海伦公式
海伦公式证明过程
海伦公式证明过程海伦公式是三角形中的唯一能精确计算面积的方法，它表明了三角形的面积与三条边长之积的关系：面积S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。
要证明海伦公式，首先需要证明三角形的底面积与三角形的边长之积的关系：1. 使用勾股定理，假设三角形有三条边a、b、c，则a2+b2=c2。
2. 以三角形的底面积T为中心，在三角形中画出三个半圆，每个半圆的半径分别为a、b、c，这样可以得到三个圆，每个圆的面积分别为Πa2,Πb2，Πc2。
3. 将三个圆的面积相加，即得到了三角形的底面积T：T=Πa2+Πb2+Πc2。
4. 由于三角形的底面积T=Πa2+Πb2+Πc2，则可以把T表示为三角形的边长之积的形式：T=(a*b*c)/π。
5. 现在，已经证明了三角形的底面积T与三角形的边长之积的关系。
6. 按照正确的构造法，绘制出围绕三角形的极角形（三角形的内心角被划分成三等份），其面积为三角形的面积（S）。
7. 关于极角形面积的几何公式为：S=ρ2（α+β+γ-π）/2，其中ρ为外接圆的半径，α+β+γ是三角形三个内角的和。
8. 把ρ表示为半周长s的1/2，即ρ=s/2，则极角形面积可表示为：S= (s/2)2（α+β+γ-π）/2。
9. 将极角形面积S=(s/2)2（α+β+γ-π）/2式子代入开始定义的三角形底面积T=(a*b*c)/π，可以得到：S= (s/2)2（α+β+γ-π）/2=(a*b*c)/π10. 将上面的式子扩充：S= (s/2)2（α+β+γ-π）/2=(a*b*c)/π=((a+b+c)/2)2（α+β+γ-π）/211. 化简得：S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，即得到海伦公式。
由以上的证明过程可以看出，海伦公式是三角形中面积与三角形的边长之积的关系的准确表达。
海伦公式的应用
海伦公式的应用海伦公式是解决三角形面积的一种常用方法，可以用于计算任意形状的三角形的面积。
该公式由古希腊数学家海伦提出，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍海伦公式的具体应用及其在实际问题中的重要性。
海伦公式的表达式如下：s = (a + b + c) / 2其中，s为三角形三边长a、b、c的半周长。
利用海伦公式，可以计算任意三角形的面积，表达式如下：面积= √(s × (s-a) × (s-b) × (s-c))这个公式可以非常方便地应用于各种三角形问题。
下面将介绍一些实际问题中海伦公式的应用。
1. 计算三角形的面积最直接的应用就是计算三角形的面积。
通过已知的三边长，可以先计算出半周长s，然后利用海伦公式求得面积。
这在建筑设计、地理测量等领域特别常见。
例如，在一块地块的测量中，需要知道一块不规则地块的面积，可以通过分割成多个三角形，分别计算每个三角形的面积，然后相加，最终得到整个地块的面积。
2. 判断三角形的形状海伦公式还可以用于判断三角形的形状。
根据公式，如果一个三角形的面积为0，则表示该三角形是一条直线，也就是三点共线。
如果面积为正数，则表示该三角形是一个普通的三角形。
如果面积为负数，则表示该三角形是一个内部有缺口的三角形。
利用这一特点，可以通过海伦公式来判断三个点是否共线、是否构成一个三角形。
3. 设计图片处理算法在计算机图形学中，海伦公式经常被用于设计图片处理算法。
例如，计算机生成的三角形构成的立体模型，可以通过海伦公式来计算其表面积，从而进行贴图、光照等处理操作。
海伦公式的高效性和灵活性使得它成为计算机图形学中的重要工具。
4. 优化传感器网络布局在无线传感器网络中，传感器的部署位置对网络的性能具有重要影响。
利用海伦公式，可以计算传感器之间的距离，进而确定最优的传感器布局，以最大限度地覆盖目标区域，并减少能量消耗。
这在动态目标跟踪、环境监测等应用中非常实用。
几何知识-海伦公式
b: 4
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亚历山大里亚的希罗
此公式是由希腊工程师和数学家亚历山大里亚的希罗（或海伦）（公元 10年 – 70年）发现的。
他有很多发明，其中一个是汽转球，是有文献记载以来的第一部蒸汽机，但当时的人拿它当玩具！
角
在上面的计算器中我也用了 余弦定理 来计算角度（以得到完整的答案）。公式是：
自己来试试：
Heron's Formula
Find a Triangle's Area from its Sides
Classic Heron's Formula: s = (a+b+c)/2 = 6 Area = √( s(s-a)(s-b)(s-c) ) Area = 6
a: 3
53.1301°
c: 5
Area ith less rounding error: Sides in Descending Order: 5,4,3 Area = √((a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c)))/4 Area = 6
90°
36.8699°
其中 "C" 是边 "c" 的对角。
海伦公式
用已知三边求三角形面积
如果已知三角形三边的长度，便可以用有二千年历史的公式来求三角形的面积。 这个公式叫 "海伦公式"，由亚历山大里亚的希罗发现（如下）
只需要两步：
一、求 "s"（周长的一半）： 二、 求面积：
例子：每边长度为 5 的三角形的面积是多大？
一、s = (5+5+5)/2 = 7.5 二、A = √(7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5) = √(117.1875) = 10.825……
海伦公式求内切圆半径
海伦公式求内切圆半径
海伦公式是一种通过三角形的三边长度来求解其面积的公式，其
