上海交大附中09-10学年高二上学期期中考试(数学)

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上海市位育中学2024-2025学年高二上学期10月期中数学试卷(含答案)

位育中学2024学年第一学期高二年级数学期中2024.10一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1．直线l 和平面α相交于点A ，用集合符号表示为________．2．已知空间两个角和，若，则________．3．一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为________．4．将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________．5．已知球的表面积为36π，则该球的体积为________．6．已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________．7．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有________条．8．已知两点A 、B 都在平面α外，A 、B 到平面α的距离分别为2和4，则线段AB 的中点到平面α的距离为________．9．圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为________．10．三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分．11．如图，在正方体中，中点为Q ，过A 、Q 、三点的截面面积为________．12．在一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm 的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的部分的体积是________．ABC ∠A B C ∠''',,40AB A B BC B C ABC ∠︒'''='∥∥A B C ∠'''=111ABC A B C -1A B 1111ABCD A B C D -11,AB DD =1B 3cm二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13．设a 、b 为平面M 外的两条直线，且，那么是的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要14．已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则或15．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（）A ．2B ．4C ．6D ．816．如图所示，正三棱柱的所有棱长为1，点P 、M 、N 分别为棱的中点，点Q 为线段MN 上的动点（含端点）．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（）A ．直线与直线CP 可能相交B ．直线与直线CP 始终异面C ．直线与直线CP 可能垂直D ．直线与直线BP 不可能垂直三、解答题（本大题共有5题，满分42分）17．（本题满分8分）用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明．18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）a M ∥ab ∥b M ∥,,a b αβαβ⊥⊥∥a b∥,,a b a b αβ⊥⊥⊥αβ⊥,,a a b ααβ⊥⊥∥b β∥,a a b αβ= ∥b α∥b β∥111ABC A B C -111,,AA AB A B 1C Q 1C Q 1C Q 1C Q已知三棱锥满足．（1）证明：直线AB 与直线VC 是异面直线；（2）求异面直线AB 与VC 所成角大小．19．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，已知点P 在圆柱的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为20π，．（1）求直线与平面ABP 所成角的大小；（2）求点A 到平面的距离．20．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，几何体中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，，，，，．V ABC-2,VC VA BA BC AC VB ======1O O 2,120OA AOP =∠=︒1A P 1A BP EF ABCD -AB CD ∥AD DC ⊥2AD =4AB =90ADF ∠=︒（1）求证：平面；（2）求几何体的体积．21．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）如图，在四面体ABCD 中，平面，点M 为AD 上一点，且，连接BM ，CM ．（1）；（2）求二面角．的大小．AC ⊥FBC EF ABCD -3,AB BD CD AB ===⊥,BCD CD BD ⊥2AM MD =BM CD ⊥M BC D --参考答案一、填空题1． 2．40°或140° 3； 4． 5． 6．7．3 8．3或1 910．15 11． 12．11．【答案】【解析】截面是如图所示的等腰梯形，其中为的中点．因为所以截面面积．答案：12．【答案】【解析】在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为其他空间小球均能到达．l A α= 12π36π12π9840π563-981QEB A E 11C D 11EQ AB AQ B E ====1928S =⨯+=9840π563-3314π48118π833⎡⎤⎫⎛-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦114⨯⨯()21114π144812π4⎡⎤⨯⨯-⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦故小球不能到达的空间体积为：．故答案为：二、选择题13．A 14．C 15．A 16．B15．【答案】A【解析】作出平面，使得平面，当时，平面或平面，结合旋转分析可知有两次使得．故选：A ．16．【答案】B【解析】在正三棱柱中，点分别为棱的中点，平面平面平面，四点不共面，直线与始终异面，故A 错误，B 正确；对于C ，设，则，若直线与直线垂直，则，解得，()34408π4812π56πcm 33⎫⎛-+-=- ⎪⎝⎭34056π(cm)3-CDEF PQ ⊥CDEF PQ AB ⊥AB ∥CDEF AB ⊂CDEF PQ AB ⊥111ABC A B C - ,M N 11,AB A B 11,A MN AA ∴∥MN ⊄ 111,AA C C AA ⊂11,AA C C MN ∴∥11AA C C 1,,,C P C Q ∴1C Q CP ()01NQ MN λλ=≤≤1111111111,222QC QN NC MN NA AC AA AC AB CP AA AC λλ=+=++=+-=- 1C Q CP 111110,022QC CP AA AC AB AA AC λ⎫⎫⎛⎛⋅=∴+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭22111111102242AA AA AC AA AC AC AA AB AB AC λλ∴-⋅+⋅--⋅+⋅= 111110222λ∴-+⨯⨯⨯=32λ=不存在点使得直线与直线垂直，故C 错误；对于D ，连接，如图，为的中点，，平面平面，平面，又平面，当点在的位置时，直线与直线垂直，故错误．故选：B ．三．解答题17．平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；已知，求证；证明略18．（1）证明略（2）19．（1）（220．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由题意得，，且，平面四边形CDEF 为正方形，，由平面，又四边形为直角形，，，由平面，（2）连结，过作的垂线，垂足为，易见平面，且，，几何体的体积为．01,λ≤≤∴ Q 1C Q CP 1C N 1111,C A C B N = 11A B 111C N A B ∴⊥1AA ⊥ 1111,A B C C N ⊂11111,A B C AA C N ∴⊥11111,AA A B A C N =∴⊥ 11ABB A BP ⊂111,ABB A C N BP ∴⊥∴Q N 1C Q BP D ,,a b a b αα⊄⊂∥a α∥13arccos 32163,AD DC AD DF ⊥⊥DC DF D = AD ∴⊥,,CDEF AD FC ∴⊥ DC FC ∴⊥,DC AD D FC =∴⊥ ,ABCD FC AC ∴⊥ ABCD ,,2,4AB CD AD DC AD AB ⊥==∥AC BC ∴==222AC BC AB AC BC +=∴⊥,BC FC C AC =∴⊥ FCB EC B CD N BN ⊥CDEF 2BN =1116333EF ABCD E ABCD B ECF ABCD EFC V V V S DE S BN ---=+=⋅+⋅= △△∴EF ABCD -16321．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以；（2）取的中点，连接，过作于，过作于，连接，因为在平面中，，所以，由（1）知，所以因为平面，所以平面，因为平面，所以因为平面MEH ，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，在中，，所以所以，所以二面角的大小为AB ⊥,BCD CD ⊂BCD AB CD ⊥,,,CD BD AB BD B AB BD ⊥=⊂ ABD CD ⊥ABD BM ⊂ABD BM CD ⊥BC N DN M MH BD ⊥H H HE BC ⊥E ME ABD ,AB BD MH BD ⊥⊥MH AB ∥AB CD ⊥MH CD ⊥,,CD BD D CD BD =⊂ BCD MH ⊥BCD BC ⊂BCD MH BC⊥,,,HE BC MH HE H MH HE ⊥=⊂ BC ⊥MEH ME ⊂MEH BC ME ⊥MEH ∠M BC D --2,3AM MD AB BD CD ====1221,333MH AB HE DN =====Rt MHE △ME ===cos HE MEH ME ∠===MEH ∠=M BC D --。

