高中数学《必修3》算法初步-算法与程序框图
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(1)当型循环是先判断后执行；直到型循环是先执行后判断.
(2)对同一个算法而言， 当型循环和直到型循环的条件相反
4.了解几个经典的算法案例，理解并掌握多项式的求值、数列求和、
方程求解、比较大小等问题的算法意义
本课结束
作业： 1、完善课堂题单 2、完成《步步高》P97页“40分钟”，11、12不做 3、自学教材《必修3》P21-P32
答案：C
(3)(2015 年陕西)根据如图 所示的框图， 当输入 x 为6 时，输出 y＝（） A.1 B.2 D.10
C.5
解析：
该程序框图运行如下： x＝6－3＝3>0，x＝3－3＝0， x＝0－3＝－3<0，y＝(－3)2 ＋1＝10.故选 D. 答案：D
(4)(2015 年四川)执行如图 所示的程序框图， 输出 S的值为
(2)(2015 年天津)阅读如图 所示的程序框图， 运行相应的程序，则输出 i 的值为（） A.2 B.3 D.5
C.4
解析：
第一次执行：i＝1，S＝9；
第二次执行：i＝2，S＝7；
第三次执行：i＝3，S＝4；
第四次执行：i＝4，S＝0；
满足条件S≤1，退出循环，
则输出 i 的值为 4.故选 C.
类型二 程序框图 知识点一：P教材6 1.程序框图的基本构成
其中程序框图中的图框表示各种操作，图框内的文字和符号表示操作 的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序.
2.常见的程序框、流程线及各自表示的功能
图形符号
名称 终端框(起止框)
输入、输出框
功能
表示一个算法的起始和结束 ________________________ 表示一个算法输入和输出的信息 ___________________________ 赋值、计算 ___________
2.(2014 年湖北)阅读如图 所示的程序框图， 运行相应的程序，若输入 n 的值为 9， 1067 则输出 S 的值为______. 解析： 依题意，得该程序框图是计算 S＝21＋22＋„＋29＋ 1＋2＋„＋9＝1067，
故输出 S＝1067
.
考点 4
算法与函数知识的整合
例 4：(2014 年湖南)执行如图 所示的程序框图， 如果输入 t∈[－2,2]，则输出 S∈（） A.[－6，－2] C.[－4，5]
1.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环.
2.掌握基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、
条件语句、循环语句的含义. 3.解决需要反复执行的任务时，应考虑使用循环语句.确定循环 结构的内容时要明确：循环变量、初始条件、循环体、终止条
件.循环语句有直到型与当型两种，要区分两者的区别：
11 C.s≤ 12
15 D.s≤ 24
1 1 解析： 由程序框图， k 的值依次为 0,2,4,6,8， 因此 s＝2＋4＋ 1 11 11 6＝12(此时 k＝6)还必须计算一次，因此可填 s≤12.故选 C.
答案：C
(2)(2013 年重庆)执行如图 所示的程序框图，
如果输出 s＝3，那么判断框内应填入的
s∈（）
A.[－3,4] C.[－4,3]
B.[－5,2] D.[－2,5]
解析：根据题意，该算法的功能为 s＝ 当 t∈[－1,1)时，s＝3t∈[－3,3)；
3t，t<1， －t2＋4t，t≥1.
当 t∈[1,3]时，s＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4∈[3,4].
故 s∈[－3,4].
答案：A
跟踪训练1 下列关于算法的描述正确的是
A.算法与求解一个问题的方法相同
B.算法只能解决一个问题，不能重复使用 C.算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切 D.有的算法执行完后，可能无结果 算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A项不对； 算法能重复使用，故B项不对； 每个算法执行后必须有结果，故D项不对； 由算法的有序性和确定性，可知C项正确.
(3)算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框
(4)当算法要求对两个不同的结果进行判断时，判断条件要写在 判断框 内.判断框是具有超过一个退出点的唯一程序框.
内.
8 跟踪训练2 如图所示的程序框图最终输出的结果是____.
该流程图的算法： 第一步，x＝2. 第二步，y1＝x2－1.
第三步，y＝y2 1－1.
梳理
等号左边的变量.
一般地，“变量＝表达式”中的“＝”叫 赋值号，它的功能是把 右 边表 达式的值赋给 左 边的变量，故它与数学中的等号不完全一样，所以不能 颠倒写成“表达式＝变量”.
例4
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输
出S的值为
A.－10
C.14
B.6
D.18
执行程序：S＝20，i＝1，i＝2，S＝20－2＝18； i＝4，S＝18－4＝14； i ＝ 8 ，S ＝ 14 － 8 ＝ 6 ，满足 i ＞ 5 的条件，结束循环， 输出S的值为6，故选B.
