二次根式的除法
初中数学 如何对两个二次根式进行除法运算
初中数学如何对两个二次根式进行除法运算对于两个二次根式进行除法运算，我们可以按照以下步骤和规则来进行计算。
理解并掌握这些方法，可以帮助我们更好地解决二次根式的除法问题。
步骤一：将两个二次根式写成标准形式首先，我们需要将两个二次根式写成标准形式，即确保根号下的数是最简形式且系数为整数。
如果有必要，我们可以进行化简或合并同类项。
步骤二：有理化分母在进行二次根式的除法运算时，如果分母是一个二次根式，我们需要有理化分母，即将分母中的二次根式去掉。
具体来说，如果分母是一个二次根式√(c)，其中c是一个非负实数，我们可以将分子和分母同时乘以√(c)来有理化分母。
步骤三：使用除法法则计算根号下的数根据除法法则，我们将两个二次根式进行除法运算时，可以将它们的根号下的数相除。
具体来说，如果有两个二次根式√(a)和√(b)，其中a和b都是非负实数，那么它们的除法为：√(a) / √(b) = √(a/b)。
步骤四：计算系数在进行根号下的数的除法计算后，我们需要计算系数的除法。
如果两个二次根式的系数都是整数，那么我们可以直接将它们的系数相除。
如果其中一个或两个二次根式的系数不是整数，我们需要将它们进行化简或分解，然后再进行系数的除法运算。
步骤五：合并结果在计算了根号下的数和系数后，我们将它们合并到一起，得到最终的结果。
如果根号下的数是一个完全平方数，我们可以将其提取出来，得到一个整数。
如果根号下的数不能被整除，我们将其保留在根号下，确保结果是最简形式。
让我们通过一些实际的例子来说明如何对两个二次根式进行除法运算：例子1：计算√(12) / √(3)。
首先，我们将根号下的数进行除法运算：√(12) / √(3) = √(12/3) = √(4) = 2。
因此，√(12) / √(3)等于2。
例子2：计算(3√(5)) / (√(15))。
首先，我们有理化分母，将分子和分母同时乘以√(15)：(3√(5)) / (√(15)) = (3√(5) * √(15)) / (√(15) * √(15)) = 3√(5*15) / 15 = 3√(75) / 15。
二次根式乘除运算法则
二次根式乘除运算法则1.二次根式乘法法则：两个二次根式相乘时，我们可以将它们的系数相乘，并将根号内的值相乘，然后合并同类项。
例如：√2*√3=√(2*3)=√6当系数为负数时，我们可以先将负号移到根号前，然后再进行乘法运算。
例如：-√2*√3=-(√2*√3)=-√(2*3)=-√6如果两个二次根式都有分子和分母，我们可以对分子和分母分别进行乘法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√2/√3)*(√5/√7)=(√(2*5)/√(3*7))=(√10/√21)2.二次根式除法法则：两个二次根式相除时，我们可以将它们的系数相除，并将根号内的值相除，然后将同类项合并。
例如：√6/√2=√(6/2)=√3当系数为负数时，同样可以先将负号移到根号前，然后再进行除法运算。
例如：-√6/√2=-(√6/√2)=-√(6/2)=-√3如果被除数和除数都有分子和分母，我们需要对被除数和除数的分子和分母进行分别进行除法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√10/√2)/(√5/√3)=(√10*√3)/(√2*√5)=(√(10*3)/√(2*5))=(√30/√10)=(√(30/10))=√33.提取公因式的技巧：当需要进行二次根式的加减运算时，我们可以先提取公因式，再合并同类项。
例如：√16+√36=4√1+6√1=4+6=10如果二次根式中的根号内的表达式可以进行因式分解，我们可以先将根号内的表达式进行因式分解，然后再进行合并。
例如：√20+√8=√(4*5)+√(4*2)=2√5+2√2=2(√5+√2)4.合并同类项的方法：当有多个二次根式需要进行合并时，我们需要保证它们的根号内的表达式相同，然后将它们的系数相加或相减，保持根号不变。
例如：2√5+3√5=(2+3)√5=5√5以上就是二次根式乘除运算的基本法则和技巧。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些法则和技巧，以便在解决问题时快速而准确地进行计算。
《二次根式的乘法和除法》 知识清单
《二次根式的乘法和除法》知识清单一、二次根式的乘法1、法则二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
