实验三图像的傅立叶变换
图像傅里叶变换详解
图像傅里叶变换冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。
棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。
当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。
同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。
比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。
1.frequencyfrequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低……2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。
（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。
）3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。
=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。
傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。
如下图所示。
DC term直流信号对应于频率为0的点，表示整幅图像的平均亮度，如果直流信号DC=0就表示整幅图像平均亮度的像素点个数=0，可推出灰度图中，正弦曲线在正负值之间交替变化，但是由于灰度图中没有负值，所以所有的真实图像都有一个正的DC term，如上图所示。
图像的傅里叶变换
在MATLAB中提供了fft函数用于实现一维快速傅里 叶变换。其调用格式为： （1）Y=fft(X):返回向量X的离散傅里叶变换。如果X 为矩阵，fft函数返回矩阵每列的傅里叶变换。 （2）Y=fft2(X):返回二维离散傅里叶变换，结果Y和 X的大小相同。 （3）Y=fftn(X):返回X的多维离散傅里叶变换，结果 Y和X的大小相同。 （4）Y=fftshift(X):把fft函数、fft2函数和fftn函数输 出结果的零频率部分移到数组的中间。
傅里叶变换的MATLAB函数
例二：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频 谱。对单缝进行快速傅里叶变换，以三种方式显 示频谱。即：直接显示（坐标原点在左上角）； 把坐标原点平移至中心后显示；以对数方式显示。 >>f=zeros(512,512); >>f(246:266,230:276)=1; >>subplot(221);imshow(f,[]); >>xlabel(‘单狭缝图像’); >>F=fft2(f); >>S=abs(F);
傅里叶变换的MATLAB函数
>>F=fftshift(abs(fft2(f))); >>subplot(224);imshow(F,[-1,5],’notruesize’); >>xlabel(‘(d)图像旋转45度的傅里叶变换频 谱’);
பைடு நூலகம்
傅里叶变换的MATLAB函数
>>f=zeros(1000,1000); >>f(350:649,475:524)=1; >>subplot(221); >>imshow(f,’notruesize’);% ‘notruesize’图片去适应 窗口，窗口大小不动，自动调节图片大小。所以 显示出来的图片跟实际尺寸可能不一致。 ‘truesize’ 就是按图片实际大小显示图片，窗口 会自动调节大小去适应图片尺寸。这个是默认情 况，跟省略这个参数一样。 >>xlabel(‘(a)原始图像’); >>subplot(222);F=fftshift(abs(fft2(f)));
实验三数字图像的离散傅里叶变换
电子科技大学实验报告学生姓名：学号：指导教师：彭真明日期：2014 年 4 月12 日一、 实验名称：数字图像的离散傅里叶变换二、 实验目的：1. 了解数字图像的各种正交变换的概念和用途。
2. 掌握各种数字图像变换的方法和原理。
3. 深入理解离散信号采样频率、奈奎斯特频率及频率分辨率等基本概念，弄清它们之间的相互关系。
弄清离散傅里叶变换（DFT ）中频率泄露的原因，以及如何尽量减少频率泄露影响的途径。
4. 熟练掌握离 DFT 、DCT 的原理、方法和实现流程，熟悉两种变换的性质，并能对图像DFT 及DCT 的结果进行必要解释。
5. 熟悉和掌握利用 MA TLAB 工具进行数字图像FFT 及DCT 的基本步骤、MA TLAB 函数使用及具体变换的处理流程。
6. 能熟练应用 MA TLAB 工具对数字图像进行FFT 及DCT 处理，并能根据需要进行必要的频谱分析和可视化显示。
三、 实验原理：傅里叶变换是信号处理领域中一个重要里程碑，它在图像处理技术中同样起着十分重要的作用，被广泛应用于图像提取、图像增强与恢复、噪声控制、纹理分析等多个方面。
1. 离散傅里叶变换(DFT)要把傅里叶变换应用到数字图像处理中，就必须处理离散数据，离散傅里叶变换的提出使得这种数学方法能够和计算机技术联系起来。
正变换：逆变换：幅度：相位角：功率谱：2. 快速傅里叶变换(FFT)离散傅里叶变换运算量巨大，计算时间长，其运算次数正比于N^2，当N 比较大的时候，运算时间更是迅速增长。
而快速傅里叶变换的提出将使傅里叶变换的复杂度∑∑-=-=+-=101)//(2),(1),(M x N y N vy M ux j e y x f MN v u F π∑∑-=-=+=1010)//(2),(),(M x N y N vy M ux j e v u F y x fπ由N^2下降到NlgN/lg2,当N 很大时计算量可大大减少。
快速傅里叶变换需要进行基2或者基4的蝶形运算，算法上面较离散傅里叶变换困难。
