椭圆上，故，．两式相减得到，可得即为的斜率，由点斜式可得的方程为．四、由直线方程与椭圆方程联立消去得．设，，，则，，，所以…①；又由可得…②．由①，②解得，，所求椭圆为．。
湖北省丹江口市第一中学人教A版高中数学选修1-1练习：2-1-1椭圆及其标准方程 精品
2.1.1椭圆及其标准方程（练案）会熟练运用椭圆的定义和标准方程解决问题1.若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为6，则动点P 的轨迹为（ ）A.椭圆B.线段F 1F 2C.直线F 1F 2D.不存在2. 椭圆2214x y n+=的焦距为2，求则n 的值为_______． 3.方程1922=-my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 ． 4.已知121022=-+-m x m y 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是________ 5.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是_______6．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在第_______象限7.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8；（2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。
（3）求经过两点(2，0)，(0，1)，且焦点在坐标轴上。
（4）.求以椭圆455922=+y x 的焦点为焦点，且经过点（2，6）的椭圆的标准方程。
&&&课下选做题1．椭圆11003622=+y x 的两个焦点分别为F 1、F 2.作过F 2的直线并与y 轴垂直，交椭圆于A 、Ｂ两点，则△ABF 1的周长为__________2：已知点P 是是椭圆14522=+x y 上的一点，F 1和F 2是焦点，且△P F 1F 2的面积等于1，求点P 的坐标3．点P 是椭圆14522=+x y 上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1 P F 2=30o ，求△P F 1F 2的面积4．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，求⋅的最大值。
人教版高中数学高二选修1-1 椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．迁移与应用 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝______．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1||PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1||PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142．迁移与应用1．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________．2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，还是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)；②运用定义、平方关系等求出a ，b ． (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，这样可以避免讨论．三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．(2)已知在△ABC 中，|BC |＝6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法： (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0, 即得所求轨迹方程． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离 |MF 1|＋|MF 2|＝2a预习交流1 (1)提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．(2)提示：B2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )a2＝b2＋c2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．(2)提示：534(4,0)，(－4,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．6解析：由已知a2＝16，a＝4．从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．迁移与应用43解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．(2)利用两点间的距离公式求出2a ，再写方程；也可用待定系数法．(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0， A ≠B )直接求A ，B 得方程．解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10， 所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3．所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6． 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(3)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．迁移与应用1．(3,4) 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >k －3，k －3>0，解得3＜k ＜4．2．x 225＋y 216＝1 解析：易知c ＝3，a ＝5，则b 2＝a 2－c 2＝16． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1．活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，|PF 2|的方程，求出|PF 1|，|PF 2|后，再求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|，② 将②代入①解得|PF 1|＝65．∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353．迁移与应用解：在椭圆x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y．因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9．将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．即x29＋y2＝1．又y≠0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC 直线与椭圆的两个交点．迁移与应用解：由题意知M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |． 又M 在AQ 的垂直平分线上，连接AM ，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2．∴M 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5， ∴a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝214．∴M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1．当堂检测1．设P 是椭圆22=12516x y +上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． ∵a 2＝25，∴2a ＝10． ∴|PF 1|＋|PF 2|＝10．2．椭圆22=1167x y +的焦点坐标为( ) A ．(－4,0)和(4,0) B ．(0，)和(0) C ．(－3,0)和(3,0) D ．(0，－9)和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＝16，b 2＝7， ∴c 2＝9，c ＝3．∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．4．已知P是椭圆22=12516x y+上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积是______．答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝12|PF1|·|PF2|＝16．5．已知椭圆22=1259x y+上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝______．答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝12|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．。