即：＄＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＄（＄a\geq 0$，＄b\geq 0$）例如：＄＼sqrt{2} ＼times ＼sqrt{3} ＝＼sqrt{2×3} ＝＼sqrt{6}＄2、乘法法则的推广多个二次根式相乘时，此法则同样适用。
例如：＄＼sqrt{2}×＼sqrt{3}×＼sqrt{5} ＝＼sqrt{2×3×5} ＝＼sqrt{30}＄3、乘法法则的逆用＄＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＄（＄a\geq 0$，＄b\geq 0$）这一逆用常用于将一个二次根式化简为两个或多个二次根式的乘积形式。
例如：＄＼sqrt{18} ＝＼sqrt{9×2} ＝＼sqrt{9}×＼sqrt{2} ＝3\sqrt{2}＄4、二次根式乘法运算的步骤（1）先将被开方数进行因数分解或质因数分解。
（2）把可以开得尽方的因数或因式开出来。
（3）应用乘法法则进行计算。
二、二次根式的除法1、法则二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
即：＄＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＄（＄a\geq 0$，＄b>0$）例如：＄＼dfrac{＼sqrt{8}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{8}｛2}｝＝＼sqrt{4} ＝ 2$2、除法法则的推广多个二次根式相除时，此法则同样适用。
例如：＄＼dfrac{＼sqrt{12}｝｛＼sqrt{2}｝÷＼sqrt{3} ＝＼dfrac{＼sqrt{6}｝｛＼sqrt{3}｝＝＼sqrt{2}＄3、除法法则的逆用＄＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＄（＄a\geq 0$，＄b>0$）这一逆用常用于将一个二次根式的除法运算转化为乘法运算，以简化计算。
二次根式的除法(1)
课堂展示
课堂展示
规则： 同学们先在草稿纸上完成题目，5分钟后，随机抽取三名同学进行展示。
第二轮
1、计算：
① 18 8
2 5 ② 1 3 6
③ 27 50 6
2、化简：
9 ① 49
a 2b ② 4c 2
2a 2 ③ 9
课堂小结：
1、利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2、二次根式的除法常用方法： 利用公式：
a b = a (a ≥0，b > 0) b
b ( a 0，b 0) a
b a
作业 ：
1、计算
54 ① 3
1 7 ② 4 5 15
（x＞2）
3 ③ （x - 2） x - 2
2、化简
4x 2 ① 81
8 ② 2 a
1 ③ 4 4
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
新知探究
1、填空
①
②
4 9 9 16 16 25
2 3 3 4
4 5
4 9 9 16 16 25
2 3
3 4
4 5
③
2、由此可以得到二次根式除法的运算法则：
a b
a b
（a≥0，b＞0）
a b
a b
（
X）
1 （3）选择：化简 过程正确的是 （ 4
C
）
A Байду номын сангаас
1 （B） 4
1 1 （C） 2 4
1 1 4 2
总结：商的算术平方根性质的运用一定要注意 被开方数的取值范围。
之规 后 ，则 第一轮 随： 机同 1、计算： 抽学 72 取们 （ ） 18 2 ； 2） 1 （ ； 6 三先 名在 b b （3） 2a 6a； 4） （ 同草 5 20a 2 学稿 2、把下列二次根式化成 最简二次根式： 进 纸 行上 3 展完 (1) 32 ( 2) 40 (3) 1.5 ( 4) 4 示成 。题 目 ，
4.2.2 二次根式的除法
【解析】选B. 解析】
5.若 5.若
x-2 x-2 成立， 满足_______. 成立，则x满足_______. = 3- x 3- x
x-2≥0 【解析】由题知 解析】 , ∴2≤x<3. 3 - x > 0
答案: 答案:2≤x<3
6.计算： 6.计算： 计算
【解析】 解析】
7.若一个直角三角形的面积为 7.若一个直角三角形的面积为 18 cm2，一条直角边长为 cm，求另一条直角边的长和斜边上的高. 3 cm，求另一条直角边的长和斜边上的高. 【解析】设另一条直角边的长为b cm, 解析】设另一条直角边的长为b 则 1 × 3b = 18 , 解得 b = 2 6(cm).
