八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题难题提优专项训练试题
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ） A
B
C
D
2．
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3
B ．x ＞－3
C ．x≥－3
D ．x≤－3
3．
(2的结果正确的是( ) A
B ．3
C ．6
D
．3 4．下列各式是二次根式的是（ ） A
B
C
D
5．已知：x
，y
1，求x 2﹣y 2的值（ ） A ．1
B ．2
C
D ．
6．
a b =--则（ ） A ．0a b +=
B ．0a b -=
C ．0ab =
D ．22
0a b +=
7．
已知
4
4
2
2
0,24,180x y x y >+=++=、.则xy=（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
8．关于代数式1
2
a a +
+，有以下几种说法， ①当3a =-时，则1
2
a a ++的值为-4. ②若1
2
a a +
+值为2
，则a = ③若2a >-，则1
2
a a ++存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ）
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．①②③
9．当4x =
-
的值为（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．3
10．若化简
2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数
B ．1≤x ≤4
C ．x ≥1
D ． x ≤4
二、填空题
11．比较实数的大小
:(1)
______ ；（2
）1
4
_______12 12．若0a >
化成最简二次根式为________． 13．若a ，b ，c
是实数，且10a b c ++=，则
2b c +=________．
14．
3=，且01x <<
=______． 15．已知a
a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 16．
化简二次根式_____. 17．已知|a ﹣2007
=a ，则a ﹣20072的值是_____． 18．已知1＜x ＜2，1
71
x x +
=-
_____．
19
_____．
20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记
2
a b c
p ++=
，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题
21．计算及解方程组： （1
-1-） （2
)
2
+
（3）解方程组：25103
2x y x y x y -=??
+-?=??
【答案】（1
）2
）7；（3）102x y =??=?
．
【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解．
【详解】
（1
1-
1+（
1
1
=1
（2
2
+）
=34-
=7-
=7-
（3）2510
32x y x y x y
-=??
?+-=??
①②
由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2 ∴原方程组的解是：10
2x y =??=?
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．
22．计算：
21)3)(3--【答案】
. 【解析】 【分析】
先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】
解：原式
2
2
2
2]-4
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.
23．先观察下列等式，再回答问题：
=1+1=2；
12=2 12
；
=3+
13=31
3
；… （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n
++=
，证明见解析． 【分析】
（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，
=414+
=414
；
（2=n 211
n n n
++=
”，再利用222
112n n n n
++=+（）（）开方即可证出结论成立．
【详解】
（1=1+1=2=212+
=212
；
=313+
=31
3；里面的数字分别为1、2、3，
= 144+
= 1
44
．
（2=1+1=2，
=212+=212=313+=313=414+=4
14
= 211
n n n n
++=
．
证明：等式左边==n 211
n n n
++==右边．
=n 211
n n n
++=
成立． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律
=n 211
n n n
++=
”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．
24．（1）计算：
（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中1
4
a =．
【答案】（1）2）82-a ，【分析】
（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；
（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】
（1）
=
=；
（2）(()8a a a a +--
2228a a a =--+
82a =-,
当14a =时，原式1824?=?-=??．
【点睛】
本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
25．先化简再求值：（a ﹣2
2ab b a -）÷22a b a
-，其中，b=1．
【答案】原式=a b
a b
-=+【分析】
括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可. 【详解】
原式=()()
222a ab b a
a a
b a b -+?+-
=
()()()
2
·a b a a
a b a b -+- =
a b
a b
-+，
当，b=1时，
原式
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
26．计算：（1
（2|a ﹣1|，其中1＜a 【答案】（1）1；（2）1 【分析】
（1）根据二次根式的乘法法则计算；
（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简． 【详解】
解：（1－1＝2－1＝1
（2）∵1＜a ，
a ﹣1＝2﹣a ＋a ﹣1＝1．
【点睛】
本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．
27．计算：（1 ；
（2）
)
)
2
13
【答案】（1）2）1-. 【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案． （2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算． 【详解】
（1）原式=
=
（2）原式=212---
=1-. 【点睛】
本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．
28．02020((1)π-．
【答案】 【分析】
本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可． 【详解】
原式11=-= 【点睛】
本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
分析：根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算逐一验证即可.
详解： , 此选项正确;
≠此选项错误;
, 此选项错误;
，此选项错误.故选A.
点睛：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.
2．C
解析：C
【解析】
分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解.
详解：根据题意得,x+3≥0,
解得x≥-3.
故选C.
点睛：本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数，这也是解答本题的关键. 3．A
解析：A
【分析】
分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项，再合并即可．【详解】
=+=
解：原式333
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．
【详解】
解：A、符合二次根式有意义条件，符合题意；
B、-1＜0B选项不符合题意；
C、是三次根式，所以C选项不符合题意；
D、π-4＜0D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
a≥0．
5．D
解析：D 【分析】
先根据x 、y 的值计算x y +、x y -的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】
∵1,1x y ==，
∴11112x y x y +==-=-=，
则22()()2x y x y y x -=+-== 故选：D ． 【点睛】
本题考查了代数式的化简求值、二次根式的加减法与乘法，利用平方差公式对代数式进行化简是解题关键．
6．C
解析：C 【分析】
直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a 与b 中至少有一个为0，进而分析得出答案即可． 【详解】
解:∵a b =--， ∴a-b=-a-b ， 或b-a=-a-b
∴a= -a ，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0ab =． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
7．D
解析：D 【分析】
利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可. 【详解】
44180+=
配方得2
2222
180??+
-+?=?
