一函数定义域定义域高考试题汇编[1]
函数与导数例高考题汇编(含答案)
函数与导数高考题1.(安徽理3)设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x'-x,则f()=(A)-3 (B)- 1 (C)1 (D)3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法 .属容易题.【解析】f()= - f( - 1)= - 42( - 1)²- ( - 1)]= - 3 .故选A.2 . (安徽理10)函数f (x )=ax ”g 1- x )“在区 间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ,n 的值可 能 是(A)m=1,n=1(B) m=1,n=2(C) m=2,n=1(D) m=3,n=1【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【 解 析 】 代 入 验 证 ， 当m = 1 , n = 2 , f ( x ) = a x g ( 1 - x ) ² = n ( x ³ - 2 x ² + x ) ,则f ' ( x ) = a ( 3 x ² - 4 x + 1 ) , 由 ,结合图像可知函数应在递增，在 递减，即在, 知 a 存 在 . 故 选 B .3.(安徽文5)若点(a,b)在y=lgx 图像上，a≠1,则下列点也在此图像上的是(A)(,b) (B)(10a,1 b) (C)(,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系 .【 解 析 】 由 题 意b = 1 g a , 2 b = 2 1 l g a = 1 g a ² , 即( a ² , 2 b )也 在 函 数 y = l g x 图 像 上 .4 . (安徽文10) 函数f(x )=ax ”g (1 - . x )² 在区间(0,1)上的 图像如图所示，则n 可能是 (A)1 (B) 2取得最大值，由f'(x)=a(3x²-4x+1)=0可知，(C) 3 (D)4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当7=1时，f(x)=axg(1-x)²=a(x³-2x²+x),则f(x)=a(3r²-4x+1)由f ( x ) = a ( 3 x ² 4 x + 1 ) = 0 可知，,结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由, 知a 存在. 故选A .7 . (福建理5) 等于A.1B.e- 1C. CD.e+1【答案】C8 . (福建理9 )对于函数f ( x ) = a s i n x + b x + c (其中，a , b ∈R , c ∈Z ) ,选取a , b , C 的一组值计算f ( )和f ( - 1 )所得出的正确结果一定不可能是A . 4和6B . 3和1C . 2和4D . 1和2【答案】D9 . ( 福建理1 0 ) 已知函数f ( x ) = e⁴+ x , 对于曲线y = f ( x ) 上横坐标成等差数列的三个点A , B , c , 给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B10.(福建文6)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A.(- 1,1)B.(-2,2)C.(-o,-2)U(2,+o)D.(-o,- 1)U(1,+c)【答案】C11. (福建文8)已知函数 ,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于A. 3B. 1C. 1D. 3【答案】A12.(福建文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于A.2B.3C. 6D. 9【答案】D13.(广东理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A . f(x)+1g(x)是偶函数B . f(x) - 1g(x)是奇函数c.if(x)\+g(x)是偶函数 D . i f ( x ) - g ( x )是奇函数【答案】A【解析】因为g(x)是R 上的奇函数，所以lg(x)是R 上的偶函数，从而f(x)+1g(x)是偶函数，故选A.14 . (广东文4)函 的定义域是 ( )A.(-~,- 1)B.(1,+~) c.(- 1,1)U(1,+oo) D.(-0,+oo)【答案】C16.(湖北理6)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a¹-a ⁴+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)=A.2B.C.D. a² 【答案】B【解析】由条件f(2)+g(2)=a²-a²+2,f(-2)+g(-2)=a²-a²+2, 即-f(2)+g(2)=a²-a²+2, 由此解得g(2)=2,f(2)=a²-a-所 以 a = 2 ,, 所 以 选 B18 . (湖南文7)曲线主点处的切线的斜率为( )A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】19.(湖南文8)已知函数f(x)=e¹-1,g(x)=-x²+4x -3.若有f(a)=g(b),则b 的取值范围为A.[2-√2,2+√2]B.(2-√2.2+√2)c.[1,3] p.(1,3)【答案】B【解析】由题可知f(x)=e ⁴- 1>- 1,g(x)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1≤1,若有f(a)=g(b),则g(b) ∈(- 1,1), 即-b²+4b-3>- 1,解得2-√Z<b<2+√2., 所 以,y=020 . (湖南理6)由直线 与曲线y=COSX 所围成的封闭图形的面积为( )A.2B.1C.D.√3 【答案】D【解析】由定积分知识可得, 故 选 D 。
2024全国高考真题数学汇编：导数在研究函数中的应用
2024全国高考真题数学汇编导数在研究函数中的应用一、单选题1．（2024上海高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合 0000,,,M x x x x f x f x R ，在使得 1,1M 的所有 f x 中，下列成立的是（）A ．存在 f x 是偶函数B ．存在 f x 在2x 处取最大值C ．存在 f x 是严格增函数D ．存在 f x 在=1x 处取到极小值二、多选题2．（2024全国高考真题）设函数2()(1)(4)f x x x ，则（）A ．3x 是()f x 的极小值点B ．当01x 时， 2()f x f xC ．当12x 时，4(21)0f xD ．当10x 时，(2)()f x f x 3．（2024全国高考真题）设函数32()231f x x ax ，则（）A ．当1a 时，()f x 有三个零点B ．当0a 时，0x 是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b 为曲线()y f x 的对称轴D ．存在a ，使得点 1,1f 为曲线()y f x 的对称中心三、填空题4．（2024全国高考真题）曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．四、解答题5．（2024全国高考真题）已知函数3()e x f x ax a ．(1)当1a 时，求曲线()y f x 在点 1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．6．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x ax x x ．(1)当2a 时，求 f x 的极值；(2)当0x 时， 0f x ，求a 的取值范围．7．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x a x x ．(1)求 f x 的单调区间；(2)当2a 时，证明：当1x 时， 1e x f x 恒成立．8．（2024上海高考真题）对于一个函数 f x 和一个点 ,M a b ，令 22()()s x x a f x b ，若 00,P x f x 是 s x 取到最小值的点，则称P 是M 在 f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x，求证：对于点 0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在 f x 的“最近点”；(2)对于 e ,1,0x f x M ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x 在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x 在定义域R 上存在导函数()f x ，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点11,M t f t g t ， 21,M t f t g t ．若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，试判断 f x 的单调性．9．（2024北京高考真题）设函数 ln 10f x x k x k ，直线l 是曲线 y f x 在点 ,0t f t t 处的切线．(1)当1k 时，求 f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点 0,0.(3)当1k 时，设点 ,0A t f t t ， 0,C f t ， 0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S △△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10 ，1.60ln51.61 ，1.94ln71.95 ）10．（2024天津高考真题）设函数 ln f x x x ．(1)求 f x 图象上点 1,1f 处的切线方程；(2)若 f x a x 在 0,x 时恒成立，求a 的值；(3)若 12,0,1x x ，证明 121212f x f x x x ．11．（2024全国高考真题）已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x (1)若0b ，且()0f x ，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x 是中心对称图形；(3)若()2f x 当且仅当12x ，求b 的取值范围．参考答案1．B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数2,1,111,1x f x x x x即可判断.【详解】对于A ，若存在()y f x 是偶函数,取01[1,1]x ,则对于任意(,1),()(1)x f x f ,而(1)(1)f f ,矛盾,故A 错误；对于B ，可构造函数 2,1,,11,1,1,x f x x x x满足集合 1,1M ，当1x 时，则 2f x ，当11x 时， 1,1f x ，当1x 时， 1f x ，则该函数 f x 的最大值是 2f ，则B 正确；对C ，假设存在 f x ，使得 f x 严格递增，则M R ，与已知 1,1M 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在 f x ，使得 f x 在=1x 处取极小值，则在1 的左侧附近存在n ，使得 1f n f ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．ACD【分析】求出函数 f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数 f x 在 1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数 f x 的定义域为R ，而 22141313f x x x x x x ，易知当 1,3x 时， 0f x ，当 ,1x 或 3,x 时， 0f x 函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1,3上单调递减，在 3, 上单调递增，故3x 是函数 f x 的极小值点，正确；对B ，当01x 时， 210x x x x ，所以210x x ，而由上可知，函数 f x 在 0,1上单调递增，所以 2f x f x ，错误；对C ，当12x 时，1213x ，而由上可知，函数 f x 在 1,3上单调递减，所以 1213f f x f ，即 4210f x ，正确；对D ，当10x 时， 222(2)()12141220f x f x x x x x x x ，所以(2)()f x f x ，正确；故选：ACD.3．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ，由于1a ，故 ,0,x a 时()0f x ，故()f x 在 ,0,,a 上单调递增，(0,)x a 时，()0f x ，()f x 单调递减，则()f x 在0x 处取到极大值，在x a 处取到极小值，由(0)10 f ，3()10f a a ，则(0)()0f f a ，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a ，3(2)410f a a ，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a ，则()f x 在(1,0),(,2)a a 上各有一个零点，于是1a 时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ，a<0时，(,0),()0x a f x ，()f x 单调递减，,()0x 时()0f x ，()f x 单调递增，此时()f x 在0x 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x ，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x ，根据二项式定理，等式右边3(2)b x 展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x ，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a ，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a ，于是266(126)(1224)1812a a x a x a即126012240181266a a a a，解得2a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax ，2()66f x x ax ，()126f x x a ，由()02a f x x ，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122a a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x ；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x 的解，即,33b b f aa是三次函数的对称中心4． 