高中数学椭圆讲义及例题

7.椭圆
1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

.
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.
2、椭圆的标准方程
1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；
2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122
22=+b
x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；
注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示：22
1x y m n
+=
或者 mx 2+ny 2=1 。

3、椭圆：122
22=+b
y a x )0(>>b a 的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程122
22=+b
y a x )0(>>b a ：是
以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对
称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆1
22
22=+b
y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，
坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,
b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a
c
a c e ==
22。

②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。

e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当b a =时，0=c ，这
时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a
y
x=
+2
2。

注意：椭圆1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x的图像中线段的几何特征（如下图）：
假设已知椭圆方程1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x（0,0
a b
>>），且已知椭圆的准线方程为2a
x
c
=±，试推导出下列式子：（提示：用三角函数假
设P点的坐标
e
PM
PF
PM
PF
=
=
2
2
1
1
4、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所
构成的图形。

即上图中有e
PM
PF
PM
PF
=
=
2
2
1
1
5、椭圆1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x与1
2
2
2
2
=
+
b
x
a
y
)0
(>
>b
a的区别和联系
标准方程1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
)0
(>
>b
a1
2
2
2
2
=
+
b
x
a
y
)0
(>
>b
a
图形
性质
焦点)0,
(
1
c
F-，)0,(2c
F)
,0(
1
c
F-，),0(2c
F
焦距c
F
F2
2
1
=c
F
F2
2
1
=
范围a
x≤，b
y≤b
x≤，a
y≤
对称性关于x轴、y轴和原点对称
顶点)0,
(a±，)
,0(b±)
,0(a±，)0,
(b±
轴长长轴长=a2，短轴长=b2
离心率)1
0(<
<
=e
a
c
e
准线方程
c
a
x
2
±
=
c
a
y
2
±
=
焦半径
1
ex
a
PF+
=，0
2
ex
a
PF-
=
1
ey
a
PF+
=，0
2
ey
a
PF-
=
一般而言：
椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线；
椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；
离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0，椭圆越圆；当离心率越接近于1时，椭圆越扁。

6.直线与椭圆的位置关系
1.将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式∆来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。

2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。

7.椭圆方程的求解方法
1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程，即设法建立,a b 或者,e c 中的方程组，要善于抓住条件列方程。

先定型，再定量，当焦点位置不确定时，
应设椭圆的标准方程为12222=+b
y a x （0a b >>）或22
221y x a b +=（0a b >>）；或者
不必考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方程设为22
1x y m n
+= 或者 mx 2+ny 2=1
（0,0,m n m n >>≠），这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点
坐标时这种解题更方便。

但是需要注意的是m 和n （或者11m
n
和）谁代表2a ，
谁代表2
b 要分清。

不要忘记隐含条件和方程，例如：222
a b c =+，c e a
=等
等。

不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。

2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。

课上例题：
１． 方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是 ２． 已知点A （4,0）和B （2，2），M
是椭圆22
1259
x y +=上的一动点，则
|MA|+|MB|的最大值是
3. 求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。

4. 已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若
︒=∠6021PF F ，求21F PF ∆的面积．
5.
已知椭圆22
12516
x y +=，M 为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，求线段1MF 的
中点P 的轨迹方程。

椭圆课后练习
1. 已知动圆P 过定点()03，
-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
2.已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，，
α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．
3.以椭圆13
122
2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所
作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．
4. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．
5. 已知B 是椭圆E ：()0122
22>>=+b a b
y a x 上的一点，F 是椭圆的右焦点，且BF ⊥x
轴，B （1，3
2
）。

（1）求椭圆E 的方程； （2）设1A 和2A 是长轴的两个端点，直线l 垂直于12A A 的延长线于点D ，|OD|=4，P 是l 上异于点D 的任意一点，直线1A P 交椭圆E 于M （不同于1A 、2A ）,设22A M A P λ=⋅，求λ的取值范围。

6.已知椭圆C ：()012222>>=+b a b
y a x 经过点A （2,1），离心率为2。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点B （3,0）的直线与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，求BM BN ⋅的取值范围。