空间点、直线、平面之间的位置关系 PPT
4. 异面直线所成的角 如果a，b是两条异面直线，那么经过空间任意一点O， 作直线a′∥a，b′∥b，直线a′和b′所成的____________叫 做锐异角面(或直直线角a，) b所成的角．
基础达标
1在. (平必面修α2内P2”2练为习__2_改A_∈_编_l_)，用__l符⊂__a号__表_．示“点A在直线l上，直线l
2. 空间两条直线的位置关系
有且只有一个 在同一个平面内
3. 平行直线的公理及等角定理 (1)公理4：平行于同一条直线的两条直线___互__相__平_．行 (2) 等 角 定 理 ： 如 果 一 个 角 的 两 边 和 另 一 个 角 的 两 边 _分__别__平__行__并__且__方__向__相__同____，那么这两个角_相__等_____．
4. (必修2P27习题7改编)如果a，b是两条异面直线，点A，B ∈a，点C，D∈b，则AC与BD的位置关系是__异__面____．
解析：若AC与BD共面，则点A，B，C，D共面，则 AB与CD共面，即直线a，b共面，与题意矛盾，故AC 与BD异面．
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，设AB的中点为M，DD1 的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角的大小为 ___9_0_°___．
公理3：经过__不__在__同__一__直__线__上__的__三__点__，有且只有一个平面． 推论1：经过__一__条__直__线__和__这__条__直__线__外__一__点____，有且只有一个
平面． 推论2：经过__两__条__相__交__直__线____，有且只有一个平面． 推论3：经过__两__条__平__行__直__线____，有且只有一个平面．
分析：根据公理及其推论来作出判断．
解：由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以① ②均错；根据两条平行直线确定一个平面知③是正确；四 个点可能不共面，所以四边形不一定是平面图形，故④错； 在平面中，⑤这个结论是正确的，但是在空间中，一条直 线和两平行线中的一条相交，与另一条可能相交，也可能 异面，故⑤错；两组对边相等的四边形不一定是平面图形， 故⑥错．综上，只有③是正确的．
第二节 空间点、直线、平面之间的 位置关系
基础梳理
1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的__两__点__在一个平面内，那么 这条直线上__所__有__的__点__都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其 他公共点，这些公共点的集合是 __经__过__这__个__公__共__点__的__一__条__直__线____．
解析：如图，延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为 平行四边形，∠DA1B或其邻补角就是异面直线BA1与 AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形， ∴∠DA1B=60°，故填60°.
变式4－1 如图，已知平面α，β，γ两两相交有三条交线a，b，c， 若a∩b＝P，证明直线c也过P点.
证明：∵a∩b=P，∴P∈a，P∈b.
又b∩γ=a，a∩γ=b，则a⊂b， b⊂a， 则P∈a，P∈b，又a∩b=c，
∴P∈c.
链接高考
(2010·全 国 ) 直 三 棱 柱 ABCA1B1C1 中 ， 若 ∠BAC ＝ 90° ， AB ＝ AC ＝ AA1 ， 则 异 面 直 线 BA1 与 AC1 所 成 的 角 等 于 ______6__0．° 知识准备：1.知道异面直线所成角的定义；2.能够通过 平移直线的办法将异面直线所成的角转化成平面角．
解析：如图，取AA1中点P，连结 PB，PN，则NP与BC平行且相等， 则四边形NPBC为平行四边形，从 而PB∥NC，易证在正方形AA1B1B 中PB⊥B1M，则 NC⊥B1M，故异 面直线B1M与CN所成的角为90°.
经典例题
题型一 点线面的位置关系 【例1】 下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③梯形是平面图形； ④四边形是平面图形； ⑤一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑥两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号)
题型四 三线共点问题 【例4】 如图所示，在四面体ABCD中，E、G分别是 BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有 D F ＝ D H
FC HA
＝ 1 ，求证：EF、GH、BD交于一点O.