第四步，输出y.所以y1＝3，y＝32－1＝8. 最终输出结果为8.
知识点二 1.顺序结构的定义
顺序结构
P教材8
由若干个 依次执行的步骤 组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构. 2.结构形式
知识点三
条件结构的两种形式
P教材10
条件 是否成立有不
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据 同的流向.处理这种过程的结构叫条件结构.
解析：根据题意，该算法的功能为 第一步：S＝0＋1＝1，k＝2； 1 1 第二步：T＝2，S＝1＋2，k＝3； 1 1 1 第三步：T＝ ，S＝1＋2＋ ，k＝4； 2×3 2×3 1 1 1 1 第四步：T＝ ，S＝1＋2＋ ＋ ， 2×3×4 2×3 2×3×4 此时 k＝5>4，输出 S.
答案：B
考点 1 程序框图 例 1：(1)(2015 年北京)执行如图 所示的 程序框图，输出的结果为 A.(－2，2) B.(－4，0)
C.(－4，－4) D.(0，－8)
解析：运行程序：x＝1，y＝1，k＝0； s＝1－1＝0，t＝1＋1＝2， x＝0，y＝2， k＝0＋1＝1， 因为 1≥3 不满足， s＝－2，t＝2， x＝－2，y＝2， k＝2，因为 2≥3 不满足， s＝－4，t＝0， x＝－4，y＝0，k＝3，因为 3≥3 满足， 输出(－4,0). 答案：B
图中有两处错误：
(1)每个判断框应连接一个入口，两个出口，而图
中的判断框“x≤5？”只连接一个出口；
(2)处理框“y＝2x－3”应当连接一个入口，一个 出口，而图中该框没有出口与其连接.
反思与感悟
(1)起止框 (2)输入、输出框
是任何程序框图不可缺少的，表明程序的起始和结束. 可用在任何需要输入、输出的位置.
有 方向箭头 的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的 执行顺序 .
3.画程序框图应遵循的规则 (1)使用标准的框图符号. (2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画. (3)除判断框外，其他程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点，判 断框是唯一一个具有超过一个退出点的程序框.
例2 给定如图所示的程序框图，指出其中的错误.
B.[－5，－1] D.[－3，6]
解析：
当 t∈[－2,0)时，运行程序 t＝2t2＋1∈(1,9]，
S＝t－3∈(－2,6]；
当 t∈[0,2]时，S＝t－3∈[－3，－1]，
则 S∈(－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]. 答案：D
3.(2013 年新课标Ⅰ)运行下列程序框图，如果输入的 t∈[－1,3]，则输出
第 一 章 算 法 初 步
什么是算法？P教材3
算法（algorithm）一词出现于12世纪，指的是阿拉伯数字
进行算术运算的过程. 在数学中，算法通常是指按照一定规则来解决某一类问题 的明确和有限的步骤. 算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决.
算法的五个重要特征
（1）概括性：必须能解决某一类问题，并用能重复使用； （2）逻辑性：前一步是后一步的前提，每一步都是正确无误的；
知识点四 名称 结构图
常见的两种循环结构 特征
P教材12
直到型循
环结构
先执行循环体后判断条件，若不满足条
终止循环 件则 执行循环体 ，否则_________
当型循 环结构
先对条件进行判断，满足时 执行循环体， 终止循环 否则_________
知识点五
赋值号
P教材14
思考
在程序框图中，常见“i＝i＋1”，它是什么意思？ 它表示先计算等号右边 “i ＋ 1” 的值，再把这个值赋给
x 2 ＋1，x≤0， 由程序框图可得 y＝ 2x＋1，x＞0.
当x≤0时，y∈(1,2]，此时不可能输出y＝3；
当x＞0时，令y＝2x＋1＝3，
解得x＝1，符合题意，故输入的x的值为1.
梳理
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件 反复执行 某 些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为 循环体 .
3 A.－ 2 1 C.－2
3 B. 2 1 D.2
解析：第四次循环后，k＝5，满足 k＞4，
5π 1 输出 S＝ sin 6 ＝2.
答案：D
考点 2 算法终止条件的判断 例 2：(1)(2015 年重庆)执行如图 所示的程序框图， 若输出 k 的值为 8，则判断框图可填入的条件是（） 3 A.s≤ 4 5 B.s≤ 6
D.利用公式S＝πr2，计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42
A、 B 、 D 都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而 C只描述了一个 事实，没说明怎么解决问题，不是算法.
反思与感悟 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤， 或看成是设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列 能够解决某一类问题.
