11.1.2全等三角形的判定(sss)[1]

用结论说明两个三角形全等需注意
1. 说明两个三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
四、例题赏析
例2 如图，当 AB=CD，BC=DA时，图中的△ABC 与△CDA是否全等？则∠A= ∠C并说明理由？
答:△ABC与△CDA是全等三角形。 证明： 在△ABC与△CDA中 AB=CD (已知) ∵ AD=CB (已知) AC=CA (公共边) （SSS）
1、 全等三角形的定义
2、 全等三角形有什么性质？
A D
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
B
C
E
F
如图,已知△ABC≌△DEF
问题1：其中相等的边有： AB=DE, BC=EF, AC=DF
问题2：其中相等的角有： (全等三角形的对应边相等）
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F（全等三角形的对应角相等)
三边对应相等的两个三角形全等（ 可以简写为 “边边边”或“SSS”）。
三边对应相等的两个三角形全等（可以 简写为“边边边”或“SSS”）。
A D C E 用 数学语言表述： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B
F ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS ）
用上面的结论可以判定两个三角形全等． 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．
结论：从这题的证明中可以看出，证明是由 题设（已知）出发，经过一步步的推理，最 后推出结论正确的过程。
例3:如图: △ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点 D的支架. 证明: ∵ D是 BC中点 求证 : △ ABD ≌△ ACD 求证： AD ⊥ BC 求证：AD平分∠BAC ∴ BD=CD （中点的定义） A 在△ABD和△ACD中 C （已知） AB=AC （公共边） ∵ AD=AD B D （已证） BD=CD 分析: ∴△ABD≌△ACD （SSS） 要证明△ABD≌△ACD, ∴ ∠ BAD= 全 BDA= ∠CAD DA (全等三角 等三角形对应角相等） 就要看这两个三角形的 形对应角相等） 三边是否对应相等. ∴ ∠ BDA+ ∠CDA=1800 AB=AC AD=AD ∴ ∠ BDA= ∠CDA =900 BD=CD D是 BC中点 ∴ AD ⊥ BC
A F C D B E
( SSS)
(全等三角形的对应角相等)
证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的间接 条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
1.两个三角形中，只要具备三边对应相等就可以判定它们全等； 2.找条件时要充分利用已知（包括图形中隐含的条件，如公共边等）； 3.书写格式：①准备条件； ②三角形全等书写的三步骤。
满足下列条件的两个三角形是一定否全等:
(1)一个条件
一边
(2)两个条件
× 只有一个条件对应相等的 一角 × 两个三角形不一定全等。 一边一角 × 只有两个条件对应相 两角 × 等的两个三角形不一 两边 × 定全等。
三角
三边 两边一角 两角一边
(3)三个条件
65度 65度 35度 80度
35度
80度
三边对应相等的两个三角形全等， 简写为 边边边 或 SSS
Hale Waihona Puke 画图步骤:2 、画出一个三角形，使它的三边长分别为 4cm、 5cm、7cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较， 它们一定全等吗？ 画法: 1.画线段AB=5㎝; 2.分别以A、B为圆心,4㎝和7㎝长为半径画弧,两 弧交于点C; 3. 连接线段AC、BC. 想一想：这个结果反映了什么规律？
D
B
C
(公共边) （SSS）
∠1=∠2 (全等三角形对应角相等）
∴△ABC≌△CDA ∴∠3=∠4，
∴AB∥CD，
AD∥BC
（内错角相等，两直线平行）
例3 如下图，△ABC是一个钢架，AB=AC，
AD是连接A与BC中点D的支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD 分析：要证明△ ABD≌ △ ACD，首先看这两个三角 形的三条边是否对应相等。
一个条件 一边 一角
× ×
只有一个条件对应相等的 两个三角形不一定全等。
只有两个条件对应相 等的两个三角形不一 定全等。
两个条件
一边一角 × 两角 × 两边 × 三角 × 三边 两边一角 两角一边
三个条件
√
2、已知三角形三条边分别是 4cm，5cm，7cm，画
出这个三角形，把所画的三角形分别剪下来，并与同 伴比一比，发现什么？
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
(1)一个条件
一边 一角 一边一角
(2)两个条件
两角
两边 三角
(3)三个条件
三边 两边一角
两角一边
8cm
8cm
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
(1)一个条件
一边 一角 一边一角 两角 两边
×
(2)两个条件
三角
(3)三个条件 三边 两边一角 两角一边
400
满足下列条件的两个三角形是一定否全等:
(1)一个条 件 (2)两个条件
(3)三个条件 三边
× 只有一个条件对应相等的 一角 × 两个三角形不一定全等。 一边一角 × 只有两个条件对应相 两角 × 等的两个三角形不一 两边 × 定全等。 三角 ×
一边 两边一角
两角一边
8cm
8cm
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
2.四边形不具有稳定性
填一填：
（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？ 试说明理由。 A D 解： △ABC≌△DCB 理由如下： AB = CD
C
B
AC = BD
BC = CB
△ABC ≌≌△DCB（ S S S ）
（2）如图，D、F是线段BC上的两点， AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，
想一想
3.在△ABC 与△A'B'C'中,若AB=A'B', BC=B'C',AC=A`C`,∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C',那么△ABC 与△A'B'C'全等吗?
