勾股定理复习提纲
勾股定理全章综合复习
〔图1〕 〔图2〕例4：航海问题〔1〕一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．〔2〕〔XX 〕如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上。
该货船航行30分钟到达B 处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。
东北30︒60︒B A CM D〔图1〕例5：网格问题〔1〕如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．3〔2〕如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 〔 〕A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对〔3〕如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )A ． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5B C A A BC DCB A〔图1〕 〔图2〕 〔图3〕例6：图形问题〔1〕如图1，求该四边形的面积〔2〕如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为．431213B C DA〔图1〕 〔图2〕〔3〕将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值X 围。
4〕已知直角三角形的三边长为6、8、x ，则以x 为边的正方形的面积为_____.〔5〕如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要____米.5米 3米〔6〕如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.〔7〕“交通管理条例〞规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？拓展提高： 例1.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA例2．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋BF 2＝EF 2．观测点小汽车 小汽车 B C A例3．如图，两个村庄A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1千米，BD ＝3千米，CD ＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W ．提高练习：1、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD 的长为__________．3、如图，长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在D / 处，则重叠部分△AFC 的面积是多少？A B CDEFG A BCD F D /4．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．6、如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？7、如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．〔1〕用含x的代数式表示AC+CE的长；并求AC+CE的最小值；〔2〕若x+y=12，x＞0，y＞0请仿照〔1〕中的规律，运用构图法求出代数式的最小值．8、梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =4S2，则CD=〔〕A. 2.5ABB. 3ABC. 3.5ABD. 4AB9、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是_________ ．10、如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．〔1〕写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；〔2〕如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．11、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．。
勾股定理总复习
勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b abc c b a E D C B A边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，勾三股四弦五：3，4，55·12记一生：5，12，13连续的偶数：6，8，10企鹅是二百五 7，24，25八月十五在一起：8，15，17还有2组，不是勾股数，不过经常使用，也需要记住。
勾股定理复习纲要
第十八章 勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。
（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）4.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）例1 直角三角形两直角边长为5，12，求斜边上的高.分析 利用勾股定理先求斜边，再用面积公式求斜边的高.解 设直角边a=5,b=12,斜边为c ，斜边高为h,∵a 2+b 2=c 2.∴c=22125+=13.又21ab=21ch ∴h=136013125=⨯=c ab . 例2 直角三角形三边长为连续偶数，求三边的长.分析 三边长为连续偶数，可分别设为a,a+2,a+4，显然a+4为斜边，再利用勾股定理列方程.注意a 为偶数.若求出的结论中a 可以取奇数值，则舍去.解 设三边长为a,a+2,a+4(a 为偶数且a ＞0),斜边最长为a+4.由勾股定理a 2+(a+2)2=(a+4)2 a 2-4a-12=0.(a-6)(a+2)=0 ∵a ＞0 ∴a+2＞0,a-6=0 a=6.三边为6,8,10.例3 等腰三角形顶角为120°,求底与腰的比.(图3.16-1)分析 合理的作高，将斜三角形的问题转化到直角三角形中，再利用勾股定理来解决问题是一种常用的方法，也是本题的基本思路.解 △ABC 中，AB=AC ∠BAC=120°,求ABBC .∵AB=AC ，∠BAC=120° ∴∠B=∠C=30°，作AD ⊥BC 于D ，∴BD=DC.Rt △ABD中，∠B=30°，∠ADB=90°, ∴AD=21AB. BD 2=AB 2-AD 2=AB 2-41AB 2=43AB 2 ∴BD=23AB,BC=3AB,∴3=AB BC . 例4 已知CD 为Rt △ABC 斜边上的高(图3.16-2)，求证(1)CD 2=AD ·DB(2)AC 2=AD ·AB (3)BC 2=BD ·AB分析 本题中有三个直角三角形Rt △ACD,Rt △BCD ，Rt △ABC,合理利用这些直角三角形，用勾股定理建立边的关系，再利用代数变形得结论是本题的基本思路.证 (1)∵CD 为Rt △ABC 斜边上的高.∴△ACD ，△BCD 均为直角三角形∴AD 2+CD 2=AC 2 ① BD 2+CD 2=BC 2 ②①+② AD 2+BD 2+2CD 2=AC 2+BC 2=AB 2=(AD+DB)2=AD 2+BD 2+2AD ·BD.∴2CD 2=2AD ·BD ∴CD 2=AD ·BD.(2)∵AC 2=AD 2+CD 2 由(1)CD 2=AD ·DB.∴AC 2=AD 2+AD ·DB=AD(AD+DB)=AD ·AB.(3)BC 2=BD 2+CD 2 由(1)CD 2=AD ·DB∴BC 2=BD 2+AD ·BD=(BD+AD)·BD=AB ·BD.注:本例的三个结论又称“射影定理”例5：已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
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第十八章 勾股定理 复习 定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
1、勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Rt △ABC 中，设∠C =90°，∠C 、∠A 、∠B 所对的边分别为c 、a 、b ，则c 、a 、b 满足关系a²+b²=c²。
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和，避免出现这样的错误：在△ABC 中，∠B =90°，则a²+b²=c²。
2、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明，这是最常见的一种方法。
验证如下：现有四块直角边长为a 、b ，斜边长为c 的直角三角形纸板，请从中取出若干块拼图，证明勾股定理。
证法1：∵S 大正方形＝4S 三角形＋S 小正方形∴c ²＝4×12ab ＋(b −a)²∴c ²＝a ²＋b ²证法2：∵S 梯形＝2S 小三角形＋S 大三角形∴12(a +b )2=2×12ab +12c²∴a²+b²=c²证法3：∵S 大正方形＝4S 三角形＋S 小正方形∴(a +b )2=4×12ab +c²∴a²+b²=c²3、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有：(1)已知直角三角形的任两边，求第三边问题；(2)证明三角形中的某些线段的平方关系； ａ ａ ｂ ｂｃ ｃ(3)作长为无理数的线段.注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。
