《创新设计》2022高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练：规范练4 Word版含解析
2022《创新设计》全国通用高考数学理科二轮专题复习 四周训练 第一周 星期一 习题
大题规范每天练（第一周）星期一 (三角与数列) 2022年____月____日1．三角学问(命题意图：考查三角函数式的恒等变换，三角函数的图象变换以及三角函数在闭区间上的值域等．)已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由于A ＞0，由题意知A ＝6.(2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6]． 2．数列学问(命题意图：考查数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题等．)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：当n ≥2时，S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜32.证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，S n －1－S n ＝2S n S n －1，1S n －1S n －1＝2，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝2n －1，∴S n ＝12n －1，∴当n ≥2时，1n S n ＝1n （2n －1）＜1n （2n －2）＝12·1n （n －1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n从而S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＜32－12n ＜32.。
2022创新设计浙江专用高考化学二轮专题复习练习：下篇 专题三 微题型十四 Word版含答案
[题型专练] 不定项选择1.在肯定条件下，取肯定量X 和Y 在恒容密闭容器中发生反应：a X(g)＋b Y(g) c M(g)＋d N(g) ΔH ＝Q kJ·mol －1，达到平衡时，M 的浓度与温度和容器容积的关系如图所示，下列推断正确的是( ) A ．a ＋b >c ＋d B ．Q <0C ．E 点X 的转化率>F 点X 的转化率D ．E 点的平衡常数<F 点的平衡常数解析 容器容积不变的状况下，随着温度的上升，M 的平衡浓度渐渐增大，说明平衡正向移动，正反应为吸热反应，故Q >0，B 项错误。
在同温度下，比较两条曲线上某两个点，比如就比较两个曲线的起点，可知当容器容积缩小到原来的三分之一时，M的平衡浓度没有增大到原来的三倍(0.6 mol·L －1)，而是0.5 mol·L－1，说明平衡逆向移动了，故a ＋b <c ＋d ，A 项错误。
由E 点到F 点，温度上升、压强减小，这两个转变条件均有利于平衡正向移动，故E 点X 的转化率<F 点X 的转化率，C 项错误。
对于吸热反应，温度越高，平衡常数越大，所以F 点的平衡常数确定大于E 点的平衡常数，D 项正确。
答案 D2．在体积为1 L 的恒容密闭容器中进行反应：2NO(g)＋2CO(g) N 2(g)＋2CO 2(g) ΔH ，反应过程中测定的部分数据见下表(表中t 1＜t 2)：反应时间/minn (NO)/moln (CO)/moln (N 2)/moln (CO 2)/mol0 2 1 0 0 t 1 － － － 0.4 t 2－0.6－－下列说法正确的是( )A ．0～t 1 min 内，v (N 2)＝0.2t 1 mol·L －1·min －1B ．若向平衡体系中充入少量O 2，平衡不移动C ．若上升温度时，NO 的转化率减小，则该反应的ΔH ＜0D ．保持其他条件不变，向平衡体系中再充入0.6 mol CO 和0.6 mol N 2，平衡向正反应方向移动解析 A 项，0～t 1 min 内，v (CO 2)＝0.4t 1mol·L －1·min －1，则v (N 2)＝0.2t 1mol·L －1·min －1，正确；B 项，O 2易与NO 发生反应，使NO 浓度减小，平衡向左移动，错误；C 项，上升温度，NO 的转化率减小，平衡向左移动，则正反应放热，正确；D 项，由表中数据得，t 1 min 时NO 、CO 、N 2的物质的量分别为1.6 mol 、0.6 mol 、0.2 mol ，而t 2 min 时，CO 的物质的量不变，说明在t 1 min 时反应已达平衡，则K ＝0.2×0.421.62×0.62，再充入0.6 mol CO 和0.6 mol N 2，Q c ＝0.8×0.421.62×1.22＝K ，平衡不移动，错误。
创新方案浙江新高考数学理二轮专题突破保分题专练卷(二)(含答案详析)
“4道”保分题专练卷(二)1．已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 解：(1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3 ＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1； 当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2. 2．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则P (A )＝2A 33A 55＝2×3！5！＝110. 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110. (2)由题意知随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝A 22A 44A 55＝2！×4！5！＝25，P (X ＝1)＝3A 22A 33A 55＝3×2！×3！5！＝310，P (X ＝2)＝2A 22A 33A 55＝2×2！×3！5！＝15，P (X ＝3)＝A 22A 33A 55＝2！×3！5！＝110.所以随机变量X 的分布列为： 从而有E (X )＝0×25＋1×310＋2×15＋3×110＝1，所以随机变量X 的数学期望为1.3.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝2AB ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是侧棱CC 1延长线上一点，EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线．(1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)当平面DAB 与平面CA 1B 1所成锐二面角的余弦值为2626时，求DC 1的长．解：(1)证明：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.又平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，平面A 1B 1C 1∩平面ABD ＝EF ， ∴EF ∥AB .∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，且∠BAC ＝90°，∴AB ⊥AA 1，AB ⊥AC .而AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1.又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .∴EF ⊥A 1C .(2)建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设C 1D ＝t (t ＞0)，则B (1,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,2＋t )，A 1(0,0,2)，B 1(1,0,2)． ∴11A B ＝(1,0,0)，1AC ＝(0,2，－2)．设平面CA 1B 1的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·11A B ＝0，n ·1AC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝1， ∴n ＝(0,1,1)． 同理可求得平面DAB 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，－2t ＋2. 由|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－2t ＋22×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋22＝2626， 得t ＝1或t ＝－23(舍去)． ∴DC 1＝1.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n a n . (1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝log 2n a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2c n c n ＋2的前n 项和为T n ，求满足T n ＜2521(n ∈N *)的n 的最大值． 解：(1)在S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12. 当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋2，∴a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1. ∵b n ＝2n a n ，∴b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，∴a n ＝n 2n . (2)∵c n ＝log 2n a n＝log 22n ＝n ， ∴2c n c n ＋2＝2n (n ＋2)＝1n －1n ＋2， ∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2. 由T n ＜2521，得1＋12－1n ＋1－1n ＋2＜2521， 即1n ＋1＋1n ＋2＞1342. 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2(n ∈N *)， 则f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2单调递减， ∵f (4)＝1130，f (5)＝1342， ∴n 的最大值为4.。