精心图像的傅里叶变换
频谱/幅度谱/模 F (u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
能量谱/功率谱 相位谱
P(u, v) F (u, v) 2 R2 (u, v) I 2 (u, v)
(u, v) arctan I (u, v) R(u, v)
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
傅里叶变换中出现旳变量u和v一般称为频率变量，空间 频率能够了解为等相位线在x,y坐标投影旳截距旳倒数。
幅值
时域分析
频域分析
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文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一维FT及其反变换
连续函数f(x)旳傅立叶变换F(u):
F (u) f (x)e j2uxdx
傅立叶变换F(u)旳反变换:
f (x) F (u)e j2uxdu
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1） 定义
F (u) f (x)e j2uxdx
2） 逆傅里叶变换
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy
f (x) F (u)e j2uxdu
3） 傅里叶变换特征参数
f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
F (u, v) R(u, v) jI (u, v)
M 1 N 1
c1 f1
x, y
c2 f2
x, y
e
j
2
ux M
vy N
x0 y0
M 1 N 1
c1
f1
x,
y
e
j
2
ux M
vy N
M 1 N 1
c2
f2
x, y e
图像处理之傅里叶变换
图像处理之傅⾥叶变换图像处理之傅⾥叶变换⼀、傅⾥叶变换傅⾥叶变换的作⽤：⾼频：变化剧烈的灰度分量，例如边界低频：变化缓慢的灰度分量，例如⼀⽚⼤海滤波：低通滤波器：只保留低频，会使得图像模糊⾼通滤波器：只保留⾼频，会使得图像细节增强OpenCV:opencv中主要就是cv2.dft()和cv2.idft()，输⼊图像需要先转换成np.float32 格式。
得到的结果中频率为0的部分会在左上⾓，通常要转换到中⼼位置，可以通过shift变换来实现。
cv2.dft()返回的结果是双通道的（实部，虚部），通常还需要转换成图像格式才能展⽰（0,255）。
import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)dft_shift = np.fft.fftshift(dft)# 得到灰度图能表⽰的形式magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) #时域转换到频域dft_shift = np.fft.fftshift(dft) #将低频部分拉到中⼼处rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) #确定掩膜的中⼼位置坐标# 低通滤波mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1# IDFTfshift = dft_shift*mask #去掉⾼频部分，只显⽰低频部分f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift) #将低频部分从中⼼点处还原img_back = cv2.idft(f_ishift) #从频域逆变换到时域img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) #该函数通过实部和虚部⽤来计算⼆维⽮量的幅值plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()img = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dft_shift = np.fft.fftshift(dft)rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) # 中⼼位置# ⾼通滤波mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0# IDFTfshift = dft_shift*maskf_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)img_back = cv2.idft(f_ishift)img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()。
傅立叶变换实验
傅立叶变换1. 实验目的和要求：掌握傅里叶变换的原理，利用相关软件，利用傅里叶变换将图像中的噪音去除，从而达到图像增强的目的。
2. 实验原理：傅里叶变换首先把遥感图像从空间域转换到频率域，然后在频率域上对图像进行滤波处理，减少或消除周期性噪音，再把图像从频率域转换到空间域，达到增强图像的目的。
3. 实验仪器与试剂：Erdas Image；Windows 74. 实验步骤：1. 启动Erdas Image，再在Viewer #1中打开图像TM_1.img，对图像进行预览；2.在图标工具栏上选择，在下拉菜单中选择再在弹出的菜单中选择；3.在弹出的对话框中，进行如下图所示的设置：点击ok，该步骤为将图像从空间域波变为频率波；5. 再选择，在弹出的界面中点击，再进行如下图的设置：6. 6.点击工具菜单中的Mask，在下拉菜单中选择圆形模具即Circular Mas或者k,将图像的角去掉，使图像频率均匀；再使用切形将中央的亮条纹去掉所得如图7. 点击，对图像进行逆变换，对弹出的窗口进行如下设置：点击ok；8. 所得图像如下图所示：总结：傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。
