2018广州中考二次函数综合测试题(绝版押题)
2018年中考数学二次函数压轴题汇编
2018年中考数学二次函数压轴题汇编1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x的取值范围．11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P 在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P （1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ =S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC =S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y）总有n+≥﹣4my2﹣12y﹣50成立，求实数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A （0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b= （用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD 于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 在y 轴上，且∠BDO=∠BAC ，求点D 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知函数y=mx 2﹣（2m ﹣5）x+m ﹣2的图象与x 轴有两个公共点．（1）求m 的取值范围，并写出当m 取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C 1．①当n ≤x ≤﹣1时，y 的取值范围是1≤y ≤﹣3n ，求n 的值；②函数C 2：y=m （x ﹣h ）2+k 的图象由函数C 1的图象平移得到，其顶点P 落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C 1的图象顶点为M ，求点P与点M 距离最大时函数C 2的解析式．25．如图，抛物线y=x 2+x+c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连结AB ，点C （6，）在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D ．（1）求c 的值及直线AC 的函数表达式；（2）点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M ，连结MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点．①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长（用含m 的代数式表示）．26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF 的值．28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点．1①当a=1、d=﹣1时，求k的值；随x的增大而减小，求d的取值范围；②若y1（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线BC的函数表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B 两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．35．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B （﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l 将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P 为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC 可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v是加速前的速度）．37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E 作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b= ，c= ；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x ﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A （﹣5，8）在一次函数y=ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数y=﹣x 2+4x ﹣．①当点B （m ，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②当﹣3≤x ≤3时，求函数y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN ．直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x 2+4x+n 的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C （m ，0）是线段A B 上一点（与 A ，B 点不重合），抛物线L 1：y=ax 2+b 1x+c 1（a ＜0）经过点A ，C ，顶点为D ，抛物线L 2：y=ax 2+b 2x+c 2（a ＜0）经过点C ，B ，顶点为E ，AD ，BE 的延长线相交于点F ．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L 1，L 2的解析式；（2）若a=﹣1，AF ⊥BF ，求m 的值；（3）是否存在这样的实数a （a ＜0），无论m 取何值，直线AF 与BF 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l 与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD 交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．1（1）求点D的坐标和抛物线M的表达式；1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件（2）点P是抛物线M1的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M的图象向下平移m（m＞0）1．个单位得到抛物线M2①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M与直线AE有两个交点，求m的取值2范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P 的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD ∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x 轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；=8S （3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说△QAB明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M 运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A ，D 两点．设抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与x 轴相交于E ．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ，使得△ADF 与△BOC 相似，并且S △ADF =S △ADE ，求此时抛物线的表达式．17．已知二次函数y=﹣x 2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=﹣b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，b ＞0，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足=，求二次函数的表达式．18．如图1，点A 坐标为（2，0），以OA 为边在第一象限内作等边△OAB ，点C 为x 轴上一动点，且在点A 右侧，连接BC ，以BC 为边在第一象限内作等边△BCD ，连接AD 交BC 于E ．。
2018中考数学专题复习 二次函数压轴题节选 ( PDF含答案)
二次函数综合题节选1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴交于Ａ、B两点（点Ａ在点B的左侧），且ＡB＝4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线ＡP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为ｔ．（1）求点Ａ的坐标和抛物线的表达式；（2）当ＡE：EP＝1：2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求ｔ的值．【分析】（1）依据抛物线的对称性可得到Ａ、B的坐标，利用抛物线的交点式可得到抛物线的解析式；（2）过点P作PF∥y轴，交x轴与点F，则△ＡEG∽△ＡPF，从而可得到ＡF ＝6，然后可求得PF的长，从而可得到EG的长，故此可得到点E的坐标；（3）先证明∠ＡDO＝∠CME，然后，再求得点C和点M的坐标，从而可得到ｔan∠ＡDO＝1，于是可得到OD＝ＡO＝1，故此可得到ＡP的解析式，最后求得直线ＡP与抛物线的交点坐标即可．【解答】解：（1）∵ＡB＝4，抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，∴点Ａ到对称轴的距离为2，∴Ａ（－1，0），B（3，0），∴y＝（x＋1）（x－3）整理得：y＝x2－2x－3；（2）如下图所示：过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，ＡE：EP＝1：2，∴＝＝．又∵ＡG＝2，∴ＡF＝6，∴F（5，0）．当x＝5时，y＝12，∴EG＝4，∴E（1，4）．（3）∵CD∥EM，∴∠ＡDO＝∠ＡEM．又∵四边形CDEM是等腰梯形，∴∠ＡDO＝∠CME．∴∠ＡDO＝∠CME．∵y＝x2－2x－3，∴C（0，－3），M（1，－4）∴ｔan∠DＡO＝ｔan∠CME＝1．∴OＡ＝OD＝1．∴直线ＡP的解析式为y＝x＋1．把y＝x＋1代入y＝x2－2x－3得：x＋1＝x2－2x－3，解得：x＝4或x＝－1（舍去）∴点P的横坐标为4，即ｔ＝4．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定、等腰梯形的性质、求得ＡF 的长是解答问题（2）的关键；求得ＡP的解析式是解答问题（3）的关键．2．抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）经过点Ａ（－1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ＡCB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段ＡC上，且DE⊥ＡC，当△DCE与△ＡOC相似时，求点D的坐标．【分析】（1）先求得点C（0，3）的坐标，然后设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－），最后，将点C的坐标代入求得a的值即可；（2）过点B作BM⊥ＡC，垂足为M，过点M作MN⊥OＡ，垂足为N．先求得ＡC的解析式，然后再求得BM的解析式，从而可求得点M的坐标，依据两点间的距离公式可求得MC＝BM，最后，依据等腰直角三角形的性质可得到∠ＡCB的度数；（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点E．依据题意可得到∠ECD＞45°，然后依据相似三角形的性质可得到∠CＡO＝∠ECD，则CE＝ＡE，设点E的坐标为（a，0），依据两点间的距离公式可得到（a＋1）2＝32＋a2，从而可得到点E 的坐标，然后再求得CE的解析式，最后求得CE与抛物线的交点坐标即可．【解答】解：（1）当x＝0，y＝3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－）．将C（0，3）代入得：－a＝3，解得：a＝－2，∴抛物线的解析式为y＝－2x2＋x＋3．（2）过点B作BM⊥ＡC，垂足为M，过点M作MN⊥OＡ，垂足为N．∵OC＝3，ＡO＝1，∴ｔan∠CＡO＝3．∴直线ＡC的解析式为y＝3x＋3．∵ＡC⊥BM，∴BM的一次项系数为－．设BM的解析式为y＝－x＋b，将点B的坐标代入得：－×＋b＝0，解得b ＝．∴BM的解析式为y＝－x＋．将y＝3x＋3与y＝－x＋联立解得：x＝－，y＝．∴MC＝BM═＝．∴△MCB为等腰直角三角形．∴∠ＡCB＝45°．（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点F．∵∠ＡCB＝45°，点D是第一象限抛物线上一点，∴∠ECD＞45°．又∵△DCE与△ＡOC相似，∠ＡOC＝∠DEC＝90°，∴∠CＡO＝∠ECD．∴CF＝ＡF．设点F的坐标为（a，0），则（a＋1）2＝32＋a2，解得a＝4．