理论物理-第六章——刚体的简单运动2010
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理论力学6—刚体的基本运动
34.8
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
刚体的简单运动
A 图6-6
a
C
(3).如图6-7所示机构中， M为AB上的点。且 O1 A O2 B r,
AM BM。若O1A按 t 的规律绕 O1 轴转动， O1O2 AB l 。 则M点的轨迹是（ ）B
M A.半径为 r 圆 B.半径为 l 圆 1 C.半径为 l 圆 2 D.与AB 平行的直线 A O1
vA ＝0.86m/s 答案：
r
A
r
图6-9
4、如图6-10,摆式运输机构中,摆杆O1 A O2 B r 10cm,
O1O2 AB, 已知 O1 A 与 O2 B 成 60角时,铰接在摆
杆上的平板CD 的端点D 的加速度大小。
答案：
0.5 2rad / s, 0.5 3rad / s
d dt
故
a r
an
即
a a an
§4 .轮系的传动比
v r11 r22
传动比：
ω1 r1
ω2 r2Leabharlann 1 r2 i12 2 r1
ω1 r1
v
r2 ω2
2n 转速 n 转/分， rpm； 角速度 (1 s ) 60
概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快 （2）越转越慢 （3）不一定
O2 图6-7
（4）半径为 R 的飞轮,绕垂直与图面的O轴转动。图示瞬时， a A 的大小、方向均为已知，则 轮缘上A点加速度 此时 A点速度大小为（ C ） A. B. C. D.
Ra A Ra A sin Ra A cos Ra A cos
A
O
a
图6-8
3、平板 A放置在两个半径为 r 25cm的圆筒上,如图6-9所示。 2 a 0 . 5 cm s 在某瞬时,平板具有向右的匀加速度 A ,在同一瞬 2 时的圆筒周边上一点的加速度 a 3m s ,假设平板 A与圆 筒之间无滑动,试求该瞬时平板A 的速度 A 。
理论力学第六章——刚体的简单运动
O2 r2
于是可得
r1 r1 2 1 , 2 1 r2 r2
即
1 1 r2 2 2 r1
例6-2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
O
R
dj 2t 4 dt
求当t=1s时，则为
2 2 rad / s 2rad / s
2 2 2
d 2j 2 2 dt
A
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
v R 0.4m / s a R 0.4m / s an R 0.8m / s
方向如图所示。
M点的全加速度及其偏角为
2 a a2 an (0.4) 2 (0.8) 2 0.894 m / s 2
arctg 2 arctg0.5 2634
如图。
a M a an R O
现在求物体A的速度和加速度。因为
s A sM
•角速度与转速之间的关系：
dj dj 大小： dt dt 方向：逆时针为正
2n n 60 30
角加速度
d d 2j j 2 dt dt
d 0 dt
匀速转动
j j0 t
0 t
匀变速转动
d cont dt
上式两边求一阶及二阶导数，则得
A
vA vM
第6章刚体的简单运动（知识点解析）
第六章 刚体的简单运动1、 基本要求(1) 理解刚体平移、定轴转动的基本概念；(2) 熟练掌握刚体平移、定轴转动时其上各点的速度和加速度分布特性； (3) 掌握轮系传动的传动特性；(4) 了解用矢量法表示角速度与角加速度。
2、 知识点 （1） 刚体平移定义：刚体上的任意直线在运动过程中，始终平行于其初始位置的运动。
平移的特点：z 刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹；z 刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度；z 刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为质心)的运动分析。
注意： 刚体作曲线平移与刚体作定轴转动区别开。
（2） 刚体绕定轴转动转动方程：()t ϕ=f 。
转动的角速度：d d tϕωϕ== ， ω为代数量，单位rad/s ，方向：ϕ角增大的方向。
转动的角加速度：22d d d d t tωϕαωϕ==== ， α为代数量，单位rad/s 2，方向：ω增大的方向。