（3）有穷性：必须在有限个步骤内完成，不能无休止地执行下去；
（4）不唯一性：算法不一定是唯一的，可以有不同的算法；
（5）普遍性：同一类问题，可以用同一算法去解决；
类型一
算法概念理解
例1 下列描述不能看作算法的是
A.做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤
B.洗衣机的使用说明书
C.解方程2x2＋x－1＝0
处理框(执行框)
2.常见的程序框、流程线及各自表示的功能 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标 判断框 _______ 明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或 “N” 流程线 连接点 _______ 连接程序框 ___________ 连接程序框图的两部分
在程序框图中，一个或几个 程序框 的组合表示算法中的一个步骤；带
环刚开始的几次，找出循环的规律，再“运行”最后一次，确
定循环的“终点”，就可以把握循环的全过程.算法终止条件的
判断比直接计算算法的结果要难一些，减少失误的关键还是要
避免多运行或少运行.
考点 3
算法与数列知识的整合
例 3：(2013 年新课标Ⅱ)执行程序框图， 如果输入 N＝4，那么输出 S＝（）
1 1 1 A.1＋ ＋ ＋ 2 3 4 1 1 1 B.1＋ ＋ ＋ 2 2×3 2×3×4 1 1 1 1 C.1＋ ＋ ＋ ＋ 2 3 4 5 1 1 1 1 D.1＋ ＋ ＋ ＋ 2 2×3 2×3×4 2×3×4×5
结构形式
特征
两个步骤A、B根据 条件 选择一个执行
ຫໍສະໝຸດ Baidu
根据条件选择是否执行步骤A
思考
条件结构中的判断框有两个出口，由此说明条件结构执行的结
果不唯一，对吗？
不对，判断框虽然有两个出口，但根据条件是否成立， 选择的出口是确定的，故执行结果也是唯一的.
例3 如图所示的程序框图，若输出y的值为3，求输入的x值.
条件是（）
A.k≤6
C.k≤8
B.k≤7
D.k≤9
解析：根据题意，该算法的功能为 S＝1×log23×log34× „×logk(k＋1)＝log2(k＋1)＝3.k＝7，k→k＋1＝8，此时才退出 程序.故选 B.
答案：B
【规律方法】在循环结构中，要注意把当型与直到型区分 开来，在解答含循环结构的程序框图时，可以自己“运行”循
(2)对同一个算法而言， 当型循环和直到型循环的条件相反
4.了解几个经典的算法案例，理解并掌握多项式的求值、数列求和、
方程求解、比较大小等问题的算法意义
本课结束
作业： 1、完善课堂题单 2、完成《步步高》P97页“40分钟”，11、12不做 3、自学教材《必修3》P21-P32
答案：C
(3)(2015 年陕西)根据如图 所示的框图， 当输入 x 为6 时，输出 y＝（） A.1 B.2 D.10
C.5
解析：
该程序框图运行如下： x＝6－3＝3>0，x＝3－3＝0， x＝0－3＝－3<0，y＝(－3)2 ＋1＝10.故选 D. 答案：D
(4)(2015 年四川)执行如图 所示的程序框图， 输出 S的值为
(2)(2015 年天津)阅读如图 所示的程序框图， 运行相应的程序，则输出 i 的值为（） A.2 B.3 D.5
C.4
解析：
第一次执行：i＝1，S＝9；
第二次执行：i＝2，S＝7；
第三次执行：i＝3，S＝4；
第四次执行：i＝4，S＝0；
满足条件S≤1，退出循环，
则输出 i 的值为 4.故选 C.
类型二 程序框图 知识点一：P教材6 1.程序框图的基本构成
其中程序框图中的图框表示各种操作，图框内的文字和符号表示操作 的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序.
2.常见的程序框、流程线及各自表示的功能
图形符号
名称 终端框(起止框)
输入、输出框
功能
表示一个算法的起始和结束 ________________________ 表示一个算法输入和输出的信息 ___________________________ 赋值、计算 ___________
2.(2014 年湖北)阅读如图 所示的程序框图， 运行相应的程序，若输入 n 的值为 9， 1067 则输出 S 的值为______. 解析： 依题意，得该程序框图是计算 S＝21＋22＋„＋29＋ 1＋2＋„＋9＝1067，
故输出 S＝1067
.
考点 4
算法与函数知识的整合
例 4：(2014 年湖南)执行如图 所示的程序框图， 如果输入 t∈[－2,2]，则输出 S∈（） A.[－6，－2] C.[－4，5]
1.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环.