∴F（4，0）．设CF的解析式为y＝kx＋3，将F（4，0）代入得：4k＋3＝0，解得：k＝－．∴CF的解析式为y＝－x＋3．将y＝－x＋3与y＝－2x2＋x＋3联立：解得：x＝0（舍去）或x＝．将x＝代入y＝－x＋3得：y＝．∴D（，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、两点间距离公式的应用、相似三角形的性质、等腰三角形的判定，依据相似三角形的性质、等腰三角形的判定定理得到CE＝ＡE是解题的关键．3．如图1，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点Ａ（－1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过点Ａ作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段ＡD下方的一个动点，连结PＡ，EＡ，ED，PD，求四边形EＡPD面积的最大值；（3）如图3，连结ＡC，将△ＡOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△Ａ′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）因为△ＡDE的面积为定值，所以△ＡPD的面积最大时，四边形EＡPD面积的最大，过点P作PG⊥x轴交ＡD于点G，当PG的值最大时，△ＡPD的面积最大，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分四种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵Ａ（－1，0），B（4，0）在抛物线y＝ax2＋bx－2上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2．（2）过点P作PG⊥x轴交ＡD于点G，∵B（4，0），E（0，2），∴直线BE的解析式为y＝－x＋2，∵ＡD∥BE，设直线ＡD的解析式为y＝－x＋b，代入Ａ（－1，0），可得b＝－，∴直线ＡD的解析式为y＝－x－，设G（m，－m－），则P（m，m2－m－2），则PG＝（－m－）－（m2－m－2）＝－（m－1）2＋2，∴当x＝1时，PG的值最大，最大值为2，由，解得或，∴D（3，－2），∴S△ＡDP最大值＝×PG×|x D－xＡ|＝×2×4＝4，S△ＡDB＝×5×2＝5，∵ＡD∥BE，∴S△ＡDE＝S△ＡDB＝5，∴S四边形ＡPDE最大＝S△ＡDP最大＋S△ＡDB＝4＋5＝9．（3）①如图3－1中，当OQ＝OB时，作O T⊥BE于T．∵OB＝E，OE＝2，∴BE＝2，O T＝＝＝，∴B T＝T Q＝，∴BQ＝，可得Q（－，）；②如图3－2中，当BO＝BQ1时，Q1（4－，），当OQ2＝BQ2时，Q2（2，1），当BO＝BQ3时，Q3（4＋，－），综上所述，满足条件点点Q坐标为（－，）或（4－，）或（2，1）或（4＋，－）；【点评】本题考查二次函数综合题、四边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4．已知：二次函数y＝ax2＋2ax－4（a≠0）的图象与x轴交于点Ａ，B（Ａ点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ＡBC的面积为12．（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；（2）点D在y轴上，当以Ａ、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D 的坐标；（3）点D的坐标为（－2，1），点P在二次函数图象上，∠ＡDP为锐角，且ｔan∠ＡDP＝2，求点P的横坐标．【分析】（1）根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴；当x＝0时，y ＝－4，可求点C的坐标为（0，－4），根据三角形面积公式可求ＡB＝6．进一步得到Ａ点和B点的坐标分别为（－4，0），（2，0）．待定系数法可求二次函数的解析式；（2）分两种情况：∠BOC＝∠ＡOD＝90°，①当△ＡOD∽△COB时，②当△ＡOD∽△BOC时，列比例式可得OD的长，确定点D的坐标；（3）根据ｔan∠ＡDP＝2，分两种情况：①当点P在直线ＡD的下方时，延长DF与抛物线的交点就是P1，并确定P1的坐标；②当点P在直线ＡD的上方时，作辅助线，构建三角形全等和等腰三角形，最后运用两函数的交点确定P2的坐标．【解答】解：（1）该二次函数的对称轴是：直线x＝－＝－1；（1分）∵当x＝0时，y＝－4，∴C（0，－4），∴OC＝4，连接ＡC，BC，∵S△ＡBC＝ＡB•OC＝12，ＡB＝6，∵Ａ、B关于直线x＝－1对称，∴Ａ（－4，0），B（2，0），把B（2，0）代入y＝ax2＋2ax－4中得：4a＋4a－4＝0，a＝，∴二次函数的解析式为：y＝x2＋x－4；（2分）（2）如图1，∵∠BOC＝∠ＡOD＝90°，且OB＝2，OC＝OＡ＝4，∴＝，分两种情况：①当△ＡOD∽△COB时，＝2，∴OD＝2，即D1（0，2）或D2（0，－2）；②当△ＡOD∽△BOC时，，∴OD＝2OＡ＝8，即D3（0，8）或D4（0，－8）；综上所述，点D的坐标为（0，2）或（0，－2）或（0，8）或（0，－8）；（6分）（3）如图2，过D作DF⊥x轴于F，分两种情况：①当点P在直线ＡD的下方时，由（1）得：Ａ（－4，0），∵D（－2，1），∴ＡF＝2，DF＝1，在Rｔ△ＡDF中，∠ＡFD＝90°，得ｔan∠ＡDF＝＝2，延长DF交抛物线于P1，则P1就是所求，∴P1（－2，－4）；（8分）②当点P在直线ＡD的上方时，延长P1Ａ至点G，使得ＡG＝ＡP1，连接DG，作GH⊥x轴于H，∴△GHＡ≌△P1FＡ，∴HＡ＝ＡF，GH＝P1F，∵Ａ（－4，0），P1（－2，－4），∴G（－6，4），易得DG的解析式为：y＝－x－，在△ＡDP1中，DＡ＝，DP1＝5，ＡP1＝2，∴，∴∠DＡP1＝90°，∴DＡ⊥GP1，∴DG＝DP1，∴∠ＡDG＝∠ＡDP1，∴ｔan∠ＡDG＝ｔan∠ＡDP1＝2，设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求，设P2（x，＋x－4），代入DG的解析式中，－x－＝＋x－4，解得x＝，∵P2点在第二象限，∴P2点的横坐标为x＝（舍正）（11分）综上，P点的横坐标为－2或．（12分）【点评】本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：对称轴坐标公式，坐标轴上点的坐标特征，三角形相似的判定，待定系数法可求一次函数和二次函数的解析式，分类思想，三角函数．综合性较强，有一定的难度．5．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于Ａ，B两点（点Ａ在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与B，C两点重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点F，设点P的横坐标为m（0＜m＜3）（Ⅰ）当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形；（Ⅱ）设△BCF的面积为S，求S的最大值．【分析】（I）对于抛物线解析式，令y＝0求出x的值，确定出Ａ与B坐标，令x ＝0求出y的值确定出C的坐标，根据B与C坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，进而表示出E与P坐标，根据抛物线解析式确定出D与F坐标，表示出PF，利用平行四边形的判定方法确定出m的值即可；（II）先求出OB的长，三角形BCF面积等于铅直高度FP与水平宽度OB的积，列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出S的最大值即可．【解答】解：（I）对于抛物线y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴顶点D（1，4）令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到－x2＋2x＋3＝0，即（x－3）（x＋1）＝0，解得：x＝－1或x＝3，则Ａ（－1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x＝1；设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，3）分别代入得：，解得：k＝－1，b＝3，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴E（1，2），∴DE＝4－2＝2，∵PF⊥x轴，∴P（m，－m＋3），F（m，－m2＋2m＋3），∴线段PF＝－m2＋2m＋3－（－m＋3）＝－m2＋3m，连接DF，由PF∥DE，得到当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形，由－m2＋3m＝2，得到m＝2或m＝1（不合题意，舍去），当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形；（II）∵B（3，0），∴OB＝3，∴S＝PF•OB＝×3（－m2＋3m）＝－（m－）2＋（0＜m＜3），则当m＝时，S取得最大值为．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．6．在直角坐标平面内，直线y＝x＋2分别与x轴、y轴交于点Ａ、C．抛物线y＝－＋bx＋c经过点Ａ与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线ＡC的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC、BD，且BD交ＡC于点E，如果△ＡBE的面积与△ＡBC的面积之比为4：5，求∠DBＡ的余切值；（3）过点D作DF⊥ＡC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△ＡOC相似，求点D的坐标．【分析】（1）先利用一次函数解析式确定Ａ（－4，0），C（0，2），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）过点E作EH⊥ＡB于点H，如图1，先解方程－－x＋2＝0得B（1，0），设E（x，x＋2），再计算出△ＡBC的面积为5，则△ＡBE的面积为4，所以•（1＋4）•（x＋2）＝4，解得x＝－，则E（－，），然后利用余切的定义求解；（3）利用∠ＡOC＝∠DFC＝90°进行讨论：若∠DCF＝∠ＡCO时，△DCF∽△ＡCO，如图2，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，先证明QＡ＝QC，设Q（m，0），解方程m＋4＝可确定Q（－，0），再证明Rｔ△DCG∽Rｔ△CQO，利用相似比得到＝，设DG＝4ｔ，CG＝3ｔ，可表示出D（－4ｔ，3ｔ＋2），然后把D（－4ｔ，3ｔ＋2）代入抛物线解析式得到－8ｔ2＋6ｔ＋2＝3ｔ＋2，解方程求出ｔ即可得到此时D点坐标；当∠DCF＝∠CＡO时，△DCF∽△CＡO，则CD∥ＡO，利用D点的纵坐标与C点的纵坐标相同可确定此时点D的纵坐标．【解答】解：（1）当y＝0时，x＋2＝0，解得x＝－4，则Ａ（－4，0）；当x＝0时，y＝x＋2＝2，则C（0，2），把Ａ（－4，0），C（0，2）代入y＝－＋bx＋c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－－x＋2；（2）过点E作EH⊥ＡB于点H，如图1，当y＝0时，－－x＋2＝0，解得x1＝－4，x2＝1，则B（1，0）设E（x，x＋2），∵S△ＡBC＝•（1＋4）•2＝5，而△ＡBE的面积与△ＡBC的面积之比为4：5，∴S△ＡEB＝4，∴•（1＋4）•（x＋2）＝4，解得x＝－，∴E（－，），∴BH＝1＋＝，在Rｔ△BHE中，coｔ∠EBH＝＝＝，即∠DBＡ的余切值为；（3）∠ＡOC＝∠DFC＝90°，若∠DCF＝∠ＡCO时，△DCF∽△ＡCO，如图2，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，∵∠DCQ＝∠ＡOC，∴∠DCF＋∠ＡCQ＝90°，即∠ＡCO＋∠ＡCQ＝90°，而∠ＡCO＋∠CＡO＝90°，∴∠ＡCQ＝∠CＡO，∴QＡ＝QC，设Q（m，0），则m＋4＝，解得m＝－，∴Q（－，0），∵∠QCO＋∠DCG＝90°，∠QCO＋∠CQO＝90°，∴∠DCG＝∠CQO，∴Rｔ△DCG∽Rｔ△CQO，∴＝，即＝＝＝，设DG＝4ｔ，CG＝3ｔ，则D（－4ｔ，3ｔ＋2），把D（－4ｔ，3ｔ＋2）代入y＝－－x＋2得－8ｔ2＋6ｔ＋2＝3ｔ＋2，整理得8ｔ2－3ｔ＝0，解得ｔ1＝0（舍去），ｔ2＝，∴D（－，）；当∠DCF＝∠CＡO时，△DCF∽△CＡO，则CD∥ＡO，∴点D的纵坐标为2，把y＝2代入y＝－－x＋2得－－x＋2＝2，解得x1＝－3，x2＝0（舍去），∴D（－3，2），综上所述，点D的坐标为（－，）或（－3，2）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点Ａ（2，0）、B（－4，0），与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，四边形PBQD 能否成为矩形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；（3）在抛物线上有一点M，过点M、Ａ的直线MＡ交y轴于点C，连接BC，若∠MBO＝∠BCO，请直接写出点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分两种情形讨论求解即可解决问题，当BD为矩形的边时，当BD为矩形的对角线时；（3）设M（m，m2＋m－4），可得直线ＡM的解析式为y＝x－m－4，推出C（0，－m－4）．①点M在第二象限显然不可能，当点M在第三象限时，如图2中，作MN⊥OB于N．