华罗庚学校思维训练导引五年级第三节
第3讲五年级思维导引
◇ 第3讲◇行程问题（Ⅰ）【内容概述】涉及分数的行程问题，顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题。
环形道路上的行程问题。
解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑。
【典型问题】 ○挑○战级数：★★ 1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货。
如果他往返都以每小时60千米的速度行驶，正好可以按时返回甲地。
可是，当到达乙地时，他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米。
如果他想按时返回甲地，他应以多大的速度往回开？【分析与解】设甲地到乙地的路程为单位“1”，那么按时的往返一次需时间602，现在从甲到乙花费了时间1÷55=551，所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是661501602=-。
即如果他想按时返回甲地，他应以每小时66千米的速度往回开。
○挑○战级数：★★ 北京市第二十二届《中小学数学教学》“数学解题能力展示”读者评选活动小学高年级组·初赛第7题2.甲、乙两地相距100千米，小张先骑摩托车从甲地出发，1小时后小李驾驶汽车从甲地出发，两人同时到达乙地。
摩托车开始速度是每小时50千米，中途减速后为每小时40千米；汽车速度是每小时80千米，汽车曾在途中停驶10分钟，那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时？【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时间为：100÷80=1.25小时=1小时15分钟，加上中途停驶的10分钟，公用1小时25分钟。
而小张先小李1小时出发，但却同时到达，所以小张从甲地到乙地共用了2小时25分钟，即2125小时。
以下给出两种解法：方法一：设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x 小时，有50×x+40×（2125-x ）=100，解得x=31。
所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后31小时。
方法二：如果全程以每小时50千米的速度行驶，需100÷50=2小时的时间，全程以每小时40千米的速度行驶，需100÷40=2.5小时。
《思维训练导引》五年级
华数思维训练导引——计算问题（六）估算与比较通分与裂项《思维训练导引》五年级下学期第11讲计算问题第06讲估算与比较通分与裂项1.除式12345678910111213÷31211101987654321计算结果的小数点后前三位数字是多少？解法一：A大于1234÷3122=0.3952……，A小于1235÷3121=0.3957……，0.3952小于A小于0.3957 答：计算结果的小数点后前三位数字是395。
解法二：1234÷3121≈0.3953≈0.395答：计算结果的小数点后前三位数字是395。
2．计算下式的值，其中小数部分四舍五入，答案仅保留整数：33.333^2-3.1415926÷0.618.解：33.333^2-3.1415926÷0.618≈（100/3）^2-5=10000/9-5≈1111-5=1106答：保留整数约等于1106。
3.在1,1/2,1/3,1/4,……。
1/99，1/100中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数？解法一：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10<1+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+1/10)+2/7=2+3/ 8+3/10+2/7=2+269/280<31+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11>1+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+1/10)+1/8+(1/9+1/11)=1+1+(3/8+1/8)+3/10+20/99=2+4/8+3/10+20/99>2+1/2+3/10+20/100=3答：最少要选出11个数。
解法二：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=1+（1/2+1/3+1/6）+1/4+1/5=2+1/4+1/5=2.45<31/7=0.142……,1/8=0.125，1/9=0.1（1循环），1/10=0.1，所以1/7+1/8+1/9+1/10=0.478……，1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10=2.928<31/11=0.09(09循环)，1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11=3.01……>3答：最少要选出11个数。
《数学思维训练导引》解析(五年级)
《数学思维训练导引》解析（五年级）
思维导引解析１讲：循环小数与分数
思维导引解析２讲：和差倍分问题.