最新人教版高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程》课后训练1
2．1.1 椭圆及其标准方程练习1．在椭圆的标准方程中，a ＝6，b =( ) A. 2213625x y += B. 2213625y x += C. 22136x y += D. 2213625x y +=或2213625y x += 2．已知F 1，F 2为两定点，|F 1F 2|＝4，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝4，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段3．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是( )A ．(0，)B ．(，0)C ．(0，)D ．(，0)5．(2010福建高考，文11)若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．86．已知F 1，F 2为椭圆221259x y +=的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝__________.7．若方程221x ay a+=表示椭圆，则实数a 满足的条件是__________． 8．椭圆2214x y +=的两个焦点为F 1，F 2，过左焦点F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝__________.9．求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点A ⎝和B ⎫⎪⎪⎝⎭的椭圆；(2)过点(－3,2)且与22194x y +=有相同焦点的椭圆． 10．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解：两定圆的圆心和半径分别是O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题设条件，可知|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R.则|MO1|＋|MO2|＝10＞|O1O2|＝6.由椭圆的定义，知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，则b2＝a2－c2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为221 2516x y+=.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程练习(含解析)新人教A版高二选修1-1
2.1.1 椭圆及其标准方程[学生用书P97(单独成册)])[A 基础达标]1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为 ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B.根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7.2．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．5或3D ．8解析：选C.由题意得c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.当m >4时，m ＝4＋1＝5；当m <4时，4＝m ＋1，所以m ＝3.3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值X 围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D.由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2. 4．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1C.x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B.由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝ 3. 因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， 所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.5．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．32解析：选B.设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点， 所以|ON |＝12|MF 2|＝4.6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为__________．解析：由已知2a ＝8，2c ＝215， 所以a ＝4，c ＝15， 所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y 轴上， 所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝17．已知椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2，0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2，0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)， 从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为____________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，所以12×8b ＝12，所以b ＝3.又因为c ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝25.所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝19．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，32)．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝（4－0）2＋（32＋2）2＋（4－0）2＋（32－2）2＝12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4，32)，所以18a 2＋16b2＝1.又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32， 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)． 由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8， 得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c ＝4，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[B 能力提升]11．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.12．(2019·某某高二检测)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.113 B ．115C.117D ．119解析：选C.因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝13，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－13＝173，所以|PF 2||PF 1|＝117.13．如图所示，已知椭圆的两焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2，所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|.由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， 所以|PF 1|＝65，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335.14．(选做题)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1|·|PF 2|的最大值； (2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF →1＝λCF →1，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值．解：(1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3，即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4. (2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)， 由BF →1＝λCF →1， 得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ.又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，C 异于B 点，故λ＝1舍去，所以λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，所以△PBF 1的周长≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.。
