贝努利(Bernoulli)-模型
概率论与数理统计(chapt1-6 n重贝努利试验)
设A:恰好4次命中，B:至少4次命中，C:至多4次命中
（1） P( A) P5( 4) C54 0.840.2 0.4096
（2） P( B) P5( 4) P5( 5)
C
4 5
0.840.2
C
5 5
0.85
0.7373
（3） P(C ) 1 P(C) 1 P5( 5)
1
C
5 5
n重贝努利（Bernoulli ）试验的例子 1.已知在指定时间内某十字路口的事故率为p，现在此 时间段内对经过的n 辆机动车进行观察 每辆车是否经过这个十字路口是相互独立的，而且观
察结果有且只有这是一个贝努利试验
2.某射手每次射击命中目标的概率都是 p，现对同一目 标独立射击 n 次，观察射击结果 此射手独立射击n次，每次射击命中目标的概率都 是p，所以这n次射击构成独立试验序列，每次射击
比如 s 3, a 1, b 1 则再赌3局必分胜负
P{甲赢} P{X 2} P{X 2} P{X 3}
C32
(1)2 2
1 2
C33
( 1 )3 2
1 2
又如 s 3, a 1, b 2
则再赌2局必分胜负
P{甲赢}
P{X
2} C22
( 1 )2 2
1 4
第一章 小 结
设事件A：10件中至少有两件次品，则
10
p( A) p10 (k) 1 p10 (0) p10 (1) k 2 1 0.9610 C110 0.04 0.969 0.0582
（2）设事件B：前 9 次中抽到 8 件正品一件次品； 事件C：第 10 次抽到次品，则所求概率为
P(BC) P(B)P(C)
0.1 0.4 0.7
不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式
不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。
这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题：例1、若n 是自然数，求证.213121112222<++++n证明：.,,4,3,2,111)1(112n k k k k k k=--=-< ∴n n n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11n n --++-+-+=.212<-n注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n的过程中，已经得到一个更强的结论n n1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
例2、求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数）得n⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111 .3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n nn例3、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a证：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>c b ad db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m∴1 < m < 2 即原式成立。
贝努利家族简介
贝努利（Bernoulli）一译“伯努利”.瑞士的一个产生过11个数学家的家族.其中比较著名的有：雅科布·贝努利Jocob Bernoulli1654—1705青年时根据父亲的意愿学习神学，曾获巴塞尔大学文学硕士和神学硕士学位.同时怀着强烈的兴趣研习数学和天文学.1687年起任巴塞尔大学教授，在多方面作出重要贡献.首先发展了无穷小分析，和莱布尼茨共同获得微积分学中的不少成果，积分“integral”这一术语即由他首创.对无穷级数理论和常微分方程的积分法也有贡献.运用新的观念研究一系列曲线的性质，1690年提出悬连线问题，1694年讨论了后来由他的姓氏命名的“贝努利双扭线”，还研究了对数螺线.与其弟共同奠定了变分法的基础，提出并部分解决了等周问题和最速降落线问题.对概率论也有深入的研究，提出了大数法则的“贝努利定理”，建立了描述独立试验序列的“贝努利概型”.约翰·贝努里Johann Bernoulli1667—1748雅科布之弟.巴塞尔大学医学博士.历任荷兰格罗根大学和巴塞尔大学教授.曾被选为法兰西科学院院士和英国皇家学会会员.在微积分学、微分方程论、变分法、几何学和力学等方面都有贡献.首先将函数概念规定为由变量和常量组成的解析表达式.1696年提出最速降落线问题，与其兄雅科布一起奠定了变分法的基础.1715年给出空间坐标的定义，研究了多种特殊曲线.1742年出版《积分学教程》一书，系统的阐述了微积分学.