放缩法证明数列不等式经典例题
(完整版)放缩法典型例题
放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。
放缩法证明不等式
高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n knk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明4712111222<+++n ．由k k k11112--<，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．例18 求证2131211222<++++n ． 分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n 下手考查即可． 证明：∵)2(111)1(11112≥--=-<⋅=n nn n n n n n ， ∴ +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++312121111131211222n 212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n n201417. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(II)证明2111132n a a a +++<.【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒= ∴{12}n a +是首项为32，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213*********(13)n n a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<- 例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<1211212144411222n n n n n ,所以 35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n。
利用放缩法证明数列型不等式
1 n(n 1)
1 n
-
1 n1
Sn
(1 1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n1
1
1 n
1
1
小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
（2）先放缩后裂项
变式1.已知数列an 的通项公式为an
1 n2
, 且an 的前n项和为Sn，
求证 : Sn 2.
解析: an
1 n2
1 n(n 1)
(n 2)
3 2
.
解析 : 3n
-
2n
(1
2)n
2n
1
C
1 n
2
C
2 n
22
C
n n
2n
2n
C
2 n
22
2n(n
1)
(n 3)
1
1
1 1 1
3n
- 2n
2n(n 1)
2
(n
1)
n
(n 3)
当n
1时 ，S1
1
3 2
当n
2时 ，S 2
1
1 5
3 2
当n
3时 ，Sn
1
1 5
1 2
(1 2
1) 3
1 2
1
3 2
当n
2时 ，Sn
1
1 31
1 32
1 33
1 3n1
1
(1
1 3n
1 1
)
3 2
(1
1 3n
)
3 2
3
小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩.
3.二项式定理放缩
放缩法证明数列不等式经典例题
放缩法证明数列不等式主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n-=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214n n n n n n n <===--+--+-2. ==>===<==<===4.=<== 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6.11122(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+⋅+⋅⋅+⋅例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ，且n c =（1）求n c ；（2）证明：4444123111174n c c c c ++++<例2.证明：1611780<++<例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a +=，*n N ∈； （1）求证：数列{}2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++⋅+>-（3）记312311112,n n n nb s T b b b b==++++，证明：312n T <<例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（212n na +++<例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-；（1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-<例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2nn nb a =，求n b ；（2）记11(1)n nc n n a +=+，求证：12351162n c c c c ≤++++<例7. 已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s 满足：1,6(1)(2)n n n n s s a a >=++；（1）求n a ；（2）设数列{}n b 满足(21)1,n b n a -=并记123n n T b b b b =++++，求证：(3)231log n a n T ++>（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）例8. 已知正项数列{}n a 满足：111(1)1,1n n n n na n a a a a +++==+ ， 记2111222231111,[](2)n n b a b n a n a a a -==++++≥。
放缩法典型例题
放缩法典型例题第一篇：放缩法典型例题放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列（1）数列的前项的和的通项公式；，满足，试求：（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以时，求证：，作差得：，又因为，得为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到∴，又由条件得所以，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{an}中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是．．（2）∵，，∴公比．∴．．∴3．放缩后为差比数列，再求和．例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m 时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列．j（1）求a4、a5，并写出an的表达式；的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=综上，..注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．为裂项第二篇：放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式主要放缩技能： 1.1111111-=<2<=- nn+1n(n+1)nn(n-1)n-1n114411<===2(-)22n4n-1(2n+1)(2n-1)2n-12n+1n2-42.==>===<=2)=<====<== 4.2n2n2n-1115.n <==-(2-1)2(2n-1)(2n-2)(2n-1)(2n-1-1)2n-1-12n-16.n+22(n+1)-n11==- n(n+1)⋅2n+1n(n+1)⋅2n+1n⋅2n(n+1)⋅2n+1x2-x+n*c=(n∈N)例1.设函数y=的最小值为，最大值为，且abnnn2x+1（1）求cn；（2）证明：例2.证明：16<1+例3.已知正项数列{an}的前n项的和为sn，且an+2（1）求证：数列sn是等差数列；11117+++Λ+< 444c14c2c3cn4+Λ+<17 1=2sn，n∈N*； an{}（2）解关于数列n的不等式：an+1⋅(sn+1+sn)>4n-8（3）记bn=2sn,Tn=331111<Tn<-+++Λ+，证明：1 2b1b2b3bn例4.