2,1 【分析】将函数转化为方程，令 2331x x x a ，分离参数a ，构造新函数 3251,g x x x x 结合导数求得 g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令 2331x x x a ，即3251a x x x ，令 32510,g x x x x x 则 2325351g x x x x x ，令 00g x x 得1x ，当 0,1x 时， 0g x ， g x 单调递减，当 1,x 时， 0g x ， g x 单调递增， 01,12g g ，因为曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，所以等价于y a 与 g x 有两个交点，所以 2,1a .故答案为：2,1 5．(1) e 110x y (2)1, 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a 和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e x f x a 有零点，可得0a ，进而利用导数求 f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a 时，则()e 1x f x x ，()e 1x f x ，可得(1)e 2f ，(1)e 1f ，即切点坐标为 1,e 2 ，切线斜率e 1k ，所以切线方程为 e 2e 11y x ，即 e 110x y .（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若0a ，则()0f x 对任意x R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，则 120g a a a，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, ；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若()f x 有极小值，则()e x f x a 有零点，令()e 0x f x a ，可得e x a ，可知e x y 与y a 有交点，则a ，若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，符合题意，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，因为则2,ln 1y a y a 在 0, 内单调递增，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, .6．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a 、102a 、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当2a 时，()(12)ln(1)f x x x x ，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x，因为12ln(1),11y x y x在 1, 上为增函数，故()f x 在 1, 上为增函数，而(0)0f ，故当10x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，故 f x 在0x 处取极小值且极小值为 00f ，无极大值.（2） 11ln 11ln 1,011a x ax f x a x a x x x x，设 1ln 1,01a x s x a x x x，则222111211111a a x a a ax a s x x x x x ，当12a 时， 0s x ，故 s x 在 0, 上为增函数，故 00s x s ，即 0f x ，所以 f x 在 0, 上为增函数，故 00f x f .当102a 时，当0x 0s x ，故 s x 在210,a a 上为减函数，故在210,a a上 0s x s ，即在210,a a上 0f x 即 f x 为减函数，故在210,a a上 00f x f ，不合题意，舍.当0a ，此时 0s x 在 0, 上恒成立，同理可得在 0, 上 00f x f 恒成立，不合题意，舍；综上，12a .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x 时，1e 21ln 0x x x 即可.【详解】（1）()f x 定义域为(0,) ，11()ax f x a x x当0a 时，1()0ax f x x，故()f x 在(0,) 上单调递减；当0a 时，1,x a时，()0f x ，()f x 单调递增，当10,x a时，()0f x ，()f x 单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,) ；0a 时，()f x 的单调递增区间为1,a ，单调递减区间为10,a.（2）2a ，且1x 时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ，令1()e 21ln (1)x g x x x x ，下证()0g x 即可.11()e 2x g x x ，再令()()h x g x ，则121()e x h x x，显然()h x 在(1,) 上递增，则0()(1)e 10h x h ，即()()g x h x 在(1,) 上递增，故0()(1)e 210g x g ，即()g x 在(1,) 上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g ，问题得证8．(1)证明见解析(2)存在，0,1P (3)严格单调递减【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得 22(1)e x s x x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到 10200s x s x ，对两等式化简得 01()f xg t ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t ，最后得到函数单调性.【详解】（1）当(0,0)M 时， 222211(0)02s x x x x x ，当且仅当221x x 即1x 时取等号，故对于点 0,0M ，存在点 1,1P ，使得该点是 0,0M 在 f x 的“最近点”．（2）由题设可得 2222(1)e 0(1)e x x s x x x ，则 2212e x s x x ，因为 221,2e x y x y 均为R 上单调递增函数，则 2212e xs x x 在R 上为严格增函数，而 00s ，故当0x 时， 0s x ，当0x 时， 0s x ，故 min 02s x s ，此时 0,1P ，而 e ,01x f x k f ，故 f x 在点P 处的切线方程为1y x .而01110MP k ，故1MP k k ，故直线MP 与 y f x 在点P 处的切线垂直．（3）设 221(1)()s x x t f x f t g t ，222(1)()s x x t f x f t g t ，而 12(1)2()s x x t f x f t g t f x ， 22(1)2()s x x t f x f t g t f x ，若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，设 00,P x y ，则0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点，则存在0x ,使得 10200s x s x ，即 10000212()()0s x x t f x f x f t g t ① 20000212()()0s x x t f x f x f t g t ②由①②相等得 044()0g t f x ，即 01()0f x g t ，即 01()f x g t，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正，则 010()f xg t 恒成立，接下来证明0x t ，因为0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，则 1020(),()s x s t s x s t ，即 2220011x t f x f t g t g t ，③ 2220011x t f x f t g t g t ，④③ ④得 222200222()2()22()x t f x f t g t g t 即 22000x t f x f t ，因为 2200,00x t f x f t 则 0000x t f x f t，解得0x t ，则 10()f tg t 恒成立，因为t 的任意性，则 f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 01()f x g t，再利用最值点定义得到0x t 即可.9．(1)单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入1k ，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t ，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S 得到13ln(1)21501t t t t ，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t研究其零点即可.【详解】（1）1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x，当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x ，()0f x ¢>；()f x 在(1,0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .（2）()11k f x x ，切线l 的斜率为11k t，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t，即ln(1)1k t k t t tt ，则ln(1)1t t t ，ln(1)01t t t ，令()ln(1)1t F t t t，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t 存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t ，()F t 在(0,) 上单调递增，()(0)0F t F ，()F t 在(0,) 无零点， 与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）1k 时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x.1()2ACO S tf t ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t 时，若0q ，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q .所以0q ，则切线l 的方程为 111ln 1x t y t t t，令0x ，则ln(1)1t y q y t t.215ACO ABO S S ，则2()15ln(1)1t tf t t t t，13ln(1)21501t t t t ，记15()13ln(1)2(0)1th t t t t t， 满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t ，当10,2t时， 0h t ，此时 h t 单调递减；当1,42t时， 0h t ，此时 h t 单调递增；当 4,t 时， 0h t ，此时 h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.10．(1)1y x (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a ，再证明2a 时条件满足；（3）先确定 f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于 ln f x x x ，故 ln 1f x x .所以 10f ， 11f ，所以所求的切线经过 1,0，且斜率为1，故其方程为1y x .（2）设 1ln h t t t ，则 111t h t t t，从而当01t 时 0h t ，当1t 时 0h t .所以 h t 在 0,1上递减，在 1, 上递增，这就说明 1h t h ，即1ln t t ，且等号成立当且仅当1t .设 12ln g t a t t ，则ln 1f x a x x x a x x a x g .当 0,x0, ，所以命题等价于对任意 0,t ，都有 0g t .一方面，若对任意 0,t ，都有 0g t ，则对 0,t 有112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t，取2t ，得01a ，故10a .再取t，得2022a a a，所以2a .另一方面，若2a ，则对任意 0,t 都有 212ln 20g t t t h t ，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2.