2.掌握基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、
条件语句、循环语句的含义. 3.解决需要反复执行的任务时，应考虑使用循环语句.确定循环 结构的内容时要明确：循环变量、初始条件、循环体、终止条
件.循环语句有直到型与当型两种，要区分两者的区别：
11 C.s≤ 12
15 D.s≤ 24
1 1 解析： 由程序框图， k 的值依次为 0,2,4,6,8， 因此 s＝2＋4＋ 1 11 11 6＝12(此时 k＝6)还必须计算一次，因此可填 s≤12.故选 C.
答案：C
(2)(2013 年重庆)执行如图 所示的程序框图，
如果输出 s＝3，那么判断框内应填入的
s∈（）
A.[－3,4] C.[－4,3]
B.[－5,2] D.[－2,5]
解析：根据题意，该算法的功能为 s＝ 当 t∈[－1,1)时，s＝3t∈[－3,3)；
3t，t<1， －t2＋4t，t≥1.
当 t∈[1,3]时，s＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4∈[3,4].
故 s∈[－3,4].
答案：A
跟踪训练1 下列关于算法的描述正确的是
A.算法与求解一个问题的方法相同
B.算法只能解决一个问题，不能重复使用 C.算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切 D.有的算法执行完后，可能无结果 算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A项不对； 算法能重复使用，故B项不对； 每个算法执行后必须有结果，故D项不对； 由算法的有序性和确定性，可知C项正确.
(3)算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框
(4)当算法要求对两个不同的结果进行判断时，判断条件要写在 判断框 内.判断框是具有超过一个退出点的唯一程序框.
内.
8 跟踪训练2 如图所示的程序框图最终输出的结果是____.
该流程图的算法： 第一步，x＝2. 第二步，y1＝x2－1.
第三步，y＝y2 1－1.
梳理
等号左边的变量.
一般地，“变量＝表达式”中的“＝”叫 赋值号，它的功能是把 右 边表 达式的值赋给 左 边的变量，故它与数学中的等号不完全一样，所以不能 颠倒写成“表达式＝变量”.
例4
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输
出S的值为
A.－10
C.14
B.6
D.18
执行程序：S＝20，i＝1，i＝2，S＝20－2＝18； i＝4，S＝18－4＝14； i ＝ 8 ，S ＝ 14 － 8 ＝ 6 ，满足 i ＞ 5 的条件，结束循环， 输出S的值为6，故选B.
第四步，输出y.所以y1＝3，y＝32－1＝8. 最终输出结果为8.
知识点二 1.顺序结构的定义
顺序结构
P教材8
由若干个 依次执行的步骤 组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构. 2.结构形式
知识点三
条件结构的两种形式
P教材10
条件 是否成立有不
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据 同的流向.处理这种过程的结构叫条件结构.
解析：根据题意，该算法的功能为 第一步：S＝0＋1＝1，k＝2； 1 1 第二步：T＝2，S＝1＋2，k＝3； 1 1 1 第三步：T＝ ，S＝1＋2＋ ，k＝4； 2×3 2×3 1 1 1 1 第四步：T＝ ，S＝1＋2＋ ＋ ， 2×3×4 2×3 2×3×4 此时 k＝5>4，输出 S.
答案：B
考点 1 程序框图 例 1：(1)(2015 年北京)执行如图 所示的 程序框图，输出的结果为 A.(－2，2) B.(－4，0)
C.(－4，－4) D.(0，－8)
解析：运行程序：x＝1，y＝1，k＝0； s＝1－1＝0，t＝1＋1＝2， x＝0，y＝2， k＝0＋1＝1， 因为 1≥3 不满足， s＝－2，t＝2， x＝－2，y＝2， k＝2，因为 2≥3 不满足， s＝－4，t＝0， x＝－4，y＝0，k＝3，因为 3≥3 满足， 输出(－4,0). 答案：B
图中有两处错误：
(1)每个判断框应连接一个入口，两个出口，而图
中的判断框“x≤5？”只连接一个出口；
(2)处理框“y＝2x－3”应当连接一个入口，一个 出口，而图中该框没有出口与其连接.
反思与感悟
(1)起止框 (2)输入、输出框
是任何程序框图不可缺少的，表明程序的起始和结束. 可用在任何需要输入、输出的位置.
有 方向箭头 的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的 执行顺序 .
3.画程序框图应遵循的规则 (1)使用标准的框图符号. (2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画. (3)除判断框外，其他程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点，判 断框是唯一一个具有超过一个退出点的程序框.
例2 给定如图所示的程序框图，指出其中的错误.