?
2
2
2180????+=????
222()180x y +-=
22162(2)180xy x xy y +-+=
22122()180xy x y ++=
将2
2
24x y +=代入得：12224180xy +?= 计算得：11xy = 故选：D. 【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握.
8．C
解析：C 【分析】
①将3a =-代入12a a +
+计算验证即可；②根据题意1
2
a a +
+=2，解得a 的值即可作出判断；③若a ＞-2，则a+2＞0，则对1
2
a a ++配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】
解：①当3a =-时，
11
34232a a +
=-+=-+-+． 故①正确； ②若1
2
a a ++值为2， 则1
22
a a +
=+， ∴a 2+2a+1=2a+4， ∴a 2=3，
∴a =． 故②错误；
③若a ＞-2，则a+2＞0， ∴12a a +
+=1
222
a a ++
-+
=222+-
=2
≥0． ∴若a ＞-2，则1
2
a a ++存在最小值且最小值为0． 故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．
9．A
解析：A 【分析】
根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】 解：原式2
2
232323
23
x x x x
11
23
23
x x
将4x =代入得， 原式
11
423423
2
2
111
3
1
3
3113
33311
3
1=.
故选：A. 【点睛】
本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．
10．B
解析：B 【分析】
根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x 的取值范围分别讨论，求出符合题意的x 的值即可． 【详解】
原式可化简为|1-x|-|x-4|，
当1-x ≥0，x-4≥0时，可得x 无解，不符合题意； 当1-x ≥0，x-4≤0时，可得x ≤1时，原式=1-x-4+x=-3；
当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；
当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，
据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，
故选B．
【点睛】
本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
二、填空题
11．【分析】
(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．
【详解】
(1)
(2)
∵
∴
∴
故答案为：，．
解析：<<
【分析】
(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．
【详解】
(1)<
1
2
=
∵3=
∴
3
0 4
<
∴
1
4
<
1
2
故答案为：<，<．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．12．【分析】
先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.
解：∵
∴
∴
所以答案是：
【点睛】
本题考查了二次根式的性质.
解析：
【分析】
先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】
解：∵
4
0,0 a
a
b
-
≥>
∴0
b<
2
a b
b b b
=--
所以答案是：
【点睛】
a
=.
13．21
【分析】
结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．
【详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的
解析：21
结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案． 【详解】
∵10a b c ++=
∴100a b c ---=
∴2
2
2
1490??????-+-+-=??????
∴2221)2)3)0++=
∴1
23
=== ∴111429a b c -=??
-=??-=? ∴2511a b c =??
=??=?
∴2251121b c +=?+=． 【点睛】
本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
14．． 【分析】
利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算． 【详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式
．
故答案是：．
【点睛】
本题考查二次根式的运
．
【分析】
，再把它们相乘得到
1
x
x
-，再对原式进行变形凑出
1
x
x
-的形式进行计算．
【详解】
3
=，
∴
2
2
1
239
x
x
=++==，
∴
1
7
x
x
+=，
∴
2
1
2725
x
x
=-+=-=，
∵01
x
<<，
=，
∴
1
x
x
=-=-
∴原式
=
==
=．
故答案是：
1
2
．
【点睛】
本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．
【分析】
先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】
解：当a＝－＝－＝－3时，
原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(
解析：-4
【分析】
先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.
【详解】
－3时，
解：当a
原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3
＝7a－7－7a+3
＝－4．
故答案为：－4．
【点睛】
本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.
16．【解析】
根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知a==. 故答案为.
解析：
【解析】
根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知
=
故答案为
17．2008
【解析】
分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
详解：∵|a﹣2007|+=a，∴a≥2008，
解析：2008
分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
详解：∵|a﹣2007=a，∴a≥2008，∴a﹣2007=a，
=2007，两边同平方，得：a﹣2008=20072，∴a﹣20072=2008．
故答案为：2008．
点睛：解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．
18．-2
【详解】
∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，
即 =4，
又∵1＜x＜2,
∴=-2，
故答案为-2.
【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是
解析：-2
【详解】
∵x+1
1
x-=7，∴x-1+
1
1
x-
=6，∴（x-1）-2+
1
1
x-
=4，
即2
=4，
又∵1＜x＜2,
∴
，
故答案为-2.
【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.
19．6
【分析】
利用二次根式乘除法法则进行计算即可．
【详解】
＝
＝
故答案为6． 【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
解析：6 【分析】
==进行计算即可． 【详解】
＝6， 故答案为6． 【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
20．【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可． 【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8． 所以三角形的面积S ＝＝＝4． 故答案为：4． 【点睛】 本题主
解析：
【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝
2
a b c
++，然后将其代入三角形的面积S ＝
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝2a b c ++＝4572
++＝8．
所以三角形的面积S ．
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无