2018年高一下学期期中考试(数学)试题及答案
2018年高一下学期期中考试（数学）试题及答案
（ 时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1. 415°角的终边在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2. 设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．4
C ．1或4
D ．π
3. 已知α∈（0，π）,且5
3
cos -=α，则=αtan （ ） A ． B ．
C ．
D ．
4. 以下说法错误．．
的是（ ） A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 5．︒︒-︒︒105sin 75cos 105cos 15cos 的值为 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6. 要得到函数x y 2cos =的图象，只需将函数)3
2cos(π
+
=x y 的图象（ ）
A ．向左平移
3π B ．向右平移
3π
C ．向左平移6
π
D ．向右平移6
π
7. 设函数)3
2sin()(π
-=x x f 的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）
A ．函数f （x ）的最小正周期是2π
B ．函数f （x ）在区间⎪⎭⎫
⎝
⎛-
2,12ππ上是增函数 C ．图象C 可由函数x x g 2sin )(=的图象向右平移个单位得到
D ．图象C 关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,6π对称 8. 已知A 为△ABC 的一个内角，且3
2
cos sin =
+A A ，则△ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
9. 已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量AB 的方向相反的单位向量是 A ．⎪⎭⎫
⎝⎛-53,54 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 D. ⎪⎭
⎫
⎝⎛-54,53 10.下列四式中不能．．
化简为PQ 的是 A. ()BQ PA AB ++ B. ()()
QC BA PC AB -++ C. BQ AB PA -+ D. CQ QP QC +- 11.已知函数x y cos 2=的定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡34,3ππ,值域为[]b a ,，则a b -的值是 A ．2 B ．3 C ．
+2 D ．
12. 函数14cos 22
-⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=πx y 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为的奇函数
D ．最小正周期为
的偶函数
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. 若3tan =α，3
4
tan =β，则()βα-tan 等于 ． 14. 函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈-
=2,0),42sin(ππ
x x y 的单调递增区间为 ． 15．已知向量()()θθcos ,1,sin ,1==b a b a 的最大值为 . 16. 函数()()
0,0,0sin >>>+=φωφωA x A y 的图象如图所示， 则y 的表达式为 ．
三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18-22每题12分，共70分）
)(x f 17.已知3tan =α，计算： （Ⅰ）
α
αα
αsin 3cos 5cos 2sin 4+-；
（Ⅱ)ααcos sin
18.已知函数
（Ⅰ）求函数
单调递减区间；
（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0，
]上的值域．
19.（本小题满分12分）设平面三点()()()5,2,1,0,0,1C B A ． （1）试求向量AC AB +2的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角的余弦值；
20. 已知()()
x x b x x a cos 3,cos ,cos ,sin =-=，函数()2
3
+•=b a x f ． (1)求()x f 的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标； (2)当2
0π
≤
≤x 时，求函数()x f 的值域．
21. 如图，
ABCD 中，F E ,分别是DC BC ,的中点，G 为交点，若,,b AD a AB ==试以b
a ,为基底表示CG BF DE ,,．
22. 已知向量(
)
R x x x b x a ∈=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=,2cos ,sin 3,21,cos ，设函数()b a x f •=.
(1求()x f 的最小正周期； (2)求()x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值．
.
2
3
3cos()2cos(2)(++-=ππx x x f
2018年高一下学期期中考试（数学）答题卡
（总分：150 时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
）
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
）
13、 14、
15、 16、
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。
）
17、（本题10分）
18、（本题12分）
19、（本题12分）
20、（本题12分）
21、（本题12分）
22、（本题12分）
高一期中考试数学答案
一、选择题
1-5AADCA 6-10DDBDC 11-12 BA 二、填空题 13.
31 14.⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡83,0π 15. 2 16. y ＝2sin(2x+π6) 三、解答题 17.解：（1）
75 (2) 10
3
18.【解答】解：（Ⅰ） f （x ）=2cos （
﹣x ）cos （x+
）+
=sinxcosx ﹣
sin 2
x+=sin （2x+
） … 由2kπ+≤2x+
≤2kπ+
，可得单调递减区间为[kπ+
，
kπ+]（k ∈Z ） …
（Ⅱ）x ∈[0，]，2x+∈[
，
]…..
当2x+=，即x=时，f （x ）max =1． 当2x+
=
m 即x=
时，f （x ）min=﹣
∴f （x ）值域为[﹣，1]…..
19、 （1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．
∴ |2AB ＋AC |＝2
27)1(+-＝50．
（2）∵ |AB |＝2
21)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，
AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ |
|||AC AB AC AB ⋅＝
26
24⋅＝
13
13
2． 20．(1)f(x)＝sinxcosx －3cos 2x ＋3
2
＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32
＝12cos2x －32cos2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3． 所以f(x)的最小正周期为π.
令sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝k π， ∴x ＝k 2π＋π6，k ∈Z. 故所求对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫k
2π＋π6，0，(k ∈Z)．
(2)∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤2π3． ∴－32≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，
即f(x)的值域为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－
32，1． 21.1=-2DE a b ,1=-2BF b a ,11=--33
CG a b 22．解：f(x)＝⎝
⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)
＝3cos xsin x －1
2cos 2x
＝
32sin 2x －1
2
cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π
2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π
6
.
由正弦函数的性质， 当2x －π6＝π2，即x ＝π
3时，f(x)取得最大值1.
当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－1
2
.
当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1
2. ∴f(x)的最小值为－12.