创新设计高考数学二轮复习浙江专用习题 大题规范练 星期一 第三周 含答案
星期一 (三角与数列) 2017年____月____日1.三角(命题意图：考查正弦定理、三角恒等变换及三角函数的最值(值域))(本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a＝cos C cos A .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的值域. 解 (1)由2b －c a ＝cos C cos A ，利用正弦定理可得2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3. (2)y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6 ＝3sin B ＋cos B＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. ∵B ＋C ＝2π3，0＜B ＜π2，∴π6＜B ＜π2，∴π3＜B ＋π6＜2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴y ∈(3，2]. 2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及数列的最值问题) (本小题满分15分)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70且a 1，a 2，a 6成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n ，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值.解 (1)设公差为d ，则有⎩⎨⎧7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6， 即⎩⎨⎧a 1＋3d ＝10，（a 1＋d ）2＝a 1（a 1＋5d ）⇒⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎨⎧a 1＝10，d ＝0(舍)， ∴a n ＝3n －2.(2)S n ＝n 2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2，∴b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n －1≥23n ·48n －1＝23， 当且仅当3n ＝48n ，即n ＝4时取“＝”号，数列{b n }的最小项是第4项，b 4＝23.。
《创新设计》2022高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练：专题三 数列3-2 Word版含解析
第2讲 数列求和及数列的综合应用(建议用时：60分钟) 一、选择题1．(2022·福建卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )． A ．8 B ．10 C ．12 D ．14解析 利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解．由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C. 答案 C2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n 为( )．A ．25B ．576C ．624D ．625解析 a n ＝1 n ＋n ＋1＝－( n －n ＋1)，前n 项和S n ＝－[(1－2)＋(2－3)＋…＋(nn ＋1)]＝n ＋1－1＝24，故n ＝624.故选C.答案 C3．(2021·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则 ( )．A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3，∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.答案 B4．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n } 的前n 项和S n ＝ ( )． A.n 24＋7n4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4D ．n 2＋n解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，解得d ＝12，故S n ＝2n ＋n (n －1)2×12＝n 24＋7n4. 答案 A5．(2021·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是 ( )．A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析 A ，B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立． 答案 C6．S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3…a n ，则使T n 取最小值的n 值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 设等比数列的公比为q ，故由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故T nT n －1＝a n ＝120×2n －1，易得当n ≤5时，T nT n －1<1，即T n <T n －1；当n ≥6时，T n >T n －1，据此数列单。
《创新设计》2022高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练：突破练2 Word版含解析
突破练(二)1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC→＝9，求a 的值．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12得 2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )， 即A ＝k π或A ＝π3＋k π，又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3.又由于b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c . ∵AB →·AC→＝bc cos A ＝12bc ＝9， ∴bc ＝18，∴cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1.∴a ＝3 2.2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点．(1)证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(2)若PD ∥平面EAC ，并且二面角B －AE －C 的大小为45°，求PD ∶AD 的值． (1)证明 由于PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，又ABCD 是菱形， ∴BD ⊥AC ，又BD ∩PD ＝D ，故AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面EAC . 所以平面EAC ⊥平面PBD .(2)解 连接OE ，由于PD ∥平面EAC ，所以PD ∥OE ，所以OE ⊥平面ABCD ，又O 是BD 的中点，故此时E 为PB 的中点，以点O 为坐标原点，射线OA ，OB ，OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz .设OB ＝m ，OE ＝h ，则OA ＝3m ，A ()3m ，0，0，B (0，m,0)，E (0,0，h )，AB→＝(－3m ，m,0)，BE →＝(0，－m ，h )，向量n 1＝(0,1,0)为平面AEC 的一个法向量，设平面ABE 的一个法向量n 2＝(x ，y ，z )则n 2·AB →＝0，且n 2·BE →＝0， 即－3mx ＋my ＝0且－my ＋hz ＝0. 取x ＝1，则y ＝3，z ＝3m h ， 则n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3，3m h ，。
创新设计高考数学二轮复习浙江专用习题 大题规范练 星期四 第二周 含答案