4
分析：先证明GH，EF交于一点O， 再证明O也在BD上.
证明：∵E、G分别BC、AB的中点，
∴EG ∵ DF
∴HG
1 2
AC，∴EF
HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
变式2－1
已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是
AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，
且C F
CB
＝CC
G D
＝
2 3
，判断四边形EFGH的形状．
解：如图，因为E，H分别是AB，
AD的中点，所以EH∥BD，且
EH= 12
FC
∴HF1 2AC.来自DH=H A=1 ，
4
1 5
AC，
∴EG∥HF，但EG≠HF，
∴E、F、H、G四点共面且四边形EFHG是梯形，
∴EF与GH相交于点O，
∴O∈GH，O∈EF.
又GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD， ∴O∈平面ABD，O∈平面BCD. 又平面ABD∩平面BCD=BD， ∴O∈BD， 即EF、GH、BD交于一点O.
3. (必修2P27练习6改编)设直线a，b，c，则下列命题正确 的是____①__②__(只填序号)． ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a∥b，c⊥a，则c⊥b； ③若a⊥c，b⊥c则a∥b； ④若a⊥c，b⊥c，则a⊥b.
解析：由平行公理知①是正确的；在②中c⊥a即c与a所成 角是90°， 由a∥b得b与c所成角也是90°，即有c⊥b，故② 正确；③在平面中是正确的，但在空间中是不正确的；④ 中可能为相交、异面或平行，故不正确．
BD，又
C C
F B
=
C C
G D
=2
，所以
FG∥BD且FG=2 BD，所3以
3
EH∥GF，EH¹FG，所以四边形
EFGH为梯形．
题型三 三点共线问题 【例3】 如图，在四面体ABCD中，作截面PQR.若PQ、 RQ、RP和CB、DB、DC的延长线分别交于M、N、K， 求证：M、N、K三点共线．
分析：依据公理2证明． 证明：∵M∈PQ， PQ⊂平面PQR， ∴M∈平面PQR. ∵M∈BC，BC⊂平面BCD， ∴M∈平面BCD. ∴M是平面PQR与平面BCD的公共点．
2. 下列命题中不正确的是_①__②__③___(只填序号)． ①三点确定一个平面；②两条直线确定一个平面；③两 两相交的三条直线一定在同一平面内；④过同一点的三 条直线不一定在同一平面内．
解析：根据公理3及其推论知①②不正确，③中两两相交 的三条直线若交于三点则一定在同一平面内，若交于一点 则可能在同一平面内，也可能不在同一平面内，④是正确 的．
题型二 共面问题
【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD 四 条 边 AB ， BC ， CD ， DA 的 中 点 ， 求 证 ： 四 边 形 EFGH是平行四边形．
分析：依据公理3的推论来证明．
证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF
1
2 AC.
∵H，G分别是AD，CD的中点，
基础达标
1在. (平必面修α2内P2”2练为习__2_改A_∈_编_l_)，用__l符⊂__a号__表_．示“点A在直线l上，直线l
2. 空间两条直线的位置关系
有且只有一个 在同一个平面内
3. 平行直线的公理及等角定理 (1)公理4：平行于同一条直线的两条直线___互__相__平_．行 (2) 等 角 定 理 ： 如 果 一 个 角 的 两 边 和 另 一 个 角 的 两 边 _分__别__平__行__并__且__方__向__相__同____，那么这两个角_相__等_____．
4. (必修2P27习题7改编)如果a，b是两条异面直线，点A，B ∈a，点C，D∈b，则AC与BD的位置关系是__异__面____．
解析：若AC与BD共面，则点A，B，C，D共面，则 AB与CD共面，即直线a，b共面，与题意矛盾，故AC 与BD异面．
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，设AB的中点为M，DD1 的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角的大小为 ___9_0_°___．
公理3：经过__不__在__同__一__直__线__上__的__三__点__，有且只有一个平面． 推论1：经过__一__条__直__线__和__这__条__直__线__外__一__点____，有且只有一个
平面． 推论2：经过__两__条__相__交__直__线____，有且只有一个平面． 推论3：经过__两__条__平__行__直__线____，有且只有一个平面．
分析：根据公理及其推论来作出判断．
解：由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以① ②均错；根据两条平行直线确定一个平面知③是正确；四 个点可能不共面，所以四边形不一定是平面图形，故④错； 在平面中，⑤这个结论是正确的，但是在空间中，一条直 线和两平行线中的一条相交，与另一条可能相交，也可能 异面，故⑤错；两组对边相等的四边形不一定是平面图形， 故⑥错．综上，只有③是正确的．
第二节 空间点、直线、平面之间的 位置关系
基础梳理
1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的__两__点__在一个平面内，那么 这条直线上__所__有__的__点__都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其 他公共点，这些公共点的集合是 __经__过__这__个__公__共__点__的__一__条__直__线____．
解析：如图，延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为 平行四边形，∠DA1B或其邻补角就是异面直线BA1与 AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形， ∴∠DA1B=60°，故填60°.