具体公式如下：
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
其中，$a,b,c$ 为三角形的三边长度，$p$ 为三角形的半周长，
即 $p = \dfrac{a+b+c}{2}$。
对于一个内切圆来说，其半径可以通过三角形的三边长度来求解。
首先我们需要知道以下性质：
内切圆的半径 $r$ 等于三角形面积 $S$ 与半周长 $p$ 的比值，
即 $r = \dfrac{S}{p}$。
因此，我们可以将海伦公式中求得的三角形面积代入，得到内切
圆半径 $r$ 的公式如下：
$$r = \dfrac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} =
\dfrac{\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}$$
其中，$a,b,c$ 是三角形的三边长度，$p$ 是半周长，$r$ 是内
切圆半径。
需要注意的是，该公式只适用于三角形存在内切圆的情况，即三
条边能够完全包围内切圆。
如果三角形不存在内切圆，则此公式无法
求解。
海伦公式
海伦公式
• 海伦公式： [1] S=√p(p-a)(p-b)(p-c) • 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的 面积S可由以下公式求得： • S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证明过程
公式简史
• 古希腊的数学发 • 阿基米德 • 展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点 就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如 何利用三角形的三边直接求出三角形面积。 • 这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数 学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现 在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》 中给出证明。 [1] [5] • 中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它 与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国 数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。
三角形海伦面积公式证明
三角形海伦面积公式证明海伦公式是用来计算任意三角形面积的公式，它得名于古希腊数学家海伦（Heron）。
公式的完整表达式为：海伦公式：设三角形的三边长度分别为a、b、c，则其面积S可通过以下公式计算：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s是半周长，定义为s=(a+b+c)/2。
为了证明这个公式，我们可以运用三角形面积公式和勾股定理。
下面是证明的过程：证明：设三角形的三边长度分别为a、b、c，将其对应的顶点标记为A、B、C。
首先，我们假设三角形是一个锐角三角形（对于直角和钝角三角形的证明过程类似）。
根据三角形面积公式，可以用三角形的底边和高表示面积。
我们可以假设底边是边a，那么将底边上的点记为P，垂直于底边的高记为h。
因此，三角形的面积可以表示为：S = （1/2）*a*h。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系：b² = (a-h)² + c²c² = (a-h)² + b²将上面两个式子联立，并合并整理得到：b² + c² = 2a² - 2ah + h² ➡️ 2ah = 2a² - b² - c² + h²然后，我们将右边的式子代入到面积公式中：S = (1/2) * a * h= (1/4) * a * (2a² - b² - c² + h²)= (1/4) * (2a³ - ab² - ac² + ah²)根据勾股定理中的关系式b² + c² = 2a² - 2ah + h²，我们得到h² = 2a² - b² - c²，代入上面的式子中可以继续简化得到：S = (1/4) * (2a³ - ab² - ac² + ah²)= (1/4) * (2a³ - ab² - ac² + a(2a² - b² - c²))= (1/4) * (2a³ - ab² - ac² + 2a³ - ab² - ac²)= (1/4) * (4a³ - 2ab² - 2ac²)= (1/4) * 2a (a² - b² - c² + 2ab + 2ac)= 1/2 * a (a + b)(a + c) - a²(b + c) + 1/4 * a(b + c)(b + c - a)= 1/4 * (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)由于三角形是个锐角三角形，所以(a + b + c) > 2c，(a + b - c) > 0，(a - b + c) > 0，(-a + b + c) > 0。
用海伦公式计算三角形面积
计算三角形面积的海伦公式
海伦公式：s=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：s=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))
而公式里的p为半周长（周长的一半）：p=1/2(a+b+c)
扩展资料：
一般来讲仅用四边长无法表达某个四边形面积（某些特例除外），必须添加某些条件，比如角、对角线等。
