2014-2015学年北京市西城区三帆中学初二第一学期期中数学试题(含答案)

北京三帆中学2014-2015学年度第一学期期中考试试卷初二 数学班级______分层班________ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿ 成绩＿＿＿＿＿一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 若分式31x -有意义，则x 的取值范围是( ). A ．x ≠ 1 B ．x =1 C ．x ≠1 D ．x = ̶ 1 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ).A ．a (x －y )＝ax －ayB ．x 3－x ＝x (x +1)(x －1) C ．(x +1)(x +3)＝x 2+4x +3 D ．x 2+2x +1＝x (x +2)+13. 下列计算正确的是( ).4. 5. y +2 )2=0，则( x +y )2014等于( ).A ． 1B ． 1C ．32014D ． 32014 6. 若分式3yx y+中的x 、y 的值同时扩大到原来的5倍，则分式的值( ). A ．是原来的15倍 B ．是原来的5倍 C ．是原来的15D ．不变7. 下列运算错误的是( ). A ．22()1()a b b a -=- B. 1a ba b--=-+C.0.55100.20.323a b a ba b a b ++=-- D.a b b aa b b a--=++ 8. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出'''A O B AOB ∠=∠的依据是( ).A ．SAAB ．SSSD 'DA A '9. 点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，下列选项正确的是( ).A. PQ ≥ 5B. PQ > 5C. PQ < 5D. PQ ≤ 5 10. 如右图，已知图中有3个正方形ABCD 、EBFG 和KHIJ ，若把图中全 等的三角形看成一类，则图中三角形的种类数量为( ).A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题（本题共24分，每小题3分）11.x 的取值范围是_______________. 12. 分解因式：229ax ay -=___________________ ．13. 如图，AB AC =，要使ABE ACD △≌△，应添加的条件是_____________________.（添加一个条件即可）.14. 已知：m 、n 为两个连续的整数，且mn ，则m +n = ． 15. 已知5133m m n =+，则 m n =____________________.16. 某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快了20米，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为_________________________________________.17. 如图,已知△ABC 中，点D 为BC 上一点，E 、F 两点分别在边AB 、AC 上，若 BE=CD , BD=CF , ∠B=∠C , ∠A=50°，则∠EDF =__________°. 18. 设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a 1+a 2+…+a 2014=73，（a 1+1）2+（a 2+1）2+…+（a 2014+1）2=4001， 则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数是 ．三、解答题（本题共30分，第19题每小题3分，第20～23题每小题5分，第24题4分） 19. 因式分解（1）481m - （2） 22363x xy y -+-解： 解：20. 计算：解：21. 解分式方程 31122x x x +=--． 解：22．先化简，再求值：121112++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a aa ，其中13-=a ． 解：23. 如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =.求证：A E ∠=∠. 证明：24. 已知：如图，∠MON 及边ON 上一点A ．在∠MON 内部求作：点P ，使得PA ⊥ON ，且点P到∠MON 两边的距离相等．（请用尺规作图．．．．，保留作图痕迹，不要求写出作法，不必证明）．四、解答题（本题共10分，每小题5分）25. 小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的 电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费. 解：NM26.已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB=DA, DM⊥BE于M，若AC=2，BC=1，求CM的长.解：B五、解答题（本题6分）27. 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90 ．①延长BC到点D，使CD=BC；②延长CA到点E，使AE=2CA；③连接AD，BE.（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系, 并证明你的结论.解：（1）完成作图（2）AD与BE的大小关系是．证明：六、填空题（本题共6分） 28． 观察下列等式：第一个等式：122311;1221222a ==-⨯⨯⨯⨯ 第二个等式：2323411;2322232a ==-⨯⨯⨯⨯第三个等式：3434511;3423242a ==-⨯⨯⨯⨯ 第四个等式：4545611.4524252a ==-⨯⨯⨯⨯按上述规律，回答以下问题：(1) 则第六个等式：6a =_________________________________________;(2) 用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =___________________________________________.七、解答题（本题共14分，第29题6分，第30题8分） 29． 已知关于x 、y 的方程 2230.x y --=． (1) 请你直接写出该方程的两组整数解； (2) 若x m y n =⎧⎨=⎩和x n y m=⎧⎨=⎩是方程2230x y --=的两组不同的解，求33222m mn n -+的值.解：(1) (2)30. 【问题提出】同学们已经学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ” 、“HL ”）， 请大家继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．如图①，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E根据判定方法 ，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．如图②，在△ABC和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角， 求证：△ABC ≌△DEF ． 证明:第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（1） 在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，请你用尺规在图．③．中作出△DEF ， 使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （2）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ？ 请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，若_____________________，则△ABC ≌△DEF ．图①图②图③北京三帆中学2014-2015学年度第一学期期中考试初二数学 答案及评分参考标准班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿ 成绩＿＿＿＿＿二、填空题（每小题3分，共24分）三、解答题（本题共30分，第19题每小题3分，第20～23题每小题5分，第24题4分） 19. 因式分解（1）481m -解： 481m -=22(9)(9)m m +- …………………1分=2(9)(3)(3)m m m ++- ………………… 3分（2） 22363x xy y -+-解：22363x xy y -+-=-3(x 2-2xy +y 2) …………………………………………………………… 1分=-3(x -y )2 …………………………………………………………… 3分20. 计算：解：22=………………………………………………… 1分=………………………………………………… 4分21. 解分式方程31122x x x +=--．22．