因此，f(x)在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.。
甘肃省武威第十八中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
甘肃省武威第十八中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分120分，考试时间120分钟.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上不给分.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1.计算cos(－780°)的值是( )A.－32B.－12C.12D.322．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( )A.15B.25C. 45D. 353.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 124．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α＝( )A ．±45 B.45 C ．－45 D.355.设角θ的终边经过点P （3，-4），则sin θ－cos θ的值是( )A.15B. 75C.－15D. －75 6.执行如图所示的框图，输入N ＝5，则输出S 的值为( )A.54B.45C. 56D. 657. x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程是（ ）A. x+y+3=0B. 2x-y-5=0C. 4x-3y+7=0D. 3x-y-9=08.圆x 2+y 2﹣2x ﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y ﹣1=0的距离为1，则a=（ ） A.﹣ B.﹣ C.D.29.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，710．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N ：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是( )A ．P (M )＝13，P (N )＝12B ．P (M )＝12，P (N )＝12C ．P (M )＝13，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝3411.已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线 相切，则圆的方程是( )A. B. C.D.12．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：(x ＋2)2＋ (y －1)2＝2相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 13. 计算33cos04sin2π+= 14.点P (sin2019°，cos2019°)位于第 象限.15.直线320x y +-=截圆224x y +=得到的弦长为 .16.某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则[30,35)(百元)月工资段应抽出 人？三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分) ∆ABC 的三个顶点分别为A(－1,5)，(－2,－2),(5,5),求其外接圆方程。
2017-2018年广西桂林十八中高一(下)期中数学试卷和答案
2017-2018学年广西桂林十八中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）sin（）=（）A．B．C．D．3．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（3，4）∪（4，+∞）4．（5分）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为24，30，则输出的a（）A．2B．4C．6D．86．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．C．D．27．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．x=π8．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．πB．C．D．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增．若实数a满足，则a的最大值是（）A．1B．C．D．11．（5分）函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（b x）和f（c x）的大小关系是（）A．f（b x）≤f（c x）B．f（b x）≥f（c x）C．f（b x）＞f（c x）D．大小关系随x的不同而不同12．（5分）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）111正视图侧视图俯视图13．（5分）cos20°•cos10°﹣sin20°sin10°=．14．（5分）设，是两个不共线的向量，且向量=2与向量=+是共线向量，则实数λ=．15．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为，则b取值范围为．16．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范围是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知tanα=2，求（1）（2）18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF ⊥PA？请说明理由．19．（12分）已知向量，．（1）若，求x的值；（2）记，求f（x）的单调递增区间．20．（12分）已知函数的最小正周期为π，且点为f（x）图象上的一个最低点．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数，求g（x）的值域．21．（12分）已知圆E过圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0与直线y=x的交点，且圆E上任意一点关于直线y=2x﹣2的对称点仍在圆E上．（1）求圆E的标准方程；（2）若圆E与y轴正半轴的交点为A，直线l与圆E交于B，C两点（异于点A），且点H（2，0）满足AH⊥l，，求直线l的方程．22．（12分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）2017-2018学年广西桂林十八中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则集合B={x|1＜x＜3}，又集合A={1，2，3}，则A∩B=（2），故选：B．2．（5分）sin（）=（）A．B．C．D．【解答】解：因为sin（）=﹣sin=﹣sin（6π+）=﹣sin=﹣．故选：B．3．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（3，4）∪（4，+∞）【解答】解：要使原函数有意义，则，即x＞3且x≠4．∴函数的定义域是（3，4）∪（4，+∞）．故选：D．4．（5分）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣cos2x=cos（2x+）所以函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是：T==π故选：B．5．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为24，30，则输出的a（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：模拟程序的运行，可得a=24，b=30不满足a＞b，可得b=30﹣24=6，满足a＞b，可得a=24﹣6=18，满足a＞b，可得a=18﹣6=12，满足a＞b，可得a=12﹣6=6，此时，满足a=b=6，退出循环，输出a的值为6，故选：C．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．7．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．x=π【解答】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos（x﹣）的图象；再向右平移个单位，可得y=cos（x﹣﹣）=sin x 的图象．令x=kπ+，求得x=2kπ+π，k∈Z，令k=0，可得函数的一条对称轴为x=π，故选：D．8．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．πB．C．D．【解答】解：设与的夹角为θ，∵（﹣）⊥（3+2），||=||，∴（﹣）•（3+2）=3﹣﹣2=3•﹣•||cosθ﹣2 =0，∴cosθ=，∴θ=，故选：D．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心C（2，1）在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，∴2+a﹣1=0，解得a=﹣1，∴A（﹣4，﹣1），∵过点A（﹣4，﹣1）作圆C的一条切线，切点为B，∴|AC|==，r==2，∴|AB|==6．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增．若实数a满足，则a的最大值是（）A．1B．C．D．【解答】解：f（x）是R上的偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增；∴f（32a﹣1）=f（﹣32a﹣1）；∴由得；∴；∴；∴；解得；∴a的最大值为．故选：D．11．（5分）函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（b x）和f（c x）的大小关系是（）A．f（b x）≤f（c x）B．f（b x）≥f（c x）C．f（b x）＞f（c x）D．大小关系随x的不同而不同【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）图象的对称轴为直线x=1，由此得b=2．又f（0）=3，∴c=3．∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选：A．12．（5分）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），，∵=λ，∴λ∈[0，1]，，．•≥•，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：，∵λ∈[0，1]∴λ∈[，1]故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）111正视图侧视图俯视图13．（5分）cos20°•cos10°﹣sin20°sin10°=．【解答】解：cos20°•cos10°﹣sin20°sin10°=cos（20°+10°）=cos30°=．故答案为：．14．（5分）设，是两个不共线的向量，且向量=2与向量=+是共线向量，则实数λ=﹣．【解答】解：设存在实数m使得，则=m（）=m+mλ，由平面向量基本定理，这样的表示是唯一的，∴m=2，mλ=﹣1，解得λ=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为，则b取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离d=≤，∴﹣2≤b≤2，∴b的取值范围是[﹣2，2]，故答案为[﹣2，2]．16．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x ﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范围是．【解答】解：∵，∴f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=，则当x=0时，函数取得极小值0，当x=时，函数取得极大值故关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3时，实数m的取值范围是令f（x）=，则x=，或x=不妨令x1＜x2＜x3时则＜x1＜0，x2+x3=1∴x1+x2+x3的取值范围是故答案为：，三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知tanα=2，求（1）（2）【解答】解：（1）∵tanα=2，∴原式=．（2）∵tanα=2，∴原式=．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF ⊥PA？请说明理由．【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分）又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AQ．…（4分）又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．…（5分）（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．19．