全国高中数学联赛 代数部分

全国高中数学联赛代数部分
全国高中数学联赛 （代数部分）
1. (1988年全国高中数学联赛加试第三题)
在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线⋯⋯,,,,21n l l l 的直线族，它满足条件：
⑴ 点(1，1)∈n l ，),3,2,1(⋯=n ；
⑵ n n n b a k -=+1，其中1+n k 是1+n l 的斜率，n a 和n b 分别是n l 在x 轴和y 轴 上的截距，),3,2,1(⋯=n ； ⑶ 01≥+n n k k ，),3,2,1(⋯=n ．
并证明你的结论．
2. (1989年全国高中数学联赛加试第二题) 已知)2;,,2,1(≥⋯=∈n n i R x i ， 满足,0,11
1
==∑∑==n
i i n
i i x x
求证：n i
x n
i i 21
211-≤∑=.
3. (1998年全国高中数学联赛加试第二题)
设n a a a ,,,21⋯，n b b b ,,,21⋯[]2,1∈ 且∑∑===n
i i n
i i
b a 1
2
1
2
求证：∑∑==≤n i i n
i i
i a b a 12
131017 并问 等号成立的充要条件.
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4. (1997年全国高中数学联赛加试第二题)
试问：当且仅当实数)2(,,,10≥⋯n x x x n 满足什么条件时.
存在实数n y y y ,,,10⋯使得2
222120n z z z z +⋯++=成立. 其中k k k iy x z +=，i 为虚数单位，).,,2,1(n k ⋯=
证明你的结论.
5. (1999年全国高中数学联赛加试第二题) 给定实数c b a 、、.已知复数321z z z 、、满足：
1321===z z z 11
3
3221=++z z z z z z 求321cz bz az ++的值
6. (2002年全国高中数学联赛加试第二题)
设),,2,1(0n i x i ⋯=≥，且12112
=+∑
∑≤<≤=n j k j k n k i x x j k x ，求∑=n
k i x 1的最大值与最小值
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7. (2002年全国高中数学联赛加试第二题)
实数a 、b 、c 和正数λ，使得f ( x ) = c bx ax x x f +++=23)(有三个实数根321x x x 、、,且满足 (1)λ=12-x x ;
(2))(21213x x x +>.
求
3
39272λab c a -+的最大值.
8. (2004年全国高中数学联赛加试第二题)
在平面直角坐标系xOy 中, y 轴正半轴上的点列{n A }与曲线
)0(2≥=x x y 上
的点列{n B }满足n
OB OA n n 1==,直线n n B A 在x 轴上的截距为n a ,点n B 的横坐标 为n b , +∈N n . 证明:
(1) n a > 1+n a > 4 ,+∈N n .
(2) 存在+∈N n 0 ,使得对任意的0n n > 都有 2004. -n b b b b b b b b n
1
n 1-n n 2312<++⋯+++
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设正数z y x c b a 、、、、、满足a bz cy =+，b cx az =+，c ay bx =+ 求函数z
z y y x x z y x f +++++=111),,(2
22的最小值.
10. (2006年全国高中数学联赛加试第二题) 已知无穷数列{n a }满足: x a =0 ，y a =1 ),2,1(1
1
11⋯=++=
--+n a a a a a n n n n n
(1) 对于怎样的实数y 、x ,总存在+∈N n 0 使得当0n n ≥ 时，n a 恒为常数？ (2) 求数列{n a }的通项公式.
11. (2006年全国高中数学联赛加试第三题) 解方程组:
2=-+-w z y x 62222=-+-w z y x 203333=-+-w z y x 664444=-+-w z y x
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设).2008,,2,1(0⋯=>k a
证明：当且仅当12008
1>∑=k k a 时，存在数列{n x }满足以下条件
（1）),2,1(010⋯=<<=+n x x x n n （2）n
n x ∞→lim 存在 （3）∑∑=++=+--=-2007
12008
1
1k k n k k k n k n n x a x a x x ),2,1(⋯=n
13. (2009年全国高中数学联赛加试第二题) 求证： 21ln )1
(1-12
≤-+<∑=n k k n
k ，⋯=,2,1n
14. (2010年全国高中数学联赛加试第三题)
给定整数)2(>n n ，设正实数n a a a ,,,21⋯满足).,,2,1(1n k a k ⋯=≤
记).,,2,1(21n k k
a a a A k
k ⋯=+⋯++=
求证：.2111
-<-∑∑==n A a n k n
k k k。