勾股定理全章知识点总结大全
勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股数cba HG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
勾股定理复习提纲
BADCC勾股定理复习提纲一、基础知识回顾1、勾股定理的内容是_____________________________________________________.2、“对顶角相等”的逆命题是________________________.它是一个____________命题.3、“两直线平行，同旁内角互补。
”的逆命题是___________________________________.4、勾股定理的逆命题是______________________________________________________.二、复习练习1、已知直角三角形的两条边长分别为5和12，求第三边的长。
(本题所给条件不确定，要分类讨论)3、在△ABC 中，AB=13，AC=29，且BC 边上的高是5，求BC 的长。
4、在Rt △ABC 中，已知其两直角边长a=1,b=3.哪么斜边c 的长为（ ） A 2 B 10 C 8 D 8或105、如图：在公路AB 旁有一座山，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停车站A 距离为300米，与公路上的另一停车站B 距离为400米，且CA ⊥CB ， 为了安全起见，爆破点C 周围半径250米范围内不得进入。
问在爆 破时公路AB 段是否因有危险而要暂时封闭？ 三、考点链接考点1 用勾股定理求直角三角形的边。
例1 直角三角形的两直角边分别为3和4，则连接这两直角边的的中点的线段长为（ ）A 1.5B 2C 2.5D 5 考点2 作表示简单无理数的点 例2 在数轴上作出表示10的点考点3 探讨勾股定理的一些证明方法。
例3 美国第20任总统加菲尔德利用右图证明了勾股定理，请你尝试该证明过程 考点4 勾股定理的应用。
例4 王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地。
此时王 英同学距离A 地（ ） A 503米 B 100米 C 150米D 1003米考点5 勾股定理的逆定理的应用。
勾股定理数学知识提纲
勾股定理数学知识提纲数学是中考重要科目，想要学好数学，首先要找到学习的窍门，这样可以让我们事半功倍。
下面小编给大家分享一些勾股定理数学知识提纲，希望能够帮助大家，欢迎阅读!勾股定理数学知识提纲勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法.关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的.下面的证法1是欧几里得证法.证法1 如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2.下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和.过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE.因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS).而所以SAEML=b2. ①同理可证SBLMD=a2. ②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2.证法2 如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB.由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB为边长是c的正方形.显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即化简得 a2+b2=c2.证法3 如图2-18.在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H.由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=SABDE+2S△ABC，①另一方面S=SACGF+SHGKD+2S△ABC. ②由①，②所以 c2=a2+b2.关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名.利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论.定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍.证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示.作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②又BD2=(BC-CD)2，③②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD=AC2+BC2-2BC?CD，即c2=a2+b2-2a?CD. ④(2)设角C为钝角，如图2-20所示.过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影.在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥又BD2=(BC+CD)2，⑦将⑥，⑦代入⑤得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD=AC2+BC2+2BC?CD，即c2=a2+b2+2a?cd. ⑧综合④，⑧就是我们所需要的结论特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2.因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广).由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°;(2)若c2(3)若c2>a2+b2，则∠C>90°.勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.例1 如图2-21所示.已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G.求证：AB2=2FG2.分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE.证因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE 的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以AF=AB. ①在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2. ②由①，②得AB2=2FG2.说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了.例2 如图2-22所示.AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2).证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内).由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM?MD. ①在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC?MD. ②①+②，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2). ③如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式.推论△ABC的中线长公式：说明三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外).利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式.①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长.例3 如图2-23所示.求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.分析如图2-23所示.对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题.证设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P.由例2，在△BDQ中，即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2. ①在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以将②，③代入①得=4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.说明本题是例2的应用.善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法.下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用.