注意：当ω与α同号时，刚体作加速转动；反之，刚体作减速转动。
（3） 转动刚体内各点的速度和加速度已知：刚体转动的角速度为ω，角加速度为α。
求：刚体内任一点（到转轴的距离为R ）的速度和加速度。
结论：速度：v R ω= 加速度：t n =+a a a其中，t a ，为切向加速度，t a R α=，方向与α方向一致；n a ，为法向加速度，22n v a R Rω==，方向沿主法线方向。
注意：z转动刚体上各点具有相同的角速度为ω与角加速度为α。
z速度分布：由v Rω=知，与回转半径R成正比。
z加速度：a=，t2ntanaaαθω==。
（4） 轮系的传动比a)齿轮传动z内啮合：齿轮的传动比2112121221r n zir n zωω====；z外啮合：齿轮的传动比2112121221r n zir n zωω=−=−=−=−。
b)皮带传动传动比：11212221n rin rωω===。
（5） 用矢量表示的角速度与角加速度（了解）说明：（1）以上为基本知识点，对刚体作平移（包括直线平移和曲线平移两种情况）和刚体作定轴转动的速度与加速度要求非常熟练掌握。
理论力学(第7版)第六章 刚体的简单运动
n aM 2 vM 1002 25000 2 m/s R 0.4
16
[思考题：P168 6-5,6-7 ]
17
7-4
轮系的传动比
一.齿轮传动 1、内啮合
因为作纯滚动(没有相对滑动)
1 R1 2 R2 1 R2 2 R1 齿轮传动比：
——主动轮和从动轮的角速度的比值。
11
6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一.线速度v和角速度之间的关系
以固定点O’为弧坐标S的原点,按 角的正向规定弧坐标S的正向,
s R
dS d 两边求导 R dt dt
v R
方向：沿圆周的切线，指向转动的一方。
12
二.角加速度与an ,a 的关系
1、切向加速度： a dv d (R) dt dt d a R R dt 方位：沿圆周切线 指向：由角加速度的符号决定
如 果与同 号 ， 则 是 加 速 转 动 ； 如 果与异 号 ， 则 是 减 速 转 动 。
8
7-2 刚体绕定轴的转动
讨论两种特殊情况:
1、匀速转动： =常数
d 常量 两 边 积 分 0 t dt
转速——工程中反映转动快慢的常用单位（每分钟转数n）
n = 转/分(r / min)
O’
动平面
5
6-2 刚体绕定轴的转动
二.转角和转动方程
---转角, 单位rad (代数量 ) 转轴
O’
f (t ) ——转动方程
方向规定: 从z 轴正向看去,
逆时针为正 顺时针为负
固定 平面
M
动平面
6
7-1 刚体的平行移动
CD作平动 ,OB作定轴转动
16
[思考题：P168 6-5,6-7 ]
17
7-4
轮系的传动比
一.齿轮传动 1、内啮合
因为作纯滚动(没有相对滑动)
1 R1 2 R2 1 R2 2 R1 齿轮传动比：
——主动轮和从动轮的角速度的比值。
11
6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一.线速度v和角速度之间的关系
以固定点O’为弧坐标S的原点,按 角的正向规定弧坐标S的正向,
s R
dS d 两边求导 R dt dt
v R
方向：沿圆周的切线，指向转动的一方。
12
二.角加速度与an ,a 的关系
1、切向加速度： a dv d (R) dt dt d a R R dt 方位：沿圆周切线 指向：由角加速度的符号决定
如 果与同 号 ， 则 是 加 速 转 动 ； 如 果与异 号 ， 则 是 减 速 转 动 。
8
7-2 刚体绕定轴的转动
讨论两种特殊情况:
1、匀速转动： =常数
d 常量 两 边 积 分 0 t dt
转速——工程中反映转动快慢的常用单位（每分钟转数n）
n = 转/分(r / min)
O’
动平面
5
6-2 刚体绕定轴的转动
二.转角和转动方程
---转角, 单位rad (代数量 ) 转轴
O’
f (t ) ——转动方程
方向规定: 从z 轴正向看去,
逆时针为正 顺时针为负
固定 平面
M
动平面
6
7-1 刚体的平行移动
CD作平动 ,OB作定轴转动
第六章 第一节 刚体的平动
归结为
刚体的平动
点的运动
①刚体质心(动力学) ②与其它构件的连接点 (运动学)
例(P133例6-1)荡木用两根等长的绳索平行吊起。已知O1O2=AB， 绳索长O1A=O2B=l，摆动规律为 j ＝ j0sin(pt/4)。试求当t=0和 t=2s时，荡木中点M的速度和加速度。 O1
