线性代数第一章教案

线性代数教案 第一章 行列式 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 重点：行列式性质；行列式的计算。 难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

§1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组

22221211112111bxaxabxaxa

(1)

用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22 – a12a21≠0 时，有







211222112112112211222112122211aaaaabbax

aaaabaabx

(2)

这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 211222112221

1211aaaaaaaa

为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．

根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成

222121212221ab

abbaab，221111211211babaabba，

如果记22211211aaaaD，2221211ababD，221111

2ba

baD

则当D≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成

2221121122212111

aaaa

ababDDx， 2221121122111122aaaababaDDx， (3)

象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆． 首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的． 例1 用二阶行列式解线性方程组

231422121xxxx

解：这时 0214323142D， 5243132411D，3112221122D ， 因此，方程组的解是

2511DDx，2322DDx，

对于三元一次线性方程组 





333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

(4)

作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号

312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa (5)

为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．

例2 532134212

1062012242301325)4(123223)4(211532

令 333231232221131211aaaaaaaaaD

3332323222131211aabaabaabD，3333123221131112abaabaabaD，3323122221112113baa

baabaaD．

当 D≠0时，(4)的解可简单地表示成 DDx11，DDx22，DDx33 (6)

它的结构与前面二元一次方程组的解类似． 例3 解线性方程组







423152302321321321xxxxxxxxx

解：28231523112D， 132345211101D， 472415131022D， 214311230123D． 所以，281311DDx，284722DDx，43282133DDx． 例4 已知010100abba，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．

解：2210100baabba，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零． 为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．

§1.2 排列 在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1 由数码1，2，„，n组成一个有序数组称为一个n级排列． 例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个． 数字由小到大的n级排列1234„n 称为自然序排列． 定义2 在一个n级排列i1i2„in中，如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前面(is则称it与is构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i1i2„in)． 例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N(3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7． 容易看出， 自然序排列的逆序数为0． 定义3 如果排列i1i2„in 的逆序数N(i1i2„in )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列． 例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列． 自然排列123„n是偶排列． 定义4 在一个n级排列i1„is„it„in中， 如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1„it„is„in，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)． 如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214． 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214． 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412． 一般地，有以下定理： 定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变． 证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为： a1a2„al i j b1b2„bmc1c2„cn 将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为 a1a2„al j i b1 b2„bmc1c2„cn 显然对数a1，a2，„al，b1，b2，„，bm和c1c2„cn来说，并不改变它们的逆序数．但当i时， 经过i与j的对换后，排列的逆序数增加1个；当i>j时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个．所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性．

再讨论一般情况，设排列为 a1a2„al i b1b2„bmjc1c2„cn

将i与j作一次对换，则排列变为

a1a2„al j b1b2„bmi c1 c2„cn 这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，„，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列

a1a2„alb1b2„bmi j c1„cn 然后将数j与它前面的数i，bm„，b1作m+1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同．

定理2 在所有的n级排列中(n≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为2!n个．

证明：设在n!个n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个．对这p个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q个，所以p≤q；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有q≤p，所以q = p，即奇排列与偶排列的个数相等．

又由于n级排列共有n!个，所以q + p = n!，2!npq．

定理3 任一n级排列i1i2„in都可通过一系列对换与n级自然序排列12„n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性． 证明：对排列的级数用数学归纳法证之． 对于2级排列，结论显然成立． 假设对n–1级排列，结论成立，现在证明对于n级排列，结论也成立． 若in=n，则根据归纳假设i1i2„in–1是n–1级排列，可经过一系列对换变成12„(n–1)，于是这一系列对换就把i1i2„in变成12„n．若in≠n，则先施行in与n的对换，使之变成i1'i2'„'i'n–1n，这就归结成上面的情形．相仿地，12„n也可经过一系列对换变成i1i2„in，因此结论成立．