二次根式的乘法
a × b = ab(a ≥ 0, b ≥ 0)
ab = a × （a ≥ 0，b ≥ 0） b
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？
计算下列各式，观察计算结果，能发现什么规律？ 计算下列各式，观察计算结果，能发现什么规律？
4 2 (1) = , 3 9 4 2 = 3 9
2
故斜边长为
( 3)2 + (2 6)2 = 27 = 3 3(cm),
2× 18 ÷ 3 3 = 2 6 (cm). 3
所以斜边上的高为
1.利用商的算术平方根的性质化简二次根式. 1.利用商的算术平方根的性质化简二次根式. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式 2.二次根式的除法有两种常用方法： 2.二次根式的除法有两种常用方法： 二次根式的除法有两种常用方法 （1）利用公式： a = a (a ≥，b > 0) ； 利用公式： 0
《二次根式的除法》教案
5.2.2 二次根式的除法教学目标1 在具体情境中，通过探索得到二次根式除法法那么；2 会用二次根式除法法那么熟练进行二次根式除法运算，并会对结果进行化简；3通过二次根式乘法类比得出二次根式除法渗透类比思想。
教学重点、难点重点：二次根式除法运算难点：探索二次根式除法法那么教学过程一、创设情景，导入新课1复习：二次根式乘法法那么是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？(0,0)a b ab a b=≥≥，二次根式相乘，把被开方数相乘。
二合作交流，探究新知1a 与a的关系。
〔1〕3与13是什么关系？〔互为倒数的关系〕〔2〕133与还是互为倒数的关系吗？为什么？估计学生会持肯定态度,因为11331133⋅=⨯==，所以，133与是互为倒数的关系。
〔3〕1a a与还是互为倒数的关系吗？为什么？ 估计有的学生会认为是互为倒数关系，理由是：111a a a a⋅=⋅==1 个别学生会想到只有当 a ≥0时，才有1a a与互为倒数关系。
〔4〕既然1a a与互为倒数，怎样表示他们的关系呢？11(0)a a a=≥ 2、 推导：00)a aa b b b=≥>（，∵111a aa a ab b b b b ⋅⋅==== ∴00)a aa b b b=≥>（，这个公式说明了二次根式相除，怎样运算？〔把被开方数相除〕 三 应用迁移，稳固提高 1 直接运用公式进行计算 例1 计算：〔1〕153, (2)34052解：〔11515533== 〔234034032052552==变式：〔1〕这两个题中分子的被开方数能被分母的被开方数整除，假设分子的被开方数不能被分母的被开方数整除，且要求结果的被开方数是整数，你有方法吗？ 试试看：2410222412125211515105555⨯⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭例2 设a>0,b>0,计算： 3182a ba 3243a a解：〔1〕33218189322a b a ba b a b a a===〔2〕232324248222233aa a a a a a⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 变式：上题改为：4243a a，且要求结果中的被开方数是整式。
二次根式的除法
二次根式除法
二次根式乘法法则:
a b a b
（a≥0,b≥0)
最简二次根式的要求: 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
探 究
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什 么规律？
2 4 4 （1） =（ ）， =（ 3 9 9
2 ） 3 4 4 16 16 （2） =（ ）， =（ ） 25 5 5 猜想： 25
3( x 1) 2( x 1) 3
4、若等式 是_________
x x 5
x x 5 成立，则x的取值范围
5、已知， a 5 2 则a与b的关系是（ ） (A) a
6
(C)
1 b ， 52 6
b
(B) a
b
ab 1
(D)
ab
小 结
1、二次根式的除法：
3
4 3
4
1.5
最简二次根式的要求:
被开方数不含分母. 例 题
1、计算：
24 (1) 3
2、化简：
3 1 (2) 2 18
3 (3) 15 5
3 (1) 100
25 y (2) 2 9x
3
4 3
4
1.5
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式.
