高考函数习题及答案

高考函数习题1．[2011·沈阳模拟] 集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞) D．R2．[2011·郑州模拟] 下列说法中，正确的是( )①任取x ∈R 都有3x >2x ；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③y ＝(3)－x是增函数；④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图像对称于y 轴． A ．①②④ B ．④⑤ 】C ．②③④D ．①⑤3．[2011·郑州模拟] 函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图像的大致形状是( )图K8－14．[2011·聊城模拟] 若函数y ＝2|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m ＜0C ．m ≥1 D．0＜m ≤1 ·5．[2010·湖北卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．4 C ．－4 D ．－146．[2011·郑州模拟] 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>0 7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123，c ＝f －，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <a D ．a <b <c;8．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如图K8－2所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图像是( )&9．[2011·锦州一模] 设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x－2)，则使f (x )<0的x 的取 值范围是( ) &A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞) 10．[2011·济宁模拟] 很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样．污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次，能过滤出有害物质的34.若过滤n 次后，流出的水中有害物质在原来的1%以下，则n 的最小值为________(参考数据lg2≈ ．11．若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则a 的取值范围为________．12．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． (13．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，则f (x )＝2x ＋2－3×4x的最大值为________．14．(10分)(1)已知f (x )＝23x－1＋m 是奇函数，求常数m 的值； (2)画出函数y ＝|3x －1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解有一解有两解[15．(13分)设a >0，f (x )＝exa ＋aex 是R 上的偶函数(其中e≈．(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．，16．(12分)定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)＝log 23，且对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )＋f (3x －9x－2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．;…函数习题答案1．B [解析] ∵y ＝b x＋1>1，如果A ∩B 只有一个子集，则A ∩B ＝∅，∴a ≤1. 2．B [解析] 利用指数函数的性质判断．3．D [解析] x >0时，y ＝a x ；x <0时，y ＝－a x .即把函数y ＝a x(0<a <1，x ≠0)的图像在x >0时不变，在x <0时，沿x 轴对称．4．A [解析] ∵|1－x |≥0，∴2|1－x |≥1.∵y ＝2|1－x |＋m ≥1＋m ，∴要使函数y ＝2|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则1＋m ≤0，即m ≤－1.5．B [解析] 根据分段函数可得f 19＝log 319＝－2，则ff 19＝f (－2)＝2－2＝14，所以B 正确．6．D [解析] 由于x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，所以f (x )在区间(0,1)上单调递增且f (x )>0， ~又因为f (x )为偶函数，所以f (x )在区间(－1,0)上单调递减且f (x )>0，又因为f (x )是周期为2的周期函数，所以f (x )在区间(1,2)上递减且f (x )>0，故选D.7．B [解析] log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝535＝5125>532＝2>log 49. 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f －<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123<f (log 47)，即c <b <a ，选B.8．A [解析] 由图形可知b <－1,0<a <1，所以函数g (x )＝a x＋b 在定义域上单调递减，且与x 轴负半轴相交，所以选A.9．C [解析] f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<log a 1，因为0<a <1，所以a2x－2a x －2>1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x<－1(舍去)，因此x <log a 3，故选C.10．4 [解析] 设原有的有害物质为a ，则过滤n 次后有害物质还有⎝ ⎛⎭⎪⎫14n a ，令⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＜1%，则n ＞1lg2，即n ≥4，所以n 的最小值为4. 11．a >1 [解析] 函数f (x )是由φ(x )＝ax 2－x 和y ＝log a φ(x )复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法．(1)当a >1时，若使f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则φ(x )＝ax 2－x 在[2,4]上是增函数且大于零．故有⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，φ2＝4a －2>0，解得a >12，∴a >1.((2)当a <1时，若使f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则φ(x )＝ax 2－x 在[2,4]上是减函数且大于零.⎩⎪⎨⎪⎧12a≥4，φ4＝16a －4>0，不等式组无解．综上所述，存在实数a >1使得函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数．12．a >1 [解析] 设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点．由图像可知，当0<a <1时，两函数只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x(a >1)的图像过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a >1.[解析] 由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1，∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}．f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512.∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512. 14．[解答] (1)常数m ＝1.(2)y ＝|3x －1|的图像如下：当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图像无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解； ）当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解．15．[解答] (1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即e xa ＋a e x ＝1a ex ＋a e x，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立．由此得到a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1.(2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 2＋x 1e x 2＋x 1由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－x 1－1>0,1－e x 2＋x 1<0，*∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．16．[解答] (1)证明：由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(2)f (3)＝log 23>0，即f (3)>f (0)，又f (x )是R 上的单调函数，所以f (x )在R 上是增函数．又由(1)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0⇔f (k ·3x )<f (9x －3x ＋2)⇔k ·3x <9x －3x ＋2，即(3x )2－(1＋k )3x ＋2>0对任意x ∈R 恒成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立．令g (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为t ＝1＋k 2，当t ＝1＋k 2≤0，即k ≤－1时，g (0)＝2>0，符合题意；当t ＝1＋k 2>0，即k >－1时，则需满足g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 2>0，解得－1<k <－1＋2 2. 综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x)＋f (3x－9x－2)<0对任意x ∈R 恒成立． 本题还有更简捷的解法：分离系数由k <3x ＋23x －1，令u ＝3x＋23x －1，u 的最小值为22－1，则要使对任意x ∈R 不等式k <3x＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.。