专题四、解析几何、坐标系与参数方程
高考讲坐标系与参数方程课件理
考点三：运用坐标系解决实际问题
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总结词：能够运用坐标 系解决简单的实际问题 ，提高解决实际问题的 能力。
详细描述
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1. 能够运用坐标系解决 简单的实际问题，如位 移、速度、加速度等物 理量的表示和计算。
2. 能够运用坐标系解决 一些简单的几何问题， 如求两点之间的距离、 三角形面积等。
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考点二：参数方程的转化与求解
详细描述
2. 能够将普通方程转化为参数方 程，将参数方程转化为普通方程 ，并了解参数的物理意义。
总结词：了解和掌握参数方程的 基本概念和转化方法，能够求解 简单的参数方程。
1. 了解参数方程的基本概念和特 点，掌握参数方程与普通方程的 转化方法。
3. 掌握求解参数方程的方法，如 代入法、消元法等，能够求解简 单的参数方程。
它由一个原点和一组有序的坐标轴组成。
坐标系的分类
02 坐标系可分为直角坐标系、极坐标系和球面坐标系等
。
坐标系的表示方法
03
坐标系可以用图形、符号和公式等方式来表示。
坐标系的种类
直角坐标系
直角坐标系是二维平面上最常用的坐标系， 它由一个原点和两组互相垂直的坐标轴组成 。
极坐标系
极坐标系是用来描述在平面上的点和其到原点的距 离以及其与极轴的夹角的坐标系。
坐标系与参数方程的应用场景
坐标系广泛应用于各种科学领域，如物理学、化学、生物学、地理学等。在物理学中，坐标系可以描 述物体的位置和运动状态；在化学中，它可以描述分子的空间构型和原子间的相互作用；在地理学中 ，它可以描述地球上物体的位置和形态。
参数方程也被广泛应用于各种科学领域。例如，在物理学中，参数方程可以描述物体的运动轨迹和速 度变化；在化学中，它可以描述化学反应的进程和速率；在生物学中，它可以描述生物体的生长过程 和形态变化。
坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程知识点在数学中，坐标系与参数方程是两个重要且密切相关的概念。
坐标系是我们描述点的位置和相互关系的工具，而参数方程则是一种表示曲线或曲面的常用方法。
让我们来深入了解这两个知识点，它们的应用领域和一些实际问题的解决方法。
一、坐标系在平面几何学和空间几何学中，坐标系用于表示点的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一，由两条相互垂直的直线组成。
通常，水平直线被称为x轴，垂直直线被称为y轴。
任何点P都可以通过其与这两条轴的交点来表示，用一个有序数对(x, y)表示。
其中，x 称为横坐标，y称为纵坐标。
这种表示方法可以简化许多几何问题的求解，如计算两点之间的距离、判断点是否在某一区域内等。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，用于描述平面上的点。
与直角坐标系不同，它使用极径和极角来表示点的位置。
极径表示点到坐标原点的距离，极角则表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系下，点的坐标用一个有序数对(r, θ)表示。
这种坐标系在描述圆形运动、天文学等领域具有重要应用。
二、参数方程参数方程是一种常用的表示曲线或曲面的方法，它使用一个或多个参数来描述点的位置。
通常，参数方程将x和y（或x、y、z）用一个或多个参数t表示。
1. 二维参数方程对于二维参数方程，曲线上的点可以用参数t与x、y的关系表示。
例如，对于抛物线y = x^2，我们可以使用参数方程x = t和y = t^2来表示。
通过改变参数t的值，我们可以得到这条曲线上的各个点。
参数方程的优势在于它可以描述一些传统的直角坐标系难以表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
此外，参数方程还可以用于描述运动轨迹、弹道轨迹等。
2. 三维参数方程三维参数方程与二维参数方程类似，不同之处在于曲面上的点需要用参数t与x、y、z的关系表示。
例如，对于球体的参数方程x = r *sinθ * cosφ，y = r * sinθ * sinφ，z = r * cosθ，其中r、θ和φ是参数，描述了点与球心的关系。
“坐标系与参数方程”高考考查分析
“坐标系与参数方程”高考考查分析高考数学中，“坐标系与参数方程”是一个经常被考查的知识点。
这部分内容一般在高二下学期学习，主要是介绍平面直角坐标系的性质、参数方程的定义与应用等。
接下来，本文将对“坐标系与参数方程”这一知识点进行详细的考查分析。
一、知识点概要1.平面直角坐标系平面直角坐标系是描述平面点的一种方法，它由两个互相垂直的坐标轴组成。
我们通常称横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。
坐标系的原点是两个坐标轴的交点。
在平面直角坐标系中，除了原点之外的点，均可表示为一个有序数对(x，y)，称为点的坐标。
坐标系具有以下性质：1）两个点的距离公式：$\large\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$2）平行于x轴或y轴的直线称为坐标轴上的直线；直线不与坐标轴平行或垂直则称为斜直线。
对于一般方程$ax+by+c=0$的直线，称其为隐式方程，也可以转化为$y=kx+b$的斜截式方程。
反之，斜截式方程可转化为隐式方程。
坐标系中，平面内任意两点坐标已知，就可确定它们所在的直线，反之，也可以通过直线方程，求出相应的点的坐标。
3）圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
4）图形的相似性：在坐标系中，若两个图形中点的相对位置关系保持不变，则称这两个图形相似。
相似性质可以用来求解坐标变换等问题。
2.参数方程参数方程是一类常见的函数定义方式，它将自变量x,y表示成另一个变量t的函数，形式为$x=x(t)$，$y=y(t)$。
参数方程在数学、物理等领域具有广泛的应用，在分析曲线和图形变换上尤其有用。
在参数方程中，当参数t的取值范围确定时，对于不同的t值，所对应点的坐标(x,y)也就明确了。
二、考查形式1.单选题高考中涉及坐标系与参数方程的单选题，在形式上比较多样化，主要分为以下几种：（1）考察基础定义如2018年全国卷II第23题，考查了$x=\frac{y+2}{y-2}$的定义域，此题需要学生掌握函数的定义，促使其灵活运用数学知识。