（12分）已知向量，．（1）若，求x的值；（2）记，求f（x）的单调递增区间．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由得，，即：，所以，．…（6分）（2）=，由：，得：，可得：f（x）的单调递增区间为．……（12分）20．（12分）已知函数的最小正周期为π，且点为f（x）图象上的一个最低点．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数，求g（x）的值域．【解答】解：（1）根据f（x）=Asin（2ωx+φ）的最小正周期为π，可得，再根据f（x）图象上一个最低点为，可得A=2；又，∴，即，再由，得，∴；…（6分）（2）化简g（x）=2sin（2x+）﹣4sin2x=sin2x+cos2x﹣2（1﹣cos2x）=2sin（2x+）﹣2，当时，，故当，即时，函数g（x）取得最大值为2，当，即时，函数g（x）取得最小值为，故函数g（x）的值域为．21．（12分）已知圆E过圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0与直线y=x的交点，且圆E上任意一点关于直线y=2x﹣2的对称点仍在圆E上．（1）求圆E的标准方程；（2）若圆E与y轴正半轴的交点为A，直线l与圆E交于B，C两点（异于点A），且点H（2，0）满足AH⊥l，，求直线l的方程．【解答】（1）解法一：由，解得两交点分别为P（﹣1，﹣1），Q（2，2），PQ的中点为（，），斜率为1，则直线PQ的垂直平分线方程为，即y=﹣x+1，由联立解得圆心E（1，0），半径，所以得到圆E的标准方程为（x﹣1）2+y2=5；解法二：设圆E的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4+λ（x﹣y）=0，即为x2+y2+（2+λ）x﹣（4+λ）y﹣4=0，由条件知圆心在直线y=2x﹣2上，故，解得λ=﹣4．于是所求圆E的标准方程为（x﹣1）2+y2=5；（2）由题知A（0，2），H（2，0），k AH=﹣1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为y=x+m，B（x1，y1），C（x2，y2），由，得2x2+2（m﹣1）x+m2﹣4=0，故x1+x2=1﹣m，，（*）又=（x1﹣2）x2+（x1+m）（x2+m﹣2）=2x1x2+（m﹣2）（x1+x2）+m（m﹣2）=0，将（*）代入得m2+m﹣6=0，解得m=2或m=﹣3，当m=2时，直线l：y=x+2过点A，不合题意；当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3，经检验直线l与圆E相交，故所求直线l的方程为y=x﹣3．22．（12分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．。
天津市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(附答案)
天津一中2018-2019-2 高一年级数学学科模块质量调查试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100 分，考试用时90 分钟。
第I 卷1 页，第II 卷至2 页。
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
一．选择题1.以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,且a cos B = ( 2c - A ，则角A 的大小为（）ππππA．B．C．D．6 4 3 23.在∆ABC 中，若AB ⋅AC = 2 且∠BAC = 30 ，则∆ABC 的面积为（）A B．C D4.设α、β、γ为平面，为m、n、l 直线，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β,α⋂β=l, m ⊥l ，则m ⊥β B．若α⋂γ=m,α⊥γ, β⊥γ，则m ⊥βC．若α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α，则m ⊥β D．若n ⊥α,n ⊥β, m ⊥α，则m ⊥βB．C．D．2 3 4 151 1 1 1 1 1A．13B．23C．43D．26．点G 为∆ABC 的重心，AB = 2, BC =1, ∠ABC = 60 ，则AG ⋅CG =（）A．-59B．-98C．59D．197.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点O 是正方形ABCD 的中心，关于直线A1O 下列说法正确的（）A．A1O / / D1C B．A1O / / 平面B1CD1C．A1O ⊥BC D．A1O ⊥平面AB1D18.一个圆锥SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等, 则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）A．39.平行六面体ABCD -A B C D 的底面ABCD 是菱形，且∠C CB =∠C CD =∠BCD = 60 ，CD = 2, C C =3 ，则二面角C-BD -C 的平面角的余弦值为（）1 2 1A．12B．13C3D310．如图，在 ∆ABC 的边 AB 、AC 上分别取点 M 、N ，使AM = 1 AB , AN = 1 AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = λ PN , PM = μCP ，3 2则 λ的值为（ ） μA ． 83B ． 38C ． 16D ． 6二．填空题11．已知向量 a , b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a + b |=，则 | 2a - b |=．12 如图， PA ⊥ 平面ABC ， ∠ACB = 90 且PA = AC ，AC = 2BC ，则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于．13.如图,在直棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中, AB ⊥ AC , AB = AC = AA 1 = 2 , 则二面角 A 1 - BC 1 - C 的平面角的正弦值为．14.在 △ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 2b (2b - c ) cos A = a 2 + b 2 - c 2 ，则内角 A 的值为 ．15.已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB 1 的中点，则点 B 1 到平面 ADE 的距离为．16.如图，在直角梯形 ABCD 中， ∠BAD = π， AB = AD = 2 ，若 M 、N3分别是边 AD 、BC 上的动点，满足 AM = λ AD ， BN = (1 - λ )BC ，其中λ ∈ (0,1) ，若 AN ⋅ BM = -2 ，则 λ 的值为 ．Nα 1 αα17. 设f (α) =m ⋅n ,其中向量m = ( n = (2 in , cos-1) .2 4 2（1）若f (α) =-1 ,求cos( π-α) 的值；3 2（2）在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,若a cos B +b cos A + 2c ⋅ cos C = 0 ,求函数f ( A) 的取值范围.18. 如图，在几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD , E 为AB 中点.（1）求证：AN / / 平面MEC ；（2）求证：AC ⊥BN .19．如图1 所示，在矩形ABCD 中，AB = 2 A D = 4 ，E 为CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，如图2 所示，O、H、M 分别为AE、BD、AB 的中点，且DM = 2 .（1）求证：OH / / 平面DEC ；（2）求证：平面ADE ⊥平面ABCE .20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O、E 分别是AD、AB 的中点，AB = 6, AP =5，∠BAD = 60 . （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的正切值。
2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期期中数学试题一、单选题 1．“22x ππ⎡⎥∈-⎤⎢⎣⎦，”是“()sin arcsin x x =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】arcsin y x =的定义域为[1-，1]， sin(arcsin )[1x x x ∴=⇔∈-，1]，[2x π∈-，]2π推不出[1x ∈-，1]，[1x ∈-，1][2x π⇒∈-，]2π，∴ “[2x π∈-，]2π是“sin(arcsin)x =”的必要非充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查反三角函数，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2．将函数πsin 12y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点π,4P t ⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位,得到点P '，若P '位于函数sin2y x =的图象上，则A ．12t s =，的最小值为π6B ．2t s =的最小值为π6C ．12t s =，的最小值为π12D ．2t s=的最小值为π12 【答案】A 【解析】【详解】 由题意得ππ1sin 4122t ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,排除B,D;平移后π1,42P s ⎛⎫- ⎪⎝⎭',而P '位于函数sin2y x =的图象上,所以1πsin2cos224s s ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,而0s >,则s 的最小值为π6,排除C.故选A.3．若方程212cos sin 0x x a --+=有实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A.98⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B.928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C.908⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.918⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】B【解析】把方程化为22cos sin 1a x x =+-，利用三角函数即可求出a 的取值范围． 【详解】方程212cos sin 0x x a --+=可化为22cos sin 1a x x =+-，则22192sin sin 12(sin )48a x x x =-++=--+，由sin [1x ∈-，1]，∴21(sin )[04x -∈，25]16， 2192(sin )[248x ∴--+∈-，9]8，即实数a 的取值范围是[2-，9]8．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质与应用问题，是基础题．4．如图，在△ABC 中，BC=，a AC=b ，AB=c ，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD:OE:OF 等于（ ）A.::a b cB.cos :cos :cos A B CC.sin :sin :sin A B CD.111::a b c【答案】B【解析】作出ABC ∆的外接圆，连接OA 、OB 、OC ，由垂径定理和圆周角定理可得12B AOC AOE ∠=∠=∠，同理可知A BOD ∠=∠、C AOF ∠=∠，若设O 的半径为R ，可用R 分别表示出OD 、OE 、OF ，进而可得到它们的比例关系． 【详解】如图，连接OA 、OB 、OC ；22BOC BAC BOD ∠=∠=∠， BAC BOD ∴∠=∠；同理可得：BOF BCA ∠=∠，AOE ABC ∠=∠； 设O 的半径为R ，则：cos cos OD R BOD R A =∠=∠， cos cos OE R AOE R B =∠=∠， cos cos OF R BOF R C =∠=∠，故::cos :cos :cos OD OE OF A B C =∠∠∠， 故选：B ．【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理及垂径定理的综合应用，解题的关键是能够作出已知三角形的外接圆，难度中等．二、填空题5．函数()12sin 4y x =-的最小正周期是________. 【答案】2π 【解析】根据三角函数的周期公式求解即可. 【详解】函数12sin(4)y x =-，所以函数()f x 的周期22||42T πππω===. 故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查三角函数周期的求法，是基本知识的考查． 6．函数cos 2y x =的对称轴方程是________.