变式4－1 如图，已知平面α，β，γ两两相交有三条交线a，b，c， 若a∩b＝P，证明直线c也过P点.
证明：∵a∩b=P，∴P∈a，P∈b.
又b∩γ=a，a∩γ=b，则a⊂b， b⊂a， 则P∈a，P∈b，又a∩b=c，
∴P∈c.
链接高考
(2010·全 国 ) 直 三 棱 柱 ABCA1B1C1 中 ， 若 ∠BAC ＝ 90° ， AB ＝ AC ＝ AA1 ， 则 异 面 直 线 BA1 与 AC1 所 成 的 角 等 于 ______6__0．° 知识准备：1.知道异面直线所成角的定义；2.能够通过 平移直线的办法将异面直线所成的角转化成平面角．
解析：如图，取AA1中点P，连结 PB，PN，则NP与BC平行且相等， 则四边形NPBC为平行四边形，从 而PB∥NC，易证在正方形AA1B1B 中PB⊥B1M，则 NC⊥B1M，故异 面直线B1M与CN所成的角为90°.
经典例题
题型一 点线面的位置关系 【例1】 下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③梯形是平面图形； ④四边形是平面图形； ⑤一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑥两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号)
题型四 三线共点问题 【例4】 如图所示，在四面体ABCD中，E、G分别是 BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有 D F ＝ D H
FC HA
＝ 1 ，求证：EF、GH、BD交于一点O.
4
分析：先证明GH，EF交于一点O， 再证明O也在BD上.
证明：∵E、G分别BC、AB的中点，
∴EG ∵ DF
∴HG
1 2
AC，∴EF
HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
变式2－1
已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是
AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，
且C F
CB
＝CC
G D
＝
2 3
，判断四边形EFGH的形状．
解：如图，因为E，H分别是AB，
AD的中点，所以EH∥BD，且
EH= 12
FC
∴HF1 2AC.来自DH=H A=1 ，
4
1 5
AC，
∴EG∥HF，但EG≠HF，
∴E、F、H、G四点共面且四边形EFHG是梯形，
∴EF与GH相交于点O，
∴O∈GH，O∈EF.
又GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD， ∴O∈平面ABD，O∈平面BCD. 又平面ABD∩平面BCD=BD， ∴O∈BD， 即EF、GH、BD交于一点O.
3. (必修2P27练习6改编)设直线a，b，c，则下列命题正确 的是____①__②__(只填序号)． ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a∥b，c⊥a，则c⊥b； ③若a⊥c，b⊥c则a∥b； ④若a⊥c，b⊥c，则a⊥b.
