高中数学《常用逻辑用语》教案
《第一章-集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计
《第一章集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计一、内容分析与整合（一）教学内容分析《第一章集合与常用逻辑用语》是高中数学学习的起点，为学生后续学习函数、数列、不等式等数学内容提供了重要的逻辑基础。
本章内容主要分为五个部分：集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、充分条件与必要条件、以及全称量词与存在量词。
这些内容不仅在数学内部逻辑上紧密相连，而且在实际问题解决中也具有广泛的应用价值。
集合是现代数学的基本概念之一，它是描述事物群体及其相互关系的重要工具。
通过学习集合的概念，学生能够理解集合的确定性、互异性、无序性，并掌握集合的表示方法（如列举法、描述法等）。
集合的学习有助于学生形成分类讨论的数学思想，为后续学习打下坚实基础。
集合间的基本关系主要包括子集、真子集、相等关系等。
这些关系揭示了集合之间的层次结构和相互联系，是学习集合运算和逻辑推理的基础。
学生需要掌握判断集合间关系的方法，并能根据具体问题灵活应用。
集合的基本运算包括并集、交集、补集等。
这些运算是集合论中的重要内容，也是解决实际问题中常用的数学工具。
学生需要掌握集合运算的定义、性质及运算法则，并能够进行复杂的集合运算。
充分条件与必要条件是逻辑推理中的基本概念，它们描述了条件与结论之间的逻辑关系。
通过学习充分条件与必要条件，学生能够理解命题之间的逻辑关系，掌握推理的基本方法，提高逻辑思维能力。
全称量词与存在量词是数学语言中的重要组成部分，它们用于描述具有普遍性或特殊性的数学命题。
学生需要理解全称命题与特称命题的区别，掌握全称量词与存在量词的含义及用法，并能够运用量词进行逻辑推理和命题证明。
（二）单元内容分析本单元内容不仅涵盖了集合论和逻辑推理的基础知识，更在数学学科中占据着举足轻重的地位。
集合论，作为现代数学大厦的基石之一，为我们提供了一个描述和研究数学对象及其相互关系的强大框架。
它使我们能够更清晰地理解和表达数学中的基本概念，为深入学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。
高中数学《常用逻辑用语》教案
高中数学《常用逻辑用语》教案一、教学目标：知识与技能目标：使学生掌握常用逻辑用语，如且、或、非、如果……等，并能够运用这些逻辑用语分析问题和解决问题。
过程与方法目标：通过实例分析和练习，培养学生运用逻辑用语表达和分析数学问题的能力。
情感态度与价值观目标：培养学生对数学逻辑思维的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 且、或、非逻辑运算：介绍且、或、非三种基本的逻辑运算，并通过实例说明其含义和应用。
2. 如果……逻辑运算：解释如果……的逻辑含义，探讨其逆命题、逆否命题和原命题之间的关系。
3. 逻辑运算的优先级：讲解逻辑运算的优先级规则，使学生能够正确运用逻辑运算解决问题。
4. 逻辑用语的应用：通过实际问题，引导学生运用逻辑用语分析和解决问题，提高学生的逻辑思维能力。
5. 逻辑用语的练习：提供一些练习题，让学生巩固所学的内容，增强运用逻辑用语解决问题的能力。
三、教学方法：1. 讲授法：讲解逻辑运算的定义和规则，让学生理解并掌握逻辑运算的基本概念。
2. 实例分析法：通过具体的例子，使学生了解逻辑运算在实际问题中的应用。
3. 练习法：提供一些练习题，让学生通过实际操作，巩固所学的内容。
4. 小组讨论法：组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和逻辑思维能力。
四、教学准备：1. 教学PPT：制作教学PPT，展示逻辑运算的定义、规则和实例。
2. 练习题：准备一些练习题，用于巩固所学的内容。
3. 教学素材：收集一些实际问题，用于引导学生运用逻辑用语分析和解决问题。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个简单的逻辑问题，引入常用逻辑用语的学习。
2. 讲解与演示：讲解常用逻辑用语的定义和规则，并通过实例演示其应用。
3. 练习与讨论：让学生进行练习，并通过小组讨论，巩固所学的内容。
4. 应用与拓展：引导学生运用逻辑用语分析和解决问题，提高学生的逻辑思维能力。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，使学生明确所学的重要知识点。
“常用逻辑用语”教案
常用逻辑用语一、教学目标：1. 让学生理解并掌握常用的逻辑用语，提高学生的逻辑思维能力。
2. 培养学生运用逻辑用语进行有效沟通和表达的能力。
3. 引导学生运用逻辑思维解决实际问题。
二、教学内容：1. 概念：介绍常用的逻辑用语，如“如果…………”、“只有……才……”、“只要……就……”、“不仅……还……”、“要么……要么……”。
2. 用法：讲解这些逻辑用语的用法和表达方式。
3. 练习：通过例句和练习，让学生学会正确运用这些逻辑用语。
三、教学重点与难点：1. 重点：掌握常用逻辑用语的概念和用法。
2. 难点：灵活运用逻辑用语进行表达和论证。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解逻辑用语的概念和用法。
2. 示例法：通过例句展示逻辑用语的运用。
3. 练习法：让学生通过练习，巩固所学内容。
4. 讨论法：引导学生运用逻辑用语解决实际问题，进行小组讨论。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾已学过的逻辑知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：讲解本节课要学习的常用逻辑用语，如“如果…………”、“只有……才……”、“只要……就……”、“不仅……还……”、“要么……要么……”。
3. 示例：给出例句，让学生理解并模仿运用这些逻辑用语。
4. 练习：设计练习题，让学生运用所学逻辑用语进行表达和论证。
5. 讨论：布置讨论题目，让学生分组讨论，运用逻辑用语解决实际问题。
6. 总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置作业，让学生巩固所学内容。
六、教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况，以及对逻辑用语的理解和运用能力。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习的情况，评估学生对逻辑用语的掌握程度。
3. 讨论表现：评估学生在小组讨论中的表现，包括逻辑思维能力和团队合作能力。
七、教学反思：1. 教师反思：教师在课后对自己的教学进行反思，思考教学方法是否适合学生，是否需要调整教学策略。
2. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解学生对逻辑用语的学习效果和困难所在。
高中数学_高中数学1.1常用逻辑用语(讲评课)教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计苏霍姆林斯基曾说过：“在心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者的固有需要。
”只有通过学生的自身操作或实践才是最有效的。
在本节课上，我采用我校“三段五步”高效教学模式，指导学生自行解决，教师辅助指导的教学方式，明确的责任分工，有助于因材施教，可以弥补一个教师教学难以顾及众多学生差异性的不足，真正体现教师为主导者，学生为主体的科学观点，实现教与学和谐发展。
当遇到学生难以解决的新题型时，教师可加以指导、示范。
而对学生来讲，不论对与错，都有一个思维过程，所以为了突破本节课的重难点，首先让学生课前进行试卷分析，在课堂上教师应善于有意识地引导学生回到考试解决问题的情境中，重建学生思维，进而重建或完善解题思路。
并有效地促使学生进行反思与自我评价。
一、课前准备针对学生：课前下发试卷及试卷讲评学案，学生完成“试卷错题自我分析反思表”，查找自己易错题型，并完成通过努力可以改错的部分。
上课前让学生准备好试卷、双色笔、课堂笔记和练习本，还有学习的激情。
针对教师：应对学生得失分情况进行统计、汇总，确定讲评重点。
将学生分小组，使每组内有好，中，差三个层次学生。
统计解答题的得分，计算各题的平均分，以此衡量全班对此类题的掌握情况。
