微分方程的应用

占的比例为 S/N 。
因此，每一个患者对易感者的平均有效接触率应为，
CN S
N 它就是每一个hiv携带者平均对易感者的传播率，简称为传染率。 假设hiv携带者的总数量为，从而在单位时间内被所有患者传染 的新成员数为：
CN S H
N
模型分析(IV)
2、艾滋病通过毒品注射的传播：
7、不考虑该国的迁入和迁出人口，因为这些人口相对于 国家的总人口是很小的，以便简化模型。
符号说明(I)
符号说明的基本要求：
确保符号完整无遗漏； 定义准确无误； 格式优美。
写作者可参考往年outstanding文章中符号说明部分的 格式。
S 1
符号说明(II)
符号
S S1 S2 H H1 H2 N A
任务描述
任务2：估计所选定国家中，从2006年到2050年 每年对抗艾滋病所需的国际支援的水平，利用 这些财政资源和任务1中建立的模型来预测在所 选定的国家中，从2006年到2050年，在下面三种 情况下艾滋病感染者数量的变化率。
（1）实施抗逆转录酶(ARV)药物治疗 （2）注射抗艾滋病毒疫苗
（3）实施抗逆转录酶药物治疗和注射疫苗
80
60
age 0-48 age 49-70 exponential fit 1 (line 1) exponential fit 2 (line 2)
40
20
0
0
10 20 30
40
50
60
70 age
Figure *. A exponential fit of the elephant population of each age set.
模型假设(I)
模型假设的基本要求：
要求一：恰如其分（不能与常识公理现有成熟理论 相违背）；
要求二：要自圆其说（每个模型都有不足与缺点 需要大胆假设且要在合理假设下严密论证 自己结论使自己结论合理化）；
要求三：假设要明确，切不可模棱两可让评委有歧义。
模型假设(II)
本题的模型假设：
1、艾滋病人不可能被治愈；
图示如下：
合理性分析(V)
0.8
0.502
0.6
0.502
0.4
0.5019
0.2
0.5019
0
0.5018
0
1000
2000
1000
1500
0.5019 0.5019 0.5019 0.5019 0.5019
2000 1400 1600 1800 2000
proportions of HIV carriers to total population
合理性分析(IV)
这是因为种群数量超过了环境的承载能力．但是为什么当种群 数量达到环境承载能力时，它不立即停止增长以至于超过了环 境的承载能力呢？为了对这个问题作出解释，我们引入人口惯 性的概念．所谓人口惯性就是人口抵抗自身变化的趋势。正是 由于人口惯性的存在，当群数量达到环境承载能力时，种群数 量增长不会立即停止，而是在一个稳定值周围以罗杰斯迪曲线 的速率来回摆动，正如物理学中波的传播．
2006ICM
题 目： 如何在抵抗艾滋病的过程 中均衡利用资源。
总任务：为艾滋病的几种重要情况建 立模型，并根据你的模型给出财政资 源的分配方案。
任务描述
任务1：在每个大洲中选取一个艾滋病病情严重的 国家，建立模型，未来50年中，预测在没有任何 干预措施的情况下你所选定的国家中艾滋病感染 者的数量的变化率。并对模型及模型假设作详细 的解释。
birth
Pinfection


定义
艾滋病易感人群的数量； 艾滋病易感且不吸毒人群的数量； 艾滋病易感且吸毒人群的数量； 艾滋病携带者数量; 携带艾滋病且不吸毒人群的数量； 携带艾滋病且吸毒人群的数量； 该国人口数量； 艾滋病患者的数量； 该国人口的出生率； 艾滋病携带者占总人口的比例； 每人每次性交感染艾滋病的概率； 从S1到S2通过毒品注射的转化率；
1 N
H H S


dH dt
1
birth Npinfection 30% C
N
S1
1 N
H H S
vH1
dH H1
dH 2

dt
S2
1 N
H2
CN S2
1 N
H S
dHH2
vH2
dA dt

vHΒιβλιοθήκη d合理性分析(I)
对自己的结果自圆其说重中之重！ 技巧：用已有的比较成熟的结论来佐证自己的结论。 本问题的合理性分析如下：
合理性分析(II)
在传染病生物学中，人们关心的已感人群和易感人群的 变化，在艾滋病传染模型中，我们关心的是HIV易感人群和 HIV携带者数量的变化趋势。
通过研究我们发现，HIV携带者占总人口的比例随着时间 的变化最后趋于稳定，如下图：
符号说明(III)
符号
定义
S 2H 2
dS dH dA
A
C(N)
H S
v