利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题；用类似的方法求出点M在第一象限时的坐标即可；【解答】解：（1）由题意，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－4．（2）如图1中，当BD为矩形的边时，∵直线BD的解析式为y＝－x－4，∴直线BP的解析式为y＝x＝4，直线DP′的解析式为y＝x－4，可得P（－1，3），P′（－1，－5）．当BD为矩形的对角线时，设P（－1，m），BD的中点N（－2，－2），由BN ＝P″N，可得12＋（m＋2）2＝（2）2，解得m＝－2＋或－2－，∴P″（－1，－2＋），或（－1．－2－），综上所述，满足条件的P的坐标为（－1，3）或（－1，－5）或（－1，－2＋）或（－1．－2－）．（3）设M（m，m2＋m－4），设直线ＡM的解析式为y＝kx＋b，则有，解得，∴直线ＡM的解析式为y＝x－m－4，∴C（0，－m－4）．①点M在第二象限显然不可能，当点M在第三象限时，如图2中，作MN⊥OB于N．∵∠MBN＝∠BCO，∠MNB＝∠BOC＝90°，∴△MNB∽△BOC，∴＝，∴＝，∴m＝－2或0．∴M（－2，－4）或（0，－4）②当点M在第一象限时，同法可得＝，整理得：m2＋2m－16＝0，∴m＝－1＋或－1－（舍弃），∴M（－1＋，4），③当点M在第三象限时，不存在，综上所述，满足条件的点M坐标（－2，－4）或（0，－4）或（－1＋，4）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．8．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过Ａ（－1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C，M为抛物线的顶点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△BOC的内部（不包含边界），求m的取值范围；（3）点P是抛物线上一动点，PQ∥BC交x轴于点Q，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．【分析】（1）将点Ａ和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值即可；（2）先求得抛物线的顶点M的坐标，然后再求得点C的坐标，接下来，再求得直线CB的解析式，将x＝1代入直线BC的解析式求得对应的y值为－2，由平移后的抛物线的顶点坐标在△△BOC的内部，可得到－2＜－4＋m＜0，最后解不等组即可；（3）当点P在Q的上时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3，当点P 在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为－3，然后分别将y ＝3和y＝－3代入抛物线的解析式求得对应的x的值即可．【解答】解：（1）将点Ａ和点B的坐标代入得：，解得：b＝－2，c＝－3．∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．（2）∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，∴M（1，－4）．把x＝0代入抛物线的解析式得：y＝－3，∴C（0，－3）．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则，解得：k＝1，b＝－3．∴直线BC的解析式为y＝x－3．把x＝1代入y＝x－3得：y＝－2，∵平移后的抛物线的顶点坐标在△△BOC的内部，∴－2＜－4＋m＜0，解得2＜m＜4．（3）当点P在Q的上时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3．把y＝3代入抛物的解析式x2－2x－3＝3，解得：x＝1＋或x＝1－．∴点P的坐标为（1＋，3）或（1－，3）．当点P在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为－3．把y＝－3代入抛物的解析式x2－2x－3＝－3，解得：x＝2或x＝0（舍去）∴点P的坐标为（2，－3）．综上所述，当点P的坐标为（1－，3）或（1＋，3）或（2，－3）时，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、平行四边形的性质，依据平移后的抛物线的顶点坐标在△△BOC的内部列出关于m的不等式是解答问题（2）的关键，依据平行四边形的性质求得P的纵坐标是解答问题（3）的关键．9．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m的顶点为Ａ，与y轴交于点B．当抛物线不经过坐标原点时，分别作点Ａ、B关于原点的对称点C、D，连结ＡB、BC、CD、DＡ．（1）分别用含有m的代数式表示点Ａ、B的坐标．（2）判断点B能否落在y轴负半轴上，并说明理由．（3）连结ＡC，设l＝ＡC＋BD，求l与m之间的函数关系式．（4）过点Ａ作y轴的垂线，交y轴于点P，以ＡP为边作正方形ＡPMN，MN在ＡP上方，如图②，当正方形ＡPMN与四边形ＡBCD重叠部分图形为四边形时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据配方法，可得顶点坐标，根据自变量与函数值得对应关系，可得B点坐标，（2）根据B点的纵坐标小于零，可得不等式，根据解不等式，可得答案；（3）根据平行四边形的性质，可得答案；（4）根据正方形的边长小于BP，可得不等式，根据解不等式，可得答案．【解答】解：（1）配方，得y＝（x－m）2＋m，顶点Ａ的坐标为（m，m）当x＝0时，y＝m2＋m，B点坐标为（0，m2＋m）（2）点B能落在y轴负半轴上，理由如下：由顶点坐标，得m＜0，B点的纵坐标小于零，得m2＋m＝m（m＋）＜0，由m＜0，得m＋＞0，得－＜m＜0，当－＜m＜0时，点B能落在y轴负半轴上；（3）OB＝m2＋m，OＡ＝－m，l＝ＡC＋BD＝2OB＋2OＡ＝2（m2＋m）＋2×（－m）即l＝2m2－m；（4）由题意，得ＡP＜BP，即－m＜m2＋m－m解得m（m＋1）＞0，由m＜0，得m＜－1，当m＜－1时，ＡP＜BP，正方形ＡPMN与四边形ＡBCD重叠部分图形为四边形时，m的范围是m＜－1．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是配方法；解（2）的关键是解不等式；解（3）的关键是利用平行四边形的性质得出ＡC＋BD＝2OB＋2O Ａ；解（4）的关键是由四边形得出ＡP＜BP．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋1交y轴于点为Ａ，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，－2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y ＝－x2＋2x的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ＡDH＝∠ＡHO，求m的值．【分析】（1）利用配方法将函数关系式变形为y＝－（x－m）2－m＋1，从而可得到点D的坐标；（2）将点（1，－2）代入抛物线的解析式可求得m的值，然后求得平移前后的抛物线的顶点坐标，从而可得到抛物线平移的方向和距离；（3）分为点Ａ在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况画出图形，然后过点Ａ作ＡG⊥DH，垂足为G，由∠ＡDH＝∠ＡHO可得到＝，然后依据比例关系列出关于m的方程求解即可．【解答】解：（1）∵y＝－x2＋2mx－m2－m＋1＝－（x－m）2－m＋1，∴顶点D（m，1－m）．（2）∵抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋1过点（1，－2），∴－2＝－1＋2m－m2－m＋1．整理得：m2－m－2＝0．∴m＝－1或m＝2（舍去）．∴抛物线的顶点是（－1，2）．∵抛物线y＝－x2＋2x的顶点是（1，1），∴向右平移了2个单位，向下平移了1个单位．（3）∵顶点D在第二象限，∴m＜0．当点Ａ在y轴的正半轴上，如图（1）作ＡG⊥DH于点G，∵Ａ（0，－m2－m＋1），D（m，－m＋1），∴H（m，0），G（m，－m2－m＋1）∵∠ＡDH＝∠ＡHO，∴ｔan∠ＡDH＝ｔan∠ＡHO，∴＝．∴＝．整理得：m2＋m＝0．∴m＝－1或m＝0（舍）．当点Ａ在y轴的负半轴上，如图（2）．作ＡG⊥DH于点G，∵Ａ（0，－m2－m＋1），D（m，－m＋1），∴H（m，0），G（m，－m2－m＋1）∵∠ＡDH＝∠ＡHO，∴ｔan∠ＡDH＝ｔan∠ＡHO，∴＝．∴＝．整理得：m2＋m－2＝0．∴m＝－2或m＝1（舍）．综上所述，m的值为－1或－2．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的顶点坐标，平移与坐标变换、二次函数的性质，锐角三角函数的定义，依据锐角三角函数的定义列出关于m的方程是解题的关键．11．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于Ａ（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线ＡC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ＡCP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线ＡC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△ＡOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）把点Ａ、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线ＡC的解析式，然后判断出平行于ＡC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ＡCP的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式△＝0时方程只有一个根求解即可；（3）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OＡ和BE，OＡ和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于Ａ（－3，0），B （1，0）两点，∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2；（2）令x＝0，则y＝2，∴点C（0，2），设直线ＡC的解析式为y＝kx＋m（k≠0），则，解得，∴直线ＡC的解析式为y＝x＋2，由三角形的面积可知，平行于ＡC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ＡCP 的面积最大，此时设过点P的直线为y＝x＋n，联立，消掉y得，－x2－x＋2＝x＋n，整理得，2x2＋6x－6＋3n＝0，△＝62－4×2×（－6＋3n）＝0，解得n＝，此时x1＝x2＝－＝－，y＝×（－）＋＝，∴点P（－，）时，△ＡCP的面积最大；（3）存在点Q（－2，2）或（－，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△ＡOC相似．理由如下：设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，－c2－c＋2），BE＝1－c，①OＡ和BE是对应边时，∵△BEQ∽△ＡOC，∴＝，即＝，整理得，c2＋c－2＝0，解得c1＝－2，c2＝1（舍去），此时，－×（－2）2－×（－2）＋2＝2，点Q（－2，2）；②OＡ和QE是对应边时，∵△QEB∽△ＡOC，∴＝，即＝，整理得，4c2－c－3＝0，解得c1＝－，c2＝1（舍去），此时，－×（－）2－×（－）＋2＝，点Q（－，），综上所述，存在点Q（－2，2）或（－，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△ＡOC相似．【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，（2）判断出与ＡC平行的直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积最大是解题的关键，（3）要分情况讨论．12．