分析学生对相关知识、及相关方法的掌握情况，对学生错误较为集中或不会者较多的题目进行分析，找出错误根源，制订措施，并设计好针对训练题。
提前搜集学生不同解法，典型错误解法，制作课件，使用实物投影仪。
二、课堂讲评第一步：导入（5分钟）（一）、出示学习目标、学习重难点学习目标：1.查漏补缺，解决学习中存在问题，完善认知结构；加深对本章知识点的理解、深化常见题型的答题技巧。
2.开阔解题思路，提高分析问题、解决问题的能力；激励同学们主动思考、积极探究、培养创新精神。
3.利用小组合作交流等方式，培养同学们的合作精神；通过小组展示要有敢想、敢说、敢于标新立异的思想意识。
学习重点：典型错误出错原因的剖析与纠错，典型题目解题思路探究与解题方法分析练习。
高中数学《常用逻辑用语》教案
高中数学《常用逻辑用语》教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握常用的逻辑用语，如且、或、非、逆、逆否等。
2. 培养学生运用逻辑用语进行判断和推理的能力。
3. 让学生能够识别和分析实际问题中的逻辑关系，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 常用的逻辑用语：且、或、非、逆、逆否等。
2. 逻辑运算的规律：分配律、结合律、De Morgan 定律等。
3. 逻辑判断：充分必要条件、充要条件、逆否命题等。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解逻辑用语的定义和运用。
2. 利用案例分析法，分析实际问题中的逻辑关系。
3. 采用小组讨论法，让学生合作探讨逻辑运算的规律。
四、教学准备1. PPT课件：包含逻辑用语的定义、例题和练习题。
2. 案例材料：涉及实际问题中的逻辑关系。
3. 练习题：包括选择题、填空题和解答题。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入逻辑用语的学习，激发学生的兴趣。
2. 新课讲解：讲解常用的逻辑用语，如且、或、非、逆、逆否等，并通过例题演示其运用。
3. 逻辑运算规律：介绍分配律、结合律、De Morgan 定律等，并通过练习题巩固。
4. 逻辑判断：讲解充分必要条件、充要条件、逆否命题等，并通过例题演示其运用。
5. 案例分析：分析实际问题中的逻辑关系，让学生运用所学知识解决问题。
6. 小组讨论：让学生合作探讨逻辑运算的规律，培养学生的合作能力。
8. 课后作业：布置练习题，巩固所学知识。
9. 课后反思：教师反思教学效果，针对学生的掌握情况调整教学策略。
10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，包括逻辑用语的掌握和运用能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂练习、课后作业和小测验等方式进行评价。
2. 评价内容：评价学生对常用逻辑用语的理解和运用能力，以及逻辑运算规律的掌握情况。
3. 评价标准：根据学生的答案准确性、解题思路清晰程度以及运用逻辑用语的恰当性进行评分。
七、课后作业1. 练习题：包括选择题、填空题和解答题，涵盖本节课所学的常用逻辑用语和逻辑运算规律。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词(含解析)1数学教案
全称量词与存在量词预习课本P21～25，思考并完成以下问题1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？[新知初探]1．全称量词与全称命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号__∀__全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示__∃__特称命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”知识点原命题命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)綈p：∃x0∈M，綈p(x0)的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)綈p：∀x∈M，綈p(x)的否定[(1)全称命题的否定全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．(2)特称命题的否定特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略( )(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题( )(3)“三角形内角和是180°”是全称命题( )答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0答案：C3．下列全称命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案：B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.答案：特称命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0全称命题与特称命题的判断[典例](1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路[注意] 全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略． [活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； (4)方程3x －2y ＝10有整数解．解：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立． (2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.全称命题、特称命题的真假判断[典例] A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R ，e x>0(2)下列命题中的真命题是( )A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件 [解析] (1)对于A ，x ＝1时，lg x ＝0； 对于B ，x ＝k π＋π4(k ∈Z)时，tan x ＝1；对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，所以C 中命题为假命题； 对于D ，e x>0恒成立．(2)对于A ，当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；对于B ，令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题； 对于C ，向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；对于D ，|x |≤1，即－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，则|x |≤1不一定成立，所以“|x |≤1”为“x ≤1”的充分不必要条件，故D 为假命题．[答案] (1)C (2)B指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假． (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)存在两个相交平面垂直于同一条直线． (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0. 解：(1)是全称命题．∵a x>0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)是全称命题．存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题． (3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， ∴命题(3)是假命题． (4)是特称命题．对任意x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题.