O2
vs
π lj 0 π cos t 4 4
j
s
(╋ ) A
π 2 lj 0 π a v sin t 16 4
M
B
O'
2 v 2 π 2 lj 0 2 π an cos t l 16 4
v2
解(1)运动分析：荡木作平动 vM= vA aM= aA 只需分析点A的运动 (2)点A的运动方程为 s = lj＝lj0sin(pt/4) 点A的速度、加速度为
第六章 刚体的基本运动
刚体的运动：平动、定轴转动、平面运动、定点运动和一般 运动。 本章研究：刚体的平动和定轴转动。 工程中最常见、最简单的运动，也是研究刚体复杂运动的 基础。 ① 整个刚体的运动。 ② 整个刚体平动
一、定义：刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初 始位置平行（方向永不改变），则称刚体作平行移动，简称 为平动或移动。 刚体平动时，其上各点的轨迹如为直线，则称为直线平动； 如为曲线，则称为曲线平动。
工程实例： 沿直线轨道行驶的火车车厢的运动
A
B 内燃机汽缸中的活塞 振动筛筛体的运动 —————————曲线平动
. 直线平动
二、特点：刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬 时，各点的速度相等，加速度也相等。 ［证明］ A1 rA= rB+ BA A2 刚体平动，BA=常矢量。 A 因此,A、B两点的轨迹曲线 的形状完全相同。 求导: BA rA vA = vB B1 B2 aA= aB B rB [证毕] O 三、研究方法：
刚体的平动
点的运动
①刚体质心(动力学) ②与其它构件的连接点 (运动学)
例(P133例6-1)荡木用两根等长的绳索平行吊起。已知O1O2=AB， 绳索长O1A=O2B=l，摆动规律为 j ＝ j0sin(pt/4)。试求当t=0和 t=2s时，荡木中点M的速度和加速度。 O1
O2
vs
π lj 0 π cos t 4 4
j
s
(╋ ) A
π 2 lj 0 π a v sin t 16 4
M
B
O'
2 v 2 π 2 lj 0 2 π an cos t l 16 4
v2
解(1)运动分析：荡木作平动 vM= vA aM= aA 只需分析点A的运动 (2)点A的运动方程为 s = lj＝lj0sin(pt/4) 点A的速度、加速度为
第六章 刚体的基本运动
刚体的运动：平动、定轴转动、平面运动、定点运动和一般 运动。 本章研究：刚体的平动和定轴转动。 工程中最常见、最简单的运动，也是研究刚体复杂运动的 基础。 ① 整个刚体的运动。 ② 整个刚体平动
一、定义：刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初 始位置平行（方向永不改变），则称刚体作平行移动，简称 为平动或移动。 刚体平动时，其上各点的轨迹如为直线，则称为直线平动； 如为曲线，则称为曲线平动。
工程实例： 沿直线轨道行驶的火车车厢的运动
A
B 内燃机汽缸中的活塞 振动筛筛体的运动 —————————曲线平动
. 直线平动
二、特点：刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬 时，各点的速度相等，加速度也相等。 ［证明］ A1 rA= rB+ BA A2 刚体平动，BA=常矢量。 A 因此,A、B两点的轨迹曲线 的形状完全相同。 求导: BA rA vA = vB B1 B2 aA= aB B rB [证毕] O 三、研究方法：
(完整版)第六章-刚体的简单运动
0 为最高位置时的角度。
§6-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上有两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。
通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体 的转轴或轴线，简称轴。
f (t)
转动方程
flash
转角对时间的变化率：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
瞬时角速度 瞬时角加速度
刚体绕定轴转动时， 刚体内任一点均作圆心在 轴线上的圆周运动。
若点到转轴的距离为R，则： s R 是点的运动方程。
切向加速度： 法向加速度： 全加速度
R
R2 2 R24 R 2 4
R R 2
2
由：
a R 2 4
tan
a an
R R 2
2
可知