上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)

此时z最大，
由
由于B在直线上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图，的边长为，分别是中点，记，，则（）
A. B.
C. D. ，但的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为分别是中点，所以根据平面向量的线性运算可得 ,所以由可得 ,故选C.
（1）求向量与的夹角；
（2）若，且，求实数t的值及 .
【答案】（1）；（2）， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设分别是直线l和圆C上的动点，求的最小值及此时点的坐标．
【答案】（1）所在的直线方程为，圆C的方程为（2）
【解析】
【详解】（1）直线设 .
的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组.

上海交大附中高二上学期期中数学试卷及答案

一. 填空题1. 若=-n (2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2. 直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P x y (,)满足⋅=OP OA 4，则点P 的轨迹方程是3. 已知圆--+=x x y 44022的圆心是点P ，则点P 到直线--=x y 10的距离是4. 若向量a ，b 满足=a ||1，=b ||2，且a 与b 的夹角为π3，则+=a b ||5. 三阶行列式---k11235442第2行第1列元素的代数余子式为-10，则=k6. 点P (3,4)关于直线-=x y 1的对称点的坐标是7. 己知两点A (3,4)，-B (1,5)，直线l ：=-y kx 1与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围8. 已知点-A (10,2)，B (5,7)，若在x 轴上存在一点P ，使-PA PB ||||最小，则点P 的坐标为9. 若圆（+=>x y R R 0)222和曲线+=x y 341||||恰有六个公共点，则R 的值是 10. 给出以下关于线性方程组解的个数的命题①⎩+=⎨⎧+=a x b y c a x b y c 222111；②⎩++=⎪⎨++=⎪⎧++=a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d 333322221111；③⎩++=⎨⎧++=a x b y c z d a x b y c z d 22221111；④⎩+=⎪⎨+=⎪⎧+=a x b y c a x b y c a x b y c 333222111. （1）方程组①可能有无穷多组解；（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；（4）方程组④可能有且只有唯一一组解. 其中真命题的序号为11. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A ，C ，D ），P 是圆Q 上及其内部动点，设R =+∈BP mBC nBA m n (,)，则+m n 的取值范围是12. 若实数x 1、x 2、y 1、y 2，满足+=x y 11122，+=x y 12222，+=x x y y 11212，则上海交大附中高二上学期期中数学试卷及答案1122的最大值为二. 选择题13. 下列等式中不恒成立的是（）A. a b b a ⋅=⋅B. ()a b a b λλ⋅=⋅C. 222()a b a b ⋅=⋅D. 22||||()()a b a b a b -=+⋅-14. 方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于y x =轴对称D. 关于原点对称15. 己知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）A. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B. 无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解C. 存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解D. 存在k ，1P ，2P 使之有无穷多解16. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，则P 到1l 、2l 的距离分别为1、3，点M ，N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（）A. 15B. 12C. 10D. 9三. 解答题17. 已知直线l :(2)()0a b x a b y a b ++++-=及点(3,4)P .（1）证明：直线l 过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.18. 已知(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，[,]44ππθ∈-. （1）求2||a b +的最大值；（2）设与的夹角为ϕ，求ϕ的取值范围.19. 在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义122()||a b a a b b ⋅=-⋅.（1）若(1,2)a =，(1,1)b =-，求1a ；（2）设(1,2)b =，证明：若位置向量a 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量1a 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程.20. 已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒ (O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线OM 、ON ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已如(1,1)A --，(2,1)B -，(,)C m n 为三个不同的定点，以原点O 为圆心的圆与线段AB ，AC ，BC 都相切.（1）求圆O 的方程及m 、n 的值；（2）若直线l :()y x t t =-+∈R 与圆O 相交于M 、N 两点，且12OM ON ⋅=-，求t 的值；（3）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有||||PA PQ λ= （λ为常数）？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. arctan 22. 24x y +=3. 24.5. 14-6. (5,2)7. [,arctan 6]4ππ- 8. (12,0)9. 3 10. （1）（4） 11. [1 12. 2二. 选择题 13. C 14. D 15. B 16. A三. 解答题17.（1）证明略，(2,3)-；（2）570x y ++=.18.（1）3+；（2）]2π. 19.（1）(2,1)a =；（2）证明略.20.（1）224x y +=；（2）（3）(1,1)-.21.（1）221x y +=，1m =-，3n =；（2）2t =±；（3）11(,)22Q --，λ=。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n －＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2023-2024学年上海华二附中高二上学期期中数学试卷及答案(2023.11)