全称命题与特称命题的否定[典例] p n n2n pA．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2[解析] (1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．[答案] (1)C (2)D全称命题与特称命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.(2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.利用全称命题与特称命题求参数[典例] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解] 法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立， 而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，1＋a 2＋2－a 2，a <－1.由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]． 法二：x 2－2ax ＋2≥a ， 即x 2－2ax ＋2－a ≥0， 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－42－a >0，a <－1，f －1≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2.所以－3≤a ≤1. 综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1. 而命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 2．已知命题p ：∃x 0∈R ，使x 20－mx 0＋1＝0，命题q ：∀x ∈R ，有x 2－2x ＋m >0.若命题q ∨(p ∧q )为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．解：由于綈p 为真，所以p 为假，则p ∧q 为假． 又q ∨(p ∧q )为真，故q 为真，即p 假、q 真．命题p 为假，即关于x 的方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，则m 2－4<0，解得－2<m <2； 命题q 为真，则4－4m <0，解得m >1. 故实数m 的取值范围是(1,2)．层级一 学业水平达标1．已知命题p ：∀x >0，总有e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得e x 0≤1 C ．∀x >0，总有e x≤1D ．∀x ≤0，总有e x<1解析：选B 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定綈p 为∃x 0>0，使得e x 0≤1.故选B.2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sin A ＝sin B ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lg x 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3解析：选B A 中，若sin A ＝sin B ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题，B 显然是真命题；C 中，若lg x 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x <3得14<x <34，故不存在这样的x ∈Z ，故D 为假命题．3．命题“∃x 0∈R,2x 0<12或x 20>x 0”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0≥12或x 20≤x 0B ．∀x ∈R,2x ≥12或x 2≤xC ．∀x ∈R,2x ≥12且x 2≤xD ．∃x 0∈R,2x 0≥12且x 20≤x 0解析：选C 原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D 当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4.6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________． 解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 答案：所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝08．已知命题“∃x 0∈R,2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：原命题等价于“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”是真命题，即Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定． (1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．解：(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值． 解：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π. (2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题， 所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.层级二 应试能力达标1．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0 解析：选D 由正弦函数的图象，知∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，又3<π，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，3sin x <πx ，即∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0. 2．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．p ，q 都是假命题D ．綈q 是假命题解析：选D p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋14＝2x ＋122≥0，∴p 为假命题，綈p 为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4，∴x 0＝34π时成立．故q 为真，而綈q 为假命题． 3．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋12x ＋34>0.给出下列结论：①命题p 是真命题； ②命题q 是假命题； ③命题(綈p )∧q 是真命题； ④命题p ∨(綈q )是假命题． 其中正确的是( ) A ．②④ B ．②③ C ．③④D ．①②③解析：选C 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题； 对于命题q ，因为函数y ＝x 2＋12x ＋34的图象开口向上，最小值在x ＝－14处取得，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1116>0，所以命题q 为真命题． 由命题p 为假命题和命题q 为真命题可得：命题(綈p )∧q 是真命题，命题p ∨(綈q )是假命题．故③④正确．4．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0解析：选D 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．5．