已知数列{an}满足：⎨n+2⎧an⎫an+1；⎬是公差为1的等差数列，且an+1=nn⎩⎭（1）求an；（2++Λ<2 例5.在数列{an}中，已知a1=2,an+1an=2an-an+1；（1）求an；（2）证明：a1(a1-1)+a2(a2-1)+a3(a3-1)+Λ+an(an-1)<32n+1an例6.数列{an}满足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）设bn=，求bn；（2）记cn=，求证：≤c1+c2+c3+Λ+cn< 162n(n+1)an+1an例7.已知正项数列{an}的前n项的和为sn满足：sn>1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）设数列{bn}满足an(2n-1)=1,并记Tn=b1+b2+b3+Λ+bn，b求证：3Tn+1>log2n(a+3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）例8.已知正项数列{an}满足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1 记b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）证明：(1+2111++Λ+](n≥2)。
放缩法证明数列不等式
数列微专题——放缩法证明数列不等式一、常见的放缩变形： （1）()()211111n n n n n <<+-， ()()22111111111211n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭，()()22211411111412121221214n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭- （2=，从而有：22-=<<<（3）分子分母同加常数：()()0,0,0,0b b m b b m b a m a b m a a m a a m++>>>>>>>>++ （4）()()()()()()()121222221212122212121nn n n n n n n n n n--=<=------- ()1112,2121n nn n N *-=-≥∈-- 可推广为：()()()()()()()121111111nn n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k --=<=------- ()1112,2,,11n nn k k n N k k *-=-≥≥∈-- 二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a = （1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式 （2）设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：32n T <例2：设数列{}n a 满足：111,3,n n a a a n N *+==∈，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，已知10b ≠，112,n n b b S S n N *-=⋅∈（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式 （2）求证：对任意的n N *∈且2n ≥，有223311132n n a b a b a b +++<---例3：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,n n na S n N a *+=∈ （1）求证：数列{}2n S 是等差数列（2）记数列3121112,n n n n bS T b b b ==+++，证明：312n T <≤-例4：已知数列{}n a 满足21112,21,n n a a a n N n ++⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭（1）求证：数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式 （2）设n nnc a =，求证：121724n c c c +++<例5：已知数列{}n a 满足()()1111,2,412n n n n a a a n n N a --==≥∈-- （1）试判断数列()11n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是否为等比数列，并说明理由 （2）设()21sin 2n n n b a π-=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：对任意的4,7n n N T *∈<放缩法证明数列不等式教师版一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
专题10 放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)
放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型 方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n 项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型. 放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小. 放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解). 放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M A <时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M 放大为1N ,当我们能够证明1N A <,也间接证明了M A <.切不可将M 缩小为2N ,即使能够证明2N A <,M 与A 的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M A >时,这时我们可以将多项式M 缩小为1N ,当我们能够证明1N A >,也间接证明了M A >.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1. 常见的放缩形式:（1）()()21111211n n n n n n<=-≥--； （2）()2111111n n n n n >=-++；（3）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭； （5(()2121n n n n n n n n==--≥+-+； （6(211n n n n n n n =>=++++；（7222212111212122n n n n nn n n n ==--++-++-++； （8）()()()()()()()1211222211212121212122212121nn n n n n n n n n n n n ---=<==----------()2n ≥；（12）()()()111121122121212121n nn n n n n ---<=-≥-----.类型一:裂项放缩 【经典例题1】求证22221111.....2123n ++++< 【解析】因为()()2211111211n n n n n n n n <==-≥---,所以2222222211111111111111..........11.....=22123122332231n n n n n n ++++<++++=+-+-++--<----,所以原式得证. 为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证222211117 (1234)n ++++< 【解析】因为()()()221111112111211n n n n n n n ⎛⎫<==-≥ ⎪-+--+⎝⎭,所以222222221111111111111111........11....1231213112324351n n n n ⎛⎫++++<++++=+-+-+-+- ⎪----⎝⎭11117=112214n n ⎛⎫++--< ⎪+⎝⎭,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证222211115 (1233)n ++++<【解析】因为()()()221111112111211n n n n n n n ⎛⎫<==-≥ ⎪-+--+⎝⎭,所以 222222222111111111111111111........1....12312311222435461n n n n ⎛⎫++++<++++=++-+-+-++- ⎪---⎝⎭11111151115=1=422313213n n n n ⎛⎫⎛⎫+++---+< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知2,2n n n a b n ==,设1n n nc a b =+,求证:1243n c c c +++<.