云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试文科数学试题(解析版)

昆明市2019届高三复习诊断测试文科数学

一、选择题：本题共1小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由集合交集的运算求解即可.

【详解】由集合，，则

故选：B.

【点睛】此题考查了集合的交集运算，属于基础题.

2.在复平面内，复数对应的点位于

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．

故选：D．

【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：

根据表中数据，下列说法正确的是

A. 利润率与人均销售额成正比例函数关系

B. 利润率与人均销售额成反比例函数关系

C. 利润率与人均销售额成正相关关系

D. 利润率与人均销售额成负相关关系 【答案】C 【解析】 【分析】

由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到.

【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系. 故选：C.

【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题. 4.已知，，

，则下列不等式正确的是（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】

由指数函数的单调性得，与常数‘1’比较得

即可得答案.

【详解】因为在R 上递减，且

，所以

.又因为

在R 上递增，且

，所以

.

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查了指数函数的单调性和与常数‘1’比较大小，属于基础题. 5.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则

（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】

由任意角的三角函数的定义得

和

，由正弦的两角和计算公式可得

.

【详解】根据题意：x轴的非负半轴为始边作角α，其终边与单位圆交于点，由任意角的三角函数的定

义得sinα＝，，则．

故选：B．

【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题.

6.如图，先画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形.在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内的概率是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的．则四边形的面积构成公比为的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.

【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的，四边形的面积构成公

比为的等比数列，∴第n个正方形的面积为，即第四个正方形的面积 .

∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P＝，

故选：C．

【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.

7.已知是双曲线渐近线上的点，则双曲线的离心率是（）

A. 2

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由在双曲线的渐近线上，得=，由e=计算可得.

【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=，在渐近线上，所以=，则e==2.

故选：A.

【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.

8.函数图象的一条对称轴方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由，得x，取k值得答案．

【详解】由，得x＝，k∈Z．取k＝0，可得x＝．

∴函数y＝sin（）的图象的一条对称轴方程为x＝．

故选：D．

【点睛】本题考查了y＝Asin（ωx+φ）型函数的一条对称轴，属于基础题．

9.已知，为椭圆的左，右焦点，为的短轴的一个端点，直线与的另一个交点为

，若为等腰三角形，则（）

A. B. C. D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】

设|AF1|＝t（t＞0），由已知条件得出|AB|＝|AF2|，结合椭圆的定义得出，可求出|AF1|和|AF2|，即可求出答案．

【详解】设|AF1|＝t（t＞0），由椭圆的定义可得|AF2|＝2a﹣t，由题意可知，|AF2|＞|BF2|＝a，由于△BAF2是等

腰三角形，则|AB|＝|AF2|，

即a+t＝2a﹣t，所以，所以，因此

故选：A．

【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题．

10.在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数、棱数、面数之间，都满足关系式，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（）

A. 10

B. 12

C. 15

D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意得面数=20，F=E，再由关系式，可得V.

【详解】因为一个凸二十面体的每个面均为三角形，所以面数=20，顶点数、棱数的关系为F=E，由任意一个凸多面体的顶点数、棱数、面数之间，都满足关系式，所以V-f+20=2,得V=12.

故选：B.

【点睛】本题考查了利用欧拉公式求顶点数的应用，属于基础题.

11.已知函数，若函数的图象在处切线的斜率为，则的极大值是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的图象在处切线的斜率为，得，从而得m=0，进而得f（x）的单调性，即可得极大值

=.

【详解】因为函数，所以，由函数的图象在处切线的斜率为，所以

=3e，所以m=0. 即=0的根-2,0，因为，所以函数

递增，在递减，在递增，所以函数的极大值=.

故选：A.

【点睛】本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键，属于中档题.

12.在棱长均为的四面体中，点为的中点，点为的中点.若点，是平面内的两动点，且

，，则的面积为（）

A. B. 3

C. D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

建立直角坐标系，写出B,E,F的坐标，设M(x,y,0)的坐标，由，得出M的轨迹，同理得出N的轨迹，由

，即可得到的面积.