1华二附中2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16~题每题4分,第7-12题每题5分）1．直线3310x y +-=的倾斜角为______．2．抛物线2y x =的准线方程为______．3．已知12,F F 是椭圆22:132x y C +=的两个焦点，椭圆C 上的两个动点P 、Q 与1F 满足三点共线，则2PQF △的周长是______．4．平行直线210x y +-=与2430x y ++=的距离为______．5．已知双曲线2221(0)4x y m m -=>的一条渐近线方程是520x y -=，则m =______．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点12,F F 是两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12120F PF ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是______．7．斜率为1的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，若l 与圆22(5)8x y -+=相切，则P 等于______．8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为______．9．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为170米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为202米，则该双曲线的离心率为______．210．已知,x y 为实数，代数式22221(2)9(3)y x x y +-++-++的最小值是______．11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．二、选择题（共4题，共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）13．椭圆22152x y +=的长轴长为（）A ．25B ．5C ．4D ．214．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若,A B 两点的横坐标之和为3，则||AB =（）A ．5B ．143C ．133D ．415．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为3,ABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A ．43B ．12C ．123D ．3316．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、解答题（共5题，共78分）17．（14分）直线1:2110l x y +-=与直线2:2100l x y +-=相交于点P ，直线l 经过点P （1）若直线2l l ⊥，求直线l 的方程：（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．18．（14分）已知抛物线2:2C y px =（p 为常数，0p >）的焦点F 与椭圆22195y x +=的右焦点重合，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线AB 的斜率为1，求||AB ．419．（14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区，已知tan 3,6MON OA ∠=-=（百米），Q 到直线ON ，ON 的距离分别为3（百米）（百米）．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r=（百米）(09,01)t a ≤<<<，当喷泉表演开始时，一观光车s （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA（百米/分钟）的速度开往休息区A ．问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B=是双曲线上的两点，AB的中点(1,2)M．（1）求双曲线C的方程：（2）求直线AB方程：（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，问A、B、C、D四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．5621．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．7参考答案一、填空题1.120;2.14x =-;3.;4.52; 5.5;6.,12⎫⎪⎪⎣⎭;7.218或;8.3;；11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．-【解析】设双曲线的右焦点为1F ,因为O 为1FF 中点,M 为PF 中点,所以MO 为三角形1PFF 的中位线,11,2MO PF =又1122MT PT PM PF FT PF PF FT=-=--=-所以()112MO MT PF PF FT FT a-=-+=-a FT ===又所以MO MT -=.-.12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．【解析】由()2248x y -+=得22880x x y -++=,于是22222828,x x y x y -++=+从而()22221442x x y x y -++=+,=8等于点P 到点()2,0M 的距离.所以PQ PQ PM MQ =+ ,而min ||MQ =-=所以PQ +二、选择题13.A14.A 15.A 16.C15．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A．B ．12C．D ．3【答案】A【解析】以D 为坐标原点，AD 为x 轴，过D 做AD 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()((8,0,,A B C ---.圆D 的方程为223x y +=，可设)Pαα，所以(,AB BP αα==+- .故126sin 126AB BP πααα⎛⎫⋅=++-=+≤ ⎪⎝⎭故选:A.16．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）9①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【解析】由方程方程1x x y y +=-,当0x ,0y 时不成立;当0,0x y ><时,22149y x -=；当0,0x y <>时,22194x y -=;当0,0x y 时,22194x y +=;如下图示:由图判断函数在R 上单调递减,故(1)正确,(2)错误;当()320f x x +=,即()23f x x =-,函数()()32g x f x x =+的零点,就是函数()y f x =和23y x =-的交点,而23y x =-是曲线221,049y x x -=>,0y <和221,0,094x y x y -=<>的渐近线,所以没有交点.由图知,23y x =-和221,094x y x += ,0y 没有交点,所以函数()()32g x f x x =+不存在零点,故(3)正确;由图,()y f x =上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y 的图象上,即满足22194x y +=,设(),P x y,PO ===,当0x =时取最小值2,故(4)正确.故选:C .三．解答题1017.（1）250x y -+=（2）43070x y x y -=+-=或18.（1）28y x =（2）16AB =19.（1）AB =(2)不会，理由略20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B =是双曲线上的两点，AB 的中点(1,2)M ．（1）求双曲线C 的方程：（2）求直线AB 方程：（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，问A 、B 、C 、D 四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．【答案】（1）2212y x -=（2）1y x =+（3）略【解析】(1)依题意得c ce a ⎧=⎪⎨==⎪⎩,解得1a =.所以222312b c a =-=-=,故双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.两式相减得:()()()()1212121212x x x x y y y y -+=-+,由题意得121212,2,4x x x x y y ≠+=+=,所以()1212121221x x y y x x y y +-==-+,即 1.AB k =故直线AB 的方程为1y x =+.11(3)假设A B C D 、、、四点共圆,且圆心为P .AB 为圆P 的弦,所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上,又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ,圆心P 为CD 中点M .下面只需证CD 的中点M 满足MA MB MC MD ===即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得:()1,0A -,()3,4B .由(1)得直线CD 方程:3y x =-+,由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:(3C -+(63D ---+,()3,6CD M ∴-⋅的中点2,MA MB MC MD MA MB MC MD ======∴=== 即A B C D 、、、四点在以点()3,6M -为圆心,为半径的圆上.21．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．12【答案】（1）2214x y +=（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】(1)设()()00,,,W x y D x y ,则()()00,0,0,A x B y ,由题意知1AB =,所以WA AB = ,得()()000,,x x y x y --=-,所以00,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩因为22001x y +=,得2214x y +=,故曲线C 的方程为2214x y +=.(2)由题意可知,直线12,l l 不平行坐标轴,则可设1l 的方程为:2x my =-,此时直线2l 的方程为12x y m=--.由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得:()22440m y my +-=,解得:244m y m =+或0y =(舍去),所以222428244m m x m m m -=⋅-=++,所以222284,44m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,同理可得:222284,4141m m N m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.①当1m ≠±时,直线MN 的斜率存在,13()222224222244455556441,:,2828161644445441MN MN m m m m m m m m k l y x m m m m m m m ++⎛⎫++====+ ⎪-----⎝⎭-++所以直线MN 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.②当1m =±时,直线MN 斜率不存在,此时直线MN 方程为:65x =-,也过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭,综上所述:直线MN 过定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭.(3)存在点。