尼古拉·贝努里Nicolaus Bernoulli1695—1726约翰·贝努里的长子，欧拉的挚友.1695年1月27日出生于巴塞尔，1725年与其弟丹尼尔同时被接纳为俄国彼得堡科学院的数学教授.1726年7月26日在彼得堡溺水而死.他虽然早逝，在数学上也有贡献.他提出了概率论中的“彼得堡悖论”，对三次曲线也有较深的研究.1713年还曾印行其伯父詹姆士·贝努里的级数讲义.丹尼尔·贝努里Daniel Bernoulli1700—1782约翰的次子.巴塞尔大学医学博士.1725~1733年去俄国彼得堡科学院任教，后回国任巴塞尔大学教授.英国皇家学会会员.在代数学、概率论和微分方程等方面都有重要成果.在概率论中引入正态分布误差理论，发表了第一个正态分布表.在研究弦振动问题时，首次利用三角级数求解偏微分方程.1738年导出理想流体定常运动方程，现被称为“贝努里方程”.著有《流体动力学》等.由于在数学和物理学方面的杰出成就，曾十次获得法兰西科学院的嘉奖.。
第五节 n重贝努利概型
4 4 16
0.218
例2、对同一目标进行射击，设每次射击的命 中率均为0.23，问至少需进行多少次射击， 才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95？ 解：设需进行n次射击，才能使至少命中一次 目标的概率不少于0.95．
B={ n次射击至少命中一次目标 } 进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验 A = { 命中目标 } P B 1 则有
Bernoulli 试验的例子 掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面” 两种结果，因此“掷一枚硬币”可看作是一次 Bernoulli试验． 掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心 “出现六 点”与“不出现六点”这两种情况， 故“掷一颗骰子”也可以看作是Bernoulli试验．
对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中 目标”与“未击中目标”两种情况，则“同 一目标进行一次射击”是Bernoulli试验． 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数， 若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通 过99辆车”这两种情况，这也是Bernoulli 试验．
A1 A2 An k An k 1 An
右边每一项都是n重贝努利试验的一个结果， 表示在某k次试验中发生，而在另外n-k次试 验中不发生，这种两两互不相容的事件共有 k Cn 个
由试验的独立性
P ( A1 A2 Ak Ak 1 A n ) P( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak ) P ( Ak 1 ) P ( An ) p (1 - p)
⑵ 由于新药无效，则 P A 0 .25 此时若肯定新药，只有在试验中至少有4 人痊愈．因此
P 肯定新药
i C 10 0 .25 i 0 .75 10 i i4 10
概率论1.4贝努利公式
1、A、B相互独立， P( A) 0, P( B) 0, 则一定有 P( A B) （
A.
P( A) P( B)
）.
B. P( A) P( B)
C. 1 P( A) P( B)
D. 1 P( A) P( B)
2、甲乙两人独立破译密码，若他们各人译出的概率均 为0.25，则这份密码能破译的概率为( ). 3、若A、B相互独立， P( A) 0.5, P( B) 0.6, 则 P( A B) （ ）. A. 0.9 B. 0.7 C. 0.2 D.0.1 4、A、B为两个随机事件，若A，B之积为不可能事件， 则称 A. A与B 相容 B. A与B互不相容 C. A与B 互为独立 D. A与B为样本空间的一个划分
（2）家庭中有三个小孩。 解 情形（2）的样本空间为
Ω ={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
6 1 3 P( A) , P( B) , P( AB) 8 2 8
此种情形下，事件A、B是独立的。
定理
下列四组事件，有相同的独立性：
P( B)
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸P（Ai）>0)
B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有
P ( Ak | B )
P ( Ak ) P ( B | Ak )
P( A ) P( B | A )
i i i 1
n
证明
P ( Ak B ) P ( Ak B ) P( B)
（2）家庭中有三个小孩。
解 情形（1）的样本空间为 Ω ={（男男），（男女），（女男），（女女）}