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0； ②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0； ③∃x 0∈N ，x 20≤x 0；④∃x 0∈N *，x 0为29的约数． 其中真命题有________个．解析：易知①③④正确．当x ＝－1时，2x ＋1<0，故②错误． 答案：36．已知命题p ：∃c >0，y ＝(3－c )x在R 上为减函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋2c －3>0.若p ∧q 为真命题，则实数c 的取值范围为________．解析：由于p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3.故实数c 的取值范围为(2,3)．答案：(2,3)7．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解：法一：由题意知，x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0，或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ， 则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0.解得a ≤－3.故命题p 中，a >－3. 即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．8．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围．解：易知f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对∀m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B 根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件．3．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：选D ①的逆命题为1a <1b则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．4．已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题B ．命题p 是特称命题C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题解析：选C 命题p ：实数的平方是非负数，是全称命题，且是真命题，故綈p 是假命题．5．下列命题中，真命题是( ) A ．命题“若|a |>b ，则a >b ”B ．命题“若“a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C ．命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题 D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.6．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b.下列命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题．7．已知f (x )＝e x＋x －1，命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0 C ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)<0 D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0解析：选B 由于函数y ＝e x 和y ＝x －1在R 上均是增函数，则f (x )＝e x＋x －1在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，所以p 为真命题，綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)≤0，故选B.8．下列关于函数f (x )＝x 2与函数g (x )＝2x的描述，正确的是( ) A ．∃a 0∈R ，当x >a 0时，总有f (x )<g (x ) B ．∀x ∈R ，f (x )<g (x ) C ．∀x <0，f (x )≠g (x )D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解解析：选A 在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)<g(x)，其余三命题均错误．9．已知p：x≥k，q：3x＋1<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选B3x＋1<1⇔x<－1或x>2.又p是q的充分不必要条件，则k>2，故选B.10．下列判断正确的是( )A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N*，x3>x2”的否定是“∃x0∈N*，x30<x20”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析：选D 选项A是全称命题，不正确；选项B应该是∃x0∈N*，x30≤x20，不正确；对于选项C，f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，周期T＝2π2a＝πa，当a＝1时，周期是π，当周期是π时，a＝1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期是π”的充要条件；选项D正确，故选D.11．设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C 由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分条件．故选C.12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0， 即m >1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的逆否命题是________． 解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序． 答案：若b ∉B ，则a ∈A14．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．解析：p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． 答案：p ∨q ，綈p15．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3. 由綈p 是綈q 的充分条件可知，q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a >b ，则1a <1b”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．解析：由题意，知ab ≠0，当ab >0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b <a ，所以四种命题都是正确的．当ab <0时，若a >b ，则必有a >0>b ，故1a>0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b，则必有1a<0<1b，故a <0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab <0.答案：ab <0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(本小题满分12分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当a －1＋|b ＋2|＝0时，a ＝1，b ＝－2； (3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2时，y ＝1，x ＝1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题． (2)若a －1＋|b ＋2|＝0，则a ＝1且b ＝－2，真命题． (3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x 2，则y ＝1且x ＝1，假命题．