思维导引解析３讲：行程问题之三
思维导引解析４讲：数的整除
思维导引解析５讲：质数与合数
思维导引解析６讲：格点与割补
思维导引解析７讲：数字谜综合之一
思维导引解析８讲：包含与排除
思维导引解析９讲：复杂抽屉原理
思维导引解析１０讲：逻辑推理之一
思维导引解析１１讲：估算与比较、通分与裂项
思维导引解析１２讲：行程问题之四
思维导引解析１３讲：应用题综合之一
思维导引解析１４讲：约数与倍数
思维导引解析１５讲：余数问题
思维导引解析１６讲：直线形面积
思维导引解析１７讲：圆与扇形
思维导引解析１８讲：数列与数表综合
导引解析１９讲：数字谜综合之二
思维导引解析２０讲：计数综合之一
１讲：循环小数与分数
仁华思维导引解析２讲：和差倍分问题
仁华思维导引解析３讲：行程问题之三
仁华思维导引解析４讲：数的整除
仁华思维导引解析５讲：质数与合数
仁华思维导引解析６讲：格点与割补。
华罗庚学校五年级数学(上册)教材(第1-8讲,共15讲)
本系列共15 讲第一讲数的整除问题.一．基本概念和知识1．整除——约数和倍数一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数 a 除以整数b（b≠0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b 整除（或者说b 能整除a）。
记作b︱ a。
否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。
如果整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b 就叫做a的约数（或因数）。
2．数的整除性质性质1：如果a、b 都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。
性质3：如果b、c 都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
性质4：如果c能整除b，b 能整除a，那么c能整除a。
3．数的整除特征y y y y ① 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数。
② 能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。
③ 能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。
④ 能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25） 整除。
⑤ 能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125） 整除。
⑥ 能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。
⑦ 能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数 与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除。
二． 例题例 1：已知 45︱ 1993 x ，求所有满足条件的六位数 1993 。
x解：∵ 45=5×9，∴ 根据整除“性质 2”可知5︱ 1993 x ，9︱ 1993 ， xy y ∴ y 可取 0 或 5。
当 y =0 时，根据 9︱当 y =5 时，根据 9︱ 1993 x1993 x 及数的整除特征③可知 x =5； 及数的整除特征③可知 x =9。
奥数：数学思维训练导引五年级
目录第1讲 分数计算与比较大小 ....................................................................................................................... 1 第2讲 整除 ................................................................................................................................................... 5 第3讲 质数与合数 ....................................................................................................................................... 9 第4讲 包含与排除 ..................................................................................................................................... 13 第5讲 分数与循环小数 ............................................................................................................................. 17 第6讲 和差倍分问题 ................................................................................................................................. 21 第7讲 行程问题四 ..................................................................................................................................... 28 第8讲 直线形计算二 ................................................................................................................................. 32 第9讲 比较与估算 ..................................................................................................................................... 