B.[－5，－1] D.[－3，6]
解析：
当 t∈[－2,0)时，运行程序 t＝2t2＋1∈(1,9]，
S＝t－3∈(－2,6]；
当 t∈[0,2]时，S＝t－3∈[－3，－1]，
则 S∈(－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]. 答案：D
3.(2013 年新课标Ⅰ)运行下列程序框图，如果输入的 t∈[－1,3]，则输出
第 一 章 算 法 初 步
什么是算法？P教材3
算法（algorithm）一词出现于12世纪，指的是阿拉伯数字
进行算术运算的过程. 在数学中，算法通常是指按照一定规则来解决某一类问题 的明确和有限的步骤. 算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决.
算法的五个重要特征
（1）概括性：必须能解决某一类问题，并用能重复使用； （2）逻辑性：前一步是后一步的前提，每一步都是正确无误的；
知识点四 名称 结构图
常见的两种循环结构 特征
P教材12
直到型循
环结构
先执行循环体后判断条件，若不满足条
终止循环 件则 执行循环体 ，否则_________
当型循 环结构
先对条件进行判断，满足时 执行循环体， 终止循环 否则_________
知识点五
赋值号
P教材14
思考
在程序框图中，常见“i＝i＋1”，它是什么意思？ 它表示先计算等号右边 “i ＋ 1” 的值，再把这个值赋给
x 2 ＋1，x≤0， 由程序框图可得 y＝ 2x＋1，x＞0.
当x≤0时，y∈(1,2]，此时不可能输出y＝3；
当x＞0时，令y＝2x＋1＝3，
解得x＝1，符合题意，故输入的x的值为1.
梳理
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件 反复执行 某 些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为 循环体 .
3 A.－ 2 1 C.－2
3 B. 2 1 D.2
解析：第四次循环后，k＝5，满足 k＞4，
5π 1 输出 S＝ sin 6 ＝2.
答案：D
考点 2 算法终止条件的判断 例 2：(1)(2015 年重庆)执行如图 所示的程序框图， 若输出 k 的值为 8，则判断框图可填入的条件是（） 3 A.s≤ 4 5 B.s≤ 6
D.利用公式S＝πr2，计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42
A、 B 、 D 都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而 C只描述了一个 事实，没说明怎么解决问题，不是算法.
反思与感悟 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤， 或看成是设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列 能够解决某一类问题.
（3）有穷性：必须在有限个步骤内完成，不能无休止地执行下去；
（4）不唯一性：算法不一定是唯一的，可以有不同的算法；
（5）普遍性：同一类问题，可以用同一算法去解决；
类型一
算法概念理解
例1 下列描述不能看作算法的是
A.做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤
B.洗衣机的使用说明书
C.解方程2x2＋x－1＝0
处理框(执行框)
2.常见的程序框、流程线及各自表示的功能 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标 判断框 _______ 明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或 “N” 流程线 连接点 _______ 连接程序框 ___________ 连接程序框图的两部分
在程序框图中，一个或几个 程序框 的组合表示算法中的一个步骤；带
环刚开始的几次，找出循环的规律，再“运行”最后一次，确
定循环的“终点”，就可以把握循环的全过程.算法终止条件的
判断比直接计算算法的结果要难一些，减少失误的关键还是要
避免多运行或少运行.
考点 3
算法与数列知识的整合
例 3：(2013 年新课标Ⅱ)执行程序框图， 如果输入 N＝4，那么输出 S＝（）
1 1 1 A.1＋ ＋ ＋ 2 3 4 1 1 1 B.1＋ ＋ ＋ 2 2×3 2×3×4 1 1 1 1 C.1＋ ＋ ＋ ＋ 2 3 4 5 1 1 1 1 D.1＋ ＋ ＋ ＋ 2 2×3 2×3×4 2×3×4×5
结构形式
特征
两个步骤A、B根据 条件 选择一个执行
ຫໍສະໝຸດ Baidu
根据条件选择是否执行步骤A
思考
条件结构中的判断框有两个出口，由此说明条件结构执行的结
果不唯一，对吗？
不对，判断框虽然有两个出口，但根据条件是否成立， 选择的出口是确定的，故执行结果也是唯一的.
例3 如图所示的程序框图，若输出y的值为3，求输入的x值.
条件是（）
A.k≤6
C.k≤8
B.k≤7
D.k≤9
解析：根据题意，该算法的功能为 S＝1×log23×log34× „×logk(k＋1)＝log2(k＋1)＝3.k＝7，k→k＋1＝8，此时才退出 程序.故选 B.
答案：B
【规律方法】在循环结构中，要注意把当型与直到型区分 开来，在解答含循环结构的程序框图时，可以自己“运行”循