上海交大附中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

上海交通大学附属中学2023-2024学年度第二学期高二数学期中考试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设函数()()sin 12f x x =+，则()f x ′=__________.2.4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）3.设事件A B ､是互斥事件，且()()14P A P B ==，则()P A B ∪=__________. 4.已知函数()2ln f x ax x =+的导函数()f x ′满足()13f ′=，则a 的值为__________. 5.若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是__________. 6.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，每门课都要开，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为__________.7.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是__________.8.某篮球运动员的罚球命中率为80%，假设每次罚球的结果是独立的，则他在3次罚球中至少进1球的概率是__________.9.设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x ′为其导函数，()20240f =，当0x >时，有()()xf x f x ′>恒成立，则不等式()0xf x >的解集为__________.10.小张一次买了三电冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一电只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）11.为庆祝70周年校庆，学校开设A B C ､､三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､已六位同学题名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有__________种.12.设点P 在曲线()Γ:ln 22x y x =+上，点Q 在直线:1l y x =−上，平面上一点M 满足13QM MP = ，则M 到坐标原点O 的距离的最小值为__________.二､题题题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.13.抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（）A.大量的试验中，出现正面的频率为0.5.B.不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5C.试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5D.试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.514.某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）A.47CB.48CC.49CD.48P15.抛一枚骰子，记事件A 表示事件“出现奇数点”，事件B 表示事件“出现4点或5点”，事件C 表示事件“点数不超过3”，事件D 表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A 与B 是独立事件；②事件B 与C 是互斥事件；③事件C 与D 是对立事件；③D A B ⊆∩；其中正确的结论是（）A.①②B.②③C.③④D.①④16.对于函数()y f x =和()y g x =，及区间D ，若存在实数k b ､，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x D ∈恒成立，则称()y f x =在区间D 上“优于”()y g x =.有以下两个结论：①()2log f x x =在区间[]1,2D =上优于()2(1)g x x =−； ②()32f x x =+在区间[]1,1D −上优于()e x g x =.那么（）A.①､②均正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①､②均错误三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，D 是AC 的中点.（1）证明：1AB ∥平面1BC D .（2）若1,90,45AB BC ABC B AB ∠∠===，求二面角11B C D B −−的余弦值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()22ln f x a x x ax =−+−. （1）当3a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间[]1,e 上恰有一个零点，求a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为p ，乙同学答对每题的概率均为()q p q >，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同题答题的概率为12，恰有一人答对的概率为512. （1）求p 和q 的值；（2）设事件i A =“甲同学答对了i 道题”，事件i B =“乙同学答对了i 道题”，其中0,1,2i =，试求甲答对的题数比乙多的概率.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知12PF F1213F PF ∠=.如图，,,M NG 是椭圆上不重合的三个点，原点O 是MNG 的重心.（1）求椭圆C 的方程；（2）求点M 到直线NG 的距离的最大值；（3）判断MNG 的面积是否为定值，并说明理由.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()e 2e x x f x a −=++.（1）若直线3y x =+是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（2）若()21f x x x ≥−+对任意实数x 恒成立，求a 的取值范围；（3）若12e e 3x x +=，且()()()12123f x f x x x k ⋅≥++，求实数k 的最大值.。