38 第10讲 几何计数 ....................................................................................................................................... 42 第11讲 约数与倍数 ................................................................................................................................... 46 第12讲 余数 ............................................................................................................................................... 49 第13讲 数字谜综合一 ............................................................................................................................... 52 第14讲 行程问题五 ................................................................................................................................... 56 第15讲 圆与扇形 ....................................................................................................................................... 61 第16讲 构造认证一 ................................................................................................................................... 66 第17讲 计算综合一 ................................................................................................................................... 71 第18讲 应用题拓展 ................................................................................................................................... 76 第19讲 工程问题 ....................................................................................................................................... 80 第20讲 直线形计算三 ............................................................................................................................... 85 第21讲 数字问题 ....................................................................................................................................... 89 第22讲 牛吃草问题与钟表问题 ............................................................................................................... 93 第23讲 计数综合二 ................................................................................................................................... 98 第24讲 抽屉原理二 (101)第1讲 分数计算与比较大小内容概述理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法等等。
五年级上册数学第三单元思维导
引言：数学思维导向教学是一种以培养学生数学思维能力为核心的教学方式，通过引导学生探索、发现、实践，激发他们对数学问题的思考和解决能力。
在五年级上册数学教学中，第三单元的思维导向内容尤为重要。
本文将围绕这一主题展开深入探讨，以帮助读者更好地理解并应用数学思维导向教学。
一、认识思维导向教学思维导向教学是一种重视培养学生解决问题能力的教学方法。
它注重激发学生的思考欲望，引导他们自主探索数学问题的解决思路，培养他们的逻辑推理和问题求解能力。
在五年级上册数学教学中，第三单元的思维导向内容主要围绕数学逻辑思维和问题解决能力展开，通过学习这一单元，学生将能够更好地理解和应用数学知识。
二、数学思维导向教学的重要性数学思维导向教学在五年级上册数学教学中具有重要意义。
它能够培养学生的探究精神和求知欲，激发他们对数学问题的兴趣和热情。
它能够提高学生的问题解决能力和逻辑思维能力，使他们能够更好地理解和运用数学知识。
另外，数学思维导向教学还能够帮助学生建立起扎实的数学基础，为他们今后的学习奠定良好的基础。
三、五年级上册数学第三单元的思维导向教学内容在五年级上册数学第三单元的思维导向教学中，内容主要涉及逻辑思维和问题解决能力的培养。
学生将通过学习解决实际问题来掌握数学知识，培养他们的分析问题和解决问题能力。
通过教师的引导和学生的自主探索，他们将能够学会用逻辑推理的方法解决数学问题，并在实际生活中灵活运用所学知识。
总结回顾：通过本文对五年级上册数学第三单元思维导向教学的深入探讨，读者可以更清晰地认识到思维导向教学的重要性以及它在数学教学中的应用。
也能够深刻理解第三单元内容的设计意图和教学目标，为学生提供了更好的学习体验。
在今后的教学实践中，我们应该更多地注重培养学生的数学思维能力，引导他们通过自主探索来解决数学问题，从而提高他们的学习效果和学习兴趣。
个人观点：作为一名数学教育工作者，我深信数学思维导向教学对学生的数学学习至关重要。
五年级数学思维训练导引（第1讲至第12讲）