（1）每一瞬时，转动刚体内各点的速度与加速度的 大小均与这些点到轴线的距离成正比。
和 同号为加速，异号时为减速。
flash
两种特殊情况：
1)匀速转动，为常量
0 t
0 是t=0 时的转角。
和转速n（r.p.m）之间的关系为：
2)匀变速转动，即 是常量
0 t
0
0t
1 2
t 2
0 和 0 是t=0时的角速度和转角
例：杆AC以匀速V0沿水平导槽向右运动， 通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O 轴与导槽相距h。求杆OB的角速度和角 加速度。
解：已知角加速度求运动规律，积分问题：
d d d dt d dt
d d
k
d kd
0
0
积分得：
02
k 2
d
dt
d
t
dt
§6-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上有两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。
通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体 的转轴或轴线，简称轴。
f (t)
转动方程
flash
转角对时间的变化率：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
瞬时角速度 瞬时角加速度
刚体绕定轴转动时， 刚体内任一点均作圆心在 轴线上的圆周运动。
若点到转轴的距离为R，则： s R 是点的运动方程。
切向加速度： 法向加速度： 全加速度
R
R2 2 R24 R 2 4
R R 2
2
由：
a R 2 4
tan
a an
R R 2
2
可知
（1）每一瞬时，转动刚体内各点的速度与加速度的 大小均与这些点到轴线的距离成正比。
和 同号为加速，异号时为减速。
flash
两种特殊情况：
1)匀速转动，为常量
0 t
0 是t=0 时的转角。
和转速n（r.p.m）之间的关系为：
2)匀变速转动，即 是常量
0 t
0
0t
1 2
t 2
0 和 0 是t=0时的角速度和转角
例：杆AC以匀速V0沿水平导槽向右运动， 通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O 轴与导槽相距h。求杆OB的角速度和角 加速度。
解：已知角加速度求运动规律，积分问题：
d d d dt d dt
d d
k
d kd
0
0
积分得：
02
k 2
d
dt
d
t
dt
第六章 刚体的简单运动
当t =1 s时, =1 rad/s 2 rad/s2 vM = r = 0.2×1= 0.2 m/s
aM
B
vM
M
n aM
r
aM
A
aM r =0.2×(-2)=-0.4 m/s2
n aM r 2 = 0.2×12= 0.2 m/s2
O
2 2
vA
aM ( aM ) ( a )
例2
图示为卷筒提取重
物装置 , 卷筒 O 的半径 r=0.2m,B为定滑轮.卷筒在 制动阶段,转动方向如图示,
M r O B
其转动方程为 = 3t – t 2.
式中 以 rad度计, t以s计. 求t=1s时卷筒边缘上任一 点M的速度和加速度,以及 重物A的速度和加速度.
A
vA
解：取卷筒为研究对象. = 3t – t2 d d & = 3 -2 t 2 dt dt
s R v R
a
an
v
2
1 R 2 R 2 R
v
方向：永远指向转动 中心。
2 a a2 an R 2 4
a
a an
M
v
速度
v R
的方向。 方向：垂直于“转动半径”，顺着
加速度
a R
方向：沿轨迹切向， 与 相同。 方向：永远指向转动 中心。
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1 角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
d 大小 dt 作用线 沿轴线滑动矢量 右手螺旋规则 指向
k
角加速度矢量 d d k k dt dt
aM
B
vM
M
n aM
r
aM
A
aM r =0.2×(-2)=-0.4 m/s2
n aM r 2 = 0.2×12= 0.2 m/s2
O
2 2
vA
aM ( aM ) ( a )
例2
图示为卷筒提取重
物装置 , 卷筒 O 的半径 r=0.2m,B为定滑轮.卷筒在 制动阶段,转动方向如图示,
M r O B
其转动方程为 = 3t – t 2.
式中 以 rad度计, t以s计. 求t=1s时卷筒边缘上任一 点M的速度和加速度,以及 重物A的速度和加速度.