解析：由平行公理知①是正确的；在②中c⊥a即c与a所成 角是90°， 由a∥b得b与c所成角也是90°，即有c⊥b，故② 正确；③在平面中是正确的，但在空间中是不正确的；④ 中可能为相交、异面或平行，故不正确．
BD，又
C C
F B
=
C C
G D
=2
，所以
FG∥BD且FG=2 BD，所3以
3
EH∥GF，EH¹FG，所以四边形
EFGH为梯形．
题型三 三点共线问题 【例3】 如图，在四面体ABCD中，作截面PQR.若PQ、 RQ、RP和CB、DB、DC的延长线分别交于M、N、K， 求证：M、N、K三点共线．
分析：依据公理2证明． 证明：∵M∈PQ， PQ⊂平面PQR， ∴M∈平面PQR. ∵M∈BC，BC⊂平面BCD， ∴M∈平面BCD. ∴M是平面PQR与平面BCD的公共点．
2. 下列命题中不正确的是_①__②__③___(只填序号)． ①三点确定一个平面；②两条直线确定一个平面；③两 两相交的三条直线一定在同一平面内；④过同一点的三 条直线不一定在同一平面内．
解析：根据公理3及其推论知①②不正确，③中两两相交 的三条直线若交于三点则一定在同一平面内，若交于一点 则可能在同一平面内，也可能不在同一平面内，④是正确 的．
题型二 共面问题
【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD 四 条 边 AB ， BC ， CD ， DA 的 中 点 ， 求 证 ： 四 边 形 EFGH是平行四边形．
分析：依据公理3的推论来证明．
证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF
1
2 AC.
∵H，G分别是AD，CD的中点，
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高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》827PPT课件
11
1
1
1
已知正方体ABCD A B C D的棱长为a， 111 1
求平面A BC 和平面ACD 的距离。
1
1
1
三.两个平面相交
提问： 请同学们观察下面两个图形，有何不同？
提问： 我们如何刻画直线和平面的这种相对位置关系呢？
1.半平面
平面内的一条直线把这 个平面分成两部分，
其中的每一部分都叫做 半平面。
AB AD 1, AA 2,点P为DD的中点。
1
1
求证：（1）平面PAC 平面BDD ; 1
(2)平面PB C 平面PAC. 11
★★★7.平面与平面垂直的性质 定理
文字语言
如果两个平面互相垂直 ，
那么在其中一个平面内
垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。
图形语言
符号语言
AB
AB l
(4)斜高相等
★注意：正棱锥中的有关计算：
都在高、侧棱、侧棱在 底面上的射影（底面正 多变形的半径）、
斜高、斜高在底面上的 射影底面正多边形的边心距 、
底面边的一半，所组成 的三棱锥P OEC的四个直角三角形 中进行。
正棱台
正棱锥被平行于底面的 平面所截，
截面和底面之间的部分 ，叫做正棱台。
底面正多变形的半径
那么它也垂直于另一个 平面。
图形语言
符号语言
∥ m
m
5.定理
文字语言 垂直于同一条直线的两 个平面平行。
图形语言
符号语言
a a
∥
6.定理
文字语言 平行于同一个平面的两 个平面平行
图形语言
符号语言
∥ ∥
∥
7.两个平行平面间的距离
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质...》686PPT课件
所以 AP∥平面 BDM. 因为平面 PAHG∩平面 BDM＝GH， AP⊂平面 PAHG，所以 AP∥GH.
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．已知 b 是平面 α 外的一条直线，下列条件中，可得出 b∥α 的是( ) A．b 与 α 内的一条直线不相交 B．b 与 α 内的两条直线不相交 C．b 与 α 内的无数条直线不相交 D．b 与 α 内的所有直线不相交 解析：选 D．若 b 与 α 内的所有直线不相交，即 b 与 α 无公 共点，故 b∥α.
栏目 导引
考点贯通
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
抓高考命题的“形”与“神” 线面平行的判定
强化练 1：如图，在三棱台 DEF-ABC 中，
AB＝2DE，点 G，H 分别为 AC，BC 的中点．求
证：BD∥平面 FGH. [证明] 如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.