五年级数学思维训练导引第1讲-----------第12讲第1讲 分数计算与比较大小内容概述理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法等等。
兴趣篇 1. 计算：⋅---++2001201211)2(;372003720372)1(2. 计算：⋅-+-43)1152413(118133. 计算：⋅÷+⨯÷-12111135)45141(4. 计算：.351762753165474⨯+⨯+⨯-⨯5. 计算：⋅+++9999888899999998889999988999896. 计算：⋅⨯⨯156113155)2(;124123403)1(7. 计算：⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯9876554321987658. 将下列分数由小到大排列起来：⋅2313,1915,2314,2413,19149. 比较下列分数的大小：⋅792032079)2(;409133)1(与与10. 比较下列分数的大小：⋅88887444432222111110)2(;199519949998)1(与与拓展篇 1. 计算： ).2072()318431326413(-⨯+++2. 计算： ⋅-÷⨯+311523)5311522(3. 要使算式71265) □7.0(412=⨯--成立，方框内应填入的数是多少？4. 计算：⋅⨯+⨯2524182571245. 计算：).13361111()1136119()936117()736115()536113()336111(⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-6. 计算：).761231(53)761531(23)531231(76-⨯-+⨯+-⨯7. 比较200420032005200520042006⨯⨯与的大小，并计算它们的差。
高思奥数导引小学五年级含详解答案第03讲：质数与合数
第3讲质数与合数内容概述：掌握质数与合数的概念；熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方法解决相关的整数问题；学会计算末尾零的个数。
典型问题：兴趣篇1.（1）如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？（2）如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？（3）如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？（第1届华罗庚金杯数学邀请赛决赛二试试题）2.有个人说：“任何7个连续数中一定有质数”。
请你举一个例子，说明这句话是错的。
3.请写出5个质数，使得它们正好构成一个公差为12的等差数列。
4.请把下面的数分解质因数：（1）160；（2）598；（3）211。
5..三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数。
请求出这三个数。
6.用一个两位数除330，结果正好能整除。
请写出所有可能的两位数。
7.三个连续自然数的乘积等于39270。
这三个连续自然数的和等于多少？⨯⨯⨯⨯⨯⨯的计算结果的末尾有几个连续的0？8.请问：算式12345159.请问：连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的0？拓展篇1.一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数。
2.9个连续的自然数中，最多有多少个质数？3.两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？4.请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660。
5.有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于140。
把所有这样的分数从小到大排列，其中第三个分数是多少？6.冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字5看成了8，由此得乘积为1104。
正确的乘积是多少？7.甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪。
三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10的自然数。
把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《华罗庚学校思维训练导引》五年级第三节
五年级上学期 第06讲 几何问题第06讲 格点与割补
【内容概述】
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线性的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。
通过恰当的分割与拼补进行计算的面积问题。
【例题分析】
1、 如下图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？
分析：颜色相同的点，面积形同，将其进行互相转换，拼成一个正方形。
详解：正方形２个，转换而成的正方形４个，蓝点的正方形面积是2
1正方形面积 ∴用粗线围成的图形的面积是２＋４＋０.５＝６.５平方厘米
评注：本题主要考察相同面积图形的转换。
2、 如下图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 面积是多少平方厘米？
分析：同上。
答案：２０平方厘米
3、 如图（1）是常见的一副七巧板的图，图（２）使用这副七巧板的７块板拼成的小房子图，那么，第２块板的面积等于整副图的面积的几分之几？第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的几分之几？
（１） （２） （３）
分析： 颜色相同的点，面积形同
详解：图中每个红色点的面积等于整副图的面积的161 ∴第２块板的面积等于整副图中两个红色点的图形面积和，即整个图形的
81。
同理，第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的16
3。
4、 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面做小正三角形，得到一个六角形。
再将这个六角形的各个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到如图所是的图形。
如果这个图形的面积是１，那么原来的正三角形面积是多少？