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点Ａ（0，－6）、B（－2，0），与x轴的另一交点为点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）将直线ＡC向下平移m个单位，使平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M，求m的值及点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点P，使△PＡC为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）由直线向下平移m个单位得：y＝x－6－m，由直线与抛物线有且只有一个公共点M可知：由解析式列方程组根据△＝0，可得结论；（3）分三种情况：①当∠PＡC＝90°时，如图1，由△EＡC是等腰直角三角形，可得E（－6，0），直线ＡP与抛物线的交点就是P，列方程组可得P的坐标；②当∠ＡCP＝90°时，如图2，由PE＝EC，列式：x2－2x－6＝－x－6，解出即可；③当ＡPC＝90°时，如图3，画圆，根据直径所对的圆周角是直角可知，有两个点符合，设出点P的坐标，然后表示出ＡC2、PＡ2、PC2的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）把点Ａ（0，－6）、B（－2，0）代入抛物线y＝x2＋bx＋c 中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2－2x－6；（2）y＝x2－2x－6，当y＝0时，x2－2x－6＝0，解得：x1＝－2，x2＝6，∴C（6，0）；设直线ＡC的解析式为：y＝kx＋b，则，解得：，∴直线ＡC的解析式为：y＝x－6，直线ＡC向下平移m个单位后的直线关系式为：y＝x－6－m，∵平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M，则，得：＝0，△＝（－3）2－4×m＝0，m＝，代入得：y＝x－6－m＝x－，则，解得：，∴M（3，－）；（3）分三种情况：①当∠PＡC＝90°时，如图1，∵OＡ＝OC＝6，∠ＡOC＝90°，∴△ＡOC是等腰直角三角形，∴∠ＡCO＝45°，∴△EＡC是等腰直角三角形，∴ＡE＝ＡC，∴OE＝OC＝6，∴E（－6，0），设ＡE：y＝kx＋b，则，解得：，∴直线ＡE的解析式为：y＝－x－6，则，－2x－6＝－x－6，解得：x1＝0（舍），x2＝2，∴P（2，－8），②当∠ＡCP＝90°时，如图2，∠PCB＝90°－45°＝45°，过P作PE⊥BC于E，∴△PEC是等腰直角三角形，∴PE＝EC，设P（x，x2－2x－6），∴PE＝x2－2x－6，EC＝－x－6，∴x2－2x－6＝－x－6，解得：x1＝6，x2＝－4，∵P在第二象限，∴x＝6不符合题意，舍去，x＝－4，∴P（－4，10），③以ＡC为直径画圆，交抛物线于两点P1、P2，如图3，则∠ＡP1C＝∠ＡP2C＝90°，∵＝，＝，ＡC2＝62＋62＝72，由勾股定理得：＋＝72，化简得：x3－8x2＋8x＋24＝0，x3－2x2－4x－（6x2－12x－24）＝0，x（x2－2x－4）－6（x2－2x－4）＝0，（x－6）（x2－2x－4）＝0，解得：x1＝6（舍），x2＝1＋，x3＝1－，∴P（1＋，－5－）或（1－，－5＋），综上所述，△PＡC为直角三角形时，点P的坐标为：（2，－8），（－4，10），（1＋，－5－），（1－，－5＋）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；要注意的是（3）题一定要根据不同的直角顶点分类讨论，以免漏解．13．在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2＋bx＋8过点（－2，0）．（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点Ａ，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若ＡC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的表达式，并求其顶点坐标；（2）令平移后抛物线为y＝－（x－1）2＋k，可得顶点D和B的坐标，证明△C T Ａ∽△DHB，根据C T＝ＡT，即，解方程可得结论．【解答】解：（1）由题意得：，－－－－－－－－－－－－－－－－－（2分）解得：，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分）所以抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋8，其顶点为（1，9）．－－－－－（5分）（2）令平移后抛物线为y＝－（x－1）2＋k，－－－－－－－－－－－－－－（6分）易得顶点D（1，k），B（0，k－1），且k－1＞0，由BC平行于x轴，知点C与点B关于对称轴x＝1对称，得C（2，k－1）．（7分）∴DH＝k－（k－1）＝1，BH＝1，当y＝0时，0＝－（x－1）2＋k，解得：x＝1±，即．－－－－（8分）作DH⊥BC于H，C T⊥x轴于T，则在△DBH中，HB＝HD＝1，∠DHB＝90°，∴∠BHD＝∠ＡT C＝90°又ＡC∥BD，∴∠DBC＝∠BCＡ＝∠CＡT∴△C TＡ∽△DHB，所以C T＝ＡT，即，－－－－－－－－－－－－－－－－（9分）解得k＝4，所以平移后抛物线表达式为：y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．－－－－－（10分）【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数的平移变换及二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、二次函数的性质是解题的关键，第2问有难度．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点B、C且与x轴的另一个交点为Ａ．（1）求直线BC及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（3）如果点F在y轴上，且∠CDF＝45°，求点F的坐标．【分析】（1）直线y＝kx（k≠0）平移后的解析式为y＝kx＋3，将点B（3，0）代入可求得k的值，从而可得到直线BC的解析式；然后，求得C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴．先求得点D的坐标，然后依据S△DBC＝S四边形CEFG－S△CDG－S△BFD－S△BCE求解即可；（3）过点F作FG⊥CD，垂足为G．先求得CD的长，然后依据ｔan∠OCD＝ｔan∠GCF＝，可得到CD＝3FG，从而可求得FG的长，然后依据勾股定理可求得CF的长，从而可求得点F的坐标．【解答】解：（1）将直线y＝kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为y＝kx＋3，将点B（3，0）代入得：3k＋3＝0，解得k＝－1，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．令x＝0得：y＝3，∴C（0，3）．将B（3，0），C（0，3）代入抛物线的解析式得：，解得：b＝－4，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3．（2）如图1所示：过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x 轴．y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1．∴D（2，－1）．－S△CDG－S△BFD－S△BCE＝12－×2×4－×1×1－×3×3＝3．∴S△DBC＝S四边形CEFG（3）如图2所示：过点F作FG⊥CD，垂足为G．∵C（0，3），D（2，－1），∴CD＝＝2．∵ｔan∠OCD＝ｔan∠GCF＝，∴CG＝2FG．又∵∠GCF＝45°，∠FGD＝90°，∴△FGD为等腰直角三角形，∴FG＝GD．∴CD＝3FG，∴FG＝．∴CG＝2FG＝．∴在Rｔ△CFG中，依据勾股定理可知：CF＝．∴OF＝CF－OC＝．∴F（0，－）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解答问题（2）的关键；得到FG与CD的数量关系是解答问题（3）的关键．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，Ａ、B、C三点分别为坐标轴上的三个点，且OＡ＝1，OB＝3，OC＝4．（1）求经过Ａ、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以Ａ、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM－ＡM|为最大值时点M的坐标，并直接写出|PM－ＡM|的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）当BP＝ＡC且BP∥ＡC时，四边形ＡCBP为菱形，根据BP＝ＡC＝5，且点P到x轴距离等于OB，则点P的坐标为（5，3），且当点P在第二、三象限时，以Ａ、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）求直线PＡ的解析式为：y＝，当M与P、Ａ两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM－ＡM|＜PＡ．当点M与P、Ａ两点在同一直线上时，得|PM－ＡM|＝PＡ，则当点M与P、Ａ两点在同一直线上时．|PM－ＡM|的值最大，此时点M为直线PＡ与抛物线的交点，列方程组解出即可．【解答】解：（1）∵OＡ＝1，OB＝3，OC＝4．∴Ａ（1，0），B（0，3），C（－4，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x－1）（x＋4），把（0，3）代入得：3＝－4a，a＝－，∴y＝－（x－1）（x＋4），∴抛物线的解析式为：y＝－x＋3；（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得Ａ、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由：∵OB＝3，OC＝4，OＡ＝1，∴BC＝ＡC＝5，。
2018中考数学二次函数压轴题汇编
1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n 关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P 在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P （1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE 的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A （0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b= （用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD 于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1．①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P 与点M距离最大时函数C2的解析式．25．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF 的值．28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．①当a=1、d=﹣1时，求k的值；②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线BC的函数表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q 的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．35．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B （﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E 作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b= ，c= ；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l 与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD 交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD ∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x 轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S △QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M 运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．。
2018年中考数学二次函数压轴题汇编