单位时间内一个人通过吸毒感染艾滋病的概率；
S中的人口的死亡率； H中的人口的死亡率； A中人口的自然死亡率； A中艾滋病造成的死亡率；
一名艾滋病携带者在单位时间内与S人群中的 人发生性交的次数，一般与总人口N有关。 H中人口占总人的比例； S中人口占总人的比例； H到A的转化率； 该国家单位时间内的人口增量；
birth N Pinfection
模型建立
dS1

dt
birth N 1
pinfection 30%
S1
dS S1 C
N
S1
1 N
H H S
dS 2 dt
S1
dSS2
S2H2 S2
1 N
H2
CN S2
合理性分析(VI)
由于这种摆动的幅度越来越小，所以在稳定期的后期， 它可以被忽略．这也就是稳定期存在的原因．
在自然界中实事也确实如此，就以罗杰斯地曲线为例当种 群数量一开始无论是增长还是减少的变化率在一开始时却都是 很慢的，随后才慢慢增大的，这就好比用一个外力在拉一个静 止的物体，物体的速度也是由慢到快增长的，并且物体的运动 方向是与外力同方向的。那么在种群变化中是谁扮演了外力的 角色，我们队伍经过讨论认为应当是环境能够承载此物种数量 的上限扮演了这种外力，当环境能够承载此物种数量的上限大 于物种现有的数量时物种的数量会增大，环境能够承载此物种 数量的上限小于物种现有的数量时物种的数量会减小。但是按 照达尔文的进化理论物种应当都是希望能够壮大自己的数量好 保存自己在自然界中竞争的实力，
问题分析
预测在数学上的几类方法：
第一类：分形、灰度、马尔科夫、时间序列，适用 于短期预测，对历史数据量的要求比较大。
第二类：根据已有大量数据用toolbox工具箱画图 通过对数据的图像走势分析进行预测，适 用于长期预测，对历史数据量的要求比较 大。
第三类：微分方程法适用于短期预测和长期预测， 且对历史数据量要求不高，既可定性又 可定量分析问题，但是对模型准确度要 求高，稍有误差将导致预测结果不准确。
用 S 2I 2 表示在单位时间内S2类成员与H2 类成员之间的转
化率，则单位时间内从S2类转化到H2类的总数为：
S 2I 2

S2 N

H2
无吸毒习惯的易感人群可以间接向有吸毒习惯的hiv携带 者转化，因为无吸毒习惯的易感人群可以先变为有吸毒习惯
易感人群再变为有吸毒习惯的hiv携带者，用 表示从S1类
转变到S2类的转化率则单位时间内从S1类转变到S2类的总数 为:
S1
模型分析(V)
3、艾滋病通过母婴的传播：
我们知道如果一位母亲是hiv携带者那么她的孩子将有 百分之30的概率在出生时已经成为hiv携带者[China HIV/AIDS information network 2006]，用Pinfection表示艾滋病携带者占 总人口的比例，则每年hiv携带者自己繁殖出的携带者数量为：
A


A
A
模型求解(I)
模型结果大多用图来描述，一幅好图胜过千言万语。 图的要求：自明。
举例1：
fig* Proportions of population of each age group of elephants.
模型求解(II)
举例2：
Population of
100 each age set
2、忽略艾滋病的具体分类；
3、艾滋病人丧失大部分常人所具有的能力，如：性能力， 所以我们假设他们不能传播艾滋病；
4、只考虑三种传播艾滋病的方式：性交传播，毒品注射 传播，母婴传播。忽略其他传播方式；
模型假设(III)
5、我们不考虑吸毒者戒毒的情况，以简化艾滋病传播过 程的复杂度；
6、吸毒传播的渠道只能是从有吸毒习惯的易感人群中直 接转变到有吸毒习惯的hiv携带者；
0.5019
0.5019
0.5019 0.5019
0.5019 0.5019 0.5019
0.5019 1800
1850
1900
1950
0.5019
2000
1990 1992 1994 1996 1998 2000
time(year)
Figure 10 The curves of oscillating convergence in the stable phas。
任务描述
任务3：重新阐述任务2中建立的3个模型，把抗 药性的产生考虑在内。
任务4：写一份白皮书给联合国，在以下三个方 面提出建议