货币效用函数辨析
货币效用函数辨析内容摘要：货币的边际效用递减理论源自于著名数学家Daniel Bernoulli（1738）为解决“圣彼得堡悖论”而提出的效用函数解决方案。
然而，王文辉在《圣彼得堡悖论新解与不确定性估值》中证明了Bernoulli的效用函数解决方案是不成立的，因此，货币的边际效用递减是颇值得怀疑的。
本文对传统效用理论进行了更深入的分析和阐述，得到了一个效用函数族，并且首次提出了“效用阈限漂移”现象。
进而通过理论和实验两方面证明了货币的边际效用并非是单调递减的，而且效用函数与人们的风险偏好没有任何关系，从而纠正了微观金融经济学基础理论中长期存在的误区，为新的研究开辟了方向。
关键词：边际效用，效用函数，风险偏好，风险厌恶1.传统效用及效用函数理论回顾1.1贝努利与圣彼得堡悖论――最初的肇始著名数学家丹尼尔.贝努利（Bernoulli, D. 1738）于1738年提出了货币的边际效用递减理论，其目的在于解决“圣彼得堡悖论”。
“圣彼得堡悖论”来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。
设定掷币掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。
由于各个结果之间是相互独立的，因此游戏的期望收益为所有可能结果的得奖期望值之和：1111 ()2482 2482n nE=⨯+⨯+⨯++⨯+这是无数个1求和，等于无穷大。
由于游戏的次数没有限制，该游戏的数学期望值是无限的。
问题是人们对于参加这样一个理论上收益的数学期望无穷大的‘游戏’会支付多少费用呢？试验表明，大多数人只准备支付几元参加这一游戏。
人们对参与这种游戏所愿支付的有限费用与其无穷数学期望之间的矛盾就构成了所谓的“圣彼得堡悖论”。
贝努利对于这个问题给出一种解决办法，他认为人们真正关心的是货币的效用而非它的价值量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。
贝努利方程的另一种求解法
9(μΜ 9y
)
=
9(μN 9x
)
收稿日期 : 2010- 06 - 271修回 : 2010 - 09- 15 作者简介 : 杨显中 ( 1963 - ) ,男 ,重庆人 ,副教授 ,学士 ,主要从事概率与数理统计、常微分方程研究
第 12期 杨显中 ,王学荣 : 贝努利方程的另一种求解法
第 10 卷第 12期 Vo l. 10, No. 12
宜宾 学 院 学报 Jou rnal of Yibin Un iversity
2010年 12月 Dec. , 2010
贝利方程的另一种求解法
杨显中 ,王学荣
(四川化工职业技术学院 ,四川泸州 646005)
摘要 : 贝努利方程通常用常数变易法或变量替换法求解 ,这两种方法虽然简单 ,但较繁琐 . 通过积分因子 方式 ,可将贝努 利方程化为全微 分方程 ,从而达 到化难为易的目的. 关键词 : 全微分方程 ;积分因子 ;贝努利方程 中图分类号 : O175122 文献标志码 : A 文章编号 : 1671- 5365 (2010) 12- 0042- 02
(2)
为全微分方程 , 则称 μ( x, y)为方程 ( 2) 的一个积分因子.
可以证明 , 只要方程有解 ,则 必有积分因 子存在 ,但积 分因子不唯一 [1 ].
如全微分方程
ydx -
xdy = 0,易知
1 x2
,
1 y2
等
都是其积分
因子 .
下面介绍积分因子的求解法 .
由定理 1知 ,方程 ( 2) 是全微分方程 ,则必须满足 :
由此例可看出 , 如果一 个 微分方 程是 全微 分方 程 ,则 很容易求出其 通解 . 因 此 , 能否 将一 个非全 微分 方程 化为
函数的趣事
把每条曲线看作一个变量，进而在每条曲线上所用时间便 是曲线的函数，这就是泛 函。类似于微积分求最大最小值
的办法，把微积分推广到一般函数空间去，这就是【变分
法】。不过变分法真正成为一门理论还要属于约翰的弟子 欧拉和法国的拉格 朗日。贝努力家族对数学最大的贡献还
不是在数学本身，而是发现了欧拉。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
» 复变函数论里的欧拉公式e^ix=cosx+isinx
» 分式里的欧拉公式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(bc)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
» 三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆 半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距 离，则： d^2=R^2-2Rr