2018年中考数学二次函数压轴题汇编1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1（，0），P 2（，），P 3（，0）中，⊙O 的关联点是 ．②点P 在直线y=﹣x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+ax+b 交x 轴于A （1，0），B （3，0）两点，点P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP 与y 轴相交于点C ．（1）求抛物线y=﹣x 2+ax+b 的解析式；（2）当点P 是线段BC 的中点时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，求sin ∠OCB 的值．5．如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BD ．（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x的取值范围．11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P 在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P （1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ =S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC =S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y）总有n+≥﹣4my2﹣12y﹣50成立，求实数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A （0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b= （用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD 于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 在y 轴上，且∠BDO=∠BAC ，求点D 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知函数y=mx 2﹣（2m ﹣5）x+m ﹣2的图象与x 轴有两个公共点．（1）求m 的取值范围，并写出当m 取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C 1．①当n ≤x ≤﹣1时，y 的取值范围是1≤y ≤﹣3n ，求n 的值；②函数C 2：y=m （x ﹣h ）2+k 的图象由函数C 1的图象平移得到，其顶点P 落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C 1的图象顶点为M ，求点P与点M 距离最大时函数C 2的解析式．25．如图，抛物线y=x 2+x+c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连结AB ，点C （6，）在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D ．（1）求c 的值及直线AC 的函数表达式；（2）点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M ，连结MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点．①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长（用含m 的代数式表示）．26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF 的值．28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点．1①当a=1、d=﹣1时，求k的值；随x的增大而减小，求d的取值范围；②若y1（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线BC的函数表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B 两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．35．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B （﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l 将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P 为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC 可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v是加速前的速度）．37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E 作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b= ，c= ；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x ﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A （﹣5，8）在一次函数y=ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数y=﹣x 2+4x ﹣．①当点B （m ，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②当﹣3≤x ≤3时，求函数y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN ．直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x 2+4x+n 的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C （m ，0）是线段A B 上一点（与 A ，B 点不重合），抛物线L 1：y=ax 2+b 1x+c 1（a ＜0）经过点A ，C ，顶点为D ，抛物线L 2：y=ax 2+b 2x+c 2（a ＜0）经过点C ，B ，顶点为E ，AD ，BE 的延长线相交于点F ．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L 1，L 2的解析式；（2）若a=﹣1，AF ⊥BF ，求m 的值；（3）是否存在这样的实数a （a ＜0），无论m 取何值，直线AF 与BF 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l 与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD 交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．1（1）求点D的坐标和抛物线M的表达式；1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件（2）点P是抛物线M1的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M的图象向下平移m（m＞0）1．个单位得到抛物线M2①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M与直线AE有两个交点，求m的取值2范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P 的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD ∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x 轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；=8S （3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说△QAB明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M 运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A ，D 两点．设抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与x 轴相交于E ．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ，使得△ADF 与△BOC 相似，并且S △ADF =S △ADE ，求此时抛物线的表达式．17．已知二次函数y=﹣x 2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=﹣b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，b ＞0，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足=，求二次函数的表达式．18．如图1，点A 坐标为（2，0），以OA 为边在第一象限内作等边△OAB ，点C 为x 轴上一动点，且在点A 右侧，连接BC ，以BC 为边在第一象限内作等边△BCD ，连接AD 交BC 于E ．。
2018 中考数学-压轴题二次函数
1. 如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．2. 如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标； *（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．24y ax bx a =+-(10)A -，(04)C ，x B (1)D m m +，D BC BD P 45DBP ∠=°P3. 如图，点P 是双曲线11(00)k y k x=<<，x 上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线2k y x= （0＜k2＜|k1|）于E 、F 两点．（1）图1中，四边形PEOF 的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)； （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论； ②记2PEF OEFS S S ∆∆=-，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。
4. 一开口向上的抛物线与x 轴交于A(m －2，0)，B(m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ． (1)若m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．5. 已知二次函数22-++=a ax x y 。
2018中考数学专题二次函数
2018中考数专题二次函数(共40题)线于点G .(1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式;(2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标;(3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时，以 A , E , 顶点的四边形是矩形？求出此时点 E , H 的坐标;②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为O E 上一动点，求(x -3)与x 轴交于A , B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C,其(1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD ： Sz\ABD =k ,求 k 的值；(3)当厶BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.1.如图，抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点，直线 -_ x 2-6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物F ，H 为AM+CM 它 顶点为D .3.如图，直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式;(2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点，设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标;(3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动，点 F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标.2 动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动，同时动点 N 从 点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形.② 当t >0时，△ BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由.(0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对称轴是直线X =15.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A (- 1, 0), B (5, 0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接AC,且AD=5, CD=8,将Rt A ACD 沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点. 试探究：在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.6 .我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx (a丰0)表示，对于这样的抛物线：(1 )当抛物线经过点(-2，0)和(-1，3)时，求抛物线的表达式；(2 )当抛物线的顶点在直线y=- 2x上时，求b的值；(3)如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点人、A2、…，A n在直线y=- 2x上，横坐标依次为-1，- 2，- 3，…，-n (n为正整数，且n< 12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长.7 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A (- 1, 0),B (4, 0), C( 0,-4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点卩，使厶POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△ PBC面积最大，求出此时P点坐标和厶PBC的最大面积.