高中数学选修—坐标系与参数方程知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学坐标系与参数方程
高中数学坐标系与参数方程数学中的坐标系与参数方程是高中数学中的重要概念和工具。
坐标系是一种用于描述和定位点的系统，而参数方程是一种利用参数来描述曲线和图形的方程。
本文将详细介绍坐标系和参数方程的概念、性质以及在解决实际问题中的应用。
一、坐标系坐标系是一种用于描述和定位点的系统。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和空间坐标系等。
其中，直角坐标系是最常用的一种坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系又称笛卡尔坐标系，由两个相互垂直的数轴组成，分别为x轴和y轴。
通过给每个点分配一个唯一的有序数对(x, y)，可以精确定位平面上的任意一点。
2. 极坐标系极坐标系以原点O和极轴作为基准，通过极径r和极角θ来描述平面上的点。
其中，极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示OP 与极轴的正向夹角。
3. 空间坐标系空间坐标系用于描述三维空间中的点。
最常用的空间坐标系是直角坐标系，由三条相互垂直的坐标轴x、y和z组成。
二、参数方程参数方程是一种利用参数来描述曲线、图形或曲面的方程。
通过引入参数，可以更方便地描述和分析不同类型的曲线和图形。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，一般使用参数t来描述。
平面曲线的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是x和y关于参数t的函数。
2. 三维空间曲线的参数方程对于三维空间曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。
通过给定的参数值t，可以确定空间曲线上的每个点的坐标。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u 和v是两个参数。
通过给定不同的参数值，可以得到曲面上的各个点的坐标。
三、坐标系和参数方程的应用坐标系和参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在几何和解析几何中的问题求解过程中起到关键作用。
以下是坐标系和参数方程在实际问题中的应用示例。
1. 几何图形分析通过在直角坐标系或极坐标系中表示几何图形的方程，可以对其进行分析和研究。
完整版坐标系与参数方程知识点
完整版坐标系与参数方程知识点一、坐标系的概念坐标系是为了方便描述平面或空间中点的位置而引入的一种系统。
常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和参数方程坐标系。
二、直角坐标系直角坐标系是最常见的一种坐标系。
在二维空间中，直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴和y轴。
点在直角坐标系中的位置可以用有序数对(x,y)表示，分别代表点在x轴和y轴上的距离。
三、极坐标系极坐标系是一种以原点为中心，以角度和半径表示点的位置的坐标系。
在极坐标系中，点的位置由有序数对(r,θ)表示，其中r代表点到原点的距离，θ代表与正x轴的夹角。
四、参数方程与轨迹参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。
一般形式的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以获得曲线上的一系列点，从而绘制出整条曲线。
五、参数方程与直角坐标系的转换将直角坐标系的点(x,y)转换为参数方程的形式，可以使用以下步骤：1.将x和y分别表示为t的函数：x=f(t)，y=g(t)。
2.给定t的取值范围，求出对应的x和y的取值。
将参数方程的点(x,y)转换为直角坐标系的形式，可以使用以下步骤：1.通过解参数方程的两个方程，消去t，得到一个方程只包含x和y。
2.求解得到与x和y的关系式。
六、参数方程的性质参数方程可以表示各种各样的曲线，具有以下性质：1.参数方程可以用来表示直线、圆、椭圆、双曲线等曲线。
2.参数方程可以描述曲线的形状、方向、起点和终点等信息。
3.参数方程可以通过调整参数的取值范围来绘制出曲线的其中一部分或整条曲线。
七、应用场景参数方程在数学和物理学中有广泛的应用，例如：1.研究物体的运动轨迹，包括抛体运动、行星运动等。
2.描述动态系统的变化过程，如混沌系统、非线性振动等。
3.研究曲线的特殊性质，如曲率、曲线的长度等。
八、参数方程的解析与图像通过解析参数方程，可以得到曲线的方程，从而进一步研究曲线的性质。
选修4-4《坐标系及参数方程》复习讲义
选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义广东高考考试大纲说明的具体要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程： ① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（一）基础知识梳理：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4．极坐标与直角坐标的互化：5。
圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2,a (C π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =；6.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0a )(0,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a cos =θρ. 7．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。
高考数学 《坐标系与参数方程》
坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知 识 梳 理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。