【答案】,2k x k Z π=∈ 【解析】根据余弦函数cos y x =的对称轴方程x k π=，k Z ∈，运用整体法可得cos 2y x =的对称轴方程．【详解】 cos2y x =，令2x k =π，k Z ∈，则,2k x k Z π=∈， cos2y x ∴=的对称轴方程为：,2k x k Z π=∈．故答案为：,2k x k Z π=∈． 【点睛】本题考查了余弦型函数图象的对称轴的求法，考查了整体思想，属基础题．7．在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin2θ=_______. 【答案】35【解析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin 2θ的值. 【详解】角θ的顶点在平面直角坐标系xOy 原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在直线3y x =上，tan 3θ∴=2222sin cos 2tan 63sin 21105sin cos tan θθθθθθθ∴====++，故答案为：35． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．8．若锐角αβ、满足()35cos cos 513ααβ=+=-，，则cos β=______. 【答案】3365【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin()αβ+，sin α的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解． 【详解】αQ 、β为锐角，(0,)αβπ∴+∈，5cos()13αβ+=-，3cos 5α=，12sin()13αβ∴+==，4sin 5α=，5312433cos cos[()]cos()cos sin()sin ()13513565βαβααβααβα∴=+-=+++=-⨯+⨯=． 故答案为：3365． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 9．函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间为________. 【答案】511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间． 【详解】对于函数2sin(2)3y x π=-，令3222232k x k πππππ+-+剟，k Z ∈, 求得5111212k x k ππππ++剟， 可得它的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈， 故答案为：5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈． 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．10．已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x =________（用反正弦表示） 【答案】2arcsin 5π+【解析】【详解】 由于2arcsin5表示[]22ππ-，上正弦值等于25的一个锐角，由2sin 5x =- 3()2x ππ<<，则2arcsin 5x π=+，故答案为2arcsin 5π+.点睛：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点是表示出符合条件的角.11．方程sin x x _______.【答案】7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈【解析】利用三角恒等变换化方程为sin()32x π-=，求出方程的解即可．【详解】方程sin x x =12(sin )2x x ∴=sin()3x π∴-=， 解得234x k πππ-=+或3234x k πππ-=+，k Z ∈； 即7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 故答案为：7212x k ππ=+或132,12x k k Z ππ=+∈ 【点睛】本题考查了三角函数的化简与三角方程的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且224S (a b)c =+-，则cosC =______． 【答案】0【解析】由三角形面积公式和余弦定理可将224S (a b)c =+-化为2absinC 2abcosC 2ab =+，进而可求出结果.【详解】因为1S ab 2sinC =，余弦定理222c a b 2abcosC =+-，又224S (a b)c =+-，所以有2absinC 2abcosC 2ab =+，即sinC cosC 1-=C 14π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此C 244k πππ-=+或()3C 2k Z 44k πππ-=+∈，所以C 22k ππ=+或()C 2k Z k ππ=+∈，因为C 三角形内角，所以C 2π=，故cosC 0=.故答案为0 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型. 13．若将函数()cos()8f x x πω=-（0>ω）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是________ 【答案】32【解析】由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128x x ωππω=+-，因为g()x 为偶函数，所以=,128k k Z ωπππ-∈，由(0)>ω，所以ω的最小值为32，得解．【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8f x x πωω=->的图象向左平移12π个单位后，所得图象对应的函数为g()cos ()+cos(+),128128x x x ππωππωω⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦因为g()x 为偶函数， 所以3=,12,1282k k Z k k Z ωπππω-∈∴=+∈， 由0>ω， 所以ω的最小值为32， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题．14．已知函数()()()()()sin 2cos 2sin 2cos 222x x x x f x ππππ+-=+，对任意x R ∈，都有不等式()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，则21x x -的最小值为_________. 【答案】38【解析】先化简函数的解析式，再作出函数一个周期的图象，由三角函数的性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，即可得解．【详解】由22cos 2()cos 22cos 2sin x sin x xf x x sin x x ππππππ≥⎧=⎨<⎩，所以函数在一个周期的图象如图所示，因为对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x 剟恒成立， 即当1x x =时，函数()y f x =取最小值，当2x x =时，函数()y f x =取最大值， 则21||x x -的最小值为513848-=. 故答案为：38．【点睛】本题考查考查三角函数的图象和性质，确定21||x x -的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题． 15．已知函数()()()1sin 20192019x xx f x x R π-=∈+，下别列命题: ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在区间[]22ππ-，上共有13个零点； ③函数()f x 在区间()01，上单调递增；④函数()f x 的图像是轴对称图像。
宁夏青铜峡市高级中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
高级中学2018-2019学年（二）期中考试高一年级数学学科测试卷一．选择题（共12题，每小题5分，共60分）1. 若sin（+θ）＞0，cos（﹣θ）＞0，则角θ的终边位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 如果的终边过点P2sin 那么A.B. C. D.A. B.C. D.4. 直线与圆交于不同的两点，则（）A. B. C. D.5. 圆半径为，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆相切，则圆的方程为（）A. B. C. D.A.4B.C. D.7. 设函数，则下列结论正确的是（）A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称C. 把f(x)D. 的最小正周期为，且在上为增函数8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9. 方程表示的曲线是A. 一个圆和一条直线B. 一条直线C. 一个圆和一条射线D. 一个圆10. 已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A .B. C.D.11.已知函数 的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 12.已知函数二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）.14. 若扇形OAB 的面积是1cm 2 ， 它的周长是4cm ，则该扇形圆心角的弧度数是________ 15. 若g （x ）=2)6-x 42sin +π（,求方程g(x ）=3在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上所有根之和为_______16. 点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程________；三.解答题（共6题；共70分）17. ( 10分 ) 已知关于x ，y 的方程：x 2+y 2-2x-4y+m=0．（1）若方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若圆与圆:x 2+y 2-8x-12y+36=0外切，求m 的值；18（12分）（1）化简f （α）；（2）若α是第三象限角，且cos （ ）= ，求f （α）的值．19. ( 12分 ) 已知函数（1）当x ∈时,求f(x)的最大值和最小值;（2）求f(x)的最小正周期和单调递增区间;20. ( 12分 ) 已知圆C 经过原点O （0，0）且与直线y=2x ﹣8相切于点P （4，0）． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过点（4, 5），且与圆C 相交于M ，N 两点，若|MN|=2，求出直线l 的方程． 21.已知点A(1,-2),B(-1,4),求： （1）过点A,B 且周长最小的圆的方程；（2）过点A ，B 且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.22.(12分)已知函数. （1）（2）求函数f(x)的图象的对称中心及f(2x)的递减区间.23．附加题（20分）将函数)(x g 的图象保持（1（2） 求使2)(≥x f 的x 的取值范围的集合．高级中学2018-2019（二）期中考试高一数学试卷答案。
益阳市一中2018年下学期高一期中考试数学试题
2
2
2
t 2 2t k 2t 2 ，即 3t 2 2t k 0 对任意 t R 恒成立，……10 分
1 4 12k 0 ，得 k . 3
1 实数 k 的取值范围是 , 3
21． （本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）定义在 R 上的函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称， 则 f (1) f (1) ， ……12 分
x
1 ，则 f (1) （ x
D． 2
）
B． 0
C． 1 ） B． , 1 D． , 1
1 lg( 4 x) 的定义域是（ x 1
1, 4
1, 4
） D． 1,
6、在下列区间中，函数 f ( x) e 2 x 4 的零点所在的区间为（ A． 0,
益阳市一中 2018 年下学期高一年级期中考试
数学试卷
时量：120 分钟 总分：150 分 命题人：肖桂宏 审题人：殷海龙 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，有且只有一 项符合题目要求.） 1、已知集合 A {1, 2,3, 4} ， B {0, 2, 4,5} ，则集合 A
20、（本题满分 12 分） 已知定义域为 R 的单调 函数 f ( x) 是奇函数，当 x 0 时， f ( x) ．． （Ⅰ）求 f ( x) 的解析式； （Ⅱ）若对任意的 t R，不等式 f (t 2t ) f (2t k ) 0 恒成立，求实数 k 的取值范围.
2 2
A． {2, 4} C． {0,1, 2,3, 4,5}
B （
）
B． {2, 4,7,8} D． {1,3, 4} ） B． y x ， y D． y x ， y ） D． y 2
高一数学下学期期中试题(含解析)
，
原式=
=
=
．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为 1 的关系 和商关系，考查了数学运算能力.