&如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3,若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E 的坐标分别为(3，0)，(0，1).(1)求抛物线的解析式；(2)猜想△ EDB的形状并加以证明；(3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.y 丄x+2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线y= -_x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B (1) 求抛物线的函数表达式;(2 )点D 为直线AC 上方抛物线上一动点;①连接BC CD,设直线BD 交线段AC 于点E, △ CDE 的面积为 0, △ BCE 的面积为 9 , 求^ 的最大值;②过点D 作DF 丄AC,垂足为点F ,连接CD,是否存在点 D ,使得△ CDF 中的某个角恰好等①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程;③若二次函数的图象与 x 轴交于点A ( x i , 0) , B ( x 2, 点M ,以AB 为直径的半圆恰好过点 M ,二次函数的对称轴I与x 轴、直线BM 、直线AM 分 斗丄，求二次函数的表达式.②若c=- 〒b 2-2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切?0),且x i v X 2,与y 轴的正半轴交于 别交于点D 、E 、F ,且满足请说明理由.10 .已知二次函数 y= - x 2+bx+c+1,点Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ ，请写出点 12•抛物线 y=ax 2+bx+3 经过点 A (1, 0)和点 B (5, 0). (1) 求该抛物线所对应的函数解析式；(2 )该抛物线与直线 y 二x+3相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，E直线PM / y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .① 连结PC PD ,如图1,在点P 运动过程中，△ PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求 出这个最大值；若不存在，说明理由；② 连结PB,过点C 作CQ 丄PM ,垂足为点 Q ,如图2,是否存在点 P,使得△ CNQ 与厶PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.\>1iNC,点B 坐标为(6, 0),点C 坐标为(0, 6),点D 是抛物线的顶点，过点 D 作x 轴的垂线,垂足为E,连接BD.当/ FBA=/ BDE 时，求点 F 的坐标; (3) 若点M 是抛物线上的动点，过点 M 作MN // x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上,Q 的坐标. A 和点B ,与y 轴交于点点F 是抛物线上的动点, (2)13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c (a丰0)与y轴交与点C (0, 3)，与x轴交于A、B两点，点B坐标为(4, 0),抛物线的对称轴方程为x=1.(1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S,点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△ MBN为直角三角形？若存在，求出t14•如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A (- 3, 0)，B (- 2，3)，C ( 0, 3 )，其顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点M (1，m)，当MB+MD的值最小时，求m的值；(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△ APC的面积的最大值；(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF// ND 交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.15•如图，已知二次函数 y=ax 2+bx+c (0)的图象经过 A (- 1, 0 )、B (4, 0)、C (0, 2) 三占 - 八、、♦(1) 求该二次函数的解析式； (2) 点D 是该二次函数图象上的一点，且满足/ DBA=/ CAO (O 是坐标原点)，求点D 的坐标；(3)点P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA 分别交BC 、y 轴于点E 、16•如图，抛物线 y=/+bx+c 经过B (- 1 , 0), D (-2, 5)两点，与x 轴另一交点为 A , 点H 是线段AB 上一动点，过点 H 的直线PQ 丄x 轴，分别交直线 AD 、抛物线于点 Q , P . (1) 求抛物线的解析式;(2) 是否存在点P ,使/ APB=90 ,若存在，求出点 P 的横坐标，若不存在，说明理由; (3) 连接BQ , 一动点M 从点B 出发，沿线段BQ 以每秒1个单位的速度运动到 Q ,再沿线 段QD 以每秒一：个单位的速度运动到 D 后停止，当点Q 的坐标是多少时，点M 在整个运动 过程中用时t 最少?9,求Si -住的最大值.17. 如图1，抛物线C i: y=x2+ax与Q：y=- x2+bx相交于点0、C, C i与C2分别交x轴于点B、A,且B为线段A0的中点.(1)求亘的值；b(2 )若0C丄AC,求厶0AC的面积；(3)抛物线C2的对称轴为I，顶点为皿，在(2)的条件下：①点P为抛物线C2对称轴I上一动点，当△ PAC的周长最小时，求点P的坐标;②如图2，点E在抛物线C2上点0与点M之间运动，四边形0BCE的面积是否存在最大值?若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由18. 如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A (8, 0) , B ( 0, 4), D (- 1,0),点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC.(1)求过A、B、D三点的抛物线的解析式；(2)有一动点E从原点0出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P,交线段CA于点M,连接PA PB,设点E运动的时间为t ( O V t V 4)秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；(3)抛物线的对称轴上是否存在一点H,使得△ ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.19. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx- 5与x轴交于A (- 1, 0), B( 5,0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B, C, D为顶点的三角形与△ ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2, CE// x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC, CE分别相交于点F, G,试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为抛物线的顶点，点M (4, m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P, Q,使四边形PQKM的周长最小，求出点P, Q的坐标.20. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (a* 0)的图象的顶点坐标是(2, 1),并且经过点(4,2),直线ypx+1与抛物线交于B, D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C,圆C与直线m 交于对称轴右侧的点M (t, 1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式；(2 )证明：圆C与x轴相切；(3)过点B作BE X m,垂足为E,再过点D作DF丄m,垂足为F,求BE: MF的值.21 •如图1，抛物线y」-/+bx+c经过A (- , 0)、B ( 0,- 2)两点，点C在y轴上,△ ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒(t>0),过点D作DE丄AC于点E,以DE为边作矩形DEGF使点F若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.23 .如图1,点A坐标为(2, 0)，以OA为边在第一象限内作等边△ OAB,点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC,以BC为边在第一象限内作等边△ BCD,连接AD交BC于E.如图2,设BC 交抛物线的对称轴于点 F ,作直线CD,点M 是直线CD 上的动点，点N 是平面内一点，当以点 B , F , M , N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 M 的坐标.25 .抛物线y=x 3+bx+c 与x 轴交于A (1, 0) , B ( m , 0),与y 轴交于C.如图1，在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ,在对称轴左侧的抛物线上—& ACD,求点E 的坐标；(3) 如图2,设F (- 1, - 4), FG 丄y 于G ,在线段0G 上是否存在点 P ,使/ OBP=/ FPG ? 若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.26. 如图，O M 的圆心M (- 1, 2), O M 经过坐标原点 0,与y 轴交于点A .经过点A 的 一条直线l 解析式为：y=-二x+4与x 轴交于点B ,以M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点D( 2,x 轴交于点E ,第四象限的抛物线上有一点卩，将厶EBP 沿直线 EP 折叠，使点B 的对应点 B'落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标;(3) m=- 3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴;如图1,抛物线的对称轴与(2) (1) 若0)和点C (- 4, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)求证：直线I是O M的切线；(3)点P为抛物线上一动点，且PE与直线I垂直，垂足为E；PF// y轴，交直线I于点F, 是否存在这样的点卩，使厶PEF的面积最小.若存在，请求出此时点P的坐标及厶PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由.27. 如图，抛物线y=ax"+bx+4交y轴于点A,并经过B (4, 4)和C (6, 0)两点，点D的坐标为(4, 0),连接AD, BC,点E从点A出发，以每秒甘勺个单位长度的速度沿线段AD 向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t 秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F,以线段EF为斜边向右作等腰直角厶EFG.(1)求抛物线的解析式；(2)当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；(3)设点E从点A出发时，点E, F, G都与点A重合，点E在运动过程中，当△ BCG的面(2)有一点E，使&AC28.抛物线y=ax2+bx+c过A (2, 3), B (4, 3) , C (6,- 5)三点.(2)如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE丄AB交AC于点E,若满足斗二一, 求点D的坐标；(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线I丄AB,若点P在直线I上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q,使得以B P、Q为顶点的三角形与△ ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△ BPQ的面积；若不存在，请说明理由.29.