例4 如图2-24所示.已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点.求证：AD2+BE2=AB2+DE2.分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手.证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍.如图2-25所示.设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线.求证：4(AM2+BN2)=5AB2.分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况――即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁.证连接MN，利用例4的结论，我们有AM2+BN2=AB2+MN2，所以4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2. ①由于M，N是BC，AC的中点，所以所以4MN2=AB2. ②由①，②4(AM2+BN2)=5AB2.说明在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示.MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S.由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行.又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN.初中数学要怎么学1、课前预习预习是学习的第一步，通过预习可以更好地听老师讲课，提高学习效率。
勾股定理学习提纲
一、勾股定理勾股定理:(又叫勾股弦定理)如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么2c22+ba=即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
西方许多国家称之为毕达哥拉斯定理。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。
《周髀算经》约成书于公元前二世纪，是我国最古老的天文学著作。
《周髀算经》原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。
例如公元前1700年的一块泥板上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。
问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法。
证明1：（课本证法）画两个边长为(a+b)的正方形，并如图分割，个分割出四个以a 、b 为直角边，c 为斜边的直角三角形。
这两个正方形全等，故面积相等。
左图与右图共八个直角三角形都全等，左右四个三角形面积之和必相等。
从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。
左图剩下两个正方形，分别以a 、b 为边，面积为22b a +。
右图剩下以c 为边的正方形，面积为2c 。
于是a 2+b 2=c 2。
证明2：（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴∴ 222c b a =+. baba b ab ac b a c b a c b a c ba cb ac ba b acG D ACBFE H()22214ca b ab =-+⨯证法3：（1876年美国总统证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c . 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴∴ 222c b a =+勾股数：满足勾股定理的一组整数。
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B
A 期末复习---勾股定理
一、基础知识回顾
1、勾股定理的内容是_____________________________________________________.
2、经过_____________________________________________________的命题叫做定理.
3、“对顶角相等”的逆命题是________________________.它是一个____________命题.
4、“两直线平行，同旁内角互补。
”的逆命题是___________________________________.
5、______________________________________________________叫互户逆命题。
6、勾股定理的逆命题是______________________________________________________. 二、复习练习
1、已知直角三角形的两条边长分别为5和12，求第三边的长。
(本题所给条件不确定，要分类讨论)
2、在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AB=4。
则BC=
3、在△ABC 中，AB=13，AC=29，且BC 边上的高是5，求BC 的长。
4、在Rt △ABC 中，已知其两直角边长a=1,b=3.哪么斜边c 的长为（ ） A 2 B 10 C 8 D 8或10
5、如图：在公路AB 旁有一座山，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停车站A 距离为300米，与公路上的另一停车站B 距离为400米，且CA ⊥为了安全起见，爆破点C 周围半径250破时公路AB 段是否因有危险而要暂时封闭？
6.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X= 。
7.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC= .
8.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长 为16 cm,那么第三边上的高为 .
9.在∆ ABC 中, C=90°,若AC=6,CB=8,则∆ABC 面积为 _____,斜边上的高为______. 10、下列命题中不成立是（ ）
A 、三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
B 、三个角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形
C 、三边长度之比为1：3：2的三角形是直角三角形
D 、三边长度之比为2：2：2的三角形是直角三角 三、考点链接
考点1 用勾股定理求直角三角形的边。
D
C C 例1 直角三角形的两直角边分别为3和4，则连接这两直角边的的中点的线段长为（ ）
A 1.5
B 2
C 2.5
D 5 考点2 作表示简单无理数的点
例2 在数轴上作出表示10的点
考点3 探讨勾股定理的一些证明方法。
例3 美国第20任总统加菲尔德利用右图证明了勾股
定理，请你尝试该证明过程
考点4 勾股定理的应用。
例4 王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100米到 B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地。
此时王 英同学距离A 地（ ）
A 503米
B 100米
C 150米
D 1003米
考点5 勾股定理的逆定理的应用。
例5 如图是一块四边形的土地AB ⊥BC ，量得AB=3米， BC=4米，CD=13米，AD=12米。
求这块土地的面积。
四：专题一：折叠中的计算问题
１、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求: (1)CF (2)EC.
练习：如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，
b
b
a b
C
A B D
使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=8cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
专题二：几何体中最值问题
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm
和 1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的
食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
拓展1：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短
路程又是多少呢？
五、作业
A B
D
1、某人在B处通过平面镜看见在B正上方3米的物体A，已知物体A到平面镜的距离为2米。
求B到物体A的像A′的距离是多少？
2、如图C、D分别是一个湖的南北两端A、B正东方向的两个村庄。
CD=6千米，且D位于C的北偏东30°方向。
求湖的南北两端AB的距离
3、一个10米长的梯子斜靠在墙上。
梯子的底端离墙角6米，若梯子的顶端A下滑x米后，底端B也向后滑动x米。
求x的值。
4. 如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6,求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.。