19．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围． 解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知， f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2.若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1.综上可得，c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知k ∈R 且k ≠1，直线l 1：y ＝k 2x ＋1和l 2：y ＝1k －1x －k .(1)求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1k －1，k －1≠0，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2. ∴直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2.(2)设f (x )＝k2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f－1>0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k2×－1＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2.∴k 的取值范围是(－1,2)．21．(本小题满分12分)已知“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，知m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.由－1<x <1，得m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2，故M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2. (2)由x ∈N 是x ∈M 的必要条件，知M ⊆N . ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝(2－a ，a )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，解得a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝(a,2－a )，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不满足M ⊆N . 综上可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫94，＋∞. 22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2， 即B ＝{m |m >2}．(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立；③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.综上①②③可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
学高中数学常用逻辑用语简单的逻辑联结词教学用书教案新人教A版选修
１．３简单的逻辑联结词学习目标核心素养１．了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．（重点）２．能够判断命题“p∧q”“p∨q”“ p”的真假．（难点）３．会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．（易错点）１．通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的意义的学习，培养学生的数学抽象素养．２．借助含逻辑联结词命题的真假判断及应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．１．“且”（１）定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q．读作“p且q”．（２）真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．２．“或”（１）定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q．读作“p或q”．（２）真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q 是假命题．思考１：（１）p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？（２）若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示] （１）不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．（２）p∨q是真命题，p∧q是假命题．３．“非”（１）定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．（２）真假判断若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．思考２：命题的否定与否命题的区别是什么？[提示] （１）命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．（２）命题的否定（p）的真假与原命题（p）的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．４．复合命题用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断p q p∨q p∧q p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真１．“xy≠0”是指（）Ａ．x≠0且y≠0Ｂ．x≠0或y≠0Ｃ．x，y至少一个不为0 Ｄ．x，y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选Ａ．]２．已知p，q是两个命题，若“（p）∨q”是假命题，则（）Ａ．p，q都是假命题Ｂ．p，q都是真命题Ｃ．p是假命题，q是真命题Ｄ．p是真命题，q是假命题D[若（p）∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选Ｄ．]３．下列命题中真命题的个数是（）１p∨q，这里p：π是无理数，q：π是实数；２p∧q，这里p：π是无理数，q：π是实数；３p∨q，这里p：２>３，q：8＋7≠１５；４p∧q，这里p：２>３，q：8＋7≠１５．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４B[１２为真命题．]４．“５≥５”是________形式的新命题，它是________（“真”或“假”）命题．p∨q真[５≥５，即５＞５或５＝５．]含有逻辑联结词的命题结构（１）向量既有大小又有方向；（２）矩形有外接圆或有内切圆；（３）集合A（A∪B）；（４）正弦函数y＝sin x（x∈R）是奇函数并且是周期函数．[解] （１）是“p∧q”形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．（２）是“p∨q”形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．（３）是“p”形式的命题．其中p：A⊆（A∪B）．（４）是“p∧q”形式的命题．其中p：正弦函数y＝sin x（x∈R）是奇函数，q：正弦函数y＝sin x（x∈R）是周期函数．１．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．