如图，已知抛物线y=a/+—x+c与x轴交于A, B两点，与y轴交于丁C,且A (2 , 0),5C (0, - 4),直线I: y=-寺x-4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2^-x+c上的一动点，(1 )试求该抛物线表达式；(2)如图(1),过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图(2),过点P作PH丄y轴，垂足为H,连接AC.①求证：△ ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ ACD相似？30•如图，已知抛物线y=ax2-出ax-9a与坐标轴交于A, B, C三点，其中C ( 0, 3), / BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线I与射线AC, AB分别交于点M , N .(1 )直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴； (2)点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△ PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标; (3) 证明：当直线I 绕点D 旋转时， + 丄均为定值，并求出该定值.AM AN【操作】将图①中抛物线在 x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物 线剩余部分的图象组成的新图象记为G ,如图②•直接写出图象 G 对应的函数解析式.【探究】在图②中，过点 B (0, 1)作直线I 平行于x 轴，与图象G 的交点从左至右依次为 点C, D, E , F ,如图③.求图象 G 在直线I 上方的部分对应的函数 y 随x 增大而增大时x 的取值范围.【应用】P 是图③中图象 G 上一点，其横坐标为 m ，连接PD, PE.直接写出厶PDE 的面积32 .如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC 的边0A 、0C 分别在x 轴、y 轴上，点B 坐标为(4, t ) (t >0),二次函数y=x 2+bx (b v 0)的图象经过点 B ,顶点为点D . (1 )当t=12时，顶点D 到x 轴的距离等于 __________ ;(2 )点E 是二次函数y=x 2+bx ( b v 0 )的图象与x 轴的一个公共点(点 E 与点O 不重合)， 求OE?EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC 的对角线OB 、AC 交于点F ,直线I 平行于x 轴，交二次函数y=x 2+bx ( b v 0)31•《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线一个交点为 A ，贝U a= _____ .y=a (x — 2) 2峙经过原点0,与x 轴的另圏① 圏② 图③的图象于点M、N，连接DM、DN,当厶DMN◎△ FOC时，求t的值.y/\OV1P 133.在平面直角坐标系中，直线y=-「x+1交y轴于点B,交x轴于点A,抛物线y=-・x2+bx+c4 2经过点B,与直线y=- x+1交于点C (4,- 2).4(1)求抛物线的解析式；(2)如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME// y轴交直线BC于点E,以ME为直径的圆交直线BC于另一点D,当点E在x轴上时，求△ DEM的周长.(3)将厶AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°得到△ A1O1B1，点A, O, B的对应点分别是点A1, O1, B1，若△ A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1, D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE丄.(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2) 求证：直线DE是厶ACD外接圆的切线；(3) 在直线AC上方的抛物线上找一点P,使ACD,求点P的坐标；2(4) 在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ ACD相似，直接写出点M的坐标.35.如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=- +bx+c的图象与坐标轴交于A, B, C 三点，其中点A的坐标为(-3, 0)，点B的坐标为(4, 0)，连接AC, BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点0出发，在线段0B上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连接PQ.(1)填空：b= _______ , c= _______ ;(2)在点P, Q运动过程中，△ APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t ;若不存在，请说明理由；(4)如图②，点N的坐标为(-£, 0)，线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线36. 如图，已知直线y=- x+3与x轴、y轴分别交于A, B两点，抛物线y=- /+bx+c经过A, B两点，点P在线段0A上，从点0出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒.个单位的速度匀速运动，连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式；(2)问：当t为何值时，△ APQ为直角三角形；(3)过点P作PE// y轴，交AB于点E,过点Q作QF// y轴，交抛物线于点F,连接EF,当EF// PQ时，求点F的坐标；(4)设抛物线顶点为M，连接BP, BM, MQ，问：是否存在t的值，使以B, Q, M为顶点的三角形与以O, B, P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说37. 如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B, C,经过B, C两点的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)请问在抛物线上是否存在点Q,使得以点B, C, Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过S(0, 4)的动直线l交抛物线于M , N两点，试问抛物线上是否存在定点T,使得不过定点T的任意直线I都有/ MTN=90 ?若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明(1 )直接写出抛物线C1的对称轴是，用含a的代数式表示顶点P的坐标=ax2+2ax (a>0)与x轴交于点A,顶点为点P.(2 )把抛物线C1绕点M (m , 0)旋转180。
2018年中考数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)
1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx ﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B （3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC 交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC 的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C 作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y 轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD 的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx ﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q 在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y 轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax 2+x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB 2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形． （3）分别以A 、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；（4）设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n +2），然后根据S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN 得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+x +c 的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0）， ∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；。
2018中考数学二次函数压轴题汇编
1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y 轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m 的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my 02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE 的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b= （用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x 轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1．①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P 落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．25．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD 为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d 为常数）．（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．①当a=1、d=﹣1时，求k的值；②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线BC的函数表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B 两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M 的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B （4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．35．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E 的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A （，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b= ，c= ；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x ﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A （﹣5，8）在一次函数y=ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数y=﹣x 2+4x ﹣．①当点B （m ，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②当﹣3≤x ≤3时，求函数y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN ．直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x 2+4x+n 的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C （m ，0）是线段A B 上一点（与 A ，B 点不重合），抛物线L 1：y=ax 2+b 1x+c 1（a ＜0）经过点A ，C ，顶点为D ，抛物线L 2：y=ax 2+b 2x+c 2（a ＜0）经过点C ，B ，顶点为E ，AD ，BE 的延长线相交于点F ．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L 1，L 2的解析式；（2）若a=﹣1，AF ⊥BF ，求m 的值；（3）是否存在这样的实数a （a ＜0），无论m 取何值，直线AF 与BF 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m ＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C （0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC 于点D，交x轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l 的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C 交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x 轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若形OPMN不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c 相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△=S△ADE，求此时抛物线的表达式．ADF。
