中考二轮复习题型三：填空压轴题之几何图形多解问题-(数学)AlAKll

题型三 填空压轴之几何图形多解问题1. 已知正方形 ABCD 的边长为4 .‘2,如果P 是正方形对角线 BD 上一点，满足△ ABPCBP,若厶PCB 为直角三角形，则 BP 的长为 __________ .2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8, AD = 6, E 为AB 边上一点，将△ BEC 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，当△ AEF 为直角三角形时，BE = ___________ .第2题图 第4题图3. 在矩形ABCD 中，AB = 4, BC = 6,若点P 在AD 边上，连接 PB 、PC ,A BPC 是以PB 为腰的等腰 三角形，贝U PB 的长为 ________4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4, BC = 3，点P 、Q 分别为直线 AB 、BC 上的点，满足 PD 丄PQ ，则 当厶PDQ 为等腰三角形时，AP 的长为 ___________ .25. 已知△ ABC 中，tanB = 2, BC = 6,过点A 作BC 边上的高，垂足为点 D ，且满足 BD : CD = 2 : 1,3 则厶ABC 面积的所有可能值为 _________ .6. 如图，有一张面积为10的三角形纸片，其中一边 AB 为4,把它剪开两次拼成一个矩形 （无缝隙、无 重叠），且矩形的一边与 AB 平行，则矩形的周长为 __________7. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4, AD = 8, MN 为对角线BD 的垂直平分线，以 BD 为底边作等腰三 角形BPD ，使得点P 落在直线 MN 上，且PD = 5,贝U AP= ___________ .8. ___________________________________________ 在Rt △ ABC 中，/ A = 90° AB = AC =迪+ 2, D 是边AC 上的动点，满足 BD 的垂直平分线交 BC 于点丘，若厶CDE 为直角三角形，则 BE 的长为 .9. 如图，在四边形 ABCD 中，/ A =Z ABC = 90° AD = 1 , BC = 3, E 是边CD 的中点，连接 BE 并延 长交AD 的延长线于点F ，若△ BCD 是等腰三角形，则四边形 BDFC 的面积为第6题图第10题图C1H第9题图10. _________________________________________________________________________________________ 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6, AD = 2/3, E 是AB 边上一点，AE = 2, F 是直线 CD 上一动点, 将厶AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A :当点E 、A '、C 三点在一条直线上时，DF 的长度为 _______________________________ 已知在Rt △ ABC 中，斜边AB = 5, BC = 3,以点A 为旋转中心，旋转这个三角形至△ ABC 的位置,参考答案.4或8【解析】由题可知：ABPCBP ,「.点P 一定处于正方形对角线 BD 上，二共存在两种情况使△ PBC 为直角三角形， ⑴如解图①，当CP 丄PB 时，有PC 2 + PB 2= BC 2又CBP = 45 °二PB = PC , ••• BP = 4;⑵如解图②，当 P 点与D 点重合时厶PBC 为直角三角形，BP = '2BC = 8.I) (: /XP) C r --------- 71 rr ------------A/li J 1B1U 11*3 2..第1题解图2 3或6【解析】 如解图①，当/ AFE = 90°时，设BE = x ,贝U EF = x , AE = 8 — x , FC = BC = 6,由勾股 定理得 AC = AB 2 + BC 2= 10,「. AF = 10— 6= 4,在 Rt A AEF 中，42+ x 2= (8 — x)2，解得 x = 3,「. BE = 3; 如解图②，当/ AEF = 90°时，四边形BCFE 是正方形，BE = BC = 6•综上所述，BE = 3或6.11.那么当点 C 落在直线AB 上时，BB =12. △ ABC 中，AB = 4, BC = 6,/ B = 60°将厶ABC 沿射线 BC 方向平移得到△ ABC ',使得B C = 4, 连接A 0,则厶A B C 的周长为13.如图, 沿EF 折叠平行四边形, ABCD 中，BA = BC ,AD = CD , / A =/ C = 90° / ADC = 30。