【详解】建立直角坐标系如图所示，

，底面为等边三角形，且.所以O D=2,B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),点为的中点，所以E（，，0），点为的中点，F（-，-，0），设M（x,y,0）,，

，化简得，且点M 是平面BCD 内的动点，所以点M在以（0,0）为圆心，

以1为半径的圆上，又，且点N 是平面BCD 内的动点，同理N也在这个圆上，且，所以MN为圆的直径，因为AO面BCD，所以AO MN，且AO=， .

故选：C.

【点睛】本题考查了空间向量解决点的轨迹问题，圆的几何性质和三角形的面积的运算，属于中档题.

二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，，若，则______.

【答案】2

【解析】

【分析】

由得=0，计算可得t的值.

【详解】已知向量，，所以= .，得=

=3+9-6t=0，所以t=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.

14.设，，，若是的充分不必要条件，则的值可以是______.（只需填写一个满足条件的即可）

【答案】（的任意数均可）

【解析】

【分析】

由得q：0

【详解】由得0

故答案为：（的任意数均可）

【点睛】本题考查了不等式的计算和充分不必要条件的应用，属于基础题.

15.在中，已知，，，则______.

【答案】3

【解析】

【分析】

在中，，，由余弦定理得AB.

【详解】在中，已知，，，由余弦定理得,得AB=3或-1（舍）.

故答案为：3

【点睛】本题考查了余弦定理解三角形的边长的应用，属于基础题.

16.如图，在矩形中，已知，，点，分别在、上，且.设，当四边形的面积取得最大值时，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

运用直角三角形的正切函数的定义和三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，注意等号成立的条件，可得所求值．

【详解】在直角三角形ABE中，可得BE＝4tanθ，（0

在直角三角形ADF中，DF＝3tan（45°﹣θ），

可得四边形AECF的面积S＝12﹣?4?4tanθ﹣?3?3tan（45°﹣θ）

＝12﹣8tanθ﹣?＝20﹣8（1+tanθ）+?（1﹣）

＝﹣8（1+tanθ）﹣

≤﹣2

＝﹣12，当且仅当8，即tanθ＝﹣1，且满足0＜tanθ＜1

则四边形AECF的面积取得最大值．

故答案为：﹣1．

【点睛】本题考查四边形的面积的最值，注意运用间接法和三角形的面积、以及正切函数的定义和基本不等式的运用，属于中档题．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列是等比数列，公比，若，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用已知条件建立方程组，求出数列的首项和公比，进一步求出数列的通项公式．

（2）利用（1）的结论，进一步利用等差数列的前n项和公式求出结果．

【详解】（1）由已知得

则或（舍去）.

所以.

（2）因为.

所以数列是首项为2，公差为-1的等差数列.

设数列的前项和为，

所以.

【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．

18.“中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚.某公司准备派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛.经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间（单位：秒）及挑战失败（用“×”表示）的情况如下表1：

据表1中甲、乙两选手完成该项关键技能挑战成功所用时间的数据，应用统计软件得下表2：

（1）在表1中，从选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩中，任取2个，求这2个成绩都低于80秒的概率；（2）若该公司只有一个参赛名额，以该关键技能挑战成绩为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由.

【答案】（1）；（2）选手乙，见解析.

【解析】

【分析】

（1）用列举法求出基本事件数，求出所求的概率值；

（2）根据甲、乙选手的均值和方差，选出均值高且方差小的选手参赛更合适．

【详解】（1）选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩共有6个，

其中低于80秒的有3个，分别记为，，，其余的3个分别记为，，，

从中任取2个的所有取法有：

，，，，，

，，，，

，，,

，，

共种，其中2个成绩都低于80秒的有3种，

所以，所取的2个成绩都低于80秒的概率.

（2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，

其中，（秒），（秒），

，，

选手乙代表公司参加技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但，乙选手用时更短，从表格中数据整体看，他们的用时逐步减少，由

，这说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好.