２．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．错误!１．分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题．（１）p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；（２）p：—１是方程x２＋４x＋３＝0的解，q：—３是方程x２＋４x＋３＝0的解．[解] （１）p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p：梯形没有一组对边平行．（２）p∧q：—１与—３是方程x２＋４x＋３＝0的解．p∨q：—１或—３是方程x２＋４x＋３＝0的解．p：—１不是方程x２＋４x＋３＝0的解．含逻辑联结词命题的真假判断１p∧q；２p∨q；３p∧（q）；４（p）∨（q）．则其中真命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４思路探究：错误!→错误!→错误!C[由于Δ＝（—２a）２—４×１×（—１）＝４a２＋４>0，所以方程x２—２ax—１＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，f（x）＝x＋错误!<0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧（q），（p）∨（q）是真命题，故选Ｃ．]含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤１我们可以用口诀记忆法来记忆：,“p∧q”全真才真，一假必假；“p∨q”全假才假，一真必真；“p”与p真假相对.２判断复合命题真假的步骤：１确定复合命题的构成形式是“p∧q”“p∨q”还是“p”；２判断其中的简单命题p，q的真假；３根据真值表判断复合命题的真假.错误!２．（１）已知命题p：若x>y，则—x<—y；命题q：若x>y，则x２>y２．在命题１p∧q；２p∨q；３p∧（q）；４（p）∨q中，真命题是（）Ａ．１３Ｂ．１４Ｃ．２３Ｄ．２４C[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故１p∧q为假命题，２p∨q为真命题，３q为真命题，则p∧（q）为真命题，４p为假命题，则（p）∨q为假命题．]（２）分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假．１p：１∈{２,３}，q：２∈{２,３}；２p：２是奇数，q：２是合数；３p：４≥４，q：２３不是偶数；４p：不等式x２—３x—１0<0的解集是{x|—２<x<５}，q：不等式x２—３x—１0<0的解集是{x|x>５或x<—２}．[解] １∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是真命题．２∵p是假命题，q是假命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，p是真命题．３∵p是真命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，p是假命题．４∵p是真命题，q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是假命题．由复合命题的真假求参数的取值范围[１．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？[提示] p为假命题时，参数的取值范围是∁R A．２．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值范围，则p∨q与p∧q分别为真命题时，参数的取值范围分别是什么？[提示] 当p∨q为真命题时，参数的取值范围是A∪B．当p∧q为真命题时，参数的取值范围是A∩B．【例３】已知p：存在x∈R，mx２＋１≤0，q：任意x∈R，x２＋mx＋１>0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为（）Ａ．m≥２Ｂ．m≤—２Ｃ．m≤—２或m≥２Ｄ．—２≤m≤２思路探究：错误!―→错误!A[依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx２＋１>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m２—４<0，—２<m<２．因此由p，q均为假命题得错误!即m≥２．]１．本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为________．（—２,0）[依题意，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有—２<m<２，由错误!可得—２<m<0．]２．本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为________．（—∞，—２]∪[0,２）[若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时错误!∴m≤—２；当p假q真时错误!∴0≤m<２．∴m的取值范围是（—∞，—２]∪[0,２）．]根据命题的真假求参数范围的步骤１求出p、q均为真时参数的取值范围；２根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；３根据p，q的真假求出参数的取值范围.１．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：（１）逐一判断命题p，q的真假．（２）根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假．p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真．２．若命题p为真，则“p”为假；若p为假，则“p”为真，类比集合知识，“p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p．因此（p）∧p为假，（p）∨p为真．３．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．１．若命题“p∧q”为假，且p为假，则（）Ａ．p∨q为假Ｂ．q假Ｃ．q真Ｄ．p假B[由p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选Ｂ．]１２>１或１>３；２方程x２—２x—４＝0的判别式大于或等于0；３２５是6或５的倍数；４集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４D[对于１，是“或”命题，且２>１是真命题，故１是真命题．对于２，是“或”命题，且Δ＝（—２）２＋１6＝２0>0，故２是真命题．对于３，是“或”命题，且２５是５的倍数，故３是真命题．对于４，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集．故４是真命题，故选Ｄ．]３．下列命题是“p∨q”形式的是（）Ａ．6≥6 Ｂ．３是奇数且３是质数Ｃ．错误!是无理数Ｄ．３是6和9的约数A[A中，6≥6⇔6>6或6＝6，所以A是“p∨q”形式的命题；B和D是“p∧q”形式的命题，C 不包含任何逻辑联结词，所以B，C，D不正确，A正确，故选Ａ．]４．已知命题p：函数f（x）＝（２a—１）x＋b在R上是减函数；命题q：函数g（x）＝x２＋ax 在[１,２]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．错误![p为真时，２a—１<0，即a<错误!，q为真时，—错误!≤１，即a≥—２，则p∧q为真时，p，q都真，所以—２≤a<错误!．]。
常用逻辑用语(单元教学设计)-高中数学新教材必修第一册
常用逻辑用语单元教学设计内容及其解析：本单元知识结构图：抽象概括 逻辑推理1.1内容（1）充分条件、必要条件以及充要条件的意义；判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定义与充要条件的关系。
（2）全称量词与存在量词。
全称量词命题与存在量词命题的否定。
1.2内容解析内容本质：常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。