（3）先证明一个结论：对0a b ，有 ln 1ln 1f b f a a b b a.证明：前面已经证明不等式1ln t t ，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b，所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a，即 ln 1ln 1f b f a a b b a.由 ln 1f x x ，可知当10e x 时 0f x ，当1ex 时()0f x ¢>.所以 f x 在10,e上递减，在1,e上递增.不妨设12x x ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x 时，有122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x ，结论成立；情况二：当1210e x x 时，有 12121122ln ln f x f x f x f x x x x x .对任意的10,e c，设ln ln x x x c cln 1x x 由于 x单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c，且当2124ln 1x c c，2cx2ln 1c 可知2ln 1ln 1ln 102c x x c.所以 x 在 0,c 上存在零点0x ，再结合 x 单调递增，即知00x x 时 0x ，0x x c 时 0x .故 x 在 00,x 上递减，在 0,x c 上递增.①当0x x c 时，有 0x c ；②当00x x112221e e f f c，故我们可以取1,1q c .从而当201cx q1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c.再根据 x 在 00,x 上递减，即知对00x x 都有 0x ；综合①②可知对任意0x c ，都有 0x ，即ln ln 0x x x c c .根据10,e c和0x c 的任意性，取2c x ，1x x，就得到1122ln ln 0x x x x .所以12121122ln ln f x f x f x f x x x x x 情况三：当12101e x x时，根据情况一和情况二的讨论，可得11e f x f21e f f x而根据 f x 的单调性，知 1211e f x f x f x f或 1221e f x f x f f x .故一定有12f x f x 成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 f x 的单调性进行分类讨论.11．(1)2 (2)证明见解析(3)23b【分析】（1）求出 min 2f x a 后根据()0f x 可求a 的最小值；（2）设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，可证 ,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n 也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断 12f 即2a ，再根据()2f x 在 1,2上恒成立可求得23b .【详解】（1）0b 时， ln 2xf x ax x，其中 0,2x ，则112,0,222f x a a x x x x x，因为 22212x x x x，当且仅当1x 时等号成立，故 min 2f x a ，而 0f x 成立，故20a 即2a ，所以a 的最小值为2 .，（2） 3ln12x f x ax b x x的定义域为 0,2，设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n ，因为 ,P m n 在 y f x 图象上，故 3ln 12m n am b m m，而 3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m，2n a ，所以 2,2Q m a n 也在 y f x 图象上，由P 的任意性可得 y f x 图象为中心对称图形，且对称中心为 1,a .（3）因为 2f x 当且仅当12x ，故1x 为 2f x 的一个解，所以 12f 即2a ，先考虑12x 时， 2f x 恒成立.此时 2f x 即为 3ln21102x x b x x在 1,2上恒成立，设 10,1t x ，则31ln201t t bt t在 0,1上恒成立，设 31ln2,0,11t g t t bt t t，则2222232322311t bt b g t bt t t，当0b ，232332320bt b b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当203b 时，2323230bt b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当23b ，则当01t 时， 0g t故在 上 g t 为减函数，故 00g t g ，不合题意，舍；综上， 2f x 在 1,2上恒成立时23b .而当23b 时，而23b 时，由上述过程可得 g t 在 0,1递增，故 0g t 的解为 0,1，即 2f x 的解为 1,2.综上，23b .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.。
高考数学试题分类汇编：函数 选择题 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高考数学试题分类汇编：函数选择题1、(2021年高三综合测试一)函数f(x)在定义域R 上不是常数函数，且f(x)满足条件，对任意x ∈R ，都有f(4+x)=f(4-x),f(x+1)=f(x-1),那么f(x)是〔〕 A 、奇函数但非偶函数B 、偶函数但非奇函数 C 、奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数 答案：B2、(高三综合测试二)函数f (x )满足：f (p +q )=f (p )f (q )，f (1)=3，那么)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)9()10()5(2f f f +的值是A.15B.30 C 答案：B3、(高三综合测试三)假设函数f(x)的反函数1-f(x)=1+x 2(x<0)，那么f(2)=A ．1B ．－1C ．1或者－1D ．5答案：B4、(高三综合测试四))(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，那么当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为〔〕A ．42-xB ．42+xC ．2)4(+xD ．2)4(-x答案：D5、(皖南八校2021届高三第一次联考)将函数12)(1-=+x x f 的反函数的图象的图象按向量)1,1(平移后得到)(x g 的图象，那么)(x g 表达式为〔〕 A ．)2(log )(+=x x g a ；B ．x x g a log )(=；C ．2log )(-=x x g a ；D ．2log )(+=x x g a ；答案：B6、(五校2021届高三开学联考)假设函数2(2)()m x f x x m-=+的图象如下列图，那么m 的范围为A ．〔－∞，－1〕B ．〔－1，2〕C ．〔1，2〕D ．〔0，2〕 答案：C7、(五校2021届高三开学联考)设定义域为R 的函数()()x g x f ,都有反函数，且函数1-x f 和()13g x --图象关于直线x y =对称，假设()52005g =，那么f(4)为A ．2021B ．2004C ．2021D ．2021 答案：D8、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)函数f 〔x 〕=3x〔x≤2〕的反函数的定义域是A ．(,9]-∞B ．[9,)+∞C ．(0,9]D ．(0,)+∞答案：C9、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)设偶函数f 〔x 〕对任意x∈R，都有f 〔x 〕+f 〔x+1〕=4，当x∈[-3,-2]时，f 〔x 〕=4x+12，那么f 〔11〕的值是A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A10、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)函数f 〔x 〕=ax 2+bx+6满足条件f 〔-1〕=f 〔3〕，那么f 〔2〕的值是A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 值有关答案：B11、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)函数f 〔x 〕=log a 〔x 3–ax 〕〔a>0且a≠1〕在(2,+∞〕上单调递增，那么a 的取值范围是A ．a>1B ．1<a<12C ．1<a≤12D ．1<a≤4答案：D12、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a=，)2(f b =，)2(f c =，那么c b a ,,大小关系是A ．c b a>>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>答案：D13、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数11231+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 值域为A ．〔-∞，1〕B ．〔31，1〕C ．[31，1〕D ．[31，+∞〕 答案：C14、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考))91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，那么函数[])()(22x f x f y +=的最大值为A ．6B ．13C ．22D ．33 答案：B15、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数)01(312<≤-=-x y x 的反函数是A ．)31(log 13≥+=x x y B ．)31(log 13≥+-=x x yC ．)131(log 13≤<+=x x yD ．)131(log 13≤<+-=x x y答案：D16、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数11-+-=x x y 是()答案：D17、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)设f(x)是定义在R 上的函数，且在(-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是()A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数D.偶函数，且在(-∞，+∞)上是减函数答案：A18、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数)6(log )(231x x x f --=的单调递增区间是()A.［-21，+∞)B.［-21，2) C.(-∞，-21)D.(-3，-21)答案：B19、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)假设把函数)(x f y =的图像作平移，可以使图像上的点P(1，0)变换成点Q(2，2)，那么函数)(x f y =的图像经此变换后所得图像对应的函数为()A.2)1(+-=x f y B.2)1(--=x f yC.2)1(++=x f y D.2)1(-+=x f y答案：A20、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考))13(log -a a 恒为正数，那么实数a 的取值范围是()A.a ＜31B.31＜a ≤32 C.a ＞1D.31＜a ＜32或者a ＞1 答案：D21、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)定义在R 上的奇函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+，假设当x ∈(0，3)时，x x f 2)(=，那么当x ∈(-6，-3)时，)(x f =()A.62+x 62+xC.62-x62-x答案：B22、(新都一中高2021级一诊适应性测试)函数f (x )=l og a x (a >0,a ≠1)，假设f (x 1)－f (x 2)=1，那么)()(2221x f x f -等于〔〕A ．2B ．1C ．12D ．l og a 2 答案：A23、(新都一中高2021级一诊适应性测试)奇函数f x ()的反函数是fx -1()，假设f a a ()=-，那么f a fa ()()-+-1的值是〔〕A ．0B ．-2aC ．2aD ．无法确定答案：A24、(新都一中高2021级一诊适应性测试)假设二次方程x 2-px -q =0(p ,q ∈N *)的正根小于3,那么这样的二次方程有〔〕A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个答案：C25、(新都一中高2021级一诊适应性测试)函数,,y kx b k b =+其中〔0k ≠〕是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数．对于非线性可导．．．．．函数()x f ，在点0x 附近一点x 的函数值()x f ，可以用如下方法求其近似代替值：()()()()000'≈+-f x f x f x x x ．利用这一方法，9983.m =的近似代替值〔〕A ．大于mB ．小于mC ．等于mD ．与m 的大小关系无法确定答案：A26、(一诊)假设函数4y x x=+在(0,)x a ∈上存在反函数，那么实数a 的取值范围为 A ．〔1，4〕B ．〔0，2]C ．〔2，4]D ．[2，+∞〕答案：By ＝x ＋在x ∈(0，a)上为单调函数，利用图象可知a ∈(0,2].