•将纸片先沿直线 BD 对折, 再将对折后的纸片从一个顶点出发的直 线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形, 则CD 的长为15.如图，在 Rt △ ABC 中，/ B = 90° BC = 2AB = 8,点 D ,E 分别是边BC , AC 的中点，连接DE ,将厶EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，当△ EDC 旋转到A , D , E 三点共线时，线段BD 的长为在?ABCD 中，/ A = 60° AB = 3，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点,使CD 落在直线AD 的长为14.定义: 第15题图13. 5或6【解析】 如解图①，当PB = PC 时，点P 是BC 的中垂线与 AD 的交点，贝U AP = DP = qAD = 3, 在Rt △ ABP 中，由勾股定理可得 PB = 'AP 3 4 + AB 2= ；32 + 42= 5;如解图②，当 PB = BC = 6时，△ BPC 也 是以PB 为腰的等腰三角形•综上所述， PB 的长度为5或6.4r 1)1 卩1)Z△L91国恋第3题解图4. 1或7 【解析】•/△ PDQ 是等腰三角形，.••分三种情况：①如解图①，若点 P 在线段AB 上，/ DPQ =90° ••• PD = PQ ，/ APD + Z BPQ = 90° ：•在矩形 ABCD 中，/ A =Z B = 90° /-Z APD +Z ADP = 90° •••/ADP = Z BPQ , •△ DAP ◎△ PBQ(AAS)，•/ PB = AD = 3，•/ AP = 4- 3= 1;②如解图②，若点 P 在线 段AB 的延长线上，PQ 交CB 的延长线于点 Q , PD = PQ ,同理可证厶 ADP BPQ ,/ AD = PB ，•/ AP = AB + AD = 3+ 4= 7;③当P 在线段BA 的延长线上时，显然不成立，故 AP 的长为1或7.图① 圏②第5题解图6. 13或14【解析】分为两种情况：①如解图①，沿MN 剪开，再沿CQ 剪开(CD 丄AB 于点D , MN ABC 的中位线，CD 交MN 于点Q)，将△ CQN 放在△ BFN 的位置上，△ CQM放在△ AEM 的位置上，由三角形1 1面积公式得 10 = 2 X 4X CD ,解得 CD = 5，: MN ABC 的中位线，• CQ = DQ = ?CD = 2.5, /矩形 AEFB的周长为(2.5 + 4) X 2 = 13;②如解图②，沿NQ 、MT 剪开(N 、M 分别为AC 、BC 中点，EQ 丄BA 于点Q , FT 丄AB 于点T , CD 丄AB 于点D),将厶AQN 放在△ CEN 的位置上，△ BTM 放在△ CFM 的位置上，由三角 形面积公式得10 =寸X 4X CD ，解得CD = 5,T N 为AC 中点，CD // EQ ,/ AQ = DQ ，同理BT = DT ，/QT =»B = 2,/矩形EQTF 的周长为(5 + 2)X 2 = 14.故答案为13或14.35. 8 或 24 【解析】 如解图①，•/ BC = 6, BD : CD = 2 : 1, • BD = 4,在 Rt △ ABD 中，AD = BD tanB = 4X -48 1 18 =3，/ ABC = 2BC AD = 2x6X 3= 8;如解图②，T BC = 6, BD : CD = 2 : 1，•/ BD = 12,在 Rt △ ABD 中， 3 2 2 32 1 1AD = BD tanB = 12 X 3= 8，•/ S ^ABC =尹C AD = °X 6 X 8= 24. ABC 面积的所有可能值为 8 或 24.7. 3或.41【解析】 如解图，连接 BM , DN , AN ,得到四边形 BNDM 为菱形，二BM = MD , AM + MD = AM + BM = AD = 8,在 Rt A ABM 中，设 AM = x ,贝U BM = 8 — x , AB = 4，根据勾股定理得： x 2+ 42= (8 — x)2, 解得x = 3, ••• AM = 3, MD = 5•当PB 和PD 在BD 上方时，点P 与点 M 重合，贝U AP = AM = 3;当PB 和PD 在BD 下方时，点 P 与点N 重合，由对称性得到 PD = ND = BN = MD = 5,在Rt △ ABN 中，AB = 4, BN = 5, 根据勾股定理得： AN = J AB 2+ BN 2= -'42 + 52= 41，此时AP = AN = 41.