18.（1）已知扇形的周长为 8，面积是 4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为 40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
【答案】（1）2；（2）当半径为 10 圆心角为 2 时，扇形的面积最大，最大值为 100．
体重超过
的总人数为
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
，
在
的人数为
，应抽取的人数为
.
所以在
，
，
三段人数分别为 3，2，1.
甘肃省会宁县第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期期中试题（含
解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.与
终边相同的角是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与 终边相同的角可以表示为
这一方法，即可得出结论．
【详解】与
角终边相同的角为：
，
当 时，
．
故选：C．
11.函数
的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为角 的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角 终边在第一、第二、第三、第四象限时，
根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.
【详解】由题意可知：角 的终边不能落在坐标轴上，
当角 终边在第一象限时，
2018-2019学年广东省茂名市电白区高一下学期期中数学试题带答案
2018-2019学年广东省茂名市电白区高一下学期期中数学试题一、单选题1． 数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A ．1617B ．1819C ．2021D ．2223【答案】C【解析】根据数列的前几项，归纳处数列的通项公式，即可求解数列的第10项，得到答案． 【详解】由题意，根据数列2468,,,,3579L ，可求得数列的通项公式221n n a n =+， 所以数列的第10项为1021020210121a ⨯==⨯+，故选C ．【点睛】本题主要考查了归纳数列的通项公式，其中根据数列的前几项，找出数列的数字排布规律，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 2．不等式101x x +≤-的解集为（ ） A ．{|11}x x -≤< B ．{|11}x x -<≤ C ．{|11}x x -≤≤ D ．{|11}x x -<<【答案】A【解析】首先根据题意可知()()11010110x x x x x ⎧+-≤+≤⇔⎨--≠⎩，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知，()()1101011110x x x x x x ⎧+-≤+≤⇔⇔-≤<⎨--≠⎩，所以不等式101x x +≤-的解集为{|11}x x -≤<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，属于基础题.3．在等差数列{}n a 中，已知590a =，则28a a +=（ ） A ．90 B ．270 C ．180 D ．360【答案】C【解析】根据等差中项的概念，可知2852a a a +=，进而求出结果.【详解】由等差中项，可知2852180a a a +==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差中项的基本概念，属于基础题.4．等比数列{}n a 的各n 项都是正数，且5716⋅=a a ，则6a 等于（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】A【解析】根据等比中项的概念，可知5726a a a ⋅=，又0n a >，进而求出结果.【详解】由等比中项可知，257616a a a =⋅=，又0n a >，所以64a =.故选：A. 【点睛】本题主要考查等比中项的基本概念，属于基础题. 5．设数列｛n a ｝的前n 项和n s =2n ，则8a 的值为 A ．15 B ．16 C ．49 D ．64【答案】A【解析】利用887a S S =-求解即可. 【详解】 因为数列｛｝的前n 项和n s =2n ，所以878644915a S S =-=-=， 故选：A. 【点睛】本题主要考查本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.6．若a b >，则下列正确的是（ ） A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．a c b c ->-【答案】D【解析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除． 【详解】A 选项不正确，因为若0a =，1b =-，则不成立；B 选项不正确，若0c =时就不成立；C 选项不正确，同B ，0c =时就不成立；D 选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D ． 【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质． 7．在ABC V 中，135A ︒=，30C ︒=，20c =，则边a 的长为（ ） A ．102B ．202C ．206D ．63【答案】B【解析】由正弦定理，sin sin a cA C=，得sin sin c A a C =，据此即可求出结果.【详解】由正弦定理，sin sin a c A C =，得220sin 22021sin 2==c Aa C=故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题.8．在△ABC 中,A ＝60°,AB ＝1,AC ＝2,则△ABC 的面积ABC S V ＝（ ） A ．12B 3C 3D ．23【答案】B【解析】由题意利用面积公式求解△ABC 的面积即可. 【详解】132ABC S AB AC sinA =⋅⋅=V . 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查三角形面积公式及其应用，属于基础题. 9．sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ） A ．3 B ．32C ．12-D ．12【答案】D【解析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可. 【详解】sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒ sin 20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒ sin30=︒12=. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查诱导公式和两角和的正弦公式，属于基础题. 10．下列各式中，值为12的是（ ） A ．sin15cos15︒︒B ．22cossin 1212ππ-C ．2tan 2251tan 225︒︒⋅-⋅ D ．1cos302︒+ 【答案】C【解析】根据二倍角公式和特殊角的三角函数值，逐个选项检验，即可求出结果. 【详解】对于选项A ，sin15cos15sin15cos151112sin 30=224︒︒︒︒=⨯=︒，故不符合题意； 对于选项B ，223cos sin =cos=121262πππ-，故不符合题意； 对于选项D ，311cos301322224︒++==+，故不符合题意； 对于选项C ，22tan 22512tan 22511tan 451tan 22521tan 22522︒︒︒︒⋅⋅=⨯=︒=-⋅-⋅，满足题意； 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二倍角公式和特殊角的三角函数值的计算，属于基础题.11．数列125⨯，158⨯，1811⨯，…，()()13132n n -⨯+，…的前n 项和为（ ） A ．32nn + B ．64nn +C ．364nn +D ．12n n ++ 【答案】B【解析】由()()1111313233132n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项求和即可求解【详解】 ∵()()1111313233132n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭∴()()11125583132n S n n =+++⋅⋅-+L =1111111325583132n n ⎛⎫-+-++-⎪-+⎝⎭L =1113232n ⎛⎫-⎪+⎝⎭=64nn + 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了数列求和的裂项求和方法的应用，解题中要注意()()1111313233132n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭右面的系数13是解题中容易漏掉的． 12．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了四十二里路 【答案】C【解析】依题意，设第一天走了1a 里路，则16112378112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得1192a =，故296a =，348a =，424a =，512a =，66a =；因为3787.87548=，故C 错误，故选C.二、填空题13．不等式2560x x -->的解集是________. 【答案】()(),16,-∞-+∞U【解析】由题意，()()2560610x x x x -->⇔-+>，根据一元二次不等式的解法即可求出结果.【详解】由题意，()()25606106x x x x x -->⇔-+>⇔>或1x <-，故不等式的解集为()(),16,-∞-+∞U .故答案为：()(),16,-∞-+∞U . 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 14．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 【答案】75【解析】1tan tan 17446tan tan 144511tan tan644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭ 故答案为75.15． 设a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则112+a b的最小值是________． 【答案】322【解析】因为112a b +＝112a b （）+ (a ＋b )＝12＋1＋2b a a b +≥32216．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且6a =，4sin 5sin B C =，有以下四个命题：①ABC ∆的面积的最大值为40；②满足条件的ABC ∆不可能是直角三角形； ③当2A C =时，ABC ∆的周长为15；④当2A C =时，若O 为ABC ∆的内心，则AOB ∆7. 其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的番号）． 【答案】③④【解析】①由题6a =，4b 5c =，由余弦定理得：222293663333325cos 226121001005bb cC b b bc b b ，++-===+≥⋅=⨯⨯当且仅当33100b b =， 即10,8b c ==取等号，此时4sin 5C ≤，146102425ABC S ∆=⨯⨯⨯=．ABC ∆的面积的最大值为24；不正确②由题54b c =，假设ABC ∆是直角三角形，则222256,4b c c ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭解得6,10,8a b c ===故ABC ∆可能是直角三角形；②不正确 ③当2A C =时，有正弦定理cos 3sin sin sin 2sin a c a c c C A c C c =⇒=⇒= ，结合54b c = 由余弦定理可得，22225562cos 3626cos ,4,544c b ab C c c C c b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯∴== ⎪⎝⎭ABC ∆的周长为15；正确；④当2A C =时，4,5,6c b a ===若O 为ABC ∆的内心，则设ABC 的内接圆半径为,r 由cos 3c C =可得37cos ,sin 44C C ==故()117sin ,222ab C a b c r r =++∴= 则11747.222AOB S cr ∆==⨯⨯= AOB∆7.