中考数学压轴题 易错题测试综合卷检测试题

一、中考数学压轴题

1．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接 BD，点E在⊙O上，连接 BE交 AD于点F，

∠BDC+45°=∠BFD，连接ED．

（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB；

（2）如图2，点G是 AB上一点，过点G作 AB的垂线分别交BE和 BD于点H和点K，若HK=BG+AF，求证：AB=KG；

（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O上有一点N，连接 CN分别交BD和 AD于10点 M 和点 P，连接 OP，∠APO=∠CPO，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB的长．

2．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出DP满足的条件：．

3．综合与实践

A纸是我们学习工作最常用的纸张之一，2，我们定义：长宽之比是4

2的矩形纸片称为“标准纸”．

操作判断：

()1如图1所示，矩形纸片2

=是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点

ABCD AD AB

()

AB=求CF的

B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,

长，

()2如图2，在()1的基础上，连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ，连接,BE 判断四边形BFDE 的形状，并说明理由．

探究发现：

()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，痕MN 交AD 边于点M ，BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形ENFM 剪下，探究纸片ENFM 是否为“标准纸”，说明理由．

4．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．

（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；

②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252m mn n ++= ； （2）若点(,)p q 在反比例函数8

x y =

的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由； （3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53

． 5．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ∆的三个顶点坐标分别为

()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足

725m n m n +=⎧⎨-=⎩

．

（1）求点A ，C 的坐标；

（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ∆的面积为S （直接写出t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ32

PAB POC S S =，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．

6．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32

x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当32

MN AN =时，求点M 的坐标； （3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．

7．如图，直角三角形ABC ∆中，90460ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿

A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．

（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0

（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在

BC 3CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由． 8．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-

与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，

（1）求抛物线的对称轴；

（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；

（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．

9．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点