A
vA
解：取卷筒为研究对象. = 3t – t2 d d & = 3 -2 t 2 dt dt
s R v R
a
an
v
2
1 R 2 R 2 R
v
方向：永远指向转动 中心。
2 a a2 an R 2 4
a
a an
M
v
速度
v R
的方向。 方向：垂直于“转动半径”，顺着
加速度
a R
方向：沿轨迹切向， 与 相同。 方向：永远指向转动 中心。
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1 角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
d 大小 dt 作用线 沿轴线滑动矢量 右手螺旋规则 指向
k
角加速度矢量 d d k k dt dt
刚体的简单运动—转动刚体内各点的速度和加速度(理论力学)
二、角加速度 与an ，at的关系
设角加速度如图所示
A MO
O
切向加速度 at dv d (R) R d R (+)
dt dt
dt
R
an
v
at
即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加 速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线
M
B
垂直距离的乘积。
它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 t 2 4t ，单位为弧度。 求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不
可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d2 2
• ①滑轮3s内的转数； • ②重物B在3s内的行程；
• ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
• ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
• ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
解：① 因为绳子不可以伸长，所以有
C aA 1m/s2
aCt 1 2 rad/s2
R 0.5
（ ）常数
vC
vA
1.5m /s， 0 vC
4.5m /s2
a (at )2 (an )2 12 4.52 4.61 m/s2
C
C
C
tan aCt 1 0.222， 12.5
aCn 4.5
⑤ t=3s 时，
at a
1m/s2，a n
R 2
2
0.5 9
40.5m/s2
a 12 40.52 40.51m/s2，tan 1 0.0247， 1.41 C
设角加速度如图所示
A MO
O
切向加速度 at dv d (R) R d R (+)
dt dt
dt
R
an
v
at
即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加 速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线
M
B
垂直距离的乘积。
它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 t 2 4t ，单位为弧度。 求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不
可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d2 2
• ①滑轮3s内的转数； • ②重物B在3s内的行程；
• ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
• ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
• ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
解：① 因为绳子不可以伸长，所以有
C aA 1m/s2
aCt 1 2 rad/s2
R 0.5
（ ）常数
vC
vA
1.5m /s， 0 vC
4.5m /s2
a (at )2 (an )2 12 4.52 4.61 m/s2
C
C
C
tan aCt 1 0.222， 12.5
aCn 4.5
⑤ t=3s 时，
at a
1m/s2，a n
R 2
2
0.5 9
40.5m/s2
a 12 40.52 40.51m/s2，tan 1 0.0247， 1.41 C
《刚体的简单运动》课件
探讨刚体运动对科学研究和工程实践的重要性和价值。
总结
1 刚体运动的基本概
念和分类
总结刚体运动的定义、 性质和基本分类。
2 刚体运动的数学公
式和实例分析
回顾刚体运动的位移、 速度、加速度和角度的 数学公式，并举例分析 应用。
3 刚体运动在工程实
践中的应用和前景
总结刚体运动在工程实 践中的应用领域和未来 发展前景。
3 刚体的运动类型
刚体可以进行平动运动、旋转运动以及复合运动。
平动运动
定义
刚体的平动运动是 指刚体所有部分同 时沿着同一条直线 移动。
描述
平动运动可以用位 移、速度和加速度 来描述。
公式
平动运动的公式包 括位移公式、速度 公式和加速度公式。
实例分析
举例说明平动运动 的应用，如火车行 驶、运动员奔跑等。
速度和加速度来描述。
3
公式
复合运动的公式组合了平动和旋转运
实例分析
4
动的公式。
举例说明复合运动的应用，如运动员 跳高过栏、车辆的转弯等。
应用
刚体运动在机械工程中的应用
介绍刚体运动在机械设计、运动机构和机械控制中的应用。
刚体运动在物理学中的应用
介绍刚体运动在物理实验和物理模型建立中的应用。
