§2-5 牛顿第二定律积分形式一：动量定理

3. 牛顿第二定律的又一积分形式 (1)变力的功
物体在变力的作用下从a运动到b。 怎样计算这个力的功呢？ 采用微元分割法
b
第1段近似功： A F r 1 1 1
第2段近似功： A F r 2 2 2
第i 段近似功：Δ Ai Fi ri
总功近似： Aab
t2
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
持不变，曲线与t轴所包围的面积 就是t1到t2这段时间内力 F 的冲量 F 的大小，根据改变动量的等效性， 得到平均力。
打击或碰撞，力 F 的方向保 F
t1
t2 t
(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。
(5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其 使用范围是惯性系。 (6)动量定理在处理变质量问题时很方便。
例2-8 质量为m的匀质链条，全长为L，
L O
f
手持其上端，使下端离地面的高度为h。 y 然后放手让它自由下落到地上，如图所示。 h 求链条落到地上的长度为l 时，地面所受 G 链条作用力的大小。 解：以链条为系统，向下为y正向，建立如图所示的坐标系。 落到地面上链条段ml 的速度为零，即u=0；未落地部分受到重 力G=(m-ml)g和地面给它的向上的冲力f 的作用。由题意可得 d (m ml )v (m ml ) g f dt
变质量物 体运动微 分方程
d dm (mv ) uF dt dt dm u dt
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时， 表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题， 为尾气推力。
变质量问题的处理方法: (1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式 (3)求出系统动量变化率 (4)分析系统受力 (5)应用动量定理求解
2
t 而是所有元冲量 F d t 的合矢量 t
F d t 的方向。
i
1
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
I x t1 Fx d t mv2 x mv1x
t2
I y t1 Fy d t mv2 y mv1 y
t2
I z t1 Fz d t mv2 z mv1z
d dv v (m ml ) (m ml ) (m ml ) g f dt dt
dv 在自由下落中， g ，所以上式可简化为 dt d v (m ml ) f dt m dl ml l , 又 v ,即得 L dt m 2 2m(l h) f v g L L 其中v为即将落地部分的速度 ，即v 2 g (l h) .
( N Mg ) Mv Mv0
初状态动量为
M 2 gh ,末状态动量为0
得到( N Mg ) M 2 gh 解得 N Mg M 2gh / 代入M、h、的值，求得： (1) N 3 10 (9.8
3
1.92 10 N
5
2 9.8 1.5 / 0.1)
mv d mu
(m d m)(v d v )
末时刻
初始时刻
m
F
dm
u
m+dm
v
v dv
t
t dt
对系统利用动量定理
mdv dmdv dmv dmu Fdt
略去二阶小量，两端除dt
(m d m)(v d v ) mv d mu F d t
地面受到链条作用力的 大小为 2m(l h) ml m F g g (3l 2h) g L L L
§2-6 牛顿第二定律积分形式一： 动能定理
1. 功的概念
(元位移)时,此 物体在力 F 的作用下发生一无限小的位移 d r 力对它做的功定义为:力在力的位移上的投影和此元位移大小的 乘积。
T2
B
T1
A
v 2 gh
取竖直向上为正方向。
M B
h
mg Mg
绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速 率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：
(T1 mg )t mV ( mv ) (T2 Mg )t mV 0 忽略重力，考虑到绳不可伸长，有 T1 T2
F N F 100 300 fr G
总功精确值：Aab lim
从a到b的线积分。
在数学形式上，力的功等于力F 沿路径L
积分形式： Aa b
r 0

i
Fi ri

b
a
F dr

b
a
F dr
(2)质点动能定理
根据功的积分形式
b b Aab a F d r a Fτ d s a maτ d s
得到解法一相同的结果
N Mg M 2gh /
例题2-7 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及 的M物体A和B， M大于m。B静止在地面上，当A自由下 落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体 的速度，以及能上升的最大高度。
解：以物体A和B为系统作为 研究对象，采用隔离法分析受 力，作出绳拉紧时的受力图： 绳子刚好拉紧前的瞬间， 物体A的速度为： A m
m 2 gh 解得： V M m
当物体B上升速度为零时，达到最大高度
2aH V 0
2
M m a g M m
m2h H 2 2 M m
2. 变质量物体的运动方程
物体m与质元dm在 t 时刻的速度以及在 t+dt时 刻合并后的共同速度如图所示： 把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时 刻的动量分别为：
作为系统考虑时，得到：
b2 b1 f ×d r b1 f ×d r a1 F1×d r1 a2 F2×d r2 a1 12 1 a1 21 2
b1
1 1 1 1 2 2 2 2 ( m1v1b m2 v2 b ) ( m1v1a m2 v2 a ) 2 2 2 2
(2)
N 3 10 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.01) 6 1.9 10 N
3
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过 程，动量变化为零。 重力作用时间为
2h / g
支持力的作用时间为 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即
N Mg ( 2h / g ) 0
f1 2
F2
f21
m21 F 1 ×d r1 a 1 f 12× d r1
b1
F1
m1
f1 2
F2
f21
1 1 2 m 1 v 1 b m 1 v 12a 2 2
对m2运用质点动能定理：
m2
b2 b2 a 2 F 2 ×d r 2 a 2 f 21 ×d r2 1 1 2 2 m 2v2b m 2v2a 2 2
c.动能定理只适用于惯性系。
d.功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。
(3)质点系动能定理
多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又 要考虑质点间的相互作用力（内力）。 二质点组成 的系统 推 广 多 个 质点 组 成的系统 两个质点在外力及 内力作用下如图所示：
F1
m1
考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分

t2
t1
p2 F d t d p p2 p1 p1
航天飞机
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。
t2 I F dt
t1
于是得到积分形式
I P2 P 1
这就是 动量定理 ：物体在运动过程中所受到 的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。 动量定理的几点说明： (1)冲量的方向： 冲量 I 的方向一般不是某一瞬时力 F 的方向，
§2-5 牛顿第二定律积分形式一：动量定理
微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的 瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情 况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求 解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更 有效。这就是动量定理与动能定理。
1. 动量定理
重写牛顿第二定律的微分形式
F dt d p
例 题 2-6 质 量 M=3t 的 重 锤 ， 从 高 度 h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工 件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s， (2)=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
N
h
解：以重锤为研究对象，分析受力， 作受力图：
Mg
解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用 平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
功率：力在单位时间内做的功，用P 表示
d A F dr P F v dt dt
功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做同样 的功花费的时间就越少。 在国际单位制中，功的单位是Nm，叫做焦(J)，功率 的单位是J/s ，叫做W(瓦)。
2. 能量
能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种运动形 式的相互转化用能量来量度。各种运动形式的相互转化遵循 能量的转换和守恒定律。 到十九世纪，能量概念才逐步由力的概念中分离出来。 实际上，只有在能量的转换和守恒定律发现以后，人们才认 识功、动能和势能的真实含义。二十世纪初，爱因斯坦建立 了狭义相对论，得到了“质能关系”，进一步揭示能量和质 量的相当性，对于能量的认识才更深入了一步。 与机械运动直接相关的能量是机械能。


Δ r4 Δ r3 Δ r2 F 4 F3 Δ r1
a
Fi ri
a
Δ ri