海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积。
比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式
（海伦公式）已知三角形三条边长，求面积海伦公式：S=（△）=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p是三角形的周长的一半p=(a+b+c)/2.～～～～以下转自百度百科～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
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海伦公式
初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下：
海伦公式：三角形的面积
()()()c p b p a p p S ---=
其中：a 、b 、c 分别是三角形的三边长，()c b a p ++=
2
1
证明（1）：由余弦定理可知：b
a c
b a C 2cos 2
22-+= ，由此得出
由 ()c b a p ++=
2
1
可得： p c b a 2=++ ，
()c p c p c c b a c b a -=-=-++=-+2222 ， ()a p a p a c b a c b a -=-=-++=++-2222 ， ()b p b p b c b a c b a -=-=-++=+-2222 ，
因此：
()()()()
()()()
c p b p a p p b
a c
b a
c b a c b a c b a b a C ---=
+-++--+++=
221sin
()()
()()()()()()()()
c b a c b a c b a c b a b
a b
a b a c b
a c
b a b a b a b a
c b a c b a b a
b a
c b a b a c b a C C C
C +-++--+++=
--⋅-+=-+-⋅
-++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+=-=21
2222222121cos 1cos 1cos 1sin 2
222222222
2222222
由三角形面积公式 C b a S sin 2
1
=
即得 ()()()c p b p a p p S ---=
上述证明用到了三角函数 C sin 、C cos ，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。
BT 是 △ABC 的AC 边上的高，点 T 为垂足。
记 c AB =，b AC =，a BC =，
h BT =，d CT =（见上图）。
证明（2）：若 △ABC 是锐角三角形（图1），则由勾股定理有
()
()()
⎩
⎨⎧=--=-212
22222h d b c h d a 由（1）式得出 22h a d -=
，带入（2）式 ：
(
)2
2
2
22
h h
a b c =--
- 。
展开，即得 (
)2
2
2
2
222
2h h
a b h a b c =---+- ，由此式解得
(
)()()()()2
2
2
222222
444b c b a c b a c b a c b a b c b a b a h -++-++-++=-+-=
，
类似于证明（1），得出
()()()2
24b c p b p a p p h ---=
，
由于三角形面积 h b S 2
1
=
，由上式即得 ()()()c p b p a p p S ---=。
若 △ABC 是钝角三角形（图2），不失一般性，设
90>∠C ，则由勾股定理有
()()()
⎩⎨⎧=+-=-312222
22h
d b c h d a 类似于 △ABC 是锐角三角形的情况，可得
()()()2
24b c p b p a p p h ---=
，
因而亦得 ()()()c p b p a p p S ---=。
若 △ABC 是直角三角形（图2），不失一般性，设
90=∠C ，由勾股定理有
222c b a =+ 。
()()()()[]()[]
b a b a
c c b a c
b a
c b a c b a c b a c p b p a p p 2
141
2
2222
222=--⋅-+=
-+⋅+-⋅++-⋅++=
---
故，此时仍有 ()()()c p b p a p p S ---= 。
关于海伦公式（Heron's formula 或Hero's formula ）的历史
海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。
此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica 》中找到其证明。
亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica 》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作
亚历山大里亚的海伦（希腊语： Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。
他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。
我国南宋末年数学家 秦九韶 发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。
“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。
”若以大斜记为 a ，中斜记为 b ，小斜记为 c ，秦九韶的方法即相当于海伦公式。