3、计算：
3 (1) 5
3 2 (2) 27
8 (3) 2a
4、计算：
3 1 (1)9 45 1 2 2
(2) 18 2 x y 3 2 xy
3 2
(3)(4 27 5 48) 2 3
二次根式的除法法则
含字母的二次根式的除法
法则描述
含字母的二次根式相除，同样遵 循同类二次根式的除法法则，但
需注意字母的取值范围。
示例
$frac{asqrt{b}}{csqrt{b}} = frac{a}{c} quad (b > 0)$
注意事项
确保字母的取值使二次根式有意 义，且除数不为0。同时，对于 含字母的表达式，还需考虑其定
义域。
04 二次根式除法的应用
在数学领域的应用
1 2 3
简化根式表达式
通过二次根式的除法，可以将复杂的根式表达式 简化为更简单的形式，便于进一步的计算和分析。
解方程和不等式
在解方程和不等式的过程中，经常需要用到二次 根式的除法，以消去根号或化简表达式，从而得 到解或证明不等式。
推导数学公式
二次根式的除法在数学公式的推导中起到重要作 用，例如在三角函数、数列、概率统计等领域的 公式推导中经常涉及。
在物理和工程领域的应用
计算物理量
在物理学中，很多物理量需要通过二次根式的除法来计算，例如速度、加速度、 力等。这些物理量的计算往往涉及到复杂的数学表达式和根式的处理。
工程设计
在工程设计中，经常需要用到二次根式的除法来求解各种问题，例如计算结构 的强度、稳定性等。通过合理的数学建模和计算，可以保证工程设计的准确性 和安全性。
通过与共轭式相乘，可以消去分母中的根号，从而将除法转 化为乘法运算。
避免分母出现根号
在进行二次根式除法时，应尽量避免分母中出现根号。如 果分母中出现根号，可以通过乘以适当的表达式来消去根 号。
例如，当分母为√a + √b时，可以乘以√a - √b来消去分母 中的根号。
06 二次根式除法的注意事项
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（1） ；（2）
课堂练习
三、巩固训练：
Ｐ12 “做一做”、exc1（3、4）
补充：
1、把下列各式分母有理化：
（1） ；（2） 。
2、计算：
（1） ；（2）
小结与作业
课堂小结
四、知识小结：
1、商的算术平方根的性质；
2、会利用商的算术平方根的性质对一些式子进行化简。
本课作业
五、家庭作业：
Ｐ14 exc2（3）、3（3）
新课解析
二、新课讲解：
1、知识设疑：
其一、积的算术平方根的性质：
其二、 而 ，所以 = 。
2、知识形成
商的算术平方根：
概括：商的算术平方根的性质： = （a≥0，b＞0）。
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注意：
(1)若根式中的被开方数的分子与分母都是两个因数之积，因此先运用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根的性质将分子与分母分别化简.
六、每日预题：
1、什么是同类二次根式？
2、二次根式的加减法与合并同类项之间有何异同点？
七、教学反馈：
二次根式的除法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而进一步降低学习的难度，提高学习的效率，但在教与学中，可以明显感受到学生对分母有理化概念在运用中的不灵活性，这也是应在今后的复习中给予加强的。
年级学科
八年级
教材版本
人教版
一、教学内容分析
1、用商的算术平方根的性质化简被开方数为简单的分数或分式的二次根式（也就是分母开方能开尽）；
2应注重二次根式乘除法公式的对比，并复习有关因数分解的知识，多练习，发现问题及时解决。
二、教学目标
2、使学生掌握商的算术平方根的性质；
3、使学生会用商的算术平方根的性质化简被开方数为简单的分数或分式的二次根式（也就是分母开方能开尽）；
(2)若根式中的被开方数的分子是多项式，可先分解因式，再应用商的算术平方根的性质和积的算术平方根的性质分别将分子及分母化简。
自主探究，合作交流，当堂训练，让学生感受到成功的喜悦。激发学生的学习兴趣。
例题精讲
3、例题讲解：
例1、化简：
（1） ；（2） ；（3）
例2、化简：
（1） ；（2）
例3、式子 成立的条件是什么？
3、使学生掌握分母有理化知识，并能利用它进行二次根式的化简及近似手段
课程引入
一、知识导向：
从教材的编排看，二次根式的乘除法着重讲乘法，除法给学生自己去探索，有了乘法的经验，应当不难归纳除法运算法则。在教学中主要让学生充分地进行讨论、交流，发表见解，应注重二次根式乘除法公式的对比，并复习有关因数分解的知识，多练习，发现问题及时解决。