先化简，再求值：121112++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a aa ，其中13-=a ． 解：原式=1211112++÷⎪⎭⎫⎝⎛+-++a a a a a a ……………………………………………1分 =121112++÷+-+a a aa a ………………………………………………………2分=()aa a a 211+⋅+ ………………………………………………………………3分 =1+a ………………………………………………………………4分 当13-=a 时，原式=3113=+-．……………………………………………………………… 5分23. 如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =.求证：A E ∠=∠. 证明：∵BC ∥DE ，∴∠ABC=∠EDB …………………2分在△ABC 与△EDB 中B C D B A B C E D BA B E D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△EDB （SAS ）…………………4分24. 已知：如图，∠MON及边ON上一点A．在∠MON内部求作：点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边的距离相等．（请用尺规作图．．．．，保留作图痕迹，不要求写出作法，不必证明）．解：作∠MON的平分线OB ；…………………2分作∠OAN的平分线OC ；…………………4分OB、OC交于点P，则点P为所求作的点.四、解答题（本题共10分，每小题5分）25. 小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需电费为x元，…………………1分由题意可得：10827;0.54x x=+………………………………………………2分解得：x=0.18；………………………………………………………………3分经检验：x=0.18是原分式方程多解，且符合题意；………………………4分答：新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需电费为0.18元. …………………5分26.已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB=DA, DM⊥BE于M，若AC=2，BC=1，求CM的长.解：作DN ⊥AC 于N ，∵CD 平分∠ACE ，DM ⊥BE∴DN =DM ……………………1分在Rt △DCN 和Rt △DCM 中，,,CD CD DN DM =⎧⎨=⎩ ∴Rt △DCN ≌Rt △DCM （HL ），∴CN=CM ， …………………………………2分 在Rt △ADN 和Rt △BDM 中，,,AD BD DN DM =⎧⎨=⎩∴Rt △ADN ≌Rt △BDM （HL ），∴AN=BM ， …………………………………3分∵AN=AC-CN, BM=BC+CM,∴AC-CN=BC+CM ∴AC-CM=BC+CM∴2CM=AC-BC , …………………………………4分 ∵AC =2，BC =1，∴CM =0.5 …………………………………5分五、解答题（本题6分）27. 已知：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90︒．（1）按要求作图：（保留作图痕迹）①延长BC 到点D ，使CD=BC ； ②延长CA 到点E ，使AE=2CA ；③连接AD ，BE, 并猜想线段 AD 与BE 的大小关系； （2）证明（1）中你对线段AD 与BE 大小关系的猜想．解：（1）按要求作图见图7，猜想AD=BE （2）在AE 上截取AF=AC ，连结BF ，B∵∠BAC=90°，∴∠BAF=180°-90°=90°， ∴∠BAC=∠BAF ，在△ABF 与△ABC 中,,,AB AB BAF BAC AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ABC （SAS ）， ∴∠2=∠1.∵∠BAF=90°，∴∠BAE=180°-90°=90°， ∴∠BAF=∠BAE ，在△ABE 与△ABF 中,,,AB AB BAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ABF （SAS ），∴BE=BF ……………………………………………5分 ∴BE=AD ……………………………………………6分六、填空题（本题共6分） 28． 观察下列等式：第一个等式：122311;1221222a ==-⨯⨯⨯⨯ 第二个等式：2323411;2322232a ==-⨯⨯⨯⨯第三个等式：3434511;3423242a ==-⨯⨯⨯⨯ 第四个等式：4545611.4524252a ==-⨯⨯⨯⨯按上述规律，回答以下问题： (1) 则第六个等式：6767811;6726272a ==-⨯⨯⨯⨯……………………3分 (2) 用含n 的代数式表示第n 个等式：611211.(1)22(1)2n n n n a n n n n +++==-⨯+⨯⨯+⨯……6分八、解答题（本题共14分，第29题6分，第30题8分） 29． 已知关于x 、y 的方程 2230.x y --=． (1) 请你直接写出该方程的两组整数解； (2) 若x m y n =⎧⎨=⎩和x n y m=⎧⎨=⎩是方程2230x y --=的两组不同的解，求33222m mn n -+的值.解：(1) 11x y =⎧⎨=-⎩,11x y =-⎧⎨=-⎩(对1个1分答案不唯一)，…………………2分(2) （3）解：∵x m y n =⎧⎨=⎩和x n y m=⎧⎨=⎩是方程2230x y --=的两组不同的解，∴2230,m n --= 2230,n m --= ……………………3分∴222()0m n m n -+-=. ∴2()()()0m n m n m n -++-=. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴12m n +=-. ……………………………… 4分 ∵223m n =+，223n m =+， ∴33222m mn n -+ 22222m m mn n n =⋅-+⋅ n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3().(3n m += …………………………………………………5分32=-. …………………………………………………………6分30. 【问题提出】同学们已经学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ” 、“HL ”）， 请大家继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．如图①，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E根据判定方法 ，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ． 第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．如图②，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角，图①求证：△ABC ≌△DEF ． 证明:第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（2） 在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，请你用尺规在图．③．中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（2）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ？ 请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，若 ___ ，则△ABC ≌△DEF ． 解答：第一种情况 HL ； ……………………………………1分 第二种情况：证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，CBG FEH ∠=∠=90°，∵∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角， ∴180°﹣∠B =180°﹣∠E ，即∠CBG =∠FEH ， ……………………………2分 在△CBG 和△FEH 中，,,,CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩图②图③∴△CBG ≌△FEH （AAS ），∴CG =FH ， ……………………………………4分 在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，,,AC DF CG FH =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠A =∠D ， …………………………………5分在△ABC 和△DEF 中，,,,A D B E AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；………………………6分 （3）解：如图， ………………………7分 （4）解：∠B ≥∠A ，……………………8分。