【解析】已知2,2n n na b n ==,因为 222441122(21)2(21)(21)(21)2121n c n n n n n n n n n n ⎛⎫===<=- ⎪+++-+-+⎝⎭所以1221111112224233557212133132n c c c n n n ⎛⎫+++<+-+-++-=+-< ⎪-++⎝⎭,故不等式得证.【经典例题3】已知数列{}n a 满足11a =，*11(2,)n n n a a n n n--≥∈=N ， （1）求n a ;（2）若数列{}n b 满足113b =，*121()n n n b b n a ++∈=N ，求证：2512n b <． 【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析． 【详解】 （1）由题意11n n a na n -=-（2n ≥）， ∴321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-，11a =也适合．所以n a n =（*n N ∈）； （2）由已知1125312b =<，214251312b b =+=<，32214119252341212b b =+=+=<， 当3n ≥时，121111(1)1n n b b n n n n n+-=<=---， 因此1343541()()()n n n b b b b b b b b ++=+-+-++-1911111125125()()()12233411212n n n <+-+-++-=-<-， 则1212512n n b b n +=-< 综上，2512n b <．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解. 【经典例题4】证明:12311115 (212121213)n ++++<----【解析】令121n na =-,则1111212111212222n n n n n n n n a a a a ++++--=<=⇒<-- 又因为1211,3a a ==,由于不等式右边分母为3 ,因此从第三项开始放缩,得21121222111115321122312n n n a a a a a a a --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++<++++=+<⎪⎝⎭-故不等式得证.【经典例题5】已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 【答案】（1）证明见解析，2nn a n =⋅；（2）1(1)22n n S n +=-+；（3）证明见解析.【详解】（1）证明：1111122211222222n n n n n n nn n n n n na a a a a a ++++++-=-=+-=， ∴2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1112a =，公差为1的等差数列， ∴1(1)12nn a n n =+-=，∴2n n a n =⋅. （2）∵1231222322n nS n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 两式相减得：123122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，()1212212n n n n S +-=-⋅--，∴1(1)22n n S n +=-+.（3）证明：∵2n n a n =⋅，∴11(1)2n n a n ++=+⋅，∴1(2)2n n n a a n +-=+⋅，当*n N ∈时，22n +>，∴1(2)22n n n ++⋅>， ∴111(2)22n n n +<+⋅，∴21324311111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅----234111112222n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅< 111421111122212nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【练习1】已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --=从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知，()11111n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=． 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭． 故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<． 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n =<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意.【练习2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <． 【答案】（1）()*1n a n n N =+∈．（2）见解析【解析】（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =， 当2n ≥时，112n n n S na a =+-①，()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+， 11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++.【练习3】已知函数()32x f x x=-，数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，且114a =.（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12n S <. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）由函数()32x f x x=-，在数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，得：132n n n a a a +=-， 上式两边都倒过来，可得：11n a +＝32n na a -＝3n a ﹣2，∴11n a +﹣1＝3n a ﹣2﹣1＝3n a ﹣3＝3（1n a ﹣1）．∵11a ﹣1＝3．∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1），可知：11n a -＝3n ，∴a n ＝131n +，n ∈N*．∵当n ∈N*时，不等式131n +＜13n成立． ∴S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝2121111111 (313131333)nn +++<++++++＝11133113n⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭-＝12﹣12•13n＜12．∴1S 2n <．【练习4】已知函数2()2f x x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n P n S 均在函数()y f x =的图象上．若()132n n b a =+ （1）当2n ≥时，试比较1n b +与2nb 的大小；（2）记)*1n nc n N b =∈试证1240039c c c ++⋯+<. 【答案】（1）12bnn b +<；（2）证明见解析. 【详解】（1）2()2f x x x ∴=-，故22n S n n =-，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，111a S ==-适合上式，因此()*23n a n n N =-∈.从而1,1,22nb nn n b n b n +==+=，当2n ≥时，()01211 1nn n n C C n =+=++⋯>+故122nb nn b +<=（2）1n n c b n=11c =，()*2(1),21n n n N n n n n n n =<=-∈≥++- )12400 (12212)32 (2)400399c c c +++<++++400139==.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型 方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数()f n 的不等关系,即12()n a a a f n +++<或者数列前n 项积与函数()f n 的不等关系,即12n a a a ⋅⋅⋅<()f n 的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将()f n 看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对n a 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列*113,31,2n n a a a n N +==-∈ (1)若数列{}n b 满足12n n b a =-,求证:数列{}n b 是等比数列。