2022-2023学年上海交通大学附属中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年上海交通大学附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】①②③④均可举出反例.【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；ABB A与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；②如图2，满足两侧面11③如图3，四边形11ACC A 为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A2．已知z 均为复数，则下列命题不正确的是（） A ．若z z =则z 为实数B ．若20z <，则z 为纯虚数C ．若|1||1|z z +=-，则z 为纯虚数D ．若31z =，则2z z =【答案】C【分析】设复数(,)z a bi a b R =+∈，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案.【详解】由题意，设复数(,)z a bi a b R =+∈，对于A 中，由z z =，即a bi a bi +=-，解得0b =，所以复数z 为实数，所以A 正确；对于B 中，复数2222z a b abi =-+，因为20z <，可得00a b =≠，，所以复数z 为纯虚数，所以是正确的；对于C 中，当0z =时，满足|1||1|z z +=-，所以复数z 不一定为纯虚数，所以不正确；对于D 中，由31z =，可得310z -=，即2(1)(1)0z z z -++=，解得1z =或132z =-，所以2z z =，所以是正确的. 故选C.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．如果函数()f x 的定义域为[,]a b ，且值域为[(),()]f a f b ，则称()f x 为“Ω函数”.已知函数25,01,()4,14x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则m 的取值范围是（）A ．[4,9]B ．[5,9]C ．[4,)+∞D ．[5,)+∞【答案】B【分析】根据函数的新定义得到()()min f x f a =且()()max f x f b =，结合函数()f x 和二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为[,]a b ，且值域为[(),()]f a f b ，即函数()f x 的最小值()()min f x f a =，最大值为()()max f x f b =，又由函数25,01()4,14x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，当01x ≤≤时，可得055x ≤≤，要是函数()f x 满足新定义，则满足()520(4)5f f ⎧≥≥⎨≥⎩，即94{5m m ≥≥≥，所以59m ≤≤，所以实数m 的取值范围是[5,9]. 故选：B.4．一个棱长为1的正方体容器ABCD EFGH -，在八个顶点处分别有一个出口（出口大小忽略不计）.现从A 点放入一个粒子.粒子沿着直线运动，碰到容器壁会进行反射（遵循反射定律），遇到出口就会飞出容器.已知粒子在飞出容器前与容器壁产生了三次碰撞（粒子未与棱产生碰撞），则粒子在容器内的飞行距离有（）种不同的值 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用正方体的对称性，根据粒子碰撞次数可分别从{,,}C H F 、{,,}B E D 射出，进而判断各情况粒子在容器内的飞行距离，即可得结果. 【详解】根据正方体的对称性，如下图示，粒子从A 射出在EG 、AC 各碰撞2次、1次后，从C 点射出；粒子从A 射出在BG 、AH 各碰撞2次、1次后，从H 点射出；粒子从A 射出在DG 、AF 各碰撞2次、1次后，从F 点射出；以上三种情况粒子在容器内的飞行距离相同为32；粒子从A 沿平面ABCD （平面ABFE ）射出在平面边缘靠近DC （EF ）、AB 各碰撞2次、1次后，从B 点射出；粒子从A 沿平面AEHD （平面ABFE ）射出在平面边缘靠近DH （BF ）、AE 各碰撞2次、1次后，从E 点射出；粒子从A 沿平面ABCD （平面AEHD ）射出在平面边缘靠近BC （EH ）、AD 各碰撞2次、1次后，从D 点射出；17. 综上，粒子在容器内的飞行距离共有2种不同值. 故选：B二、填空题5．已知球的表面积为π，则其体积为______. 【答案】6π【分析】由球的表面积公式与体积公式求解【详解】由题意得24r ππ=，12r =，则3436V r ππ== 故答案为：6π6．若圆锥高为3，且母线与底面所成角为4arccos 5，则该圆锥的侧面积为______.【答案】20π【分析】由题意求出底面半径，进而求母线长、底面周长，应用扇形面积公式求圆锥侧面积.【详解】若底面半径为r45=，可得4r =，所以，底面周长为2π8πr =5，故圆锥侧面积为18π520π2⨯⨯=.故答案为：20π7．若{},A B a b ⋂=，{},,,A B a b c d ⋃=，则符合条件的不同有序集合对(),A B 共有______对. 【答案】4【分析】根据给定条件，列举出集合A 与B 的可能结果即可作答.【详解】因{},A B a b ⋂=，{},,,A B a b c d ⋃=，则有：{,},{,,,}A a b B a b c d ==； {,,},{,,}A a b c B a b d ==；{,,},{,,}A a b d B a b c ==；{,,,},{,}A a b c d B a b ==，所以符合条件的不同有序集合对(),A B 共有4对. 故答案为：48．已知A 、B 、C 是ABC 的内角，若()()1cos i sin cos i sin 2A A B B +⋅+⋅=，其中i 为虚数单位，则C 等于______. 【答案】2π3##120° 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等，得到方程组，再根据两角和的正弦、余弦公式计算可得. 【详解】由()()cos i sin cos i sin cos cos sin sin i(sin cos cos sin )A AB B A B A B A B A B +⋅+⋅=-++cos()isin()A B A B =+++12=+，所以()1cos 2A B +=，()sin A B +=，因为()0,πA B +∈，所以π3A B += 所以()2ππ3C A B =-+=. 故答案为：2π39．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法【答案】12【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况.【详解】从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况，所以，所有共面的情况有2438=⨯种，而每条棱均重复计数一次，综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有24122=种. 故答案为：1210．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 的最短路线的长为___________. 【答案】10【分析】将三棱柱的侧面展开两次，结合矩形的对角线长，进而求得最短距离，得到答案. 【详解】将正三棱柱111ABC A B C 的侧面展开两次，再拼接到一起，其侧面展开图，如图所示的矩形，连接1AA ，因为正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为6，高为8，所以2216810AA =+=. 故答案为：10.11．平行六面体1111ABCD A B C D -，11BAD BAA A AD θ∠=∠=∠=，11AB AD AA ===，若12AC =，则cos θ=______.【答案】16【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有11AC AD AA AB =++，应用向量数量积的运算律、定义列方程即可求cos θ.【详解】如上图知：11AC AD AA AB =++，所以22221111222AC AD AA AB AD AA AD AB AD AA =+++⋅+⋅+⋅36cos 4θ=+=，故1cos 6θ=. 故答案为：1612．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______【答案】124【详解】试题分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4，又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=13S △ADE•h/S △ABC•H ＝124=1：24【解析】棱柱、棱锥、棱台的体积13．若对于定义在R 上的函数()y f x =，当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得()()f x f x -=，则称()y f x =为类偶函数，若函数()324y x a x a =+--为类偶函数，则实数a 的取值范围为______.【答案】()2,2-【分析】根据已知条件及类偶函数的定义，将问题转化为方程有解问题，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由()()f x f x -=，得()()323244x a x a x a x a ----=+--，即()3240x a x +-=，根据类偶函数的定义，可知方程()3240x a x +-=存在有限个非零的实数解，故()224a x -=-存在有限个非零的实数解，则240a -<，解得22a -<<，所以实数a 的取值范围为()2,2-. 故答案为：()2,2-.14．如图，函数()()3sin 0,02πy x ωϕωϕ=+>≤<图像与y 轴交于点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，与x 轴交于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则ωϕ+=______.【答案】2π23+【分析】由题意得2π3ϕ=或π3ϕ=，且2ππ3k ωϕ+=，Z k ∈，结合图象有32π1432T T >>求ω范围，即可确定参数值.【详解】由题设3322πsin()03ϕωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且0,02πωϕ>≤<，所以2π3ϕ=或π3ϕ=，且2ππ3k ωϕ+=，Z k ∈，当2π3ϕ=时，2π2ππ33k ω=-，Z k ∈，故312kω=-，Z k ∈，当π3ϕ=时，2πππ33k ω=-，Z k ∈，故312k ω-=，Z k ∈，由图知：33π2π1π4232T T ωω=>>=，可得3924ω<<，综上，2k =时32122ω⨯=-=，此时2π3ϕ=，故ωϕ+=2π23+. 故答案为：2π23+15．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为 1.52cos y x =+.则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是______.【答案】63【分析】根据已知画出 1.52cos y x =+在[π,π]-上的图象，直观想象侧面展开图与几何体的关系确定截面最高、低高度差及底面半径，即可求二面角正弦值.【详解】由 1.52y x =在一个周期[π,π]-上图象如上图，其最大值与最小值相差2222 底面周长为2π，即底面半径为1，故直径为2， 22226(22)2=+. 616．定义在R 上的函数()y f x =、()y g x =，且满足()()()()1212f x f x g x g x -≥-对任意12,R x x ∈恒成立，请判断以下命题：（1）若()y f x =是周期函数，则函数()y g x =也是周期函数；（2）若()y f x =是偶函数，则函数()y g x =也是偶函数；（3）若()y g x =是R 上的严格增函数，则函数()y f x =是R 上的严格增函数或者严格减函数；（4）若()y f x =是R 上的增函数，则函数()()y f x g x =+与函数()()y f x g x =-也都是R 上的增函数.其中真命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）令1x x T =+，2x x =代入条件即可判断；（2）令1x x =-，2x x =代入条件即可判断；（3）（4）令1x >2x ，根据函数的单调性定义判断正误即可.