选B27、(一诊)对任意的实数a 、b ，记{}()max,()a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩．假设{}()max (),()()F x f x g x x R =∈，其中奇函数y=f(x)在x=l 时有极小值-2，y=g(x)是正比例函数，函数()(0)y f x x =≥与函数y=g(x)的图象如下列图．那么以下关于函数()y F x =的说法中，正确的选项是A ．()y F x =为奇函数B ．()y F x =有极大值F 〔-1〕且有极小值F 〔0〕 C ．()y F x =的最小值为-2且最大值为2 D ．()y F x =在〔-3，0〕上为增函数答案：B 在图形种勾画出y ＝F(x)的图象，易知选B28、(2021届六校第二次联考)假设函数()y f x =的定义域为[0,1],那么以下函数中可能是偶函数的是().A.()y f x =- B.(3)y f x = C.()y f x =- D.2()y f x =答案：D29、(一中2021届高三上期期末考试)假设函数cbx x x f ++=2)(对任意的实数x ，都有)()1(x f x f -=+，那么〔〕A ．)2()0()2(f f f <<- B ．)2()2()0(f f f <-< C ．)2()0()2(-<<f f fD ．)2()2()0(-<<f f f答案：D30、(2021届第一次调研考试)假设函数()()1(01)x x f x k a a a a -=-->≠且在R 上既是奇函数，又是减函数，那么()()log x k a g x +=的图象是〔〕答案：A31、(2021届第一次调研考试)函数()235()f x x x x R =--∈，o yx o yxoyx2-1-2111233DCBoy x 1-2-A那么()f x 的反函数1()f x -的解析式为〔〕A.131(),22f x x x R -=-∈ B.171(),44f x x x R -=-∈；C.131,122()71,144x x f x x x --≤-⎧⎪=⎨->-⎪⎩；D.131,122()71,144x x f x x x ---⎧⎪=⎨--<⎪⎩≥； 答案：C32、(新都一中高2021级12月月考)在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开场交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开场交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的选项是()ABCD解析：刚开场交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；开场交易后，平均价格应该跟随即使价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B 、D 均错误. 答案：C33、(新都一中高2021级12月月考)关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中正确()A 、4B 、1C 、2D 、3答案：A取k ＝－12，可得(|x2－1|－4)(|x2－1|＋3)＝0只有|x2－1|＝4有解，得x2＝5或者x2＝－3(舍去),∴x ＝±，此时原方程有两个不同的实数根.①正确取k ＝，得(|x2－1|－)2＝0|x2－1|＝x2＝或者x2＝∴x ＝±或者x ＝±，有四个不同的实数根.②正确取k ＝0，得|x2－1|＝0或者|x2－1|＝1，所以x2＝1或者x2＝0或者x2＝2得x ＝0或者x ＝±1或者x ＝±，有五个不同的实数根.③正确取k ＝，得(|x2－1|－)(|x2－1|－)＝0，所以x2－1＝±或者x2－1＝±∴x2＝或者x2＝或者x2＝或者x2＝，有八个不同的实数根.④正确 答案：A34、(2021届高三第一次模拟考试)函数的y =222-x (x ≤－1)反函数是〔▲〕A.y =－1212+x (x ≥0) B.y =1212+x (x ≥0) C.y =－1212+x (x ≥2)D.y =1212+x (x ≥2)答案：A35、(2021届高三第一次模拟考试)设函数f (x )是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，假设f (2)>１，f (2021)=33-+a a ，那么a 的取值范围是〔▲〕 A.(－∞,0)B.(0,3)C.(0,+∞)D.(－∞,0)∪(3,+∞)答案：B36、(2021届高三第二次教学质量检测)函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)f x -＝(3)f x -，当12x ≤≤时，()f x ＝2x ，那么()f x 的单调减区间是〔〕A.[2k ，2k +1](k Z ∈)B.[2k -1，2k ](k Z ∈)C.[2k ，2k +2] (k Z ∈)D.[2k -2，2k ](k Z ∈) 答案：A37、(2021届高三第二次教学质量检测)设1(1)1() 1 (1).x x f x x ⎧≠⎪|-|=⎨⎪=⎩，假设关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解123x x x ，，，那么222123x x x ++等于〔〕A.5B.222b +C.13D.213c+ 答案：A38、(区2021年高三数学一模)函数lg(1)y x 的反函数的图象为答案：D39、(崇文区2021年高三统一练习一)|log |)(3x x f =，那么以下不等式成立的是〔〕A ．)2()21(f f > B ．)3()31(f f > C ．)31()41(f f > D ．)3()2(f f >答案：C40、(东城区2021年高三综合练习一〕“0=a 〞是“函数),0()(2+∞+=在区间ax x x f 上是增函数〞的〔〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A41、(东城区2021年高三综合练习二)函数)6()21(,9)2(),(,log )(11f f f x f x x f a +==--则若其反函数为的值是〔〕A ．2B ．1C ．21D ．31答案：B42、(东城区2021年高三综合练习二)假设函数),4()(+∞在x f 上为减函数，且对任意的)4()4(,x f x f R x -=+∈有，那么〔〕D-1 xCABA ．)3()2(f f >B ．)5()2(f f >C ．)5()3(f f >D ．)6()3(f f >答案：D43、(海淀区2021年高三统一练习一)假设函数()y f x =的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2},那么函数()y f x =的图象可能是〔〕答案：B44、(西城区2021年4月高三抽样测试)函数(2)2xy x x =>-的反函数的定义域为〔〕 A.(1)+∞， B.(0)+∞， C.(01)， D.(12)，答案：A45、(西城区2021年5月高三抽样测试)设1a >，函数log a y x =的定义域为[](),m n m n <，值域为[]0,1，定义“区间[],m n 的长度等于n m -〞，假设区间[],m n 长度的最小值为56，那么实数a 的值是 〔〕 A ．11B ．6 C ．116D ．32答案：B46、(宣武区2021年高三综合练习一)函数=)(x f 1log +x a 〔0<a<1〕的图像大致为以下列图的〔〕ABC Dx答案：A47、(宣武区2021年高三综合练习一)给出定义：假设2121+≤<-m x m 〔其中m 为整数〕，那么m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x =m.在此根底上给出以下关于函数{}x x x f -=)(①函数y=)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y=)(x f 的图像关于直线2kx =〔Z k ∈〕对称； ③函数y=)(x f 是周期函数，最小正周期为1； ④函数y=)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数。
2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数(附答案解析)
2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数一．选择题（共7小题）1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A ．[0，3]B ．(0，3]C ．[0，)+∞D ．(-∞，3]2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，8]B ．21(,)4-∞C ．(,8)-∞D ．21(,]4-∞5．已知3log 2a =，0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c << 6．已知12a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正确的是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>7．若1a >，则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．二．多选题（共3小题） 8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．1y x x =-D ．22x x y -=+9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( )A ．12x y -=B ．21y x =C ．(1)y ln x =+D ．||y x =10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A ．()f x x =B ．()||f x x x =C ．()22x x f x -=-D ．2()f x x =三．填空题（共5小题）11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= ．12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 ．13．已知212x =，21log 3y =，则x y +的值为 ． 14．已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log f （3）= ．15．若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4，则(2)f -= ． 四．解答题（共7小题）16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+．（1）当0x 时，求函数()f x 的解析式；（2）解关于m 的不等式：(2)(2)23f m f m m +--．17．设函数4()221xx f x =--，0x >． （1）求函数()f x 的值域；（2）设函数2()1g x x ax =-+，若对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，求正实数a 的取值范围．18．设函数21y mx mx =--．（1）若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；（2）若命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，求m 的取值范围；（3）若对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，求m 的取值范围．19．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（3）若(1)1f -<，求a 的取值范围．20．已知函数1()21x f x a =-+为奇函数． （1）求a 的值，并判断函数()f x 的单调性；（2）若x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，求实数k 的取值范围．21．计算下列各式．（1）1206310.064()(2021)3π--+-+；（2）2731329log 5log 42log 5log -++． 22．计算：（100.539()()54--++ （2）22log 62222523lg lg -+--2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A ．[0，3]B ．(0，3]C ．[0，)+∞D ．(-∞，3]【考点】函数的定义域及其求法【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：要使原函数有意义，则030x x >⎧⎨-⎩，解得03x <． ∴函数()3f x lgx x =+-的定义域为(0，3]．故选：B ．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象与图象的变换【分析】根据题意分析可得()f x 为偶函数，通过0x =函数的值，排除函数的图象即可．【解答】解：根据题意有||2||2()2()2()x x f x x x f x --=--=-=，所以函数是偶函数，又函数||22x y x =-，当0x =时，1y =，排除C ，故选：A ．【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【考点】函数单调性的性质与判断【分析】首先求出函数()f x 的单调性，再判断0.2log 3，30.2，0.23的大小关系，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：因为函数()3f x x x =-所以30x -，可得3x ，即()f x 的定义域为(-∞，3]， 所以()3f x x x =-(-∞，3]单调递增，因为0.20331>=，3000.20.21<<=，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，所以30.20.2(log 3)(0.2)(3)f f f <<，所以c b a <<．故选：A ．【点评】本题主要考查函数单调性的性质与判断，考查函数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，8]B ．