A A'
具备三条边对应相等,三个角对应相等的两个三角形全等
B
C
B'
C'
思考: 要使两个三角形全等,是否一定要满足六个条件呢?
A D
B
C
∴△ABC≌△CDA ∴ ∠A= ∠C
(全等三角形的对应角相等)
举一反三
变式 如图，当 AB=CD，BC=DA时，你能说明AB 与CD、AD与BC的位置关系吗？为什么？
答：能判定AB∥CD. 证明： 在△ABC与△CDA中 AB=CD (已知) ∵ AD=CB (已知) AC=CA
A
3 1 2 4
BC CB (公共边) △ABC △ADC（SSS）
O
D
D
C C
C
≌ ∴△ABC≌△DCB
（SSS）
∴∠A=∠D（全等三角形的对应角相等）
变式：已知：如图，AB=DE, BC=EF, AF=CD.
(1) △ABC与△DEF是否全等？并说明理由。 (2) 求证：∠A=∠D 答：我认为：△ABC≌△DEF 证明: ∵AF = DC（已知） ∴AF+FC= DC+FC（等式的性质） 即AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC = DF（已证） ∵ AB = DE（已知） BC = EF（已知） ∴△ABC≌△DEF ∴ ∠A=∠D
A
B
还要什么条件呢?
D
议一议：已知: 如图,AC=AD ,BC=BD.
求证: △ACB ≌ △ADB.
C
说明: △ACB ≌ △ADB. 这两个条件够吗?
A
B
还要什么条件呢? 还要一条边
D
议一议：已知: 如图,AC=AD ,BC=BD.
求证: △ACB ≌ △ADB.
C
它既是△ACB
看看线 段AB
A
E
还需要条件
BF=CD 或 BD=CF
B
D
F
C
议一议：已知: 如图,AC=AD ,BC=BD
请说明△ACB ≌ △ADB的理由.
C
说明:
△ACB ≌ △ADB
A
B
这两个条件够吗?
D
议一议：已知: 如图,AC=AD ,BC=BD.
求证: △ACB ≌ △ADB.
C
说明: △ACB ≌ △ADB. 这两个条件够吗?
的一条边,
A
△ACB 和△ADB的 公共边
B
D 又是△ADB
的一条边
四、例题赏析
已知： AC、BD相交于点 O，且 AB=DC 例1 已知：如图， AB=AD ，BC=CD ，，AC=DB，
那么∠ A=∠D吗？为什么？ 求证：△ ABC≌ △ADC
A
B A
证明：在△ ABC 答： 我认为：∠A= ∠D 和△ADC中 AB=AD ( ) 已知 证明：连接 在△ABC DCB 中 和△DCB中 BC和△ 在△ ABC B BC=CD ( ) 已知 AB DC (已知) = AC ( 公共边 ) AC AC DB(已知) ∴
边边边公理
有三边对应相等的两个三角形全等.
可以简写成 “边边边” 或“ SSS ”
S ——边
思考：你能用“边边边”解释三角形具有 稳定性吗？
想一想：
说说木条钉成的三角形 框架与四边形框架有什 么不同？
三角形具有稳定性。 四边形不具有稳定性