该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。
即傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。
最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
傅里叶变换 实验报告
傅里叶变换实验报告傅里叶变换实验报告引言：傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
本次实验旨在通过实际操作和数据分析，深入了解傅里叶变换的原理、特性以及应用。
一、实验目的本实验的目的是通过实际操作，掌握傅里叶变换的基本原理，了解其在信号处理中的应用，并能够正确进行频域分析。
二、实验仪器和材料1. 信号发生器2. 示波器3. 计算机4. 傅里叶变换软件三、实验步骤1. 将信号发生器与示波器连接，并设置合适的频率和幅度，产生一个正弦信号。
2. 通过示波器观察并记录原始信号的时域波形。
3. 将示波器输出的信号通过音频线连接到计算机的输入端口。
4. 打开傅里叶变换软件，选择输入信号源为计算机输入端口，并进行采样。
5. 在傅里叶变换软件中，通过选择合适的窗函数、采样频率和采样点数，进行傅里叶变换。
6. 观察并记录变换后的频域波形，并进行分析。
四、实验结果与分析通过实验操作和数据分析，我们得到了信号的时域波形和频域波形。
在时域波形中，我们可以清晰地看到正弦信号的周期性特征，而在频域波形中，我们可以看到信号的频率成分。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，通过分析频域波形，我们可以得到信号的频率成分。
在实验中，我们可以通过改变信号发生器的频率和幅度，观察频域波形的变化，进一步理解傅里叶变换的原理和特性。
此外，傅里叶变换还可以用于信号滤波。
通过观察频域波形，我们可以选择性地去除某些频率成分，从而实现信号的滤波处理。
这在音频处理、图像处理等领域中具有广泛的应用。
五、实验总结本次实验通过实际操作和数据分析，深入了解了傅里叶变换的原理、特性以及应用。
傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在信号处理、图像处理等领域中具有广泛的应用前景。
通过本次实验，我们不仅掌握了傅里叶变换的基本原理和操作方法，还深入了解了信号的时域和频域特性。
这对于我们进一步研究和应用傅里叶变换具有重要的意义。
总之，傅里叶变换是一项重要的数学工具，通过实际操作和数据分析，我们可以更好地理解和应用傅里叶变换，为信号处理和图像处理等领域的研究和应用提供有力支持。
图像的傅里叶变换实验报告
计算机科学与技术系实验报告专业名称计算机科学与技术 _____课程名称数字图像处理项目名称Matlab 语言、图像的傅里叶变换班级14 计科2班_________学号23 _____________姓名 _______ 卢爱胜______________同组人员张佳佳、王世兜、张跃文_________实验日期 ________________、实验目的与要求：(简述本次实验要求达到的目的，涉及到的相关知识点，实验的具体要求。
)实验目的：1 了解图像变换的意义和手段；2 熟悉傅立叶变换的基本性质；3 熟练掌握FFT 变换方法及应用；4 通过实验了解二维频谱的分布特点；5通过本实验掌握利用MATLABS程实现数字图像的傅立叶变换。
6 评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。
实验要求：应用傅立叶变换进行图像处理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。
通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。
对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
二、实验内容(根据本次实验项目的具体任务和要求，完成相关内容，可包括：实验目的、算法原理、实验仪器、设备选型及连线图、算法描述或流程图、源代码、实验运行步骤、关键技术分析、测试数据与实验结果、其他 )1. 傅立叶( Fourier )变换的定义对于二维信号，二维Fourier 变换定义为：F (u, v) f (x,y)e j2 (ux uy)dxdy逆变换：f (x, y) F (u,v)e j2 (ux uy)dudv二维离散傅立叶变换为：clc;clear alll=imread('Fig0707(a)(Original).'); imshow(l); %title(' 原始图像')fftl=fft2(l); sfftl=fftshift(fftl);RR=real(sfftl); ll=imag(sfftl);% % %%% % 读入原图像文件 显示原图像 二维离散傅立叶变换 直流分量移到频谱中心 取傅立叶变换的实部 取傅立叶变换的虚部 计算频谱幅值A=sqrt(RR.A2+ll.A2); A=(A-mi n(mi n( A)))/(max(max(A))-mi n(mi n( A)))*225;%figure; %imshow(A); %title(' 原始图像的频谱')f1=ifft2(A); %设定窗口 显示原图像的频谱 Fourier 系数的幅度进行 Fourier 系数的相位进行 归一化 Fourier 反变换 Fourier 反变换;d N 1N 1 j2 (m 丄 n 上) F(m, n) —f(i,k)e N NN i o k o 逆变换： d N 1N 1 j2 (m 丄 nl)f(i,k) 1F(m, n)e N NN m 0 n 0 图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到 傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。