分析：要计算的是红色三角形的面积，通过连线计算出红色三角形中所含的紫色三角形的个数占原图形中紫色三角形个数的几分之几。
详解：红色三角形中所含的紫色三角形（１＋１７）×９÷２＝８１
原图形中紫色三角形个数８１＋２×３＋１１×３＝１２０
原来的正三角形面积是40
27112081=⨯
5、 如图，正六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积是６平方厘米，Ｍ是ＡＢ中点，Ｎ是ＣＤ中点，Ｐ
是ＥＦ中点。
问：三角形ＭＮＰ的面积是多少平方厘米？
分析：通过连线很容易看清面积相同的图形
详解：原图中小正方形的个数是12, 三角形ＭＮＰ中小正方形的个数是4.5
∴三角形ＭＮＰ的面积是=⨯612
5.4２.２５平方厘米
6、 把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面
积相等的小三角形。
已知下图（１）中阴影部分的面积是２９４平方分米，那么，图（２）中的阴影部分的面积是多少平房分米？
（１）（２）
详解：图一中三角形个数等于(1+9)×5÷2=25,阴影部分三角形个数是12
从而求出原三角形面积294÷12×25=612.5平方分米
图一中三角形个数等于(1+13)×7÷2=49,阴影部分三角形个数是16
从而求出阴影部分三角形面积612.5÷49×16=200平方分米
7、下图是５×５的方格纸，小方格的面积是１平方厘米，小方格的顶点称为格点。
请你在
图上选７个格点，要求选出的点中任意３点都不在同一条直线上，并且使这７个点用直线连接后所围成的面积尽可能大。
那么所围成的面积是多少平方厘米？
详解：如图所示各点
所围成的面积等于５×５－1.5=23.5平方厘米
评注：本题关键是使７个点用直线连接后所围成的面积尽可能大，则每两个点相连所截去的面积尽可能小。
8、在如图中，三角形ＡＢＣ和ＤＥＦ是两个完全相同的等腰直角三角形，其中ＤＦ长９厘
米，ＣＦ长３厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
详解：如图所示，红线将阴影部分分为面积相等的两个梯形。
∵ＤＦ=９，ＣＦ=３
∴梯形的高BG为（9－3）÷2=3 下底OG=EG=3+3=6 上底=CF=3
∴阴影部分的面积=(3+6)×3÷2×2=27平方厘米
评注：本题关键是将阴影部分转化为较熟悉的图形面积进行计算。
9、如图，在ＡＢＣＤ长方形中，Ｏ是长方形的中心，ＢＣ长２０厘米，ＡＢ长１２厘米，
ＤＥ＝４ＡＥ，ＣＦ＝３ＤＦ，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
分析：阴影部分的面积等于三角形ADC 的面积减去三角形AOE 、三角形COF 和三角形EDF 的面积。
详解：∵ＢＣ=２０厘米，ＡＢ=１２厘米，ＤＥ＝４ＡＥ，ＣＦ＝３ＤＦ
∴AE=4厘米,DE=16厘米,DF=3厘米,CF=9厘米
三角形AOE 的高等于21AB=6厘米, 三角形COF 的高等于2
1AD=10厘米 ∴三角形ADC 的面积=12012202
1=⨯⨯平方厘米 三角形AOE 的面积=12642
1=⨯⨯平方厘米 三角形COF 的面积=451092
1=⨯⨯平方厘米 三角形EDF 的面积=2431621=⨯⨯平方厘米 ∴阴影部分的面积=120－12－45－24=39平方厘米
10、如图，大正方形的边长为１０厘米。
连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三角形分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？
分析：将小正方形内的阴影部分向外翻折，可知阴影部分是大正方形与小正方形的差，即达正方形面积的一半。
详解：阴影部分面积=5010102
1=⨯⨯平方厘米 评注：本题关键是找面积形同的部分进行等量替换，进而使图形简化。
11、如图，ＡＢＣＤ是边长为８厘米的正方形，梯形ＡＥＢＤ的对角线相交于Ｏ，三角形 ＡＯＥ的面积比三角形ＢＯＤ的面积小１６平方厘米，则梯形ＡＥＢＤ的面积是多少平方厘米？
分析：三角形ＡＯＥ的面积比三角形ＢＯＤ的面积小１６平方厘米，则三角形ADE 的面积比三角形BAD 的面积小１６平方厘米,从而求出三角形AOD 的面积,三角形AED 、三角形AEB 等底等高，面积相等。
详解：三角形BAD 的面积=32882
1=⨯⨯平方厘米 ∴三角形AED 的面积=32－16=16平方厘米=三角形AEB 的面积
∴梯形ＡＥＢＤ的面积=S △AED +S △AEB －S △AOE +S △BOD
=S △AED +S △AEB +16
=16+16+16
=48平方厘米
评注：本题虽然不能直接找出计算梯形面积的各个条件，但通过拼凑、等量代换同样可以得出。
12、如图，ＡＢＣＤ是长方形，长ＡＤ的等于７．２厘米，宽ＡＢ等于５厘米，ＣＤＥＦ是平行四边形。
如果ＢＨ的长是３厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？
分析：阴影部分的面积等于平行四边形面积减去三角形面积
详解：BH=3,BC=7.2则CH=4.2
∴平行四边形面积=DC ×h=AB ×AD=5×7.2=36平方厘米
三角形面积=5.102.452
121=⨯⨯=⨯⨯CH DC 平方厘米 ∴阴影部分面积=36－10.5=25.5平方厘米
13、如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少？
分析：如图所示延长线，可知四边形面积等于大三角形面积减去小三角形面积，而小三角形是一个等边直角三角形。
详解：大三角形面积=5.24772
1=⨯⨯ 小三角形面积=5.4332
1=⨯⨯ ∴四边形面积=24.5－4.5=20
14、图中是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”。
梯形的上底长1.5米，A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为3
1米，那么图中阴影部分的面积是多少平方米？
分析：将AB 延长，则阴影部分的面积等于整个图形的面积减去一个三角形和一个小梯形的面积。
详解：整个图形面积=1×1+5.0)5.11(21⨯+⨯=8
13平方米 三角形面积=8
3)5.01(5.021=+⨯⨯平方米 小梯形面积=24
135.0)]5.01()311[(21=⨯++-⨯平方米 ∴阴影部分面积=24
17241383813=--平方米 15、从一块正方形木板锯下宽为
21米的木条以后，剩下的面积是1865平方米。
问锯下的木条面积是多少平方米？
详解：剩下的面积是18
65平方米，其长和宽相差21米，通过拼凑得出： 613351865⨯= 而3
521613=- ∴正方形的边长为613米 ∴锯下的木条面积=21×613=12
111213=平方米。