【详解】（1）若()y f x =是周期为T 的函数，则()()f x f x T =+，令1x x T =+，2x x =，故|()()|0f x T f x +-=|()()|g x T g x ≥+-，所以|()()|0g x T g x +-=，即()()g x T g x +=；（2）若()y f x =是偶函数，则()()f x f x -=，令1x x =-，2x x =，故|()()|0f x f x --=|()()|g x g x ≥--，所以|()()|0g x g x --=，即()()g x g x -=；（3）若()y g x =是R 上为增函数，令1x >2x ，则1212()()()()0f x f x g x g x -≥->，所以1212()()()()0f x f x g x g x -≥->，或1221()()()()0f x f x g x g x -≤-<，即12()()f x f x >或12()()f x f x <，故()y f x =是R 上的严格增函数或者严格减函数；（4）()y f x =是R 上的增函数，令1x >2x ，则1212()()|()()|f x f x g x g x -≥-，所以121221()()()()()()f x f x g x g x f x f x -≥-≥-，即1122()()()()f x g x f x g x -≥-，故()()y f x g x =-为增函数或为常数函数； 1122()()()()f x g x f x g x +≥+，故()()y f x g x =+为增函数或为常数函数；综上，（1）（2）（3）正确，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）三、解答题17．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为3cm ，高为3cm ，M 、N 、P 分别是1AA 、AC 、11B C 的中点.(1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）； (2)在（1）中作出过M 、N 、P 三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）. 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析.【分析】（1）利用斜二测法画出棱柱底面111A B C 的直观图，再根据斜二测画图的原则确定,,A B C 三点，即可得直观图；（2）应用平面的基本性质画出截面即可.【详解】（1）①平面直角坐标系中作边长为3cm 的等边三角形111A B C ，原点O 为11A B 中点，如下图，②在线段1OC 上找到中点Q ，过O 作与x 轴成45°的y '轴，并在y '轴找点1C 使1OC OQ =，此时直观图底面111A B C 确定；③过111,,A B C 向上作与x 轴垂直的射线，并在各射线上找一点,,A B C 使1113A A B B C C ===cm ，连接,,AB BC BA ，即得正三棱柱的直观图.（2）①过MN 作直线分别交射线111,C A C C 于,E D ，连接,EP DP ，分别交11,A B BC 于,G F ，②连接,MG NF ，则截面FNMGP 即为所求.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，2AD =.点M 为BC 的中点.(1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ； (2)求点B 到平面PAM 的距离. 【答案】(1)证明见解析； 7.【分析】（1）由线面垂直性质得PD AM ⊥，根据已知可证BD AM ⊥，再应用线面、面面垂直的判定证结论；（2）AM 与BD 交于点E ，连接PE ，过点B 作BH 垂直于PE 交其于点H ，由面面垂直的性质有BH ⊥面P AM ，即BH 的长为B 到面P AM 的距离，等面积法求长度即可. 【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PD AM ⊥.底面为矩形，且1PD DC ==，2AD =，则tan 2cot AD ABABD BAM AB BM∠====∠，所以Rt △ABD Rt △BMA ，易知BD AM ⊥.又PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ，而AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）设AM 与BD 交于点E ，连接PE ，过点B 作BH 垂直于PE 交其于点H ，由①知，面PAM ⊥面PBD ，面PAM ⋂面PBD PE =，BH PE ⊥且BH ⊂面PBD ，因此BH ⊥面P AM ，线段BH 的长为点B 到平面P AM 的距离.由1122PEB S BE PD PE BH =⋅⋅=⋅⋅△，解得7BH =因此点B 到平面P AM 719．已知数列{}n a 和{}n b 有11a =-，()1122n n n a a n a --=≥-，而数列{}n b 的前n 项和2322n n n B =+.(1)证明数列{}n c 为等比数列，其中1nn n a c a =-；(2)如果n n n d b c =⋅，试证明数列{}n d 的单调性. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）根据给定的递推关系，结合等比数列定义计算判断作答.（2）由（1）求出数列{}n c 的通项，再求出数列{}n b 的通项，利用作差法比较1,n n d d +大小作答. 【详解】（1）数列{}n a 中，当2n ≥时，111222122n n n n a a a a ----+==-+--，因11a =-，有210a -<<，3(1,0)a ∈-，由此可得(1,0),2n a n ∈-≥，而1nn n a c a =-，于是得111111121111222112n nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a c a a a a a a a a a c a a a a a a a +++++-----==⋅=⋅=⋅=-----，而111112a c a ==-，所以数列{}n c 为以12为首项，以12为公比的等比数列. （2）由（1）知，1111()()222n nn c -=⋅=，当2n ≥时，2213(1)3(1)12222n n n n n n n b B B n ---=-+--=+=，112b B ==满足上式，因此1n b n =+，则12n n n d +=，有111210222n n n n n n n n d d +++++--=-=<，即1n n d d +<，所以数列{}n d 为严格递减数列.20．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：①对()0,x ∈+∞，恒有()()22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-. (1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和. 【答案】(1)0；(2)()12n f x x +=-，(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈；(3)5123.【分析】（1）根据给定的函数关系，依次计算即可作答. （2）根据给定的关系，分1x >和01x <≤求解作答. （3）由（2）求出方程()12f x x =在(12,2n n +⎤⎦上的根，再探讨n 的取值，利用无穷等比数列求和公式计算作答.【详解】（1）依题意，()0,x ∈+∞，有()()122f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-， 2341111111()()()(1)(2)08242222f f f f f =====. （2）当1x >时，(12,2k k x +⎤∈⎦，N k ∈，(]1,22kx∈，则()2122222222222k k k k kx x x x f x f f f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当1x ≤时，(12,2k k x --+⎤∈⎦，N k ∈，1k ≥，(]21,2kx ∈，则()()()()()212112222222222k k k k k f x f x f x f x x x ---+===⋅⋅⋅==-=-，综上，对任意(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈，()12n f x x +=-. （3）由（2）知，当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈，()1122n f x x x +=-=，解得(1124222,233n n n n x ++⎤=⋅=⋅∈⎦，因此在每一区间(12,2n n +⎤⎦，Z n ∈段上方程都有唯一解，由421003n⋅≤解得2log 757n ≤<，于是得6n ≤，从而方程所有不大于100的解从大到小分别为：651244442,2,,2,2,3333--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，形成一个以12为公比的无穷等比数列，则其所有项的和为69422512313312⋅==-，所以方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和5123.【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.21．如果实数[],,02πx y ∈，且满足()cos cos cos x y x y +=+，则称x 、y 为“余弦相关”的. (1)若π2x =，请求出所有与之“余弦相关”的实数y ； (2)若两数x 、y 为“余弦相关”的，求证：3ππx y ≤+≤；(3)若不相等的两数x 、y 为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数[]02,πz ∈，使得x 、z 为“余弦相关”的，y 、z 也为“余弦相关”的. 【答案】(1)34πy =或7π4；(2)证明见解析； (3)证明见解析.【分析】（1）将π2x =代入已知条件求得tan 1y =-，即可得实数y ；（2）先应用反证法证明πx y +≥，再根据定义证2πx -，2πy -也是余弦相关的，结合前一结论证3πx y +≤，即可；（3）先证存在性：记3πz x y =--，易得()cos cos x z y +=-、cos cos cos x z y +=-，即得x ，z 为“余弦相关”的，同理证y 、z 也为“余弦相关”的；再证唯一性：x ，y ，z 中任意两个数灯“余弦相关”的，得到三角方程()cos cos cos t z t z +=+，应用三角恒等变换、正弦型函数的性质，将问题化为cos sin 22sin 2z z t z ⎛⎫+=⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭在()0,2π内两个不同的解x 和y ，得到3πz x y =--即可.【详解】（1）将π2x =代入得2πcos cos y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin cos y y -=，故tan 1y =-，又[]2π0,y ∈，则34πy =或7π4.（2）已知[],,02πx y ∈满足()cos cos cos x y x y +=+. 先证πx y +≥：若πx y +<，由余弦函数单调性知：()cos cos x y x +≤，从而()cos cos cos 0y x y x =+-≤，故π2y ≥，同理π2x ≥.相加得：πx y +≥与假设矛盾，故πx y +≥. 再证3πx y +≤：易知2πx -，[]2π0,2πy -∈，()()()()cos 2π2πcos cos cos cos 2πcos 2πx y x y x y x y -+-=+=+=-+-，故2πx -，2πy -也是余弦相关的.从而利用以上结论，有()()2π2ππx y -+-≥，即3πx y +≤. 综上，3ππx y ≤+≤.（3）证存在性：记3πz x y =--，由（2）知[]02,πz ∈，而()()3cos cos πcos x z y y +=-=-，且()()cos cos cos cos 3πcos cos cos x z x x y x x y y +=+--=-+=-.从而()cos cos cos x z x z +=+，故x ，z 为“余弦相关”的，同理，y 、z 也为“余弦相关”的. 证唯一性：x ，y ，z 中任意两个数灯“余弦相关”的，代入检验易知x ，y ，z 均不为0和π，故(),,0,2πx y z ∈. 注意到()cos cos cos x z x z +=+，()cos cos cos y z y z +=+，x y ≠ 固定z ，引入关于t 的三角方程()cos cos cos t z t z +=+.移项，和差化积，得2sin sin cos 22z z t z ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而cos sin 22sin 2z z t z ⎛⎫+= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，其中()0,π2z ∈，x 和y 为该方程在()0,2π内两个不同的解.利用()sin 2z f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,2πt ∈内图象知，x 和y 关于函数在()0,2π内的一条对称轴对称.注意到(),2π0,3π222z z z t ⎛⎫+∈+⊂ ⎪⎝⎭，故对称轴可能π22zt =-或3π22z -或5π22z -. 从而πx y z +=-或3πz -或5πz -.由（2），[]π,3πx y +∈，而()0,2πz ∈，故ππz -<，5π3πz ->. 从而只能是3πx y z +=-，即3πz x y =--.【点睛】关键点点睛：第二问，根据新定义求证不等式关系，注意反证法的应用；第三问，记3πz x y =--并从存在性、唯一性两方面证明结论.。