综上所述，AP 的长为3或.41.8.2 + 1或2【解析】 ①当/ CED = 90°时，点D 与点A 重合，E 是BC 的中点，如解图①.T BC = , 2AB =;2( '2 + 2) =2( 2 + 1), • BE = *BC = 2x 2( '2+ 1) = 2+ 1;②当/ CDE = 90°时，如解图②，K A = 90° AB = AC ，• / C = 45 ° CDE 是等腰直角三角形，• CE = ：' 2DE ，易得 BE = DE ,• CE = ：2BE ,「. CE + BE = ,；2BE + BE = 2( 2+ 1). • BE = 2.综上所述，若△ CDE 为直角三角形，则 BE 的长为,;2 + 1或2.图L图②第8题解图9. 6車或 3诵 【解析】I/ A =Z ABC = 90°, • BC // AD ，•/ CBE =Z DFE ，•丄 BEC =Z FED , CE = DE , •△ BEC ^A FED(AAS) , • BE = FE ，•四边形 BDFC 是平行四边形，①当 BC = BD = 3 时，在 Rt A ABD 中，AB = '32 — 12= 2 2 , S 四边形BDFC = 3X 2承=6承；②当BC = CD = 3时，如解图，过点 C 作CG 丄AF 于 点 G ,则四边形 ABCG 是矩形，• AG = BC = 3, • DG = AG — AD = 3— 1 = 2,在 Rt A CDG 中，CG = ：32— 22 =；5,AS 四边形BDFC = 3 X 鞭=3筋：③BD = CD 时，BC 边上的中线应与 BC 垂直，从而 BC = 2AD = 2,矛 盾，此时不成立•故四边形 BDFC 面积为6 '2或3 5.r " G F第9题解图10. 6+ 2 .7或6 — 2 7【解析】如解图①，F 是线段CD 上一动点，由翻折可知，/ FEA = / FEA , •/ CD // AB ,•••/ CFE = / AEF , •/ CFE =/ CEF , • CE = CF ，在 Rt △ BCE 中，EC = /BC 2 + EB 2= ； (2 3) 2 + 42 = 2 '7 ,• CF = CE = 2.'7,v AB = CD = 6,「. DF = CD — CF = 6— 2 ：7;如解图②，F 是 DC 延长线上一点， 由翻折可知，/ FEA = / FEA , T CD //AB , •/ CFE =/ BEF , •/ CFE = / CEF , • CE =CF ，在 Rt △ BCE 中，EC = ,'BC 2+ EB 2 = ，- (2 3) 2+ 42= 2 7, • CF = CE = 2 7, T AB = CD = 6, • DF = CD + CF = 6+ 2 '7, 故答案为6+ 2,7或6— 2 7.图② 第10题解图11..10或3、10【解析】 ①如解图①，当点 C'在线段AB 上时，T AB = 5, BC = 3，•在Rt △ ABC 中，AC = AB 2— BC 2= 4,T 以点 A 为旋转中心，旋转这个三角形至△AB C 勺位置，• AC = 4, BC = 1, B' CiiC第7题解图图①“ R 4 Q I) T H圉①田：2=3,「. BB'=[ ( B' C2+( BC ) 2= 10 ;②如解图②，当点C'在线段BA的延长线上时，T AB = 5, BC=3,「. AC = 4,•••以点 A 为旋转中心，旋转这个三角形至△ AB C 勺位置，• BC = 9, B' C3,「. BB =」：（BC ） 2+（ B ' C' 2 = 3 10.故长 BB 长为 10或 3 10.11题解图12. 12或8+ 4 3【解析】当点B'在线段BC 上，如解图①，：△ • AB =A' A4, BC = B '於 6,Z ABC = Z A ' B ' =C'60° •/ B ' C= 4,• △ A B'的周长为12;当点B'在线段BC 的延长线上，如解图②，平移得到厶 A B' ,'••• AB = A 圧 4，/ ABC =Z A B' €60° •/ B ，C = 4, • A A B'C B' C AF Z B' A',C1CH = A 'H 而/ A ' B'=C B ' Cf B ' A ； •/ B ' C € 30。