21(,)4-∞C ．(,8)-∞D ．21(,]4-∞ 【考点】复合函数的单调性【分析】令25t x ax =-+，12log y t =，分析内层函数与外层函数的单调性以及对数真数在所给区间恒为正数，可得出关于a 的不等式组，进而求得实数a 的取值范围．【解答】解：令25t x ax =-+，易知12log y t =在其定义域上单调递减，要使()f x 在(4,)+∞上单调递减，则25t x ax =-+在(4,)+∞单调递增，且250t x ax =-+>，即2424450a a ⎧⎪⎨⎪-+⎩， 所以8214a a ⎧⎪⎨⎪⎩，即214a 因此实数a 的取值范围是(-∞，21]4． 故选：D． 【点评】本题考查复合函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．5．已知3log a =0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c <<【考点】对数值大小的比较【分析】直接利用对数的运算性质化简得答案．【解答】解：33log log 0.5a =<=，0.101b e e =>=，0.50.5ln c e ==，a cb ∴<<．故选：A ．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．6．已知12a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正确的是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的单调性得到a b >，a c >，再利用对数的运算法则，换底公式，基本不等式得到b c >，求解即可．【解答】解：1232a e =>，33log 5log 3b =<332=， 6443log 8log 81log 22c =<=+=， a b ∴>，a c >，25858583363535lg lg lg lg lg lg lg b c lg lg lg lg lg lg -⋅∴-=->-=⋅ 222222(83)2425555444353535lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg +--->=>⋅⋅⋅ 2255035lg lg lg lg -==⋅， b c ∴>，a b c ∴>>，故选：A ．【点评】本题考查了对数的运算法则，换底公式，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题．7．若1a >，则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质【分析】由指数函数与对数函数的性质依次判断即可． 【解答】解：1()x y a=与log a y x =分别过(0,1)，(1,0)点， 又1a >， ∴1()x y a=与log a y x =分别为定义域内的减函数，增函数， 故选：D ．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的性质应用，属于基础题．二．多选题（共3小题）8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．1y x x =-D ．22x x y -=+【考点】函数的值域；函数奇偶性的性质与判断【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3()f x x =是奇函数，且值域为R ，符合题意；对于B ，1()f x x x =+，当0x >时，1()2f x x x=+，当0x <时，()2f x -，即()f x 的值域为(-∞，2][2-，)+∞，不符合题意；对于C ，1()f x x x=-，是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，当0x +→时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，其值域为R ，符合题意；对于D ，()22x x f x -=+，是奇函数，且()2f x （当且仅当0x =时取“= “)，其值域不为R ，不符合题意；故选：AC ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及值域的计算，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( )A ．12x y -=B ．21y x =C ．(1)y ln x =+D ．||y x =【考点】函数的值域【分析】利用函数的性质求出值域即可判断．【解答】解：对于:1A x R -∈，120x y -∴=>，故A 正确，对于:0B x ≠，20x ∴>，210y x ∴=>，故B 正确， 对于:10C x +>，(1)(y ln x ∴=+∈-∞，)+∞，故C 错误，对于:D x R ∈，||[0y x ∴=∈，)+∞，故D 错误．故选：AB ．【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A ．()f x x =B ．()||f x x x =C ．()22x x f x -=-D ．2()f x x =【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．【解答】解：()f x x =为奇函数，且在(,)-∞+∞上是单调递增，故A 符合题意；()||f x x x =满足()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，且在[0，)+∞递增，在(-∞，0]也递增，则()f x 在(,)-∞+∞上是单调递增，故B 符合题意；()22x x f x -=-的定义域为R ，满足()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，且2x y =和2x y -=-在R 上递增，则()f x 在R 上递增，故C 符合题意；2()f x x =为偶函数，故D 不符题意．故选：ABC ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．三．填空题（共5小题）11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= 5 ．【考点】函数的值【分析】令213x -=得2x =，再代入即可．【解答】解：令213x -=得，2x =或2x =-（舍去），故f （3）2(21)f =-22235=-+=，故答案为：5．【点评】本题考查了复合函数函数值的求法，属于基础题．12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 (1,2)-- ．【考点】对数函数的图象与性质【分析】令21x +=，解得1x =-，当1x =-时，022y =-=-，即可求解．【解答】解：令21x +=，解得1x =-，当1x =-时，022y =-=-，故函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点(1,2)--．故答案为：(1,2)--．【点评】本题主要考查对数函数的性质，考查定点问题，属于基础题．13．已知212x =，21log 3y =，则x y +的值为 2 ． 【考点】对数的运算性质【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．【解答】解：212x =，2log 12x ∴=，222112log 423x y log log ∴+=+==， 故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．14．已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log f （3）= 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的单调性与特殊点【分析】求出(2,4)P ，由幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ，求出a ，得到()f x 的解析式，再计算3log f （3）即可．【解答】解：函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，则(2,4)P ，∴幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ，24a ∴=，解得2a =，2()f x x ∴=，3log f ∴（3）3log 92==．故答案为：2．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4，则(2)f -= 12- ． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式，求出(2)f -的值即可．【解答】解：设幂函数的解析式为()f x x α=， 则1()44α=，解得：1α=-， 故1()f x x =，故1(2)2f -=-， 故答案为：12-． 【点评】本题考查了求幂函数的定义，考查函数求值问题，是基础题．四．解答题（共7小题）16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+．（1）当0x 时，求函数()f x 的解析式；（2）解关于m 的不等式：(2)(2)23f m f m m +--．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）根据奇函数的性质进行转化求解即可．（2）将不等式进行转化，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．【解答】解：（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+． (0)0f ∴=，当0x >，则0x -<，则2()2()f x x x f x -=--=-，即2()2(0)f x x x x =+<，综上2()2(0)f x x x x =+．（2）由(2)(2)23f m f m m +--．得(2)2(2)2(2)2f m m f m m f m m +--+-=-+-． 设()()g x f x x =+，则不等式等价为(2)(2)g m g m -，作出函数()f x 的图象如图：则()f x 在R 上是增函数，则()()g x f x x =+也是增函数， 则由(2)(2)g m g m -，得22m m -，得23m， 即实数m 的取值范围是(-∞，2]3．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．17．设函数4()221xx f x =--，0x >． （1）求函数()f x 的值域；（2）设函数2()1g x x ax =-+，若对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，求正实数a 的取值范围．【考点】函数的值域【分析】（1）由已知41()2212121x x x x f x =-=-+--，，利用基本不等式可求函数()f x 的值域；（2）由对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，可得函数函数()f x 在[1，2]上的值域包含于函数()g x 在[1，2]上的值域，由此可求正实数a 的取值范围．【解答】解：（1）24(2)111()2221212121x x x x x x f x -+=-=-=-+---，0x >，210x ->， 则11()212(21)22121x x x x f x =-+-⋅=--，，当且仅当1x =时取“=”， 所以()[2f x ∈，)+∞，即函数()f x 的值域为[2，)+∞；（2）设21x t =-，[1x ∈，2]，[1t ∴∈，3]， 函数1y t t=+在[1，3]上单调递增， 则函数()f x 在[1，2]上单调递增，()[2f x ∴∈，10]3， 设[1x ∈，2]时，函数()g x 的值域为A ，由题意知[2，10]3A ⊆， 又因为函数()g x 图象的对称轴为02a x =>， 当12a ，即02a <时，函数()g x 在[1，2]上递增，则(1)210(2)3g g ⎧⎪⎨⎪⎩，解得506a <， 当122a <<时，即24a <<时，函数()g x 在[1，2]上的最大值为g （1），g （2）中的较大者，而g （1）20a =-<且g （2）521a =-<，不合题意，当22a >，即4>时，函数()g x 在[1，2]上递减，则10(1)3(2)2g g ⎧⎪⎨⎪⎩，满足条件的a 不存在． 综上，5(0,]6a ∈． 【点评】本题考查了求函数的值域及分类讨论思想，采用了换元法求值域，换元后对参数t 的范围要进行确认，这是易错点，属于中档题．18．设函数21y mx mx =--．（1）若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；（2）若命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，求m 的取值范围；（3）若对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，求m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质与图象【分析】（1）利用零点的定义，结合二次方程根的个数问题，求解即可；（2）将问题转化为210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立，分0m =和0m ≠两种情况，结合二次函数的图象与性质，列式求解即可；（3）将问题转化为4()m x x-+在[1x ∈，3]恒成立，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）因为函数21y mx mx =--有两个零点，所以方程210mx mx --=有两个不同的实数根，则2040m m m ≠⎧⎨=+>⎩，解得4m <-或0m >， 故实数m 的取值范围为(-∞，4)(0-⋃，)+∞；（2）命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，则命题：x R ∀∈，0y <，是真命题，则210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立，当0m =时，不等式为10-<恒成立，符合题意；当0m ≠时，则2040m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<． 