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2018广州中考二次函数综合测试题（绝版 押题）一、 选择题：（每小题3分，共45分）1．已知h 关于t 的函数关系式为221gt h=，（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2．在地表以下不太深的地方，温度y （℃）及所处的深度x （k m ）之间的关系可以近似用关系式y ＝35x ＋20表示，这个关系式符合的数学模型是（ ）（A ）正比例函数 （B ）反比例函数． （C ）二次函数 （D ）一次函数3．若正比例函数y ＝（1－2m ）x 的图像经过点A （1x ，1y ）和点B（2x ，2y ），当1x ＜2x 时1y ＞2y ，则m 的取值范围是（ ） （A ）m ＜0 （B ）m ＞0 （C ）m ＜21（D ）m ＞21 4．函数y = k x + 1及函数xy k =在同一坐标系中的大致图象是（ ）OxyOxyOxyOxy（A ） （B ） （C ） （D ）5．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2及一次函数y ＝a x ＋c 的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 6．抛物线1)1(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（1，－1）C ．（－1，1）D ．（－1，－1） 7．函数y =a x +b 及y =a x 2+bx +c 的图象如右图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ． a b >0， c>0B ． a b <0， c>0C ． a b >0， c<0D ． a b <0， c<0 8．已知a ，b ，c 均为正数，且k=ba cc a b c b a +=+=+，在下列四个点中，正比例函数kx y =的图像一定经过的点的坐标是（ ）A ．（l ，21）B ．（l ，2）C ．（l ，－21） D ．（1，－1）9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，B D=6，P 是BD 上的任一点，过P 作EF ∥AC ，及平行四边形的两条边分别交于点E ，F ．设BP =x ，EF =y ，则能反映y 及x 之间关系的图象为……………（ ）A BCDEFP10．如图4，函数图象①、②、③的表达式应为（ ）（A ）x y 25-=，2+=x y ，xy 4-=（B ）x y 25=， 2+-=x y ，x y 4=（C ）x y 25-=，2-=x y ，x y 4=（D ）x y 25-=，2-=x y ，xy 4-=11．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间及距离之间的关系（ ）12．二次函数y =x 2-2x +2有 （ ） A ． 最大值是1 B ．最大值是2 C ．最小值是1 D ．最小值是213．设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是反比例函数y =x2-图象上的两点，若x 1<x 2<0，则y 1及y 2之间的关系是（ ）A ． y 2< y 1<0B ． y 1< y 2<0C ． y 2> y 1>0D ． y 1> y 2>0 14．若抛物线y =x 2-6x +c 的顶点在x 轴上，则c 的值是 ( )A ． 9B ． 3C ．-9D ． 015．二次函数2332+-=x x y 的图象及x 轴交点的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个 D二、 填空题：（每小题3分，共30分） 1．完成下列配方过程：122++px x ＝()[]()________________22+++px x＝()()____________2++x ；2．写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：_________．3．如图，点P 是反比例函数2y x=-上的一点，P D ⊥x 轴于点D ，则△P OD 的面积为 ；4、已知实数m 满足022=--m m ，当m =___________时，函数()11++++=m x m x y m 的图象及x 轴无交点．5．二次函数)1()12(22-+++=m x m x y 有最小值，则m ＝_________； 6．抛物线322--=x x y 向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为___________；7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现第3题图如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价__________；8．某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为A （0，2），铅球路线最高处为B （6，5），则该学生将铅球推出的距离是________；9．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像及x 轴交点横坐标为－2，b ，图像及y 轴交点到圆点距离为3，则该二次函数的解析式为___________；10．如图，直线)0(2〉-=k kx y 及双曲线xky =在第一象限内的交点R ，及x 轴、y 轴的交点分别为P 、Q ．过R 作RM ⊥x 轴，M 为垂足，若△OPQ 及△PRM 的面积相等，则k 的值等于 ．三、 解答题：（1－3题，每题7分，计21分；4－6题每题8分，计24分；本题共45分）1已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过A （0，1），B （2，－1）两点．（1）求b 和c 的值；（2）试判断点P （－1，2）是否在此函数图像上？2．已知一次函数y kx k =+的图象及反比例函数8y x=的图象交于点P(4，n)．（1）求n的值．（2）求一次函数的解析式．3．看图，解答下列问题．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．4．已知函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围．5．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．（1）观察这些统计数据，找出每天售出件数y及每件售价x（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式．（2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元．求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计）6．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱及铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．（1）（2）（1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板及地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：36.3≈1.8，.3≈1.9，36.4≈2.1）647．已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2．（Ⅰ）若抛物线及x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB5m的值；（Ⅱ）设C 为抛物线及y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值．二次函数及其他函数的综合测试题参考答案：一、 选择题： 1．A 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D8．A9．A 10．C 11．D 12．C 13．C 14．A 15．C 二、填空题：1．2p ，21p -，p ，21p - ．2 y =x 2- 3． 1 4．2或－1 5． 45- 6．1082++=x x y 7．10元或20元8．6＋52 9． 3412--=x x y 或 3412+=-=x x y 10．22 三、解答题： 1．2．解：（1）由题意得：84n =， 2.n ∴=（2）由点P （4，2）在y kx k =+上，24,k k ∴=+ 25k ∴=． ∴一次函数的解析式为2255y x =+．3．解：（1）由图可知A （－1，－1），B （0，－2），C （1，1） 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c依题意，得121a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，， 解得212a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，， ∴ y ＝2x 2＋x －2．（2）y ＝2x 2＋x －2＝2（x ＋41）2－817 ∴ 顶点坐标为（－41，817），对称轴为x ＝－41 （3）图象略，画出正确图象4．解：（1）函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2）∴9+3b -1=2，解得b =-2 ． ∴函数解析式为y =x 2-2x -1（2）y =x 2-2x -1=(x -1)2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（1，-2） （3）当x =3 时，y =2， 根据图象知，当x ≥3时，y ≥2 ∴当x >0时，使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3．5．解：（1）由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件数y 及每件售价x 之间的函数关系为： x y 6600-=．（2）当168=y 时， 6006168+-=x ， 解得：72=x ； 设门市部每天纯利润为z ①当72<x 时，168>y()()()52807063406600402+--=⨯---=x x x z当70=x 时，5280max =z②当72≥x 时，168≤y()()()53207062406600402+--=⨯---=x x x z70≥x 时，y 随x 的增大而减少72=∴x 时，52965320262max =+⨯-=z52805296> 72=∴x 当时，纯利润最大为5296元．6．（1） （2）解：（1）如图，建立直角坐标系， 设二次函数解析式为 y ＝ax 2＋c∵ D （－0.4，0.7），B （0.8，2.2）， ∴ ⎩⎨⎧．＝＋，＝＋2.264.07.016.0c a c a∴ ⎪⎩⎪⎨⎧．＝，＝2.0528c a ∴绳子最低点到地面的距离为0.2米．（2）分别作EG ⊥AB 于G ，FH ⊥AB 于H ，AG ＝21（AB －EF ）＝21（1.6－0.4）＝0.6．在Rt △AGE 中，AE ＝2，EG ＝22AG AE －＝226.02-＝64.3≈1.9．∴ 2.2－1.9＝0.3（米）． ∴ 木板到地面的距离约为0.3米．7．解： (I)设点Ａ（x 1，0），B (x 2，0) ， 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根．∵x 1 ＋ x 2 ＝m ， x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2；又AB ＝∣x 1 x 2=m2－4m ＋3=0 ．解得：m =1或m =3(舍去) ，∴m 的值为1 ． （II ）设M (a ，b )，则N (－a ，－b ) ． ∵M 、N 是抛物线上的两点，∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 ．∴a 2＝－m ＋2．∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点∴a =．这时M 、N 到y 又点C 坐标为（0，2－m ），而S △M N C = 27 ，∴2×12×（2－m ） ． ∴解得m =－7 ．。