在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，
当 点 M 在 何 位 置 时 ， BM ∥ 平 面 AEF?
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解] 如图 1，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OM ⊥AC 于点 M.
图1
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
∵侧棱 A1A⊥底面 ABC， ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC， ∴OM⊥底面 ABC. 又∵EC＝2FB， ∴OM∥FB∥ ═12EC， ∴四边形 OMBF 为矩形， ∴BM∥OF， 又∵OF⊂平面 AEF，BM⊄平面 AEF. 故 BM∥平面 AEF，此时点 M 为 AC 的中点．
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．已知 b 是平面 α 外的一条直线，下列条件中，可得出 b∥α 的是( ) A．b 与 α 内的一条直线不相交 B．b 与 α 内的两条直线不相交 C．b 与 α 内的无数条直线不相交 D．b 与 α 内的所有直线不相交 解析：选 D．若 b 与 α 内的所有直线不相交，即 b 与 α 无公 共点，故 b∥α.
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考点贯通
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
抓高考命题的“形”与“神” 线面平行的判定
强化练 1：如图，在三棱台 DEF-ABC 中，
AB＝2DE，点 G，H 分别为 AC，BC 的中点．求
证：BD∥平面 FGH. [证明] 如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.
在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，
当 点 M 在 何 位 置 时 ， BM ∥ 平 面 AEF?
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解] 如图 1，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OM ⊥AC 于点 M.
图1
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
∵侧棱 A1A⊥底面 ABC， ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC， ∴OM⊥底面 ABC. 又∵EC＝2FB， ∴OM∥FB∥ ═12EC， ∴四边形 OMBF 为矩形， ∴BM∥OF， 又∵OF⊂平面 AEF，BM⊄平面 AEF. 故 BM∥平面 AEF，此时点 M 为 AC 的中点．
点线面ppt课件
点的应用
在设计中，点可以用来表 示位置、大小、形状等， 也可以用来构成图案、装 饰元素等。
线的的设计应用
线的定义
线是连接两个或多个点的路径，是构成图形的基 本元素之一。
线的类型
线可以分为直线、曲线、虚线等类型，每种类型 的线都有其独特的视觉效果和用途。
线的应用
在设计中，线可以用来表示方向、位置、大小等 ，也可以用来构成图案、装饰元素等。
线的艺术表现
1 2 3
线的类型
线可以分为直线、曲线和折线等类型。直线给人 一种刚毅、有力、静态的感觉，曲线则显得更加 柔软、流畅、动态。
线的粗细
线的粗细可以影响其视觉效果。粗线具有强烈的 存在感，能够突出主题，细线则更加精致、细腻 。
线的方向
线的方向可以传达出不同的情感和意象。水平线 给人一种平静、稳定的感觉，垂直线则显得更加 高大、威严。
表示力量、权威或尊严。
线的粗细
线的粗细可以用来传达不同的含 义。例如，较粗的线可以表示强 调或突出，而较细的线则可以表
示次要或辅助信息。
线的颜色
线的颜色可以用来传达不同的情 感或含义。例如，绿色可以表示 生机、希望或和平，而黑色则可
以表示严肃、神秘或死亡。
面的视觉表达
面的形状
面的形状可以用来传达不同的含 义。例如，圆形可以表示完美、 团结或和谐，而方形则可以表示 稳定、可靠或权威。
面的设计应用
面的定义
面是由一组点或线构成的封闭区域，是构成图形的基本元素之一 。
面的类型
面可以分为平面、曲面等类型，每种类型的面都有其独特的视觉效 果和用途。
面的应用
在设计中，面可以用来表示形状、大小、位置等，也可以用来构成 图案、装饰元素等。
人教A版数学必修第二册8_4_2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( B )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
α与β相交于过 点M的一条直线
4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是___平__行____． β
α a
考点精讲
1．异面直线
(1)定义：不同在___任__何__一__个__平__面__内____的两条直线． (2)异面直线的画法：
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节目标
学习目标
核心素养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解
两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直 1.通过空间中两条直线的位置关
线．(重点、难点)
系的学习，培养直观想象的核
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图 心素养．
形语言和符号语言表示．(重点、易错点)
本课小结
判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断； (2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果； (3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，到达准确的判断位置关系的目的．
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根 据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么 α∥β是否正确？
[提示] 不正确．如图，平面α内与平面β平行的 直线有无数条a1，a2，…，an，但此时α不平行于 β，而α∩β＝l.