综上所述，实数m 的取值范围为(4-，0]；（3）因为对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立， 即240x mx ++对于[1x ∈，3]恒成立，即4()m x x-+在[1x ∈，3]恒成立， 则4[()]max m x x-+， 因为4424x x x x+⋅=， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号， 所以4[()]4max x x -+=-， 则4m -，所以实数m 的取值范围为[4-，)+∞．【点评】本题考查了函数零点的理解与应用，函数与方程的应用，函数与不等式的综合应用，命题真假的应用以及不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．19．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（3）若(1)1f -<，求a 的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）依题意，得2020x x +>⎧⎨->⎩，解之可得函数()f x 的定义域； （2）()f x 为奇函数；利用奇函数的定义证明即可；（3）1(1)13aa f log log a -<⇔<，通过对a 的范围的分类讨论，可求得答案． 【解答】解：（1）()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠，∴202202x x x x +>>-⎧⎧⇒⎨⎨-><⎩⎩， ∴函数()f x 的定义域为(2,2)-；（2）()f x 为奇函数． 证明：22()()022a a x x f x f x log log x x-+-+=+=+-， ()()f x f x ∴-=-，(2,2)x ∈-，()f x ∴为奇函数；（3）(1)1f -<，∴1(1)3a a f log log a -=<， ①01a <<，()f x 单调递减，∴103a <<； ②1a >，()f x 单调递增，∴13a >，1a ∴>； 综上：103a <<或1a >，即(0a ∈，1)(13⋃，)+∞． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查分析推理能力与运算求解能力，属于中档题．20．已知函数1()21x f x a =-+为奇函数． （1）求a 的值，并判断函数()f x 的单调性；（2）若x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，求实数k 的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】（1）由奇函数在R 上有定义，可得(0)0f =，求得a 的值，再由指数函数的单调性可得()f x 的单调性；（2）由奇函数()f x 的单调性可将不等式的两边的“f ”去掉，结合二次不等式恒成立，运用判别式法，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）函数1()21x f x a =-+为奇函数，定义域为R ， 可得(0)0f =，即102a -=，解得12a =， 则1112()12212xx xf x -=-=++，满足()()0f x f x -+=， 所以12a =成立； 由2x y =在R 上递增，可得112xy =+在R 上递减， 所以()f x 在R 上为递减函数；（2）x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，即为2(1)()()f x f kx f kx +<-=-，因为()f x 在R 上为递减函数，所以21x kx +>-，即210x kx ++>恒成立，则△0<，即240k -<，解得22k -<<，则k 的取值范围是(2,2)-．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．21．计算下列各式．（1）1206310.064()(2021)3π--+-+； （2）2731329log 5log 42log 5log -++． 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．（2）利用对数的运算性质求解．【解答】解：（1）原式1113662332043132⨯⨯⨯=⋅-++⨯ 23220.49198917255=-++⨯=-++=． （2）原式333log 527log 9log 527211=+++-=++=．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．22．计算：（100.539()()54--++（2）22log 62222523lg lg -+-- 【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质【分析】利用有理指数幂及对数的运算性质依次化简即可．【解答】解：（100.539()()54--++221133e e =-+++；（2）22log 62222523lg lg -+--421100632lg =--⨯ 211=-=．【点评】本题考查了有理指数幂及对数的运算，属于基础题．。
函数的概念与性质常见典型考题赏析
ʏ张文伟函数是每年高考的必考内容㊂纵观近几年的高考试题,函数的概念与性质,函数的图像与应用问题,分段函数问题,以函数形式出现的综合题和应用题一直是常考点,且常考常新㊂下面就函数的概念与性质的常见典型考题进行举例分析,供大家学习与参考㊂题型一:函数概念的理解判断对应关系是否构成函数的关键:一是自变量x的取值是否任意,二是对应的函数值y是否唯一㊂判断两个函数是否相同,要根据函数的 三要素 来判断,即看函数的定义域㊁对应关系㊁值域是否一致,当三者都一致的时候,两个函数才是相同函数㊂例1设M={x|0ɤxɤ2},N={y| 0ɤyɤ2},给出下列四个图形,如图1,图2,图3,图4,其中能表示从集合M到N的函数关系的图形有()㊂图1图2图3图4A.1个B.2个C.3个D.4个解:由函数的定义知,M中任意一个x,在N中都有唯一的y与之对应,故图1,图2,图4正确㊂应选C㊂跟踪训练1:下列函数中与函数y=x是同一个函数的是()㊂A.y=(x)2B.y=3x3C.y=4x4D.y=(x+1)2x+1-1提示:A中,y=(x)2=x(xȡ0),yȡ0,可知定义域不同且值域不同,所以两个函数不是同一个函数㊂B中,y=3x3=x(xɪR),yɪR,对应关系相同,定义域和值域都相同,所以是同一个函数㊂C中,y=4x4,yȡ0,与y=x值域不同,且当x<0时,它的对应关系与函数y=x不相同,所以不是同一个函数㊂D中,y=(x+1)2x+1-1的定义域为{x|xʂ-1},与函数y=x的定义域不相同,所以不是同一个函数㊂应选B㊂题型二:求具体函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合,其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为原则㊂函数的定义域要用集合或区间的形式表示㊂若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域是指满足不等式aɤg(x)ɤb的x取值范围;已知f[g(x)]的定义域是[a,b],指的是xɪ[a,b],要求f(x)的定义域,就是求xɪ[a,b]时g(x)的值域㊂例2函数y=x+3-3x2+x-6的定义域是㊂解:要使此函数有意义,x必须满足x+3ȡ0,x2+x-6ʂ0,{即xȡ-3,xʂ2且xʂ-3,{也即x>-3且xʂ2,所以函数的定义域为(-3, 2)ɣ(2,+ɕ)㊂跟踪训练2:若函数f(x)的定义域为[-2,1],求函数y=f x+14()㊃f x-14()的定义域㊂提示:要使函数y=f x+14()㊃f x-14()有意义,必须满足经典题突破方法高一数学2022年10月-2ɤx +14ɤ1,-2ɤx -14ɤ1㊂ìîíïïïï由此解得-94ɤx ɤ34,-74ɤx ɤ54,ìîíïïïï即-74ɤx ɤ34㊂故函数y =f x +14()㊃f x -14()的定义域为-74,34[]㊂题型三:函数的值与值域问题一次函数的值域为R ,二次函数的值域可用公式法㊁配方法或图像法求解,反比例函数的值域可用图像法求解㊂在求值域时,一定要考虑定义域,如求y =x 2-2x (-1ɤx <2)的值域,不能用公式法,可根据定义域结合图像求解㊂例3 已知函数f (x )=3x 2-2x -1,则f (-2)=;f (m -1)=;f [f (-1)]=㊂解:f (-2)=3ˑ(-2)2-2ˑ(-2)-1=15㊂f (m -1)=3(m -1)2-2(m -1)-1=3m 2-8m +4㊂因为f (-1)=3ˑ(-1)2-2ˑ(-1)-1=4,所以f [f (-1)]=f (4)=3ˑ42-2ˑ4-1=39㊂跟踪训练3:求下列函数的值域㊂(1)y =2x -4x +3㊂(2)y =1x 2+2x +2㊂提示:(1)因为y =2x -4x +3=2(x +3)-10x +3=2-10x +3ʂ2,所以y ɪ(-ɕ,2)ɣ(2,+ɕ),即此函数的值域为(-ɕ,2)ɣ(2,+ɕ)㊂(2)令u =x 2+2x +2=(x +1)2+1ȡ1,则y =1u㊂因为u ɪ[1,+ɕ),所以y ɪ(0,1],即此函数的值域为(0,1]㊂题型四:求函数的解析式求函数解析式的四种常用方法:待定系数法,当已知函数类型时,常用待定系数法;代入法,已知y =f (x )的解析式,求函数y =f [g (x )]的解析式时,可直接用新自变量g (x )替换y =f (x )中的x ;换元法,已知y =f [g (x )]的解析式,求y =f (x )的解析式,可令g (x )=t ,反解出x ,然后代入y =f [g (x )]中,求出f (t ),即得f (x );构造方程组法,当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒数关系时,可构造方程组求解㊂例4 设二次函数f (x )满足f (x -2)=f (-x -2),且图像与y 轴交点的纵坐标为1,被x 轴截得的线段长为22,求函数f (x )的解析式㊂解:(方法1)设f (x )=a x 2+b x +c (a ʂ0)㊂由已知得c =1㊂由f (x -2)=f (-x -2),可得4a -b =0㊂由|x 1-x 2|=b 2-4a c |a |=22,可得b 2-4a c =8a2㊂由上可得,b =2,a =12,c =1,所以函数f (x )=12x 2+2x +1㊂(方法2)因为f (x -2)=f (-x -2),所以y =f (x )图像的对称轴为x =-2㊂又|x 1-x 2|=22,所以y =f (x )的图像与x 轴的交点为(-2-2,0),(-2+2,0)㊂设f (x )=a (x +2+2)(x +2-2)㊂因为f (0)=1,所以a =12㊂故函数f (x )=12[(x +2)2-2]=12x 2+2x +1㊂跟踪训练4:求下列函数的解析式㊂(1)已知f (x -1)=x +2x ,求f (x )㊂(2)设f (x )是定义在(1,+ɕ)上的一个函数,且f (x )=2x f1x ()-1,求f (x )㊂提示:(1)令t =x -1,则t ȡ-1,且x =t +1,所以f (t )=(t +1)2+2(t +1)=t 2+4t +3㊂故f (x )=x 2+4x +3(x ȡ-1)㊂(2)因为f (x )=2x f 1x ()-1,所以用1x 代换x ,得f 1x()=21xf (x )-1㊂由上经典题突破方法高一数学 2022年10月消去f1x(),解得f (x )=4f (x )-2x -1,所以f (x )=23x +13㊂又因为x ɪ(1,+ɕ),所以函数f (x )=23x +13,x ɪ(1,+ɕ)㊂题型五:分段函数的应用求分段函数的函数值时,一般应先确定自变量的取值在哪个区间上,然后用与这个区间相对应的解析式求函数值㊂已知分段函数的函数值,求自变量的值,要进行分类讨论,逐段用不同的函数解析式求解,求解最后检验所求结果是否适合条件㊂实际问题中的分段函数,以自变量在不同区间上的对应关系的不同进行分段求解㊂例5已知函数f (x )=x 2+1,x ȡ0,-2x ,x <0,{若f (x )=10,则x =㊂解:当x ȡ0时,f (x )=x 2+1=10,可得x =-3(舍去)或x =3;当x <0时,f (x )=-2x =10,可得x =-5㊂综上可知,x =-5或x =3㊂跟踪训练5:已知函数f (x )=12x -1,x ȡ0,1x,x <0,ìîíïïïï若f (a )=a ,则实数a 的值是㊂提示:当a ȡ0时,f (a )=a2-1=a ,可得a =-2(舍去);当a <0时,f (a )=1a=a ,可得a =-1或a =1(舍去)㊂综上知实数a =-1㊂题型六:函数的单调性问题证明函数f (x )在区间上的单调性的五个步骤:①设元,②作差,③变形,④判号,⑤定论㊂解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,关键是利用单调性 脱去 函数符号 f,从而转化为不等式求解㊂例6 已知函数f (x )在区间(-1,1)上单调递减,且f (a -1)>f (1-4a ),求a 的取值范围㊂解:由题意知-1<a -1<1,-1<1-4a <1,{解得0<a <12㊂因为函数f (x )在区间(-1,1)上单调递减,且f (a -1)>f (1-4a ),所以a -1<1-4a ,可得a <25㊂综上可得,0<a <25,即a 的取值范围是0,25()㊂跟踪训练6:设函数f (x )=x |x -1|+m ,当m >1时,求函数f (x )在区间[0,m ]上的最大值㊂提示:函数f (x )=x |x -1|+m =-x 2+x +m ,0ɤx ɤ1,x 2-x +m ,1<x ɤm ㊂{当0ɤx ɤ1时,f (x )=-x 2+x +m =-x -12()2+m +14ɤm +14;当1<x ɤm 时,由f (x )=x 2-x +m =x -12()2+m -14,可得f (x )在(1,m ]上单调递增,所以f (x )m a x =f (m )=m 2㊂由m 2ȡm +14且m >1得m ȡ1+22㊂所以f (x )m a x =m +14,1<m <1+22,m 2,m