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专题四 解析几何、坐标系与参数方程一、选择题：（本题共12小题，每小题5分共60分）1.若双曲线E ：221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF =A . 11B . 9C . 5D 3 解：126PF PF -=，13PF =，∴236PF -=，29PF =2.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A . (1,3)-B .(1-C .(0,3)D .解：因为222213x y m n m n-=+-表示双曲线，所以22()(3)0m n m n +->且22()(3)4m n m n ++-=所以1m =±，且(1)(3)0n n +->，所以13n -＜＜，选A 3.若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为A . 22(2)(2)3x y -+±= B .22(2)(3x y -+=C .22(2)(2)4x y -+±= D .22(2)(4x y -+=解：因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线2x =上，又因为圆与y 轴相切，所以2r =所以圆的方程为22(2)()4x y b -+-=，所以22(12)(0)4b -+-=，所以b =所以圆的方程为22(2)(4x y -+=，选D.4.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A . 250250x y x y ++=+-=或B .2020x y x y ++=或C .250250x y x y -+=--=或D .2020x y x y -=-=或 解：∵所求直线与210x y ++=平行，∴设所求直线为20x y m ++=，又∵直线20x y m ++=与圆225x y +=相切， =5m =±∴∴所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或，选A5.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点.若1AF B △的周长为C 的方程为A . 22132x y +=B .2213x y += C .221128x y += D .221124x y +=解：因为椭圆的离心率为3，所以3c a =，223a c =∴，又∵1AF B △的周长为∴4a =23a =∴，21c =∴，22b =∴，所以椭圆方程为22132x y +=，选A6.“圆221x y +=与圆22()(4)16x a y -+-=相外切”是“3a =”的A . 充分而不必要条件B . 必要而充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件解：若两圆外切，则21625a +=，3a =±，反之若3a =则两圆外切，故选B7.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 A .12 B .23 C .34 D .43解：因为点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，所以22p-=-，4p =∴，28y x = 设切线AB 的方程为(3)2x m y =--， 解方程组2(3)28x m y y x=--⎧⎨=⎩得2824160y my m -++=26496640m m =--=△，即22320m m --=，(21)(2)0m m +-=∴，122m m ==-∴或（舍） 216640y y -+=∴，8y =∴，8x =∴，(8,8)B ∴， (2,0)F ∵，43BF k =∴，选D.8.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ）A .2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 解：因为椭圆的右焦点为(3,0)F ，所以3c =，所以229a b -=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12122,2,x x y y +=+=-又因为2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，所以1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -++-+=又因为直线AB 过(3,0)F 和(1,1)-，所以212112AB y y k x x -==-，所以22210a b -=，222a b =所以29b =，218a =，所以E 的方程为221189x y +=，选D.9.已知椭圆1C ：2221()x y m m +=＞1与双曲线2C ：2221()x y n n-=＞0的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A . 121m n e e ＞且＞B .121m n e e ＞且＜C .121m n e e ＜且＞D .121m n e e ＜且＜ 解：因为椭圆与双曲线的焦点重合，所以2211m n -=+，222m n -=∴，m n ∴＞，又因为22122111m e m m -==-，2222111n e n n+==+，2222122222111(1)(1)1m n e e m n m n --=-+=+∴ 又222m n -=∵，221222111e e m n=+∴＞，即m n ＞，121e e ＞，故选A. 10.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆与直线240x y +-= 相切，则圆C 面积的最小值为 A .45π B .34π C.(6π- D .54π 解：因为A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，所以90AOB ∠=∴以AB 为直径的圆必过原点，所以过原点与240x y +-=相的圆中，最小的直径是原点到直线的距离，所以2r =，245r =min 45S π=，选A11. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =＞上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的倾斜角的最大值为A.B .23 C.2D .1解：设2(2,2)P pt pt ，2PM MF =∵，∴3PF MF = 设00(,)M x y ，则200(2,2)3(,)22p ppt pt x y --=--，201233x p pt =+∴，03y pt =∴22223121233OMptt k t p pt==++∴，当0t ＞时，2221122OM t k t t t ===++∴，选C 12.