刚体运动的意义和价值
旋转运动
定义
刚体的旋转运动是指刚体绕固定轴线旋转。
描述
旋转运动可以用角度、角速度和角加速度来描述。
公式
旋转运动的公式包括角度公式、角速度公式和 角加速度公式。
实例分析
举例说明旋转运动的应用，如陀螺仪的工作原 理、摩托车转弯等。
复合运动
1
定义
刚体的复合运动是指同时进行平动和
总结
1 刚体运动的基本概
念和分类
总结刚体运动的定义、 性质和基本分类。
2 刚体运动的数学公
式和实例分析
回顾刚体运动的位移、 速度、加速度和角度的 数学公式，并举例分析 应用。
3 刚体运动在工程实
践中的应用和前景
总结刚体运动在工程实 践中的应用领域和未来 发展前景。
3 刚体的运动类型
刚体可以进行平动运动、旋转运动以及复合运动。
平动运动
定义
刚体的平动运动是 指刚体所有部分同 时沿着同一条直线 移动。
描述
平动运动可以用位 移、速度和加速度 来描述。
公式
平动运动的公式包 括位移公式、速度 公式和加速度公式。
实例分析
举例说明平动运动 的应用，如火车行 驶、运动员奔跑等。
速度和加速度来描述。
3
公式
复合运动的公式组合了平动和旋转运
实例分析
4
动的公式。
举例说明复合运动的应用，如运动员 跳高过栏、车辆的转弯等。
应用
刚体运动在机械工程中的应用
介绍刚体运动在机械设计、运动机构和机械控制中的应用。
刚体运动在物理学中的应用
介绍刚体运动在物理实验和物理模型建立中的应用。
刚体运动的意义和价值
旋转运动
定义
刚体的旋转运动是指刚体绕固定轴线旋转。
描述
旋转运动可以用角度、角速度和角加速度来描述。
公式
旋转运动的公式包括角度公式、角速度公式和 角加速度公式。
实例分析
举例说明旋转运动的应用，如陀螺仪的工作原 理、摩托车转弯等。
复合运动
1
定义
刚体的复合运动是指同时进行平动和
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传动比 i12=1 /2= r2 /r1
1 2
第6章 刚体的简单运动
三、绕定轴转动刚体的传动问题
定轴转动
1.齿轮传动
（1）.内啮合 因为是做纯滚动(即没有相对滑动)
vF vE vF vE
F rF E rE
定义齿轮传动比
iEF
E F
rF rE
ZF ZE
第6章 刚体的简单运动
齿数Z
2r
t
B
各点速度、
加速度相同
第6章 刚体的简单运动
平行移动
平移的特点
刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹， 轨迹可以为直线或曲线；
刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度 和加速度；
刚体平移时的运动分析可以简化为其上任 意一点(一般取为质心或已知点)运动分析；
第6章 刚体的简单运动
平行移动
例题
已知：O1A＝ O1B ＝l； O1A杆的角速度 （顺时针）和角加速 度 （顺时针）
⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
解：① 因为绳子不可以伸长，所以有 aC aA 1m/s 2 ,
aC 1 2 rad/s 2 （
R 0.5
）常数
vC
vA
1.5m/s ,
0
vC R
1.5 3rad/s 0.5
（）
0t
1 2
t
2
3 3 1 2 32 2
18rad, n
2
2.86(转）
② sr 0.3185.4m
③ 0 t3239 rad/s （ ）
vB r 0.392.7m/s
④ t = 0 时，
aC a A 1m/s 2 ,
aC n R02 0.532 4.5m/s 2
aC (aC )2 (aC n )2 12 4.52 4.61 m/s2
tg
按右手定则规定
，
的方向。
二 刚体内任一点的线
速度和线加速度的矢 积表示
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
泊松公式
动系O1 x y z 绕 z轴转动， 角速 度 ，基矢量为(i , j , k)
di ?
dt
d j ? dt
dk ?
dt
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
P3 P2
P1
泊松公式
di
ω
i
= a / r = 50 (1/s2)
= 0+ t =50t 转动方程： =0 +0 t +1/2 t 2 =25 t 2 (rad )
t=5s时： v= r =0.4250=100 (m/s)
an = r2 = 0.462500= 25000(m/ s2)
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
用矢量表示角速度与角加速度
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
43
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
定轴转动 —— 刚体运动过程中，其 上有一直线始终保持不动。
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
一、定轴转动刚体的整体运动描述
1、运动方程： 描述转动刚体位置的变化
转角： =（t） 单位：rad 符号：逆时为正
（或右手螺旋法）
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
一、定轴转动刚体的整体运动描述
小于90o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:
各点速度分布图
各点加速度分布图
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