正确 故答案为③④.三、解答题 17．已知1tan 3α=-，5cos 5β=，,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦παπ，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ. （1）求tan β的值；（2）求tan()αβ+的值，并求出αβ+的值. 【答案】（1）2；（2）1，54π. 【解析】（1）根据三角函数同角基本关系和角的范围，即可求出结果；（2）根据正切的两角和公式，即可求出tan()αβ+，然后再根据角的范围和tan()αβ+的值，即可求出αβ+. 【详解】 （1）因为5cos 5β=，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，所以225sin 1cos 5ββ=-=，所以sin tan 2cos βββ==； （2）由12tan tan 3tan()121tan tan 13αβαβαβ-+++===-⋅+，所以tan()1αβ+=； 又,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，所以3,22ππαβ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 又 tan()1αβ+=，所以5=4παβ+. 【点睛】本题主要考查了三角函数的同角基本关系和正切的两角和公式的应用，在解题过程中要注意角的范围，这是解题的关键.18．已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=﹣3． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }的前k 项和S k =﹣35，求k 的值． 【答案】（Ⅰ）a n =1+（n ﹣1）×（﹣2）=3﹣2n （Ⅱ）k=7【解析】试题分析：（I ）设出等差数列的公差为d ，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d 的方程，求出方程的解即可得到公差d 的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可； （II ）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k 项和的公式，当其等于﹣35得到关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，根据k 为正整数得到满足题意的k 的值． 解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d 由a 1=1，a 3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2， 从而，a n =1+（n ﹣1）×（﹣2）=3﹣2n ； （II ）由（I ）可知a n =3﹣2n ， 所以S n ==2n ﹣n 2，进而由S k =﹣35，可得2k ﹣k 2=﹣35， 即k 2﹣2k ﹣35=0，解得k=7或k=﹣5， 又k ∈N +，故k=7为所求．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．19．等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）()12n n a -=-或12n n a -= .（2）6m =.【解析】分析：（1）列出方程，解出q 可得；（2）求出前n 项和，解方程可得m ．详解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故()12n n a -=-或12n n a -=．（2）若()12n n a -=-，则()123nnS --=．由63m S =得()2188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题． 20．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++. （1）求函数()y f x =周期及其单调递增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-++∈；（2）最大值为2+2 1. 【解析】（1）首先根据三角恒等变换可得()2224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据周期公式即可求出周期；然后再令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可求出函数的单调递增区间；（2）由题意可知52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而2sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，由此即可求出函数的最值. 【详解】因为22()(sin cos )2cos 2sin 2cos 22224f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭所以()2224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；所以()f x 的最小正周期为2=2ππ；令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间为3[,]88k k k Z ππππ-++∈； （2）50,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，，所以2sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 所以()2f x ⎡⎤∈⎣⎦，所以()f x 的最大值为2 1; 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换和正弦函数的相关性质，属于基础题.21．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)7b =33. 【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得3tanB =B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b =7．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()332sin A B -=． 详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得3tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3， 有22227b a c accosB =+-=，故b 7 由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得37sinA =a <c ，故7cosA =． 因此4322sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=． 所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=4311333727214-⨯=点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．22．已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，n *∈N ． (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2)记12111n nS a a a =+++L ，若S n <100，求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）99；（3）不存在【解析】试题分析：（1）根据1321n n n a a a +=+可得111111133n n n a a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，根据135a =，可知1110a -≠，即1111131n na a +-=-，据此即可求证；（2）根据等比数列的通项公式可得11213n n a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，进而即可表示出n S ，对其进行整理可得113n n S n =+-，由于100n S <，所以有111003n n +-<，即1993n <，至此，即可得到最大正整数n ；（3）首先假设存在，根据等差数列的性质可得2m n s +=，再根据等比的性质可得()()()2111m n s a a a --=-，结合（2）中得到的通项公式可将其化简为3323m n s +=⋅，接下来再根据均值不等式可知333323m n m n s ++≥=⋅，当且仅当m n =时等号成立，至此，再根据,,m n s 互不相等即可得结果.试题解析：(1)因为＝＋，所以－1＝－.又因为－1≠0，所以－1≠0(n ∈N)． 所以数列为等比数列．(2)由(1)可得－1＝·n －1，所以＝2·n ＋1.S n ＝＋＋…＋＝n ＋2＝n ＋2·＝n ＋1－，若S n <100，则n ＋1－<100，因为函数y= n ＋1－单调增， 所以最大正整数n 的值为99.(3)假设存在，则m ＋n ＝2s ，(a m －1)(a n －1)＝(a s －1)2，因为a n ＝，所以＝2，化简得3m＋3n＝2·3s，因为3m＋3n≥2·＝2·3s，当且仅当m＝n时等号，又m，s，n互不相等，所以不存在．。
2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 (6)
总分：150分 时间：120分钟一、选择题（共60分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1.设a 、b 、R c ∈,且b a >，则（ ）A ．bc ac >B ．ba 11< C ．33b a > D ．22b a > 2.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2=a ，4=b ，060=AB ．2=a ，2=c ，060=A C ．34=a ，6=b ，060=AD ．3=a ，4=b ，030=A3.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1010=S ，7030=S ，则40S =（ ）A ．80B ．110C ．130D ．150 4.在ABC ∆中，若2cossin sin 2AC B = ，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5.已知θtan ，ϕtan 是方程04332=++x x 的两根，且θ，ϕ)23,2(ππ∈，则ϕθ+的值为（ ）A ．34πB ．37πC ．34π或37πD ．35π或37π 6.各项均为正数的等差数列na n 的前}{项和为nS ，)1(0211>=-++-m a a a m m m ,m S m 则,3812=-等于A ．38 B ．20C ．10D ．9 （ ）7.已知数列}{n a 满足311=a ，n n n a a a -+=+111)(*N n ∈，则=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2019321a a a a （ ） A ．3- B ．2- C ．21-D ．31-8.已知不等式012≥+-bx ax 的解集是]41,31[-,则不等式02<+-a bx x 的解集是（ ）A ．)4,3(-B ．)31,41(- C ．),4()3,(+∞⋃--∞D ．),31()41,(+∞⋃--∞9.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线32=AD ，2=AB ,则ABC ∆的面积S 为（ ）A.3B.32C.33D.3410.如果ABC ∆的三个内角的正弦值分别等于DEF ∆的三个内角的余弦值，则下列正确的是（ ）A ．ABC ∆与DEF ∆都是锐角三角形B ．ABC ∆与DEF ∆都是钝角三角形 C ．ABC ∆是锐角三角形且DEF ∆是钝角三角形D ．ABC ∆是钝角三角形且DEF ∆是锐角三角形11.