ȡ1+22㊂ìîíïïïï题型七:函数性质的应用函数的性质主要有定义域㊁值域㊁单调性㊁奇偶性㊁周期性㊁对称性等㊂利用奇偶性和单调性解不等式要注意的是:奇函数在定义域内的关于y 轴对称的两个区间上的单调性相同,偶函数在定义域内的关于y 轴对称的两个区间上的单调性相反㊂例7 设f (x )在R 上是偶函数,在(-ɕ,0)上单调递减,若f (a 2-2a +3)>f (a 2+a +1),求实数a 的取值范围㊂解:由题意知f (x )在(0,+ɕ)上单调递增㊂因为a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,a 2+a +1=a +12()2+34>0,且f (a 2-2a +3)>f (a 2+a +1),所以a 2-2a +3>a 2+a +1,解得a <23㊂故所求实数a 的取值范围是 经典题突破方法 高一数学 2022年10月-ɕ,23()㊂跟踪训练7:设定义在[-2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围㊂提示:因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x )=f (|x |)㊂不等式f (1-m )<f (m )等价于f (|1-m |)<f (|m |)㊂又f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以|1-m |>|m |,-2ɤm ɤ2,-2ɤ1-m ɤ2,ìîíïïï解得-1ɤm <12㊂故实数m 的取值范围是-1,12[)㊂题型八:幂函数问题对于幂函数f (x )=xα,当α>0时,在(0,+ɕ)上单调递增;当α<0时,在(0,+ɕ)上单调递减㊂对于幂函数f (x )=xα,在(0,1)上,指数越大,图像越靠近x 轴(简记为 指大图低 );在(1,+ɕ)上,指数越大,图像越远离x 轴(简记为 指大图高)㊂例8 已知函数f (x )=x 3,x ɤa ,x 2,x >a,{若存在实数b ,使方程f (x )-b =0有两个根,则a 的取值范围是㊂解:存在实数b ,使方程f (x )-b =0有两个根等价于存在实数b ,函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点(图略)㊂当a <0时,y =f (x )在(a ,0)上单调递减,(0,+ɕ)上单调递增,所以存在实数b ɪ(0,a 2),使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点;当0ɤa ɤ1时,y =f (x )在R 上单调递增,所以不存在实数b ,使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点;当a >1时,y =f (x )在(-ɕ,a )上单调递增,(a ,+ɕ)上也单调递增,所以存在实数b ɪ(a 2,a3),使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点㊂综上可得,a ɪ(-ɕ,0)ɣ(1,+ɕ)㊂跟踪训练8:已知幂函数y =x 3m -9(m ɪN *)的图像关于y 轴对称,且在(0,+ɕ)上单调递减,求满足(a +1)-m 3<(3-2a )-m3的a 的取值范围㊂提示:因为幂函数y =x 3m -9在(0,+ɕ)上单调递减,所以3m -9<0,解得m <3㊂又m ɪN *,所以m =1或m =2㊂因为函数图像关于y 轴对称,所以3m -9为偶数,可知m =1,则(a +1)-13<(3-2a )-13㊂因为y =x -13在(-ɕ,0),(0,+ɕ)上均单调递减,所以a +1>3-2a >0或0>a +1>3-2a 或a +1<0<3-2a ,解得23<a <32或a <-1㊂故a 的取值范围为(-ɕ,-1)ɣ23,32()㊂题型九:二次函数模型二次函数求最值的四种方法:配方法,判别式法,换元法,单调性法㊂求二次函数最值问题,最好结合二次函数的图像㊂例9 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的函数关系式可以近似地表示为y =x 25-48x +8000㊂已知此生产线年产量最大为210t ㊂若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少解:设可获得的总利润为W 万元,则W =40x -y=40x -x 25+48x -8000=-x 25+88x -8000=-15(x -220)2+1680(0ɤx ɤ210)㊂因为W 在[0,210]上单调递增,所以当x =210时,W m a x =-15(210-220)2+1680=1660(万元)㊂故年产量为210t 时,可获得最大利润,最大利润为1660万元㊂跟踪训练9:某工厂生产甲㊁乙两种产品所得利润分别为P (万元)和Q (万元),它们与投入资金m (万元)的关系有如下公式:P =12m +60,Q =70+6m ㊂今将200万元资金投入生产甲㊁乙两种产品,并要求对甲㊁乙两种产品的投入资金都不低于25经典题突破方法高一数学 2022年10月万元㊂(1)设对乙种产品投入资金x (万元),求总利润y (万元)关于x 的函数关系式及其定义域㊂(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?求出最大总利润㊂提示:(1)根据题意知,对乙种产品投入资金x 万元,对甲种产品投入资金(200-x )万元,那么总利润y =12(200-x )+60+70+6x =-12x +6x +230㊂由x ȡ25,200-x ȡ25,{解得25ɤx ɤ175,所以函数的定义域为[25,175]㊂(2)令t =x ,则y =-12t 2+6t +230=-12(t -6)2+248㊂因为x ɪ[25,175],所以t ɪ[5,57]㊂当t ɪ[5,6]时,函数单调递增;当t ɪ[6,57]时,函数单调递减㊂所以当t =6,即x =36时,y m ax =248㊂故当甲种产品投入资金164万元,乙种产品投入资金36万元时,总利润最大,最大总利润为248万元㊂题型十:分段函数模型对于自变量的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数称为分段函数㊂分段函数是一个函数,而不是几个函数㊂分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域是各段函数值域的并集㊂例10 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元㊂(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x 个,零件的实际出厂单价为P 元,写出函数P =f (x )的表达式㊂(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元(一个零件的利润=实际出厂单价-成本)解:(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x 0个,则x 0=100+60-510.02,即x 0=550㊂因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元㊂(2)当0<x ɤ100时,P =60;当100<x ɤ550时,P =60-0.02(x -100)=62-x50;当x >550时,P =51㊂所以函数P =f(x )=60,0<x ɤ100,62-x 50,100<x ɤ550,51,x >550ìîíïïïï(x ɪN )㊂(3)设销售商一次订购量为x 个时,工厂获得的利润为L 元,则函数L =(P -40)x =20x ,0<x ɤ100,22x -x 250,100<x ɤ550,11x ,x >550ìîíïïïï(x ɪN )㊂当x =500时,L =6000;当x =1000时,L =11000㊂因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元㊂跟踪训练10:某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元㊂经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t (单位:百件)时,销售所得的收入约为5t -12t 2(万元)㊂(1)若该公司的年产量为x (单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润f (x )表示为年产量x 的函数㊂(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?提示:(1)当0<x ɤ5时,产品全部售出,当x >5时,产品只能售出500件㊂所以函数f(x )=经典题突破方法 高一数学 2022年10月5x -12x 2()-(0.5+0.25x ),0<x ɤ5,5ˑ5-12ˑ52()-(0.5+0.25x ),x >5,ìîíïïïï即函数f (x )=-12x 2+4.75x -0.5,0<x ɤ5,12-0.25x ,x >5㊂{(2)当0<x ɤ5时,f (x )=-12x 2+4.75x -0.5,所以当x =4.75(百件)时,f (x )有最大值,可得f (x )m a x =10.78125(万元)㊂当x >5时,f (x )<12-0.25ˑ5=10.75(万元)㊂故当这种产品的年产量为475件时,当年所得利润最大㊂题型十一:抽象函数问题解抽象函数问题,主要用赋值法㊂赋值法的关键环节是 赋值 ,赋值的方法灵活多样,既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生,又要考虑所给关系式的结构特点㊂例11 已知定义在区间(0,+ɕ)上的函数f (x )满足f x 1x 2()=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0㊂(1)证明:f (x )为单调递减函数㊂(2)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值㊂解:(1)任取x 1,x 2ɪ(0,+ɕ),且x 1>x 2,则x 1x 2>1㊂因为当x >1时,f (x )<0,所以f x1x 2()<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,所以f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+ɕ)上是单调递减函数㊂(2)因为f (x )在(0,+ɕ)上是单调递减函数,所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)㊂由f x 1x 2()=f (x 1)-f (x 2),可得f 93()=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2㊂故f (x )在[2,9]上的最小值为-2㊂跟踪训练11:设函数f (x )的定义域为U ={x |x ɪR 且x >0},且满足条件f (4)=1㊂对任意的x 1,x 2ɪU ,有f (x 1㊃x 2)=f (x 1)+f (x 2),且当x 1ʂx 2时,有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0㊂(1)求f (1)的值㊂(2)如果f (x +6)+f (x )>2,求x 的取值范围㊂提示:(1)对任意的x 1,x 2ɪU ,有f (x 1㊃x 2)=f (x 1)+f (x 2),可令x 1=x 2=1,得f (1ˑ1)=f (1)+f (1)=2f (1),所以f (1)=0㊂(2)设0<x 1<x 2,则x 2-x 1>0㊂因为当x 1ʂx 2时,f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0,所以f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),所以f (x )在定义域内为增函数㊂令x 1=x 2=4,可得f (4ˑ4)=f (4)+f (4)=1+1=2,即f (16)=2㊂当x +6>0,x >0,{即x >0时,原不等式可化为f [x (x +6)]>f (16)㊂因为f (x )在定义域上为增函数,所以x (x +6)>16,解得x >2或x <-8㊂又x >0,所以x >2㊂故x 的取值范围为(2,+ɕ)㊂题型十二:函数的创新题这类问题的特点是背景新颖,信息量大,通过它可考查同学们获取信息㊁分析信息并解决问题的能力㊂解答这类问题,首先要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义信息题难点的关键㊂例12 给出定义:若m -12<x ɤm +12(其中m 为整数),则m 叫作离实数x 最近的整数,记作{x },即{x }=m ㊂现给出下列关于函数f (x )=|x -{x }|的四个命题:①f -12()=12;②f (3.4)=-0.4;③f -14()=f 14();④y =f (x )的定义域为R ,值域是-12,12[]㊂经典题突破方法高一数学 2022年10月其中真命题的序号是㊂解:因为-1-12<-12ɤ-1+12,所以-12{}=-1,所以f-12()=-12--12{}=-12+1=12,①正确㊂因为3-12<3.4ɤ3+12,所以{3.4}=3,所以f (3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4,②错误㊂因为0-12<-14ɤ0+12,所以-14{}=0,所以f -14()=-14-0=14㊂因为0-12<14ɤ0+12,所以14{}=0,所以f 14()=14-0=14,所以f -14()=f 14(),③正确㊂y =f (x )的定义域为R ,值域是012[],④错误㊂答案为①③㊂跟踪训练12:(多选题)对任意实数a ,b ,定义m i n {a ,b }=a ,a ɤb ,b ,a >b,{若f (x )=2-x 2,g (x )=x 2-2,则关于函数F (x )=m i n {f (x ),g (x )}的说法正确的是( )㊂A .函数F (x )是偶函数B .方程F (x )=0有一个解C .函数F (x )有四个单调区间D .函数F (x )有最大值为0,无最小值提示:由题意可得,函数F (x )=2-x 2,x ɪ(-ɕ,-2]ɣ[2,+ɕ),x 2-2,x ɪ(-2,2),{作出函数F (x )图像,如图5所示㊂图5由图5可知,该函数为偶函数,有两个零点-2,2,四个单调区间㊂当x =ʃ2时,函数F (x )取得最大值为0,无最小值㊂应选A C D ㊂1.