27.1圆的确定(很全,很好,很详细)

27.1 圆的确定【学习目标】【1】了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．【2】探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．【主要概念】【圆】在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”注意：①图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．③圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，对称轴是任何一条过圆心的直线【圆的新定义】圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．【垂径定理】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧【圆与点的关系】设一个圆的半径长为R，点P与圆心O的距离为d，则（1）点P在圆外⇔d>R（2）点P在圆上⇔d=R Array（3）点P在圆内⇔d<R【定理】不共线的三点确定一个圆【经典例题】【例1】举出生活中的圆三、四个；并说明形成圆的方法有多少种？【解】如车轮、杯口、时针等；圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．【例2】如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． 【解】（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM=BM ，AC BC =，AD BD =，即直径CD 平分弦AB ，并且平 分AB 及ADB ．【例3】证明垂径定理已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中 OA OBOM OM=⎧⎨=⎩ ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM∴点A 和点B 关于CD 对称∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BDB重合．∴AC BC =，AD BD =【例4】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．【分析】例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【解】如图，连接OC设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m∵OE ⊥CD∴CF=12CD=12×600=300（m ）根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+（R-90）2 解得R=545∴这段弯路的半径为545m ．【例5】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【分析】要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R ． 【解】不需要采取紧急措施设OA=R ，在Rt △AOC 中，AC=30，CD=18R 2=302+（R-18）2 R 2=900+R 2-36R+324解得R=34（m ）连接OM ，设DE=x ，在Rt △MOE 中，ME=16342=162+（34-x ）2162+342-68x+x 2=342 x 2-68x+256=0 解得x 1=4，x 2=64（不合设） ∴DE=4∴不需采取紧急措施．【例6】已知⊙A 的圆心坐标为()4,3，半径为5，判断下列各点与⊙A 的位置关系。

⑴原点O ；⑵B ()1,2；⑶C ()1,1-- 【解】⑴()()5040322=-+-=OA ,∴点O 在圆上。

⑵()()510413222<=-+-=AB ，∴点B 在圆内⑶()()541141322>=+++=AC ，∴点C 在圆外【例7】已知钝角三角形ABC ，用直尺和圆规作出这个三角形的外接圆。

【解】 作法1、作线段AB 的垂直平分线1l 。

2、作线段AC 的垂直平分线2l ，设1l 和2l 相交于点O 。

以点O 位圆心，OA 为半径作⊙O 。

⊙O 就是所求作的圆。

【例8】如下图，CD 所在的直线垂直平分线段AB ．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?【解】因为A 、B 两点在圆上，所以圆心必与A 、B 两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．所以圆心在CD 所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．【诊断评价】一、判断题1、 钝角三角形的外心在三角形的外部．( )2、 锐角三角形的外心在三角形的内部．( ) 二、选择题1、有一个三角形的外接圆的圆心在它的某一边上则这个三角形一定是_____________．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形2、 三角形外心具有的性质是 _____________．A ．到三个顶点距离相等B ．到三边距离相等C ．外心必在三角形外D ．到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍3、 可以作圆,且只可以作一个圆的条件是 _____________．A ．已知圆心B ．已知半径C ．过三个已知点D ．过不在一直线上的三点 4、下列命题中,正确的命题是 _____________．A．三点确定一个圆 B．经过四点不能作一个圆C．三角形有一个且只有一个外接圆 D．三角形外心在三角形的外面 5、两直角边分别为15和20的直角三角形的外接圆半径为 ______．A．12．5 B．25 C．20 D．106、在下列三角形中,外心在它一条边上的三角形是 _____________．A．三角形的边长分别为2cm, 2cm, 3cmB．三角形的边长都等于4cmC．三角形的边长分别为5cm, 12cm, 13cmD．三角形的边长分别为4cm, 6cm, 8cm7、下列命题中正确的为__________．A．三点确定一个圆B．圆有切只有一个内接三角形C．三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点D．面积相等的三角形的外接圆是等圆8、钝角三角形的外心在__________．A．三角形的内部 B．三角形的外部C．三角形的钝角所对的边上 D．以上都有可能9、己知命题：(1)三角形中最少有一个内角不小于60°；(2)三角形的外心到三角形各边的距离都相等．下面判断中正确的是__________．A．命题(1)(2)都正确 B．命题(1)正确，(2)不正确C．命题(1)不正确，(2)正确 D．命题(1)(2)都不正确三、填空题1．用反证法证明a＞b时，应先假设_________．2．若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是_________梯形．四、解答题1、已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a 上．2、如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上，求证CD、BE不可能互相平分．NM B A一、判断题 1． √2． √ 二、选择题1． B 2．A 3．D 4．C 5． A 6． C 7．C 8．B 9．B ； 三、填空题1．a ≤b ； 2．等腰；一、填空题:1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.2.边长为6cm 的等边三角形的外接圆半径是________.3.△ABC 的三边为2,3, 13,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH 的长为_____.4.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.5.已知⊙O 的直径为2,则⊙O 的内接正三角形的边长为_______.6.如图,MN 所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心. 二、选择题:7.下列条件,可以画出圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径; C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径 8.三角形的外心是( )A.三条中线的交点;B.三条边的中垂线的交点;C.三条高的交点;D.三条角平分线的交点9.下列命题不正确的是( )A.三点确定一个圆B.三角形的外接圆有且只有一个C.经过一点有无数个圆D.经过两点有无数个圆10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等边三角形 11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( ) A.腰长 B.腰长的22倍; C.底边的22倍 D.腰上的高12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( ) A.1个或3个 B.3个或4个C.1个或3个或4个D.1个或2个或3个或4个 三、解答题13.如图，已知：线段AB 和一点C(点C 不在直线AB 上),求作:⊙O,使它经过A 、B 、C 三点。

(要求:尺规作图,不写法,保留作图痕迹)BA14.如图，A 、B 、C 三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).A15.如图,已知△ABC 的一个外角∠CAM=120°,AD 是∠CAM 的平分线,且AD 与△ABC 的外接圆交于F,连接FB 、FC,且FC 与AB 交于E. (1)判断△FBC 的形状,并说明理由.(2)请给出一个能反映AB 、AC 和FA 的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.D EFCMBA16.要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).BA17.已知:AB是⊙O中长为4的弦,P是⊙O上一动点,cos∠APB=13, 问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形?若不存在,试说明理由;若存在,求出这个三角形的面积.18．如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD<DC),⊙O为△ABC的外接圆,如果BD的长为6,求△ABC的外接圆⊙O的面积.O DCBA答案：1.三角形内部直角三角形钝角三角形3134.其外接圆三角形三条边的垂直平分线三角形三个顶点3 6.两7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.C13.略.14. 略.15.(1)△FBC是等边三角形,由已知得:∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BCF=∠BAF=60°,∴△FBC是等边三角形.(2)AB=AC+FA.在AB上取一点G,使AG=AC,则由于∠BAC=60°,故△AGC是等边三角形,从而∠BGC=∠FAC=120°,又∠CBG=∠CFA,BC=FC,故△BCG≌△FCA,从而BG=FA,又AG=AC,∴AC+FA=AG+BG=AB.【探究创新】16.(1)在残圆上任取三点A、B、C。