已知数列}{n a 满足12n n a a +-=，若不等式33221≤+⋅⋅⋅⋅⋅++n a a a 恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912.已知数列}{n a 、}{m b 的通项公式分别为24-=n a n ),1001(*N n n ∈≤≤，46-=m b m （*N m ∈），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求新数列的各项和（ ）A ．6788B ．6800C ． 6812D ．6824 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13.已知53)4cos(=+πx ，4743ππ<<x ，则x sin = ； 14.已知数列}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，若512≤≤a ，723≤≤a ，则6S 的取值范围是 ；15.已知数列}{n a 满足：1a ，21a a -，32a a -，⋅⋅⋅，1n n a a --，⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，则数列}{n a 的通项公式为 ；16.把正整数排成如图()a 的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图()b 三角形阵，现将图()b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若2019=k a ，则k = ；三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分10分)如图，在凸四边形ABCD 中，C ，D 为定点，CD =A ，B 为动点，满足2===BC AB DA ．（1cos 1C A -=；（2）设BCD ∆和ABD ∆的面积分别为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．18. (本小题满12分)函数2()3f x x ax =++（1）当[2,2]x ∈-时()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当[4,6]a ∈时()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围；19. (本小题满12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A b A c B a cos cos 2cos -= 且32=a（1）若c b 2=，求B cos 的值； （2）求c b +21的取值范围.20. (本小题满12分)我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截止2018年年底该地区的绿化率只有103，计划从2019年开始使用无人机飞播造林，弹射的种子可以直接打入沙面里头，实现快速播种，每年原来沙漠面积的51将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的201还会被沙漠化。
2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中考试数学(平行班)试题(解析版)
2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中考试数学（平行班）试题一、填空题1．已知集合{}{}2,3,4,3,5A B ==,则A B =_____.【答案】{3}【解析】直接进行交集的运算即可． 【详解】解：∵A ＝{2，3，4}，B ＝{3，5}； ∴A ∩B ＝{3}． 故答案为：{3}． 【点睛】考查列举法的定义以及交集的运算，属于基础题.2．在极坐标系中，点2,2A π⎛⎫⎪⎝⎭到直线(cos )6ρθθ=的距离为_____.【答案】【解析】把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A 到直线的距离． 【详解】解：点A （2，2π）的直角坐标为（0，2），直线ρ（sinθ）＝6的直角坐标方程为 x y ﹣6＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A （2，2π）到直线ρ（）＝6的距离为故答案为 【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________． 【答案】3m >【解析】由题，“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则(),m +∞是()3,+∞的真子集，可得答案. 【详解】因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件， 所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >， 故答案为3m >. 【点睛】本题考查了不要不充分条件，属于基础题.4．函数()2f x log x =在点()A 2,1处切线的斜率为______ 【答案】12ln2【解析】求得函数的导数()1'ln2f x x =，计算得()1'22ln2f =，即可得到切线的斜率．【详解】由题意，函数()2log f x x =，则()1'ln2f x x =，所以()1'22ln2f =，即切线的斜率为12ln2， 故答案为：12ln2． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，以及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____. 【答案】710【解析】基本事件总数n ＝25C ＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m ＝211223C C C +＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【详解】解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人， 基本事件总数n ＝25C ＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m ＝211223C C C +＝7，∴抽中的2人不全是女生的概率p ＝710m n =． 故答案为：710． 【点睛】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．将函数()sin(2)f x x π=+的图象向右平移4π个单位后,得到函数()g x 的图象，则()4g π的值是____. 【答案】0【解析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得g （x ）的解析式，再代入4π后可得g （4π）的值． 【详解】解：将函数f （x ）＝sin （2x +π）的图象向右平移4π个单位后， 得到函数g （x ）＝sin[2（x ﹣4π）+π]＝cos2x 的图象， 则g （4π）＝cos （2×4π）＝0， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象平移变换，属于基础题．7．函数sin y x x =+在[0,]π上的单调减区间为______.【答案】,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先根据两角和与差的公式化简，然后利用正弦函数的单调递减区间可得． 【详解】 解：∵y ＝2sin （x +3π）， 由2π+2k π≤x +3π≤32π+2k π，k ∈Z ．得6π+2k π≤x ≤76π+2k π，k ∈Z ， 又x ∈[0，π]，∴x ∈,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了正弦函数的单调性，考查了三角函数辅助角公式，属中档题． 8．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4x f x =，5()(2019)2f f -+的值是____.【答案】2-【解析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），结合解析式求出f （12）的值，又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数， 则f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f （﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0，又由0＜x ＜l 时，f （x ）＝4x，则f （12）＝124＝2，则f （﹣52）＝﹣f （12）＝﹣2；则5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2； 故答案为：﹣2 【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．9．己知矩阵1106,0114A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，若矩阵C 满足AC B =，则矩阵C 的所有特征值之和为____.【答案】5【解析】本题根据矩阵乘法运算解出矩阵C ，再依据特征多项式求出特征值，即可得到所有特征值之和． 【详解】解：由题意，可设C ＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦•a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝0614⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． 即0614a c b d c d +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，解得a 1b 2c 1d 4=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩．∴C ＝1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．∵f （λ）＝1214λλ---＝（λ﹣1）（λ﹣4）+2＝λ2﹣5λ+6＝（λ﹣2）（λ﹣3）＝0，∴特征值λ1＝2，λ2＝3． ∴λ1+λ2＝2+3＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查矩阵乘法运算及依据特征多项式求出特征值，本题不难，但有一定综合性．本题属基础题． 10．已知1sin()64x π+=，则 25sin()cos ()63x x ππ-+-的值是_____. 【答案】516【解析】由sin （x +6π）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos 2（x +6π）的值，将所求式子的第一项中的角56x π-变形为π-（x +6π），第二项中的角3x π-变形为2π﹣（x +6π），分别利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 【详解】 解：∵sin （x +6π）＝14， 25sin()cos ()63x x ππ-+-=2sin cos 626x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =2sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11416+ =516故答案为：516. 【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础题.11．已知函数 2(),()4x f x e x g x x bx =-=-+,若对任意1(1,1)x ∈-,存在2(3,4)x ∈,12()()f x g x ≥，则实数b 的取值范围为_____.【答案】[4,)+∞【解析】利用导数求函数f （x ）在（﹣1，1）上的最小值，把对任意x 1∈（﹣1，1），存在x 2∈（3，4），f （x 1）≥g （x 2）转化为g （x ）在（3，4）上的最小值小于等于1有解． 【详解】解：由f （x ）＝e x﹣x ，得f ′（x ）＝e x﹣1，当x ∈（﹣1，0）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增， ∴f （x ）min ＝f （0）＝1．对任意x 1∈（﹣1，1），存在x 2∈（3，4），f （x 1）≥g （x 2）， 即g （x ）在（3，4）上的最小值小于等于1，函数g （x ）＝x 2﹣bx +4的对称轴为x ＝2b ． 