• 作为他心算能力的一个例证，孔多塞(N.C.deCondorcet)谈到，欧拉的两个 学生对一个复杂的收敛级数(就变量的一个特定值)做前17项的求和，结果 只是在第50位上相差一个单位数。为了判定哪个对，欧拉使整个心算了一 遍，人们肯定他的答案是正确的。这种能力现在帮助了欧拉，使他少受失 明之苦。但即使如此，他失明17年间有一个成就也是令人难以置信的。这 就是月球运行的理论－－唯一的一个使牛顿都感到头疼的问题－－在欧拉 手里第一次得到透彻的研究。整个复杂的分析过程完全是在他的头脑中进 行的。 欧拉回到圣彼得堡五年后，又一场灾难落到他的头上。在1771 年的大火中，他的房子及全部家具都烧掉了。只是靠了瑞士仆人彼得．格 里姆的英勇，欧拉才幸免于难。格里姆冒着生命危险把有病的盲主人从大 火中数了出来。藏书烧了，多亏奥尔洛夫伯爵，欧拉的全部手稿得以保全。 叶卡捷琳娜女皇立即补偿了欧拉的全部损失，他很快又投入了工作。 1776年(即他69岁时)欧拉遭受了更大的损失，他的妻子死了。第二年，他 再次结婚。第二个妻子，萨洛姆．艾比格尔，格塞尔(SalomeAbigailGsell) 是第一个妻子的异母姊妹。他的最大不幸是恢复左眼视力手术的失败(可 能是由于外科医师的疏忽)，那本来是唯一有点儿希望的眼睛。手术是"成 功的"，欧拉高兴了一阵子。但是不久感染就开始了，经过一段他描述为" 可怕的"痛苦之后，他又重新坠入了黑暗之中。 回过头来浏览一下欧 拉浩繁的著作。初看起来，我们可能倾向于认为任何有才华的人都能差不 多像欧拉一样容易地做出它的大部分。可是比照数学在今天的情况做一番 考察，很快就会纠正我们的错误想法。考虑到现在供我们使用的方法的力 量，那么目前数学各种理论一团乱麻般的状态就丝毫不比欧拉面对的更为 复杂。对今天的欧拉式人物来说，数学是已经成熟的。欧拉在他那个时代， 运用分析方法的力量奠定基础，整理有价值的东西，从而系统化和统一了 被局部成果和孤立法则弄乱了的广大领域。直到今天，大学里数学课教的 许多东西实际上还是欧拉留下的。例如，以一般的二次方程所作的三维空 间中圆锥曲线和二次曲面的表述就是欧拉所留下的。还有年金问题及由此 派生的各种问题(保险费，养老金等等)也是由欧拉的研究而成为现在"投资 数学理论"学生所熟悉的这种样子的。
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3 贝努利模型应用及实验操作过程
• (1)双方各出3人，n=3 P(系队胜)= P3 (2)+ P3 (3)= P3 (2 ≤X ≤ 3) = (0.4)2(0.6)+ (0.4)3=0.3520 • (2)双方各出5人， n=5 P(系队胜)= P5(3)+ P5(4)+P5(5)=P5 (3 ≤X ≤ 5)=0.3174 P( )= • (3)双方各出7人， n=7 P(系队胜)= P7(4)+ P7(5)+P7(6)+P7(7) =P7 (4 ≤X ≤ 7)=0. 2898 • 以上计算表明双方各出3人对系队有利。由于校队比系队 实力强又假定每队队员的水平平均， 即使校队个别队员出 现失误， 但场次越多其他队员越有机会扭转局面。
4 贝努利模型思考题
• 思考题1：用平台模型进行计算，当n较大而概率p较小时， 思考题1 计算机运行较慢，而且可能出现错误（溢出错误和舍入误 差）。这时我们应该怎么办？ • 解： 解：可以通过泊松分布 泊松分布来对二项分布进行检验 测试检验 检验。 发现很接近，n越大和P越小，近似程度越好。
4 贝努利模型思考题
5 思考题补充
• 假设每个飞机引擎在飞行中出故障的概率为1-p,而且各引 擎是否出故障是相互独立的,如果有至少50%的引擎能正常 运行,飞机能成功地飞行,问p至少为多大时，4引擎飞机比2 引擎飞机模型中，贝努利模型的表达式不准确写成Pn(k)，准确应 该为Pn{X=k}。且模型实验中缺少具体的实验建模过程。 • 原模型思考题1中，给出的用泊松分布X~B(n,p)检验贝努 利模型的方法是对的，但是参考检验数据不准确，一般当 n ≥100，p ≤0.1时，可以使用这种方法，并且泊松分布的 λ=np并不要求一定等于1，只要满足n、p的取值条件，就 可使用下式来检验。 P{X=m}= • 原模型中，思考题3的解答有误，修改内容如前。
= =
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• 例1：西南交通大学校乒乓球队与该机械系乒乓球队举行 对抗赛。显然校队的实力比系队的实力强，假定当一个校 队队员与一个系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6。 现校系两队商量比赛方式，提出三种方案进行比赛：(1)双 方各出3人；(2)双方各出5人；(3)双方各出7人。三种方案 均以得胜人数多的一方胜利。试问对系队来说，哪一种方 案最有利？ • 解： 解：不管各队出多少人，每场比赛只有两个结果：校队队 员取胜，或系队队员取胜。设各场比赛结果相互影响不大， 可视为相互独立，从而问题就为多重贝努利概型。设A={ 系队队员胜校队队员},则P(A)=1-0.6=0.4,从而有