解决数列放缩问题的六大技巧
解决数列放缩问题的六大技巧本篇主要目标是聚焦于数列放缩，常见的方法有六种，具体我将在文中以实例详细说明.类型1.利用单调性放缩例1．已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+（1）设12n n b a =+，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）证明：12211113nb b b ≤+++< ．解析：（1）∵131n n a a +=+，则111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即13n n b b +=，又∵111322b a =+=，所以{}n b 是首项为32，公比为3的等比数列，∴32n n b =，故{}n b 的通项公式为32nn b =.（2）由（1）知123n n b =，即1n b ⎧⎫⎨⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列，∴121221133111222111333313nnnn b b b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++=+++==- ⎪⎝⎭- ，又∵数列113n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增，∴11111133n⎛⎫⎛⎫-≤-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12211113nb b b ≤+++< .类型2.先求和再放缩先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也很松，下面通过两个例子简单说明即可，分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.例2.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式；（2）证明：121112+++< na a a ．解析：（1）111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．（2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+ n a a a n n 111112(1)2231=-+-++-+ n n 12(1)21=-<+n ．注：111111().n n n n a a d a a ++=-，则：1223111111111......()n n n a a a a a a d a a ++⇒+++=-.可以看到，裂项后一定可以得到一个估计.例3．已知等比数列{}()n a n N*∈为递增数列，且236324,522==+aa a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()42n nn b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <．解析：（1）由题意，()2251123111522a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a q =⎧⎨=⎩，因为等比数列{}()n a n *∈N 为递增数列，所以122a q =⎧⎨=⎩，所以1222n nn a -=⨯=.（2）由（1）知数列{}n b 的前n 项和为：0111322212n n n S -=++-+ ①，112123212122223n n n n n S --=++-++ ②，两式相减可得：1112111112121232212312222211122212n n n n n n n n n S --⎛⎫=+⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+=+++-⎝-⎪⎭-- ，所以12362n n n S -+=-，又因为*n N ∈，所以12302n n -+>，所以123662n n n S -+=-<.类型3.先放缩通项再求和（公众号：凌晨讲数学）这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：（公众号：凌晨讲数学）例如：n n n n n )1(11)1(12-<<+或者12112-+<<++n n nn n 等2.一个重要的指数恒等式：n 次方差公式123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 这样的话，可得：1)(-->-n nnab a b a ，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式：设0,0>>>c m n ，则cn cm n m ++<.下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.例4.（2013年广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .解析：（2）当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =.（公众号：凌晨讲数学）（3）当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<，综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<下面我们再看将通项放缩成等比（等差比数列）再求和完成放缩证明.例5.（2014全国2卷）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112na a a ++<…+.解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，又11322a +=，所以1{}2n a +是首项为32，公比为3的等比数列，1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=（2）由（1）知1231nn a =-，因为当1n ≥时，13123n n --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯于是12-112311-1111111313311-13332321-3n n n n a a a a ++++<++++==< （.所以123111132n a a a a ++++< .注：此处13123nn --≥⨯便是利用了重要的恒等式：n 次方差公式：123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 当然，利用糖水不等式亦可放缩：13133132-=<-n n n ，请读者自行尝试.类型4.基于递推结构的放缩1.nnn a a a +=+11型：取倒数加配方法.例6．（2021浙江卷）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A．100332S <<B．10034S <<C．100942S <<D．100952S <<解析：由211111124n n n a a a ++⎛⎫==+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<++⎪⎪⎭12<根据累加法可得，11122n n -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++.