上海市交大附中2018~2019学年度高二下期中数学考试卷(图片版)

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽审核：杨逸峰一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1、如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定个平面．答案：12、【2017高考上海，4】已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于.【答案】9π【解析】设球的半径为R ，则：34363R ππ=，解得：3R =，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：29S R ππ==.3、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a =．【答案】4【解析】236444a a a ⋅=⇒=⇒=4、【2017高考上海，7】如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC的坐标是.【答案】()4,3,2-【解析】将向量1AC的起点平移至点D ，则平移后的向量与向量1DB 关于平面11CDD C 对称，据此可得：()14,3,2AC =-.5、【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos3.6、【2013上海文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r＝______.【解析】由题知，tan63r l π==⇒l r =.7、已知ABC ∆三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为__________（写出所有可能值）答案：0，2，4。

8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动,则DC AP ⋅的取值范围是______________．【答案】【解析】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．，，故答案为．9、【2010上海理12，倒数第3题】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；【答案】3【解析】在折叠过程中OC OB ⊥，OD OA ⊥始终没有改变，所以最后形成的四面体()A B CDO -中，OA ⊥底面CDO ，故其体积21182(22)22323V =⨯⨯⨯=，故答案为：823.10、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则34x y +的最大值为．【答案】55试题分析：由图可知，根据三视图得到三棱锥OABC 如图，OC=2，AC=y，BC=1，在OAC Rt ∆中，24y OA -=，2225y BC OA x -=+=，即522=+y x ，三角换元（或者称利用圆的参数方程）设5cos ,5sin x y θθ==，故3455cos()55x y θϕ+=+≤。