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• 所以将以上的数据带入模型可得如下结果。 • 点击概率分布 概率分布结果（部分）为：
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• 点击图表 图表结果（部分）为：
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• 点击概率计算 概率计算结果为：
• 根据平台操作得出的结果可以做出如下解释：任意时刻， 有10台织布机（所有织布机的1/3）同时停开的可能性为 15.3015%。表明这一事件的发生机率较小。
• 思考题2：某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2， 思考题2 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。 • • • • 解：本例为3重贝努利试验，即试验次数n=3； 解： p＝{灯泡可使用1000小时以上}=0.2； 成功的次数2 ≤X ≤ 3 概率计算 数据带入模型进行操作，点击概率计算 得：
4 贝努利模型思考题
• 思考题3：三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目 思考题3 标的概率分别为0.3，0.6，0.8．若一门火炮击中目标，目 标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中目标，目标被摧毁 的概率为0.6；若三门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为 0.9．试求目标被摧毁的概率。 • 解： 解：本题为多个1重贝努利试验的组合 多个1重贝努利试验的组合。设三门火炮分别 为a、b、c， 事件A、B、C分别为{火炮a/b/c击中目标}， 则P(A)=0.3、P(B)=0.6、P(C)=0.8。由于此题中火炮击中目 标不一定摧毁目标，且每种情况摧毁的概率不同，故需分 三种情况讨论，设Mi为{目标被i门火炮击中并摧毁}，则 P{目标被摧毁}=P(M1)+P(M2)+P(M3)
4 贝努利模型思考题
• (1)目标被一门火炮击中摧毁 P(M1)=[P(A)P( )P( )+P( )P(B)P( )+P( )P( )P(C)]*0.2 =0.0664 • (2)目标被两门火炮击中摧毁 P(M2)=[P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P(C)+P( )P(B)P(C)]*0.6 =0.2808 • (3)目标被三门火炮击中摧毁 P(M2)=[P(A)P(B)P(C)]*0.9=0.1296 • P{目标被摧毁}=P(M1)+P(M2)+P(M3) =0.4768
2 贝努利模型建模过程
• 设试验的结果只有两个 结果只有两个即A或 ，且P(A)=p，P( )=1-p=q， 独立地重复进行n次试验，在n重贝努利概型中事件A恰恰 出现K次的概率常称为二项概率，通常与实际情况相符， 这个概率常称为二项概率 二项概率，记为Pn {X=K}。 Pn{X=K} = ，k=0,1,…,n. (0<p<1) • 则有 Pn{A至少发生i次} = A至少发生i Pn{A至多发生i次} = A至多发生i
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• 例2：某织布车间有30台自动织布机，由于检修、上纱等 各种工艺上的原因，每台布机时常停车。设各台布机的停 或开相互独立，且每台布机在任一时刻停车的概率为1/3， 试求在任一指定的时刻里有10台布机停开的概率。 • 解： 解：本例为30重贝努利试验，即试验次数n为30次； • p＝{每台布机在任一时刻停车}=1/3，但并不能说明所有 的布机每一时刻都有1/3台数停开。 • 成功的次数X=10
贝努利（Bernoulli ） 模型
目录
贝努利模型概述 贝努利模型建模过程 贝努利模型应用及实验操作过程 贝努利模型思考题 思考题补充 贝努利模型完善
1 贝努利模型概述
• 为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利 雅各布·贝努利而命名。对随机实验中 某事件是否发生，试验的可能结果只有两个，这种只有两 个可能结果的实验称为贝努利试验 贝努利试验。 • n重贝努利试验 重贝努利试验：重复进行n次独立的贝努利试验，重复是 指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发 生的概率保持不变。独立是指是指各次试验的结果不互相 影响。基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型 贝努利模型。 相互独立的事件上，如投硬币，新生儿性别等。 • 模型应用于相互独立
谢谢