本单元主要研究：充分条件，必要条件，充要条件，全称量词与存在量词，全称量词命题与存在量词命题的否定。
通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。
理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。
理解充要条件的意义，理解定义与充要条件的关系。
由于中学数学中的许多命题都可以写成“若p,则q”的形式，通过判断命题的真假，分析条件p 和结论q 的关系，可以得到三个逻辑用语。
也就是说，“若p,则q”是真命题，即由p 能推出q,则p 是q 的充分条件，即p 成立，足以保证q 成立；同时，q 是p 的必要条件，即p 成立，首先必须q 成立。
反之，“若q,则p”也是真命题，则p 也是q 的必要条件，此时，p 是q 的充分必要条件。
由上述分析，也就获得了辨析充分条件、必要条件以及充要条件的方法：即将判断“p 是q 的什么条件”的问题转化为判断命题“若p,则q ”及其逆命题的真假的问题。
具体包括四种情况：若 q p ⇒”且“p q ⇒”，则p 为q 的充分必要条件；若q p ⇒，且q ⇒/p,则p 为q 的充分不必要条件：若p ⇒/q 且p q ⇒，则p 为q 的必要不充分条件；若p ⇒/q ，且q ⇒/p ，，则p 为q 的既非充分又非必要条件。
在数学知识体系中，数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成部分，它们都可以用逻辑用语表述。
每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件，每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。
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定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．
7．练习、深化
指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．
（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．
11、巩固练习：Ｐ４ ２、３
12．小结师生共同回忆本节的学习内容．
1．什么叫命题？真命题？假命题？ 2．命题是由哪两部分构成的？
3．怎样将命题写成“若P，则q”的形式． 4．如何判断真假命题．
教师提示应注意的问题：
1．命题与真、假命题的关系． 2．抓住命题的两个构成部分，判断一些语句是否为命题．
３．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明．
13．作业：P8：习题1．１Ａ组第1题
四、板书设计
1.1.2四种命题 1.1.3四种命题的相互关系
一、教学目标
◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点
重点：命题的概念、命题的构成
难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学过程
学生探究过程：
1．复习回顾
初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
4．抽象、归纳
定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子． 教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
此例中的命题（５），不是“若P，则q”的形式，估计学生会有困难，此时，教师引导学生一起分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．
解略。
过渡：从例２中，我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题的结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．
8．命题的分类――真命题、假命题的定义．
解略。
引申：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出一些定理、推论的例子来看看？
通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．
过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和推论的例子，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？
5．集． （２）若整数a是素数，则是a奇数．
（３）指数函数是增函数吗？ （４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．
（５） ＝－２． （６）x＞１５．
让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．
（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．
（３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．
（４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．
（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．
此题中的（１）（２）（３）（４），较容易，估计学生较容易找出命题中的条件p和结论q，并能判断命题的真假。其中设置命题（３）与（４）的目的在于：通过这两个例子的比较，学更深刻地理解命题的定义——能判断真假的陈述句，不管判断的结果是对的还是错的。
◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
二、教学重点与难点
重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．
闽清三中教师教案
集备记录
第一章 常用逻辑用语
1.1命题及其关系
1.1.1命题
一、教学目标
１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；
２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
9．怎样判断一个数学命题的真假？
(１)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．
(２)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
10．练习、深化
例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：
（1）面积相等的两个三角形全等。
（2）负数的立方是负数。
（3）对顶角相等。
分析：要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”即“若P，则q”的形式．解略。
真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．
假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．
强调：
(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．
(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
2．思考、分析
下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？
（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点 ．
（2）2+4=7．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（４）若x2=1,则x=1．
（５）两个全等三角形的面积相等．
（６）３能被２整除．
3．讨论、判断
学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。