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上海交通大学附属中学09-10学年高二上学期期中考试数学试卷（本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟，答案一律写在答题纸上）命题：李嫣审核：杨逸峰校对：冼巧洁一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。

1.在数列21121,0,,,,,98n n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，225是它的第_________项。

2.方程22310x x -+=两根的等比中项是___________。

3．ABC ∆中，AB BC CA ++=_______________。

4．已知21110011(2)101n m n n n a n n -⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪+>⎪⎩（正整数m 为常数），则lim n n a →∞= 。

5. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k =_________。

6. 在1，2之间插入n 个正数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等比数列，则123n a a a a ⋅⋅⋅=_________。

7. 给出以下命题（1）若非零向量a 与b 互为负向量，则//a b ；（2）0a = 是0a =的充要条件；（3）若a b = ，则a b =± ；（4）物理学中的作用力和反作用力互为负向量。

其中为真命题的是___________________。

8．有纯酒精20升，倒出3升后，以水补足20升，这叫第一次操作，第二次操作再倒出3升，再以水补足20升，如此继续下去，则至少操作______次，该酒精浓度降到30%以下。

9.设111()123f n n=+++⋅⋅⋅+，那么1(2)(2)k k f f +-=_____________________。

10. 已知数列{n a }的前n 项和S n =n 2-9n ，若它的第k 项满足5<a k <8，则k= 。

11．设数列{a n }是首项为50，公差为2的等差数列；{b n }是首项为10，公差为4的等差数列，以a k 、b k 为相邻两边的矩形内最大圆面积记为S k ，若k ≤21，那么S k 等于______________12．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所有可能的取值为______________。

二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。

13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（） A ．215a a + B ．215a a ⋅ C ．2916a a a ++D ．2916a a a ⋅⋅14．在等比数列{a n }中，首项a 1<0，则{a n }是递增数列的充要条件是公比q 满足（） A ．q >1 B ． 0<q <1 C ．q <1 D ．q <015．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是（） A ．11a B.10a C.9aD.8a16．一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线11223CA A A A A 、、分别以AB C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得曲线A12332313n n n CA A A A A A -- 的总长度n S 为（）A ．(31)n n π+B ．(1)3n n π+ C ．2(31)n π- D ．(1)n n π+三、解答题（本大题满分52分，8+8+12+12+12）本大题共有5小题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17.在2与9之间插人两个数，使前三项成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列。

18.已知数列{}n a 的通项公式313n a n =-，求数列{}n a 的前n 项和n H 。

19．等比数列{}n a ，0n a >，它的前k 项和80k S =，123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅中最大的一项是54，且前2k 项的和26560k S =。

求：（1）数列的通项()n a f n =；（2）lim nn na S →∞20. 设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项的和为n S ，并且对于所有的自然数n ，存在正数t ，使n a 与t 的等差中项等于n S 与t 的等比中项．（1）求 {}n a 的通项公式；（2）若n=3时，2n n S t a -⋅取得最小值，求t 的取值范围。

21.已知函数1(),(,)f x x R xa∈≠满足()(),(0)a x f x abx f x a ⋅⋅=+≠，(1)1,f =若使()2f x x =成立的x 只有一个:（1）求()f x 的解析式；（2）若数列{}n a 满足*1121,(),1,()3n n n na a f ab n N a +===-∈，证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，证明1122112n n na b a b a b ++⋅⋅⋅+<-上海交通大学附属中学2009-2010学年度第一学期高二数学期中试卷本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上命题：李嫣审核：杨逸峰校对：冼巧洁一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。

1.在数列21121,0,,,,,98n n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，225是它的第____10______项。

（练习册p1（2）） 2.方程22310x x -+=两根的等比中项是___2±。

（一课一练p15(7)） 3．ABC ∆中，AB BC CA ++ =_______0________。

4．已知21110011(2)101n m n n n a n n -⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪+>⎪⎩（正整数m 为常数），则lim n n a →∞= 2m；5. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k =____4______。

6. 在1，2之间插入n 个正数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等比数列，则123n a a a a ⋅⋅⋅=____22n_____。

其中为真命题的是_____（1）（2）（4）__________8．有纯酒精20升，倒出3升后，以水补足20升，这叫第一次操作，第二次操作再倒出3升，再以水补足20升，如此继续下去，则至少操作___8___次，该酒精浓度降到30%以下。

9.设111()123f n n =+++⋅⋅⋅+，那么1(2)(2)k k f f +-=111121222k k k +++⋅⋅⋅+++（一课一练p34（8））10. 已知数列{n a }的前n 项和S n =n 2-9n ，若它的第k 项满足5<a k <8，则k= 8 。

11．设数列{a n }是首项为50，公差为2的等差数列；{b n }是首项为10，公差为4的等差数列，以a k 、b k 为相邻两边的矩形内最大圆面积记为S k ，若k ≤21，那么S k 等于2(23)k π+12．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__4，5，32________。

13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（ C ） A ．215a a + B ．215a a ⋅ C ．2916a a a ++ D ．2916a a a ⋅⋅ 14．在等比数列{a n }中，首项a 1<0，则{a n }是递增数列的充要条件是公比q 满足（ B ） A ．q >1 B ． 0<q <1 C ．q <1 D ．q <015．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是（ A ） A ．11a B.10a C.9a D.8a 16．一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线11223CA A A A A 、、分别以AB C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得曲线1233231n n nC A A A AAA-- 的总长度n S 为（ A ）A ．(31)n n π+B ．(1)3n n π+ C ．2(31)n π- D ．(1)n n π+ 三、解答题（本大题满分52分，8+8+12+12+12）本大题共有5小题，解答下列各题必须写出必要的步骤。