【点睛】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了样本的数字特征应用问题，属于基础题．

19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱

上的一点.

（1）证明：平面；

（2）若平面，求的值；

（3）在（2）的条件下，三棱锥的体积是18，求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）推导出BC⊥PD，BD⊥BC，由此能证明BC⊥平面PBD．（2）连结AC，交BD于O，连结OE，由PA∥平面BDE，得OE∥PA，由此能求出．（3）B到平面PCD的距离d＝

＝3，设PD＝a，则＝=，由三棱锥P﹣BDE的体积是18，求出PD＝a ＝6，设点D到平面PAB的距离为h，由V P﹣ABD＝V D﹣PAB，能求出D点到平面PAB的距离．

【详解】（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，

∴BC⊥PD，∵AD＝BD＝6，AB＝6，BC＝AD，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，

∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD．

（2）连结AC交BD于O，连结OE，则O是AC的中点，

∵PA∥平面BDE，∴OE∥PA，∴E是PC的中点，∴＝．

（3）B到平面PCD的距离d＝＝3，设PD＝a，则＝＝，∵三

棱锥P ﹣BDE 的体积是18，∴V P ﹣BDE ＝V B ﹣PDE ＝＝＝18，解得PD ＝a ＝6，

设点D 到平面PAB 的距离为h ， ∵PD ⊥平面ABCD ，AD ＝BD ＝6，AB ＝6，

∴PA ＝PB ＝＝6

，

∴

＝18

， ＝

＝18，

∵V P ﹣ABD ＝V D ﹣PAB ，∴

，

∴h ＝＝＝2．∴D 点到平面PAB 的距离为2．

【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题． 20.过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点，

（1）若线段中点的横坐标为3，求的值；

（2）求

的取值范围.

【答案】（1）8 ；（2）.

【解析】 【分析】 （1）设，

，则

，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|.（2）由抛物线的定义可知||AF|?|BF|

＝

＝m 2

y 1y 2，再根据韦达定理和判别式即可求出．

【详解】（1）设，，则，由抛物线的定义知

.

（2）设，，直线的方程为

.

由得

即，

.

由

，得

. 由抛物线的定义知，

.

则. 因为，所以. 故

的取值范围是

.

【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系和抛物线定义的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.

21.已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，，证明：.

【答案】（1）函数是上的减函数；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出函数f（x）的定义域，并对函数f（x）求导，确定f′（x）的正负，即可确定函数f（x）在定义域上的单调性；（2）设a＞b＞0，分为两个不等式和．证明不等式时，转化为，换元t=>1，转化为，通过函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性来证明；证明不等式，转化为，换元x=>1，构造函数，通过函数g（x）在区间（1，+∞）的单调性来证明．

【详解】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）,，所以，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减；

（2）假设a＞b＞0．先证明不等式，即证，即证，令，则原不等式即为，其中t＞1，由（1）知，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当t＞1时，f（t）＜f（1）＝0，即

，即，所以，当a＞b＞0时，．

下面证明．即证，即，

令，即证，其中x＞1，构造函数，其中x＞1，

，所以，函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，所以，g（x）＞g （1）＝0，所以，当x＞1时，，

所以，当a＞b＞0时，．

综上所述，当a＞0，b＞0时，．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和最值，解决本题的关键在于构造合适的函数，利用单调性来处理问题，属于中档题．

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求的极坐标方程；

（2）若曲线的极坐标方程为，直线与在第一象限的交点为，与的交点为（异于原点），求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）由极径的应用求出结果．【详解】（1）曲线C1的参数方程为（t为参数）．

转换为直角坐标方程为：，

转换为极坐标方程为：ρ2+8ρ2sin2θ﹣9＝0．

（2）因为，两点在直线上，可设，.

把点的极坐标代入的方程得：，解得.

由己知点在第一象限，所以.

因为异于原点，所以把点的极坐标代入的方程得：

，解得.

所以，.

【点睛】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．