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是 A . 2 B .3 CD解：设1122(,),(,)A x y B x y ，120,0y y ><则12121122122111111()()22222ABO x x y y x y x y x y x y =+--+=-+△S ，221122,y x y x ==∵ 2212211221111()222ABOy y y y y y y y =-+=-△S ，2OA OB ⋅=∵，12122x x y y +=∴2212122y y y y +=∴，122y y =-∴或121y y =（舍），12ABO y y =-△S ∴ 又118AFO y =△S ∵，1211992388ABO AFO y y y y =-=+△△S +S ≥∴ 二、本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知双曲线2221(0)x y a a-=>0y +=，则a = .解：根据题意1a =，3a =∴. 14.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 .解：由题意知(0,0)A ，(1,3)B ，又因为两直线的交点为(,)P x y ，所以由两直线方程消去m 得230x xy y y--++=，2230x y x y +--=∴，即点(,)P x y 在圆22135()()222x y -+-=上，且AB是圆的直径，AB = 2222AB PA PB PA PB =+⋅≥∴10=，5PA PB ⋅≤∴15.设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E . 若2CF AF =，且A C E △的面积为则p的值为 .解：由抛物线的参数方程得22y px =，1(,0)2F p 7(,0)2C p ∵，3CF p =∴，2CF AF =∵32AF p AB ==∴，由ABE EFC △△知2AE EF =，所以()A p，212ACFA SCF y p =⨯⨯=2132ACE ACFS S p ==△，22p =p =∴ 16.已知两点(3,0)M -、(3,0)N ，点P 为坐标平面内一点，且0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 到点(3,0)M -的距离的最小值为 .解：(3,0)M -∵，(3,0)N ，(,)P x y ，(6,0)MN =，(3,)MP x y =+，(3,)NP x y =-∴6(3)0x -=，212(3)y x x =-<，所以(3,0)M -点抛物线的焦点由抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的最小距离就是到准线的最小距离，即2p . 所以动点(,)P x y 到点(3,0)M -的距离的最小值为3. 三、解答题：本题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点(1,0)P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点， 当AB 中点C 恰好落在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 解：因为射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角所以A 在直线yx =上，B 在直线3y x =-上 设(,)A m m ，,)B n-，则AB 中点为)2m n- 又因为C 在直线12y x =上，2m n-=，2mn =+∴，3m n n +=+∴ 又因为C在AB 上，所以1m m=-∴m mn n=-∴，m n mn +=∴3m n n m n n +∴，3m =∴，(11)m ∴，m =∴AB k ==∴，所以AB的方程为1)y x =- 18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤＜.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C：ρθ=.（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ，2C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值. 解（1）曲线2C ，3C 的直角坐标方程分别为222x y y +=，22x y +=解方程组22222x y y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以曲线2C ，3C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2（2）由曲线1C 的参数方程知，曲线1C 的极坐标方程为(0)ρααπ=≤＜ 所以A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα12sin 4sin 4sin()23AB πααααα=-=-=-∴ 0απ∵≤＜，sin()13πα-∴≤，04sin()43πα-∴≤≤，AB 的最大值为4 19.已知ABC △的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H .（1）若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）对于线段BH 上的任一点P ，若在以CM ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 解：（1）因为,A B 都在x 上且关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上 所以设圆心为(0,)b ，则2219(2)b b +=+-，3b = 所以H (0,3)所以H 的方程为22(3)10x y +-=，当直线l 垂直x 轴时，3x =，42y =或，所以弦长为2，故直线l 的方程为3x =.