运算方法和运算器

第二章运算方法与运算器

2.1.1 数值数据在机内的表示

在选择计算机的数值数的表示方式时，需要考虑以下几个因素：(1)要表示的数的类型(小数、整数、实数和复数)；(2)可能遇到的数值范围；(3)数值精确度；(4)数据存储和处理所需要的硬件代价。

2.1.1.1 定点数与浮点数

计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。

1. 定点数表示法(fixed-point)

所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。

定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。

2. 浮点数表示法(floating-point number)

与科学计数法相似。

2.1.1.2 数的机器码表示

1. 原码表示法

原码表示法是一种比较直观的表示方法，其符号位表示该数的符号，正用“0”表示，负用“1”表示；而数值部分仍保留着其真值的特征。

2. 补码表示法

由于计算机的运算受一定字长的限制，属于有模运算，所以，在计算机中可以使用补码进行计算。在定点小数机器中数最大不超过1，也就是负的小数对“1”的补码是等价的。但实际上，负数的符号位还有一个“1”，要把它看成数的一部分，所以要对2求补码，也就是以2为模数。

3. 反码表示方法

反码表示法中，符号的表示法与原码相同。正数的反码与正数的原码形式相同；负数的反码符号位为1，数值部分通过将负数原码的数值部分各位取反(0变1，1变0)得到。

4. 移码表示法

移码通常用于表示浮点数的阶码。

2.1.2 非数值数据在机内的表示

计算机中数据的概念是广义的，机内除了有数值的信息之外，还有数字、字母、通用符号、控制符号等字符信息有逻辑信息、图形、图像、语音等信息，这些信息进入计算机都转变成0、1表示的编码，所以称为非数值数据。

2.1.2.1 字符的表示方法

字符主要指数字、字母、通用符号、控制符号等，在机内它们都被变换成计算机能够识别的十进制编码形式。这些字符编码方式有很多种，国际上广泛采用的是美国国家信息交换标准代码(American

Standard Code for Information Interchange)，简称ASCII 码。

2.1.2.2 汉字的表示方法

1. 汉字的输入码

目前，计算机一般是使用西文标准键盘输入的，为了能直接使用西文标准键盘输入汉字，必须给汉字设计相应的输入编码方法。其编码方案有很多种，主要的分为三类：数字编码、拼音码和字形编码。

2. 汉字的内码

3. 汉字字形码

2.2.1 补码加法运算

补码加法的公式是：

[ x ]补+ [ y ]补= [ x + y ]补( mod 2 )

含义是：两个数的补码之和等于两个数之和的补码。

2.2.2 补码减法运算

[x-y]补=[x]补-[y]补=[x]补+[-y]补( mod 2 )

2.2.3 溢出概念及检测方法

在计算机中，若采用定点小数，数的表示范围为|x|＜1，如果出现运算结果超出数的表示范围的现象，就称为溢出。在采用定点整数的情况下，由于机器字长一定，所以能表示的数据范围也是有限的，仍存在溢出问题。产生溢出会丢失有效数字，结果将是错误的，因此，必须解决溢出的判断问题，当计算过程中出现溢出时，能及时处理。

两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为正溢。而两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为负溢。

为了判断“溢出”是否发生，可采用两种检测方法。

1．变形补码操作检测方法

2．单符号位操作检测方法

2.2.4 基本的二进制加法/减法器

重点介绍一位全加器(FA)。

2.3.1 原码一位乘法。

在定点计算机中，两个原码表示的数相乘的运算规则是：乘积的符号位由两数的符号按异或运算得到，而乘积的数值部分则是两个正数相乘之积。设n位被乘数和乘数用定点小数表示(定点整数也同样适用)

被乘数[x]原= xf .x0 x1 x2 …xn

乘数[y]原= yf .y0 y1 y2 …yn

则

乘积[ z ]原= ( xf⊕yf ) . (0. x0 x1 x2 …xn)(0 . y1 y2 …yn)

式中，xf为被乘数符号，yf为乘数符号。

乘积符号的运算法则是：同号相乘为正，异号相乘为负。由于被乘数和乘数和符号组合只有四种情况(xf yf = 00，01，10，11),因此积的符号可按“异或”(按位加)运算得到。

数值部分的运算方法与普通的十进制小数乘法相类似，不过对于用二进制表达的数来说，其乘法规则更为简单一些：从乘法y的最低位开始，若这一位为“1”，则将被乘数x写下；若这一位为“0”，则写下全0。然后再对乘数y的高一位进行的乘法运算，其规则同上，不过

这一位乘数的权与最低位乘数的权不一样，因此被乘数x要左移一位。依次类推，直到乘数各位乘完为止，最后将它们统统加起来，便得到最后乘积z 。

2.3.2 补码一位乘法

原码乘法的主要问题是符号位不能参加运算，单独用一个异或门产生乘积的符号位。故自然提出能否让符号数字化后也参加乘法运算，补码乘法就可以实现符号位直接参加运算。

2.4.1 原码一位除法

两个原码表示的数相除时，商的符号由两数的符号按位相加求得，商的数值部分由两数的数值部分相除求得。

设有n位定点小数(定点整数也同样适用)：

被除数x，其原码为[x]原= xf . x1 x2 …xn

除数y，其原码为[y]原= yf . y1 y2 …yn

设商为q = x/y，其原码为[q]原= ( xf⊕yf ). ( x1 x2 …xn / y1 y2 …yn )

商的符号运算qf= xf⊕yf 与原码乘法一样，用模2

求和得到。商的数值部分的运算，实质上是两正数求商的运算。根据我们所熟知的十进制除法运算方法，很容易得到二进制数的除法运算方法，所不同的只是在二进制中，商的每一位不是“1”就是“0”，其运算法则更简单一些。

1．恢复余数法

事实上，机器的运算过程和人毕竟不同，人会心算，一看就知道够不够减。但机器却不会心算，必须先做减法，若余数为正，才知道够减；若余数为负，才知道不够减。不够减时必须恢复原来的余数，以便再继续往下运算，这种方法称为恢复余数法。要恢复原来的余数，只要当前的余数加上除数即可。

2．加减交替法

对恢复余数法来说，由于要恢复余数，使除法进行过程的步数不固定，因此控制比较复杂。实际上常用不恢复余数法，又称加减交替法。其特点是运算过程中如出现不够减，则不必恢复余数，根据余数符号，可以继续往下运算，因此步数固定，控制简单。

原码加减交替法的规则是：当余数为正时，商“1”，余数左移一位减除数；当余数为负