2．圆柱的两个底面的位置关系是( B )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
3．下列命题：
空间点、直线、平面之间的位置关系PPT演示文稿
广东省普宁市城东中学高一课件
——必修二第二章
《点、线、面之间的位置关系》
—直线与平面垂直的判定与性质
教材分析 学情分析 教法学法
教学流程 教学设计
教学评价
一、教 材 分 析
1、教学内容
“直线和平面的垂直”是高一数学教材必修二第二章 第四节内容，分为4课时完成，本节课为第1课时。
2、教材的地位与作用
四、教 学 流 程
从直线和平面垂直的实际背景引入课题
构建直线与平面垂直的概念
探究和证明直线和平面垂直的判定定理
直线与平面垂直判定定理的应用
归纳小结与布置作业
五、教学过程的设计
想 一 想 ？
现实生活中，我 们经常见到一些直 线和平面垂直的形 象，你能否举出一 些实例吗？
观察书脊和各页与桌面交线的位置关系 如何？
将书脊抽象为直线，桌面抽象为平 面，线面垂直定义如何叙述？
A
B
定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个
平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线 和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫 做直线的垂面.交点叫做垂足.
l
直线和平面垂直，记作
l
A
画直线和平面垂直时， 通常要把直线画成和表示 平面的平行四边形的一边 垂直。
换个角度再想，要使这种线面垂 直的关来自不变，至少要保留多少 页才行？
猜 想
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面. A
B
C
D
已知：m , n , m n Bl m, l n 求证：l 思路：设g为平面内的任意直线，只需 证l g即可
l
B m n
——必修二第二章
《点、线、面之间的位置关系》
—直线与平面垂直的判定与性质
教材分析 学情分析 教法学法
教学流程 教学设计
教学评价
一、教 材 分 析
1、教学内容
“直线和平面的垂直”是高一数学教材必修二第二章 第四节内容，分为4课时完成，本节课为第1课时。
2、教材的地位与作用
四、教 学 流 程
从直线和平面垂直的实际背景引入课题
构建直线与平面垂直的概念
探究和证明直线和平面垂直的判定定理
直线与平面垂直判定定理的应用
归纳小结与布置作业
五、教学过程的设计
想 一 想 ？
现实生活中，我 们经常见到一些直 线和平面垂直的形 象，你能否举出一 些实例吗？
观察书脊和各页与桌面交线的位置关系 如何？
将书脊抽象为直线，桌面抽象为平 面，线面垂直定义如何叙述？
A
B
定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个
平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线 和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫 做直线的垂面.交点叫做垂足.
l
直线和平面垂直，记作
l
A
画直线和平面垂直时， 通常要把直线画成和表示 平面的平行四边形的一边 垂直。
换个角度再想，要使这种线面垂 直的关来自不变，至少要保留多少 页才行？
猜 想
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面. A
B
C
D
已知：m , n , m n Bl m, l n 求证：l 思路：设g为平面内的任意直线，只需 证l g即可
l
B m n
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
空间点直线平面之间的位置关系(课堂PPT)
a
α
BAlLeabharlann βα alP
β b
(1)
(2)
解：1） A，B，=l，a=A，a=B
2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P
12
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系
13
两条直线的位置关系
思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？ 空间中的两条直线呢？
b
C
a
14
1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何？
10
平面的基本性质
思考3：如果两个平面有一个公共点， 那么还会有其它公共点吗？如果有这些
公共点有什么特征？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P , 且 P I l , 且 P l
作用：判断两个平面位
Pl
置关系的基本依据
11
例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系.