已知函数f (x )=m x 2-2m x +m -1x 2-2x +1(m ɪR ),试比较f (5)与f (-π)的大小㊂提示:f (x )=m x 2-2m x +m -1x 2-2x +1=m -1(x -1)2㊂y =-1x 2的图像向右平移1个单位得到y =-1(x -1)2的图像,再向上(m ȡ0)或向下(m <0)平移|m |个单位得到y =m -1(x -1)2的图像㊂因为y =-1x2在(-ɕ,0)上单调递减,在(0,+ɕ)上单调递增,且关于y 轴对称,所以f (x )在(-ɕ,1)上单调递减,(1,+ɕ)上单调递增,且关于直线x =1对称,所以f (-π)=f (2+π),而2+π>5,所以f (-π)=f (2+π)>f (5),即f (5)<f (-π)㊂2.已知f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )+g (x )=x 2+x -2,求f (x ),g (x )的解析式㊂提示:因为f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x )㊂由f (x )+g (x )=x 2+x -2,可得f (-x )+g (-x )=(-x )2-x -2,即f (x )-g (x )=x 2-x -2㊂由上可得函数f (x )=x 2-2,g (x )=x ㊂3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3-2x 2+2,求f (x )的解析式㊂提示:因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以当x =0时,f (-0)=-f (0),即f (0)=0㊂当x <0时,-x >0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )3-2(-x )2+2]=x 3+2x 2-2㊂所以函数f (x )=x 3+2x 2-2,x <0,0,x =0,x 3-2x 2+2,x >0㊂ìîíïïï作者单位:河南省开封高中(责任编辑 郭正华)经典题突破方法 高一数学 2022年10月。
函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
专题02函数
一、选择题
1．(2022年全国乙卷理科·第12题)已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 ()
A． B． C． D．
2．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数 的定义域为R，且 ，则 ()
A． B． C．0D．1
A． B． C． D．
12．(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为()( )
A．1．5B．1．2C．0．8D．0．6
27．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题)函数 的图象大致为()
A． B． C． D．
24．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题)函数 在 的图象大致为()
25．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数 的图象大致为()
26．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 ()
A． B．0C．2D．50
13．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)若 ，则()
A． B． C． D．
14．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则()
【精选高中试题】高中数学黄金100题系列——专题05 函数定义域(解析版) Word版(含解析)
I ．题源探究·黄金母题例1 求函数)34(log )(5.0-=x x f 的定义域. 【解析】要使式子有意义，则0)34(log 5.0≥-x ， 即1log 0)34(log 5.05.0=≥-x ，根据对数函数的单调性，则1340≤-<x ， 解得143≤<x ， 所以函数)(x f 的定义域为]1,43(.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考江苏卷】函数y义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-， 【例3】【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D）y =【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第74页习题2.2 A 组第7题【母题评析】本题以求函数定义域为载体，考查根式的概念及利用对数函数的性质解简单对数不等式.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.【思路方法】由函数式有意义得到关于自变量的不等式，利用有关函数的性质或不等式性质，解出自变量的取值范围，即为函数的定义域.【命题意图】本类题通常主要考查函数定义域的求法.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与特殊函数的图像与性质、值域、解不等式、集合运算有联系. 【难点中心】对求函数定义域问题，首项要确定使函数式子有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），其次利用有关不等式性质和相关函数的性质解不等式（组），注意：①函数解析式含有几个式子，这几个式子都必须有意义，其交集即为函数的定义域；②解不等式时要等价变形；③抽象函数的定义域是难点.本题是简单函数定义域的求法，是基础题.III ．理论基础·解题原理考点一 函数定义域的概念1．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； 考点二 常见函数的定义域1.一次函数b kx y +=的定义域为R ；2.二次函数c bx ax y ++=2的定义域为R ； 3.指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）定义域为R ；4.对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的定义域为),0(+∞；（1）当Z m ∈，n 为奇数且0>mn 时，定义域为R ； （2）当m 为奇数n 为偶数且0>mn 时，定义域为),0[+∞； （3)当*Z m ∈，n 为奇数且0<mn 时，定义域为),0()0,(+∞⋃-∞； （4）当m 是奇数，n 为偶数且0<mn 时，定义域为),0(+∞； 6.正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =定义域都为R ；考点三 函数定义域的求法 1.已知函数解析式，求定义域紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念。
高中数学抽象函数题型汇编及答案
抽象函数常见题型汇编及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。
解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。
解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。
解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。
例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例题4：函数的定义域是，求的定义域。
解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。
解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
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一、定义域问题 1. （陕西文2）函数21lg
)(x x f -=的定义域为
（A ）［0，1］
（B ）（-1，1） （C ）［-1，1］
（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）
解析：由1-x 2>0得-1<x<1，选B
（06广东卷）函数2
3()lg(31)1x f x x x
=
++-的定义域是 A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3
-∞-
解：由131
1301<<-⇒⎩⎨
⎧>+>-x x x ，故选B.
2. （江西文3）函数1()lg 4
x f x x -=-的定义域为（
）
Ａ．(14)，
Ｂ．[14)，
Ｃ．(1)(4)-∞+∞U ，，
Ｄ．(1](4)-∞+∞U ，，
解析：
10(1)(4)0,1 4.4
x
x x x x ->⇒--<∴<<-选A. 上海理1）函数()()lg 43
x f x x -=
-的定义域为_____
【答案】 {}
34≠<x x x 且
【解析】 40
30
x x ->⎧⎨-≠⎩⇒ {}34≠<x x x 且
（06湖北卷）设2()lg
2x f x x +=-，则2
()()2x f f x
+的定义域为 A ．(4,0)(0,4)-U B ．(4,1)(1,4)--U C ．(2,1)(1,2)--U D ．(4,2)(2,4)--U 解：f （x ）的定义域是（－2，2），故应有－22x
<2且－22
x
<2解得－4x －1或
1x 4
故选B
3. （湖南卷）函数2log 2y x =
-( )
A.(3,+∞)
B.[3, +∞)
C.(4, +∞)
D.[4, +∞) 解：函数2log 2-=x y 的定义域是2log 2x -≥0，解得x ≥4，选D.
（全国一1
）函数y 的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥
B ．{}|1x x ≥
C ．{}{}|10x x U ≥
D ．{}|01x x ≤≤
（湖北卷4
）函数1
()f x x
=的定义域为D
A. (,4][2,)-∞-+∞U
B. (4,0)(0.1)-U
C. [-4,0)(0,1]U
D. [4,0)(0,1)-U
（2009福建卷文）
下列函数中，与函数y =
有相同定义域的是 A .()ln f x x = B.1()f x x
= C. ()||f x x = D.()x f x e = 解析 解析
由y =
可得定义域是0.()ln x f x x >=的定义域0x >；1
()f x x =的定义
域是x ≠0；()||f x x =的定义域是;()x
x R f x e ∈=定义域是x R ∈。
故选A. （2010广东理数）9. 函数()f x =lg(x -2)的定义域是 . 9． (1,+∞) ．∵10x ->，∴1x >．
14.（广东文4）函数
1
()lg(1)1f x x x =
++-的定义域是 （ ）
A ．(,1)-∞-
B ．(1,)+∞
C ．(1,1)(1,)-+∞U
D ．(,)-∞+∞ 【答案】C
（江西文3）若
12
1
()log (21)
f x x =
+，则()f x 的定义域为( )
1(,0)2- B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-⋃+∞ D.1
(,2)
2-
【答案】C
【解析】
()()
+∞⋃⎪⎭⎫
⎝⎛-∈∴≠+>+∴≠+,00,211
12,012,012log 2
1x x x x
（江西理4）设x x x x f ln 42)(2--=，则0)('
>x f 的解集为
A. ),0(+∞
B. ),2()0,1(+∞-Y
C. ),2(+∞
D.)0,1(- 【答案】C
【解析】)(x f 定义域为),0(+∞，又由
0)
1)(2(2422)('>+-=-
-=x x x x x x f ，解得
01<<-x 或2>x ，所以0)('
>x f 的解集),2(+∞
安徽文13
）函数
y =
的定义域是 .
【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.
【解析】由2
60x x -->可得2
60x x +-<，即
()()+320x x -<，所以32x -<<. 【2012高考四川文13】
函数()f x =____________。
（用区间表示） 【答案】)2
1,(-∞.
【解析】根据题意知021>-x ，21<
x ，所以定义域为)2
1,(-∞.
（安徽卷13）
函数2()f x =
的定义域为 ．[3,)+∞
（湖南卷14
）已知函数()1).f x a =
≠ （1）若a ＞0,则()f x 的定义域是 ; 3,a ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
(2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 .
()(],01,3-∞⋃
2012高考山东文3】
函数1
()ln(1)
f x x =
++
(A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]- 【答案】B
【解析】方法一：特值法，当2-=x 时，)1ln()(+=x x f 无意义，排除A,C.当0=x 时，
01ln )10ln()0(==+=f ，不能充当分母，所以排除D,选B.
方法二：要使函数有意义则有⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≠+>+0
40)1ln(012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠->2201
x x x ，即01<<-x 或20≤<x ，
选B.
【2012高考江苏5】（5分）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．
【答案】(
0。
【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
⎩⎪⎪⎩⎩。