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2(3)y k x -=-，3=，43k =，所以直线l 的方程为42(3)3y x -=-，即4360x y --= 所以直线l 的方程为4360x y --=或3x =（2）因为线直线BH 的方程为330x y +-=，又P 在线段BH 上，所以设(,33)P m m -，01m ≤≤ 设(,)N x y 则33(,)22x m y m N ++-，又因为,M N 都在圆C 上，所以 222222(3)(2)33(3)(2)22x y r x m y m r ⎧-+-=⎪⎨++--+-=⎪⎩，222222(3)(2)(6)(13)4x y r x m y m r ⎧-+-=⎪⎨+-+--=⎪⎩所以两圆有交点，所以3r r，3r r 因为01m ≤≤，3r r ∴r r ∴C的半径的取值范围是20.（本题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q两点，求四边形MPNQ 的面积的取值范围. 解：（1）∵222150x y x ++-=，22(1)16x y ++=∴(1,0)A -∴,∵4AD AC r ===又∵AC BE ∥，∴DE BE =4EA EB EA ED +=+=∴所以EA EB +是定值4，由椭圆的定义知E 点的轨迹方程是22143x y +=(2)若直线l 与x 轴垂直，则直线PQ 与x 轴重合，此时12MPNQ S = 若直线l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(1)y k x =-，解方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩得222(34)8120k x k x +--=，2122834k x x k +=+∴，212241234k x x k -=+12x x -=∴,所以221212(1)34k MN x k +=-=+ PQ l ⊥∵且过点B ，PQ ∴方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，所以圆心(1,0)A -，又圆的半径为4，PQ ==∴12MPNQPQ MN =⋅====∴S ∵k R ∈，MPNQ =∴S 21.（本小题满分12分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m .经测量，点A 位于点O 的正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m处（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=.（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保区的面积最大. 解：（1）如图过A 作OC 的平行线交BC 于点D ，过D 作OC 的垂线，垂足为E ，设BCO θ∠=，AD x =则tan 3θ= 在DEC △中，460tan 3170x θ==-，125x =∴，45EC =，4575cos DC θ==∴ 在ABD △中，ABD θ∠=∵，AB BC ⊥，3cos 12575BD AD θ==⨯=150()BC BD DC m =+=∴，即新桥BC 的长为150m .（2）如图设4OM x =，设BC 与圆M 相切于点N ， 连结MN ，过M 作OC 的平行线交BC 于点F ，过F 作FH OC ⊥，垂足为H在FHC △中，43FH HC =，4FH OM x ==∵ 3HC x =∴，1703MF x =-∴，在MFN △中，4sin (1703)5MN MF x θ==- 因为古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m 80MN AM -∴≥，80MN OM -∴≥4(1703)(604)805x x ---∴≥，4(1703)4805x x --≥ 53524∴≤x ≤，1035∴≤4x ≤，当52m =时，10OM =，max 45(1703)15052MN =-⨯=∴，此时保护区的面积最大.22.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（1）求椭圆C 的方程； （2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与于不同的两点A ，B ，线段AB的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 的直线交于点M .（Ⅰ）求证：点M 在定直线上； （Ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点解：（1）∵抛物线22x y =的焦点为1)2(0,，12b =∴ 又∵∴2234c a =，22314b a -=∴，2a b =∴，1a =∴∴椭圆的方程为2241x y +=.（2）（Ⅰ）设2(2,2),(0)P t t t ＞，则2AB k t =，所以AB 方程为222(2)y t t x t -=-，即222y tx t =-解方程组2222241y tx t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得224(22)1x tx t +-=，即2234(116)321610t x t x t +-+-= 312232116t x x t+=+∴，42212226444116116t t y y t t t -+=-=++∴ 3222162(,)116116t t D t t -++∴，18ODk t =-∴，所以OD 方程为18y x t =- 当2x t =时，14y =-，即1(2,)4M t -，即M 在定直线14y =-上.（Ⅱ）因为1(0,)2F ，2(2,2)P t t ，2(0,2)G t -，1(2,)4M t -，3222162D(,)116116t t t t-++ 231111(2)22222S t t t t =+=+∴，23322221(2)(8)11164(2)(2)24116116t t t t S t t t t ++=+-=++ 323222123222321(2)(116)(28)(116)(28)(116)21(81)(8)(81)(18)(2)(8)4t t t S t t t t t S t t t t t t t t ++++++===++++++∴ 令281m t =+，则212222(1)(21)21112S m m m m S m m m m+-+-===-++∴ 2122111192()24S S m m m =-++=--+∴，即2m =时12S S 取得最大值94此时2281t =+，4t =∴，1()24P ∴ 所以12S S 取得最大值94，并且取得最大值时P点的坐标是1()24.。