高中数学北师大选修1-1练习：第二章 §1 1.1 椭圆及其标准方程
[A 组 基础巩固]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．1解析：由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.答案：A2．已知△ABC 的两个顶点的坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 解析：顶点C 到两个定点A ，B 的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程． 答案：D3．已知椭圆的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴|F 1F 2|＝2，又∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，即2a ＝4.又c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. 答案：C4．“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若方程x 27－m ＋y2m －5＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0m －5>07－m ≠m －5，解得5<m <7且m ≠6，所以“5<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －5＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选C.答案：C5．已知P 是椭圆x 2100＋y 236＝1上一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1交椭圆于另一点A ，则△P AF 2的周长为( )A ．10B ．16C ．20D ．40解析：设△P AF 2的周长为l ，则l ＝|P A |＋|PF 2|＋|AF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|AF 1|＋|AF 2|)＝2×10＋2×10＝40.答案：D6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 答案：y 216＋x 2＝17．若方程x 2a 2－y 2a ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________；若该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________．解析：方程变形为x 2a 2＋y 2－a＝1，当焦点在y 轴上时，有－a >a 2，所以－1<a <0；当焦点在x 轴上时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>－a ，－a >0，所以a <－1.答案：(－1,0) (－∞，－1)8．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27.由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且过点(1，23)和(2,0)，求椭圆的方程． (2)焦点在x 轴上，焦距是4，且经过点M (3，－26)． 解析：(1)由焦点在y 轴上，故设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a2＝1.∵点(1,23)和(2,0)在椭圆上，∴⎩⎨⎧1b 2＋12a 2＝1，4b 2＋0a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝4.故所求的椭圆方程为x 24＋y 216＝1.(2)由焦点在x 轴上，焦距是4，得焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，且c ＝2.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(3＋2)2＋(－26)2＋(3－2)2＋(－26)2＝12，所以a ＝6.所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32.因此，所求椭圆的标准方程为x 236＋y 232＝1.10.如图所示，已知椭圆的两焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求该椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解析：(1)由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2， 所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－|PF 1|.由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，即(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，所以|PF 1|＝65，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|PF 1|·sin 120°＝12×2×65×32＝335.[B 组 能力提升]1．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝( )A.23 B ．1 C.43D.53解析：椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)中，a ＝1，∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，相加得|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4－|AF 1|－|BF 1|＝4－|AB |.∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，于是2|AB |＝4－|AB |，∴|AB |＝43.答案：C2．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝⎛⎭⎫52，－32的椭圆的标准方程是( ) A.x 210＋y 26＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫322＝3102＋102＝210. ∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6. 答案：A3．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：因为F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且正三角形POF 2的面积为3，所以S △POF 2＝12|OF 2|·|PO |·sin 60°＝34c 2＝3，所以c 2＝4.所以点P 的坐标为(c 2，32c )，即(1，3)，所以1a 2＋3b 2＝1，又b 2＋c 2＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3a 2＝a 2b 2a 2＝4＋b 2，解得b 2＝2 3. 答案：2 34．设P 是椭圆 x 29＋y 25＝1上一点，F 1，F 2是其左、右两焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝8，则|OP |＝________.解析：由题意，|PF 1|＋|PF 2|＝6，两边平方得|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝36.因为|PF 1|·|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.以PF 1，PF 2为邻边做平行四边形，则|OP |正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP |)2＋(2c )2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)．所以4|OP |2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP |＝ 6.答案： 65．在椭圆9x 2＋25y 2＝225上求点P ，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍． 解析：原方程可化为x 225＋y 29＝1.其中a ＝5，b ＝3，则c ＝4.∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)．设P (x ，y )是椭圆上任一点，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，又|PF 2|＝4|PF 1|，解得|PF 1|＝2，|PF 2|＝8，即{ (x ＋4)2＋y 2＝2，(x －4)2＋y 2＝8，解得⎩⎨⎧ x ＝－154y ＝347或⎩⎨⎧x ＝－154，y ＝－347.故P 点坐标为(－154，347)或(－154，－347)．6．设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 216＝1上的点且点P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k P A ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：因为点P 的纵坐标y ≠0，所以x ≠±5.所以k P A ＝y x ＋5，k PB ＝yx －5.所以k P A ·k PB ＝y x ＋5·y x －5＝y 2x 2－25.因为点P 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以y 2＝16×(1－x 225)＝16×25－x 225.把y 2＝16×25－x 225代入k P A ·k PB ＝y 2x 2－25，得k P A ·k PB ＝16×25－x 225x 2－25＝－1625.所以k P A ·k PB 为定值，这个定值是－1625.由Ruize收集整理。