当2b≤3，即b ≤6时，g （x ）在（3，4）上单调递增，g （x ）＞g （3）＝13﹣3b ， 由13﹣3b ≤1，得b ≥4，∴4≤b ≤6；当2b≥4，即b ≥8时，g （x ）在（3，4）上单调递减，g （x ）＞g （4）＝20﹣4b ， 由20﹣4b ≤1，得b ≥194，∴b ≥8；当3＜2b ＜4，即6＜b ＜8时，g （x ）在（3，4）上先减后增，2min ()424b b g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由244b -≤1，解得b -…b ≥∴6＜b ＜8． 综上，实数b 的取值范围为[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档题．12．已知函数()4log ,04{13,42x x f x x x <≤=-+>，若a b c <<且()()()f a f b f c ==，则()1cab +的取值范围是___________．【答案】()16,64【解析】作出函数()4log ,04{13,42x x f x x x <≤=-+>的图象，如图所示．∵a b c <<时， ()()()f a f b f c ==，∴44log log a b -=，即44log log =0a b +，则4log =0ab ，∴11464a b c <<<<<<，且1ab =，∴()4616212264cc ab =<+=<=，即()1cab +的取值范围是()16,64，故答案为()16,64.13．用长度分别为3,4,5,6cm cm cm cm的四根木条围成一个平面四边形，则该平面四边形面积的最大值是____2cm.【答案】【解析】在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，利用余弦定理可得S ABCD2+116（（a2+d2﹣b2﹣c2）2＝14（ad+bc）2﹣abcd cos2α≤14（ad+bc）2，设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，代入计算可得所求最大值．【详解】在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，由S ABCD＝S△BAD+S△BCD＝12ad sin A+12bc sin C，①在△ABD中，BD2＝a2+d2﹣2ad cos A，在△BCD中，BD2＝b2+c2﹣2bc cos C，所以有a2+d2﹣b2﹣c2＝2ad cos A﹣2bc cos C，1 4（a2+d2﹣b2﹣c2）＝12ad cos A﹣12bc cos C，②①2+②2可得S ABCD2+116（（a2+d2﹣b2﹣c2）2＝14（a2d2sin2A+b2c2sin2C+2abcd sin A sin C）+14（a2d2cos2A+b2c2cos2C﹣2abcd cos A cos C）＝14[a2d2+b2c2﹣2abcd cos（A+C）]＝14[（ad+bc）2﹣2abcd﹣2abcd cos2α]＝14（ad+bc）2﹣abcd cos2α≤14（ad+bc）2．当α＝90°，即四边形为圆内接四边形，此时cosα＝0，S ABCD由题意可设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6则该平面四边形面积的最大值为S＝（cm2），故答案为：．【点睛】本题考查四边形的面积的最值求法，运用三角形的面积公式和余弦定理，以及化简变形，得到四边形为圆内接四边形时面积取得最大值，是解题的关键，属于难题． 14．在ABC ∆中，若sin 2cos cos C A B =，则22cos cos A B +的最大值为______.【答案】12【解析】先由题得222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=，再化简得22cos cos A B +=1)224C π-+，再利用三角函数的图像和性质求出最大值. 【详解】在△ABC 中，有222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=, 所以22cos cos A B +=1+cos 2111sin cos (sin 2cos 2)222C C C C C --=-+=11)2242C π-+≤,当sin(2)=-14C π+即58C π=时取等.故答案为：12【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.解题的关键是三角恒等变换.二、解答题15．（1）求直线:20l x y -+=在矩阵3012M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应变换作用下的直线l 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线cos :1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l cos()24πθ+=-，求曲线C 与直线l 交点的极坐标(0,0<2)ρθπ≥≤.【答案】（1） 20x y -+=；（2）3,2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭. 【解析】（1）设直线上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 对应变换作用下的点(,)P x y '，然后矩阵的变换列出关系式，代入原直线方程即可求出变换后的直线.（2）将曲线C 和直线方程转化为直角坐标系下的直角坐标方程，求出交点坐标，然后再转化为极坐标即可. 【详解】（1）设直线上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 对应变换作用下的点(,)P x y '则3012x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'，所以32x x x y y ''=⎧⎨-+=⎩，解得1311'62x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪. 因为点(,)P x y 在直线上，所以11120362x x y '''⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即3120x y ''-+=，所以变换后的直线l '的方程为3120x y -+=.（2）已知曲线cos :1sin x C y a α=⎧⎨=+⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为：22(1)1y x +-=， 直线l 'cos 24π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭θ． 转换为直角坐标方程为：20x y -+=.由22(1)120x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩转换为极坐标为32,42ππ⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查矩阵变换公式和点的坐标变换，考查极坐标与直角坐标的互换，属于基础题. 16．甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对,,A B C 三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍,,A B C 的概率分别为311,,423,乙同学购买书籍,,A B C 的概率分别为211,,322,假设甲、乙是否购买,,A B C 三种书籍相互独立. （1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为X ,求X 的概率分布列和数学期望.【答案】（1）18；（2）分布列见解析，56.【解析】（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列. 【详解】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A ，则3111()4238P A =⨯⨯=. 答：甲同学购买3种书籍的概率为18. （2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为1p ，2p . 则131********42342342312p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2211211111532232232212p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以12p p =，所以5~2,12X B ⎛⎫⎪⎝⎭. 02025749(0)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11125770(1)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2225725(2)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的概率分布为4970255()0121441441446E X =⨯+⨯+⨯=. 答：所求数学期望为56.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ACB π∠=，,D E 分别是1,AB BB 的中点，且AC BC ==12AA =.（1）求直线1BC 与1A D 所成角的大小； （2）求直线1A E 与平面1A CD 所成角的正弦值.【答案】（1）6π；（2）33．【解析】试题分析：由已知有AC 、BC 、CC 1两两互相垂直，故可分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.然后由已知就可写出所需各点的空间坐标．（1）由此就可写出向量D A BC 11,的坐标，然后再由两向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅<>=求出这两向量的夹角的余弦值，最后转化为对应两直线的夹角大小；只是应该注意两直线的夹角的取值范围是]2,0[π，而两向量的夹角的取值范围是],0[π；所以求出两向量的夹角的余弦值后取绝对值才是两直线的夹角的余弦值；（2）由中点坐标公式可求得点Ｅ的坐标，进而就可写出向量E A 1的坐标，再设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z =,由10CA e CD e ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,就可求出平面CD A 1的一个法向量，从而就可求得这两向量夹角的余弦值，注意直线与平面所成的角的正弦值就等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值．试题解析：解：分别以CA 、CB 、1CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则由题意可得：(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,1(2,0,2)A ,1(0,2,2)B ,1(0,0,2)C , 又 ,D E 分别是1,AB BB 的中点，∴(1,1,0)D ,(0,2,1)E . 3分（1）因为1(0,2,2)BC =-， 1(1,1,2)A D =--，所以111111cos ,22BC A D BC A D BC A D⋅===-⋅， 7分∴直线1BC 与D A 1所成角的大小为6π. 8分（2）设平面CD A 1的一个法向量为(,,)e x y z =,由100CA e CD e ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得2200x z x y +=⎧⎨+=⎩,∴可取(1,1,1)e =--， 10分又 1(2,2,1)A E =--，所以111cos ,||.||3A E e A E e A E e ⋅===， 13分∴直线E A 1与平面CD A 1所成角的正弦值为33.14分【考点】１．异面直线所成的角；２．直线与平面所成的角．18．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且22cos c a B =，a =（Ⅰ）若c =ABC ∆的面积；（Ⅱ）若ABC ∆c -的取值范围. 【答案】（Ⅰ）ABC S ∆=（Ⅱ）【解析】（I ）运用正弦的和公式，计算A 角大小，结合余弦定理，计算出b ，结合三角形面积计算公式，即可。