星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查函数的单调性及不等式恒成立问题，考查等价转化思想)(本小题满分15分)已知函数f (x )＝(3－a )x －2＋a －2ln x (a ∈R ).(1)若函数y ＝f (x )在区间(1，3)上单调，求a 的取值范围；(2)若函数g (x )＝f (x )－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3－a －2x ＝（3－a ）x －2x. 当a ≥3时，有f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(1，3)上单调递减；当a ＜3时，令f ′(x )＝0，得x ＝23－a，若函数y ＝f (x )在区间(1，3)上单调，则 23－a ≤1或23－a≥3，解得a ≤1或73≤a ＜3； 综上，a 的取值范围是(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，＋∞. (2)因为当x →0时，g (x )→＋∞，所以g (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g (x )＞0恒成立， 即对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a ＞2－2ln x x －1恒成立， 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则l ′(x )＝－2x （x －1）－2ln x （x －1）2＝2ln x ＋2x －2（x －1）2， 再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2（1－x ）x 2＜0， 故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )＞m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2＞0， 从而l ′(x )＞0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数， 所以l (x )＜l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2， 故要使a ＞2－2ln x x －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2.。
《创新设计》2022高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练：专题四 立体几何4-2 Word版含解析
第2讲空间中的平行与垂直(建议用时：60分钟)一、选择题1．在下列命题中，不是公理的是()．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析选项A是面面平行的性质定理．答案 A2．(2022·辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析法一若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，由于直线与平面垂直时，它垂直于平面内任始终线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错；法二如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．B项中，m⊥α，n⊂α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错．D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．答案 B3．(2021·丽水模拟)已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③解析过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再依据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.答案 A4．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中确定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β解析依据定理、性质、结论逐个推断．由于α⊥β，m⊂α⇒可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．答案 B5．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1 B．2 C．3 D．4解析①中m，n可能异面或相交，故不正确；②由于m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n 两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③由于m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线确定垂直，正确．故选B.答案 B6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线冲突，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.答案 D7．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H 必在()．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC的内部解析∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上，故选A.答案 A二、填空题8．设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出全部真命题的序号)．解析由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题；由线面平行的判定定理知，②为真命题；对于③，如图，α∩β＝l，a ⊂α，a⊥l，但不愿定有α⊥β，故③为假命题；对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题．综上所述，真命题的序号为①②.答案①②9．(2021·金华调研)下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出全部符合要求的图形序号)．。
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规范练四 解析几何问题
1．已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到直线l 1：3x ＋4y ＝0的距离为3
5. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (km ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点恰好在直线l 1上，求△OAB 的面积S 的最大值(其中O 为坐标原点)．
解 (1)由题意，得e ＝c a ＝12.∴右焦点(c,0)到直线3x ＋4y ＝0的距离为35，∴3c 5＝3
5，∴c ＝1，∴a ＝2.
∴椭圆的方程为x 2
4＋y
2
3＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 2：y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 24＋y 2
3＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，
因此x 1＋x 2＝－8km
4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.
∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝
6m
4k 2＋3
. ∴AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km
4k 2＋3，3m 4k 2
＋3， 又点M 在直线l 1上，得3×
－4km 4k 2＋3＋4×3m
4k 2＋3
＝0， ∴k ＝1，故x 1＋x 2＝－8m 7，x 1x 2＝4m 2－12
7，
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝4677－m 2，原点O 到AB 的距离为d ＝|m |2
＝2
2|m |，
∴S ＝237m 2(7－m 2)≤23
7×m 2＋(7－m 2)2
＝3，
当且仅当m 2＝7
2时取到等号，经检验此时Δ>0成立． 故△OAB 的面积S 的最大值为 3.
2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l ：x －y ＋2＝0与以原点为圆心， 以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝4，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，－1.
(1)解 ∵等轴双曲线离心率为2，
∴椭圆C 的离心率e ＝22.∴e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，
∴a 2＝2b 2.∵由x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，得 b ＝1，∴a 2
＝2.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)证明 ①若直线AB 的斜率不存在， 设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)． 由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0
＝4，得x 0＝－1
2.
此时AB 方程为x ＝－12，明显过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，－1.
②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ， 依题意m ≠±1.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，
得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 则x 1＋x 2＝－4km
1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2
.
由已知k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1
x 2＝4，
∴
kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1
x 2
＝4， 即2k ＋(m －1)x 1＋x 2
x 1x 2
＝4，。