直线AB 和直线HG
23
平行直线
观察
如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,
BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行
吗?
D'
C'
A'
B'
D A
答：平行
C B
24
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
空间中的平行线具有传递性
D
C
F
答：四边形EFGH是菱形
A
因为EF 1 AC，EH 1 BD
2
2
H E
课件2：空间点、直线、平面之间的位置关系
与 M′重合，从而 FE 与 DC 相交证得四点共面．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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【尝试解答】 (1)由已知 FG＝GA，FH＝HD，
高
自
主 落 实
得 GH 綊12AD.
考 体 验 ·
·
明
固 基 础
又 BC 綊12AD，∴GH 綊 BC，
考 情
∴四边形 BCHG 是平行四边形．
CC1共面的棱的条数为(
)
体 验 ·
· 固
A．3
B．4
C．5
D．6
明 考
基
情
础
【解析】 与AB平行，CC1相交的直线是CD、C1D1；
与CC1平行、AB相交的直线是BB1，AA1；与AB、CC1都相
交的直线是BC，故选C.
典
例 探
【答案】 C
课 后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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4．(2013·宁波模拟)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则
考 情
础 且 CG＝13BC，CH＝13DC.求证：
(1)E、F、G、H 四点共面；
(2)三直线 FH、EG、AC 共点．
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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【证明】 (1)连接 中点，
落
∴EF∥BD.
考 体 验
实
· 固 基
又∵CG＝13BC，CH＝13DC，
空间点直线平面之间的位置关系平面(课堂PPT)
6
1、平面的概念
桌面 黑板面 平静的水面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
7
2.平面的画法
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、 黑板面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
8
2.平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形， 用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长 等于其邻边长的2倍．
B
A C
唯一性
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面， 可以记成“平面ABC”．
作用：确定平面的主要依据．
25
公理2
经过不在同一条直线上的三点,有且只有
一个平面。
B
A
C
A,B,C不共 线 A,B,C确定一平面 新疆 王新敞 奎屯
三条推论: 1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面 3.经过两条平行直线,有且只有一个平面
直线c过点M,N
(3)平面过平行直线m,l,平面过直线l和平面外一点P
18
5.平面公理
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平 面α内？
19
平面公理
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在 平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边 缘就落在了桌面上．
D C
A
B
D C
A
B
这条公共直线B’C’叫做这两个 平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交 线．
另一方面，相邻两个平面有一 个公共点，如平面A’B’C’D’和平 面BB’C’C有一个公共点B’，经过 点B有且只有一条过该点的公共 直线B’C’.
1、平面的概念
桌面 黑板面 平静的水面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
7
2.平面的画法
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、 黑板面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
8
2.平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形， 用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长 等于其邻边长的2倍．
B
A C
唯一性
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面， 可以记成“平面ABC”．
作用：确定平面的主要依据．
25
公理2
经过不在同一条直线上的三点,有且只有
一个平面。
B
A
C
A,B,C不共 线 A,B,C确定一平面 新疆 王新敞 奎屯
三条推论: 1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面 3.经过两条平行直线,有且只有一个平面
直线c过点M,N
(3)平面过平行直线m,l,平面过直线l和平面外一点P
18
5.平面公理
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平 面α内？
19
平面公理
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在 平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边 缘就落在了桌面上．
D C
A
B
D C
A
B
这条公共直线B’C’叫做这两个 平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交 线．
另一方面，相邻两个平面有一 个公共点，如平面A’B’C’D’和平 面BB’C’C有一个公共点B’，经过 点B有且只有一条过该点的公共 直线B’C’.
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
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41
课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
返 首 页
5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
返 首 页
后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
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25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
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43
1.下列结论中正确的是 ( )