【精品】高中数学选修1-1 椭圆及其标准方程 讲义+巩固练习 基础
椭圆及其标准方程【学习目标】 1． 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力．3． 情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神．【要点梳理】 要点一：椭圆的定义平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．要点诠释：（1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点；（2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程要点诠释：1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-；3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．以焦点在x 轴上的方程22221x y a b+=(0)a b >>为例．(1)建系建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)．（2）设点设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)列式由于点(,)M x y 为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为： {}122P M MF MF a =+= （称此式为几何条件）2a （实现集合条件代数化） ① (4)化简为化简①这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得2a =将这个方程两边平方，得()222 44x c y a ++=－22()x c y +-+，整理得2a cx -=上式两边再平方，得4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，整理得22222222()()a c x a y a a c -+=- ②方程②结构较复杂，不便记忆，继续化简． 由椭圆的定义可知22a c >，即a c >，所以220a c ->， 将方程②两边同除以222()a a c -，得222221x y a a c +=-． 令222a c b -=，那么所得的椭圆方程可化为：22221x y a b +=，(0)a b >>．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．要点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a ，b ，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0)mx ny m n m n +=>≠且．（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．【典型例题】 类型一：椭圆的定义例1． 若动点M 到两个定点F 1，F 2的距离的和为定值m ，则M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．以上都不对 【答案】D【解析】由于m 与12||F F 大小关系不能确定，因此M 的轨迹可能是椭圆，也可能是线段，还有可能不存在，故选D【思路点拨】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆．．当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆．举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（ ）A ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段【答案】D【变式2】已知A （0，－1）、B （0，1）两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221(2)43x y x +=≠±B ．221(2)43y x y +=≠±C ．221(0)43x y x +=≠D ．221(0)43y x y +=≠【答案】B例2． 已知圆22:(2)36A x y ++=，圆A 内一定点()20B ，，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．【解析】设圆P 的半径为r ，则|PB|=r ， ∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为6∴两圆的圆心距|PA|=6－r ，即|PA|+|PB|=6（大于|AB|） ∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∴2a=6，2c=|AB|=4∴a=3，c=2，b 2=a 2－c 2=32－22=5∴点P 的轨迹方程为22195x y +=【思路点拨】解本题的关键是由圆的几何性质得到到两定点的距离之和为定值．从而由椭圆的定义得到轨迹为一椭圆．举一反三：【高清课堂：椭圆的方程356766 例2】【变式】设动圆P 与圆22:(3)4M x y -+=外切，与22:(3)100N x y ++=内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【答案】2213627x y +=类型二：椭圆的标准方程例3． 方程2212516x y m m +=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________【答案】9252m <<【解析】因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即92m >，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m 的取值范围为9252m <<．【思路点拨】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a ，b 的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息．举一反三：【变式1】椭圆221x y m n+=--(m <n <0)的焦点坐标是________．【答案】，(【解析】因为m <n <0，所以－m >－n >0，故焦点在x 轴上，所以c =，故焦点坐标为，(．【变式2】已知椭圆的标准方程是221225x y a +=(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为________．【答案】【解析】因为F 1F 2＝8，即即所以2c ＝8，即c ＝4，所以a 2＝25＋16＝41，即a =，所以△ABF 2的周长为4a =例4．当39k <<时，指出方程22193x y k k +=--所表示的曲线．【解析】∵39k <<∴90-3>0k k ->且（1） 若9-k>k-3，即36k <<时，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆；（2）若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆221x y+=；（3）若9-k<k-3，即69k<<时，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．【思路点拨】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息．举一反三：【变式】如果方程222(0)x ky k+=>表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是．【答案】01k<<类型三：求椭圆标准方程【高清课堂：椭圆的方程356766 例1】例5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35(,)22-．【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>．∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4 ∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为221 259x y+=；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为22221(0) y xa ba b+=>>由椭圆的定义知，2a=，∴a=又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6∴所求椭圆的标准方程为221 106y x+=．