实验三用FFT对信号作频谱分析_实验报告
实验三用FFT对信号作频谱分析_实验报告一、实验目的1.理解离散傅里叶变换（FFT）的原理和应用；2.学会使用FFT对信号进行频谱分析；3.掌握频谱分析的基本方法和实验操作。
二、实验原理离散傅里叶变换（FFT）是一种用来将时域信号转换为频域信号的数学工具。
其基本原理是将连续时间信号进行离散化，然后通过对离散信号进行傅里叶变换得到离散频域信号。
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
在信号处理中，经常需要对信号的频谱进行分析，以获取信号的频率分量信息。
傅里叶变换提供了一种数学方法，可以将时域信号转换为频域信号，实现频谱分析。
在频谱分析中，我们常常使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法进行离散信号的频谱计算。
FFT算法可以高效地计算出离散信号的频谱，由于计算复杂度低，广泛应用于信号处理和频谱分析的领域。
频谱分析的流程一般如下：1.采集或生成待分析的信号；2.对信号进行采样；3.对采样得到的信号进行窗函数处理，以改善频谱的分辨率和抑制信号泄漏；4.使用FFT算法对窗函数处理得到的信号进行傅里叶变换；5.对傅里叶变换得到的频谱进行幅度谱和相位谱分析；6.对频谱进行解释和分析。
三、实验内容实验所需材料和软件及设备：1.信号发生器或任意波形发生器；2.数字示波器；3.计算机。
实验步骤：1.连接信号发生器（或任意波形发生器）和示波器，通过信号发生器发送一个稳定的正弦波信号；2.调节信号频率、幅度和偏置，得到不同的信号；3.使用数字示波器对信号进行采样，得到离散时间信号；4.对采样得到的信号进行窗函数处理；5.对窗函数处理得到的信号进行FFT计算，得到频谱；6.使用软件将频谱进行幅度谱和相位谱的分析和显示。
四、实验结果与分析1.信号频谱分析结果如下图所示：（插入实验结果图）从频谱图中可以看出，信号主要集中在一些频率上，其他频率基本没有，表明信号主要由该频率成分组成。
(精心整理)图像的傅里叶变换
g(x, y) G( ,) exp[ j2 ( x y)]d d
G( ,)是g(x,y)的频谱，物函数g(x,y)可以看作不同方
向传播的单色平面波分量的线性叠加。G( ,)d d为
权重因子。空间频率 cos , co表s 示了单色平面
波的传播方向。
第14页，共72页。
二维离散傅里叶变换
F (u)
1 4
1 1
j 1
1 1
j
f
(1)Βιβλιοθήκη 1 f (2)1j
1
j
f
(3)
第17页，共72页。
yj
-1
1
x
-j
图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减
许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小，这使得在显 示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它们时，其高频项 变得越来越不清楚。
第35页，共72页。
二维离散傅里叶变换的性质
➢ 线性性
f1 f2
x, x,
y y
F1 u, v F2 u, v
c1
f1
x,
y
c2
f2
x,
y
c1F1
u,
v
c2
F2
u,
v
证明：
DFT c1 f1 x, y c2 f2 x, y
M 1 N 1
c1 f1
x, y
c2 f2
第31页，共72页。
主极大的值用Fmax表示，第一个旁瓣的峰值用Fmin表示 R loga (1 KFmax ) loga (1 KFmin )
第32页，共72页。
例题：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频谱。
解：源程序及运行结果如下：
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实验三、图像的傅立叶变换
一、实验目的
1了解图像变换的意义和手段；
2熟悉傅里叶变换的基本性质；
3熟练掌握FFT的方法及应用；
4通过实验了解二维频谱的分布特点；
5通过本实验掌握编程实现数字图像的傅立叶变换。
二、实验原理
1应用傅立叶变换进行图像处理
傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。
通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。
对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
2傅立叶（Fourier）变换的定义
对于二维信号，二维Fourier变换定义为：
二维离散傅立叶变换为：
图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。
实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。
三、实验内容
1.根据二维离散Fourier变换的定义编写程序
2.实现图象的变换
3.画出图象的频谱图。
实验图像：任选
四、要求：
1、实验之前要预习
2、独立完成程序的编写
3、写出实验报告。
4、实验每组1人
五、实验设备：每组计算机一台
六、实验报告内容
1叙述实验过程；
2提交实验的原始图像和结果图像。
3报告内容主要是将原理与实验现象相结合，利用原理简要解释观察到的现象。
4实验报告上的其他内容，按常规实验报告要求办。
六、思考题
1．傅里叶变换有哪些重要的性质?
2．图像的二维频谱在显示和处理时应注意什么?。