二、定轴转动刚体上各点的运动
求 A点的速度、加速度
A
A
A
A
v
a anOຫໍສະໝຸດ OOOv =OA a=OA
an=OA2
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
试画出图中刚体上Ｍ¸Ｎ两点在图示位置时的速度和
dt dj
ω j
dt dk
ω
k
dt
( vP1)
( vP2)
( vP3)
转动刚体上任一矢量对时间
的变化率等于刚体的与矢量
本身的乘积。
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
1、刚体平动时各点的轨迹一定在同一平 面内吗？ 2、怎样根据平动刚体的运动特点求解其上 各点的运动？
3、定轴转动刚体各点的 v,a 求法与点的v,a 的求解公式有何不同与联系？
匀速转动： =常量, =0 =0 + t
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
二、定轴转动刚体上各点的运动
各点轨迹为圆，选弧坐标
S = S( t )=r = r t
o
an
a
v= ds/dt =r
a= dv/dt =r
+ P a v
an = v2 /R = r2
a (a )2 (an )2 r 2 4
rF rE
2 2
rF rE
/t /t
ZF ZE
（2）外啮合
vC vDvC vDC rC DrD
iCD
CD
rD rC
ZD ZC
定轴转动
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
由于转速n与 有如下关系：
2n
60
1 2
n1 n2
成正比
即:i1,2
12
n1 n2
r2 r1
z2 z1
从 主动 动轮 轮
显然当: | i1,2 | 1 时, 2 1 ,为升速转动； | i1,2 | 1 时, 2 1 ,为降速转动。
第6章 刚体的简单运动
平移的实例
平行移动
第6章 刚体的简单运动
平行移动
平移的特点
A
y
A
B
B
A
o
x
AB AB AB
A A A弧 BB B弧
B
各点轨迹相同
即 B点轨迹与 A点轨迹完全相同
第6章 刚体的简单运动
平行移动
平移的特点
y
A
B rB rA
o
A B
x
rA =rB+BA vA =vB + 0 A aA = aB
4、定轴转动刚体的 , 及其上各点的 v,a 的矢量表示与计算公式？
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
已知：重物A的 aA 1m/s（2 常数），初瞬时速度 v0 1.5m/s
方向如图示。R 0.5m, r 0.3m 求：
①滑轮3s内的转数； ②重物B在3s内的行程；
③重物B在ｔ＝3s时的速度；
④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
aC aC n
1 4.5
0.222,
12.5
⑤ t=3s 时， aC aA 1m/s2,aCn R 2 0.592 40.5m/s2
aC
12 40.52 40.51m/s2,
tg 1 0.0247, 1.41
40.51
第6章 刚体的简单运动
作业： 本章思考题 题6-1，6-4，6-5，6-9
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
2. 皮带轮系传动
vA vB (而不是 vA vB 方向不同 )
ArA BrB 皮带传动
i
AB
A B
rB rA
3. 链轮系: 设有： A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：
i A,H
A H
(1)m
A B
CB
CD
D E
E F
GF
HG
(1)m
iA,B iB,C iC,D iD,E iE,F iF ,G iG,H
加速度。 (O1 AO2B,O1O2 AB)
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
二、定轴转动刚体上各点的运动 轮的转动带动A上升
E
D
va
轮上D点与绳上D点的速
度与加速度是否相同？
A
B
轮上E点与绳上E点的速
度与加速度是否相同？
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
三、绕定轴转动刚体的传动问题
v
v= r1 1 = r2 2
2、角速度： 描述转角变化的快慢
角速度：
lim t 0
t
d
dt
单位：rad /s (1 /s)
符号：同转角
是代数量
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
一、定轴转动刚体的整体运动描述
3、角加速度： 描述角速度变化的快慢
角加速度：
lim
t 0
t
d
dt
d 2
dt 2
单位：rad /s2 (1 /s2)
符号：同转角 是代数量
a
解：
因为匀加速转分动
a a=常量= a sin30= 20 (m/s2)
= a / r = 50 (1/s2)
= 0+ t =50t =0 +0 t +1/2 t 2 =25 t 2
第6章 刚体的简单运动
例题：
定轴转动
求：转动方程；t=5s时，M点的速度、法向加速度
解：
因为匀加速转动
a a=常量= a sin30= 20 (m/s2)
第二篇 运动学
第6章 刚体的简单运动 平行移动 定轴转动
第6章 刚体的简单运动
§6-1 刚体的平行移动 （平移，平动）
第6章 刚体的简单运动
平行移动
平 动－刚体运动过程中，其上之任 意直线始终平行于这一直线的初始位置。
第6章 刚体的简单运动
平移的实例
平行移动
第6章 刚体的简单运动
平移的实例
平行移动
tan
a an
2
第6章 刚体的简单运动
定轴转动
二、定轴转动刚体上各点的运动