一方面：252111)1(41002>⇒+-+>+>S n n n a n .另一方面113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<．故选：A．2.二次递推型：r qa pa a n n n ++=+21.12121211+++++=-⇒+=-⇒++=n n n n n nn n n nn a a r pa a qa r pa qa a r qa pa a ，然后裂项即可完成放缩，我们以2015浙江卷为例予以说明.例7.（2015浙江卷）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的n 项和为n S ,证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.分析：=-⇒=-++n n n n n a a a a a 11121211[1,2]1n n n n n na a a a a a +==∈--，累加，则可证得.解析：（1）由题意得210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤.由11(1)n n n a a a --=-得1211(1)(1)...(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a <≤得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤.（2）由题意得21n n n a a a +=-,所以11n n S a a +=-①,由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤得11112n n a a +≤-≤所以11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②由①②得：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++.类型5.数列中的恒成立例8．已知数列{}n a 中，11a =，满足()*1221N n n a a n n +=+-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.解析：(1)()()1211221n n a n a n ++++=++，所以{}21n a n ++是以12114a +⨯+=为首项，公比为2的等比数列，所以1121422n n n a n -+++=⨯=，所以1221n n a n +=--.(2)()()()231122325221n n n S a a a n +⎡⎤=+++=-+-++-+⎣⎦()()23122235721n n +=+++-+++++ ()()222212321122242n n n n n n +-++=--=---，若240nn S λ⋅++>对于*N n ∀∈恒成立，即22222440n n n n λ+⋅+---+>，可得22222nn n n λ+⋅>+-即2242nn n λ+>-对于任意正整数n 恒成立，所以2max242n n n λ⎡⎤+>-⎢⎥⎣⎦，令()242n nn n b +=-，则21132n n n n b b ++--=，所以1234b b b b <>>>⋯，可得()222max222422n b b +⨯==-=-，所以2λ>-，所以λ的取值范围为()2,-+∞.类型6.利用导数产生数列放缩1.由不等式1ln -≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.例9.（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b->-+，即111ln ln ()2b a b a a b-<+-.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +-<++，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++①.(,)L a b<1ln ln ln 2ln (1)a ab x x x b x ⇔-⇔⇔<->其中，接下来令t =2>11(1)n ln n >+，1(n ln n+>②.例10．已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>.解析：（1）综上可知，λ的最小值时12.（2）由上述不等式①，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++，111ln(2)ln(1)()212n n n n +-+<+++，111ln(3)ln(2)(223n n n n +-+<+++…，111ln 2ln(21)(2212n n n n--<+-.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln 2ln (2123212n n n n n n n n-<+++++++++- ，即111211ln 22123214n n n n n n<+++++++++- ，故11211ln 212324n n n n n +++++>+++ ，即21ln 24n n a a n-+>.例12．已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n ++⋯+>+．1()n ln n+>，进一步求和可得：11231((...(1)12nnk k k n ln ln ln n k n==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n ++．。
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放缩法证明数列不等式
主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n
-=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214
n n n n n n n <===--+--+-
==>=
==<=
=<=
==
=<
=
= 5.121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6.
111
22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+⋅+⋅⋅+⋅
例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ，
且n c =（1）求n c ；（2）证明：
4444123111174n c c c c ++++
<
例2.证明：1611780<+
+<
例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a +
=，*n N ∈； （1）求证：数列{}
2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++⋅+>-
（3）记312311112,n n n n b
s T b b b b
==++++，证明：312n T <<
例4.已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2
12n na +++<
例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-；
（1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-<
例6.数列{}n a 满足：11122,1()22
n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n
n n
b a =，求n b ；（2）记11(1)n n
c n n a +=+，求证：12351162
n c c c c ≤++++<
例7.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s 满足：1,6(1)(2)n n n n s s a a >=++；
（1）求n a ；
（2）设数列{}n b 满足(21)1,n b n a -=并记123n n T b b b b =++++，
求证：(3)231log n
a n T ++>（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）
例8.已知正项数列{}n a 满足：111
(1)1,1n n n n na n a a a a +++==+ ， 记2111222231111,[](2)n n b a b n a n a a a -==+
+++≥。
（1）求n a ；
（2）证明：1231111(1)(1)(1)(1)4n
b b b b +
+++<。