【思路点拨】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为22221x ya b+=；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为22221y xa b+=．举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为(04),(0,4)-，，且椭圆经过点(5,0)．【答案】2214125y x +=．【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆22194x y +=有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程．【答案】2211510x y +=．例6． 过点(－3，2)且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程是________．【答案】2211510x y +=【解析】 因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为222215x y a a +=-．由点(－3，2)在椭圆上知229415a a +=-，所以a 2＝15． 所以所求椭圆的标准方程为2211510x y +=．【思路点拨】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程． 举一反三：【变式1】已知椭圆经过点P （2，0）和点Q ，求椭圆的标准方程． 【答案】22149x y +=【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P （3，0）且a =3b ，求椭圆的标准方程．【答案】2219x y +=或221819y x +=．类型四：椭圆的综合问题例7．设F 1、F 2是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积等于________．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c =，∴PF 1＋PF 2＝2a ＝6．又PF 1∶PF 2＝2∶1，∴PF 1＝4，PF 2＝2，由22224+=可知△PF 1F 2是直角三角形，故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4．【思路点拨】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理．举一反三：【变式1】已知P 为椭圆221169x y +=上的一点，12,F F 是两个焦点，1260F PF ∠=︒，求12F PF ∆的面积．【答案】【变式2】△ABC 两顶点的坐标分别是B （6，0）和C （－6，0），另两边AB 、AC 的斜率的积是49-，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．221(6)8136x y y +=≠±B ．221(6)8116y x y +=≠±C ．221(6)1636x y x +=≠±D ．221(6)3616x y x +=≠±【答案】D【巩固练习】 一、选择题1． 已知椭圆221169x y +=上一点M ，到椭圆的一个焦点的距离为2，则点M 到另一个焦点的距离为（ ）Ａ 1 B ．2 C ．4 D ．6 2．若椭圆的2221kx ky +=的一个焦点为（0，-4），则k 的值为（ ）Ａ．132 B ．18C ．8D ．323．已知椭圆2214xy +=上一点P 的横坐标为P 的坐标为（ ）A ．1()2B ．11()()22-或C ．1()2-D ．11((22-或 4．满足条件13,5a c ==的椭圆的标准方程为（ ）A ．221169144x y +=B ．221169144y x +=C ．222211169144169144x y y x +=+=或 D ．不确定5．如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a >B ．2a <-C ． 3a >或2a <-D ．3a >或62a -<<-6．直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．1m ≥或01m <<C ． 1m ≥且5m ≠D ．05m <<且1m ≠ 二、填空题7．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，则椭圆的标准方程是________． 8． 若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为________．9．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上的一点，Q 是PF 1的中点，若|OQ |＝1，则|PF 1|＝________．10．设F 1、F 2是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△PF 1F 2的面积等于________．11．椭圆221x y m n+=-- (m <n <0)的焦点坐标是________．三、解答题12．已知椭圆x 2＋2y 2＝a 2(a >0)的左焦点F 1到直线y ＝x －2的距离为，求椭圆的标准方程．13．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝100及点A (－3,0)，P 是圆C 上任意一点，线段P A 的垂直平分线l 与PC 相交于点Q ，求点Q 的轨迹方程．14． 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 15．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．【答案与解析】1．答案D ；【解析】由椭圆方程知1228,||2,||226a MF MF a ===-= 2．答案A ；【解析】方程变形为221(0)112y x k k k+=>，∴11116,232k k k -==3．答案B ；【解析】依题意知P 点的横坐标为3-，代入椭圆方程得1,2y =±从而P 点坐标为1(3,)2或1(3,)2--，故选B4．答案C ；【解析】∵13,5,a c == ∴2222169,144,a b a c ==-=∴当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为221169144x y +=；当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为221169144y x +=，所以答案选C ．5．答案D ；【解析】焦点在x 轴上，则标准方程中2x 项的分母应大于2y 项的分母，即26,a a >+解得选D ．6．【答案】D【解析】直线过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上．7． 【答案】2212524x y += 【解析】由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝25124-=．∴椭圆的标准方程为2212524x y +=． 8． 【答案】()2210259x y y +=≠ 【解析】顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5，2c ＝8，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故顶点C 的轨迹方程为221259x y +=．又A 、B 、C 三点构成三角形，所以y ≠0．所以顶点C 的轨迹方程为()2210259x y y +=≠． 9． 【答案】6【解析】如图所示，连结PF 2，由于Q 是PF 1的中点，所以OQ 是△PF 12的中位线，所以PF 2＝2OQ ＝2，根据椭圆的定义知，PF 1＋PF 2＝2a ＝8，所以PF 1＝6． 10．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴PF 1＋PF 2＝2a ＝6．又PF 1∶PF 2＝2∶1，∴PF 1＝4，PF 2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF 1F 2是直角三角形，故△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4．11．【答案】(n m -，0)，(－n m -，0)【解析】因为m <n <0，所以－m >－n >0，故焦点在x 轴上，所以c ＝()m n ---＝n m -， 故焦点坐标为(n m -，0)，(－n m -，0)． 12．【解析】13． 【解析】∵l 是线段P A 的垂直平分线， ∴AQ ＝PQ ．∴AQ ＋CQ ＝PQ ＋CQ ＝CP ＝10，且10>6．∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，且2a ＝10，c ＝3，即a ＝5，b ＝4．∴点Q 的轨迹方程为2212516x y +=． 14． 【解析】当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ． 又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 15． 【解析】设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．。