等边三角形性质与判定练习题
等边三角形的判定和性质习题及答案
等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。
专题05等边三角形的性质和判定综合题(原卷版)
专题05 等边三角形的性质和判定（综合题）知识互联网易错点拨知识点1：等边三角形等边三角形定义：叫等边三角形.细节剖析:由定义可知，等边三角形是一种特殊的．也就是说等腰三角形包括．知识点2：等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于.知识点3：等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）的三角形是等边三角形；（2）的三角形是等边三角形；（3）是等边三角形．易错题专训一．选择题1．（2021秋•准格尔旗期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC ＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．（2021•商河县二模）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．163．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．4．（2021秋•新昌县期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠P AN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形5．（2021秋•平阳县校级月考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6，DE＝2，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．86．（2020秋•九龙坡区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC 于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二．填空题7．（2022春•保定期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为．8．（2020秋•玉州区期末）如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝6cm，DE＝4cm，则这个六边形的周长等于cm．9．（2020秋•海淀区校级期中）如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝．10．（2021秋•海曙区期末）一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距海里．11．（2019秋•潮南区期中）两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C，如图所示．已知AC＝6，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．12．（2017秋•巢湖市期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP；其中正确的有（填上所有正确结论的序号）13．（2021秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）三．解答题14．（2021秋•涡阳县期末）“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．15．（2020秋•曾都区期末）学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．16．（2021春•城关区校级期中）如图1，已知等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE．（1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形；（2）如图2，若D、E分别为AB、AC中点，连接CD、BE，CD与BE相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（△ADE与△ABC除外）17．（2021秋•孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．18．（2022春•通川区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED ＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．19．（2021秋•台州期中）如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是2cm/s，且当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？20．（2021秋•香洲区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？。
等边三角形的性质与判定(分层作业)(原卷版)
13.3.3等边三角形的性质与判定夯实基础篇一、单选题：1．下列说法错误的是（）A ．有两边相等的三角形是等腰三角形B ．直角三角形不可能是等腰三角形C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形2．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE =AD ，则∠EDC =（）度．A ．30B ．20C ．25D ．153．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距()A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里4．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（）A ．30CED ∠=︒B ．120BDE ∠=︒C ．DE BD =D ．DE AB =5．如图，AB AC =，AE EC CD ==，60A ∠=︒，若2EF =，则DF =（）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图：等边三角形AB C 中，BD =CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°二、填空题：7．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝度．8．如图，△ABC 与△DEF 为等边三角形，其边长分别为a ，b ，则△AEF 的周长为.9．如图，将边长为5cm 的等边ABC 向右平移1cm ，得到'''A B C ，此时阴影部分的周长为cm ．10．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA ＝EB ，△ABC 外一点D 满足BD ＝AC ，且BE 平分∠DBC ，则∠D ＝.11．已知：如图，点E 、F 分别在等边三角形ABC 的边CB 、AC 的延长线上，BE ＝CF ，FB 的延长线交AE 于点G 则∠AGB ＝．三、解答题：12．如图，△ABC 是等边三角形，DF ⊥AB ，DE ⊥CB ，EF ⊥AC ，求证：△DEF 是等边三角形．13．如图：已知等边△AB C 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．14．如图，已知等边ABC D E ∆，，分别在BC AC 、上，且BD CE =，连接BE AD 、交F 点．求证：60AFE ︒∠=15．如图所示：ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M .求证：MD ME =能力提升篇一、单选题：1．如图，点P 在边长为1的等边△ABC 的边AB 上，过点P 作PE ⊥AC 于点E ．Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A ．B ．C ．D ．不能确定2．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6cm ，则∠AOB 的度数是（）A ．15B ．30C ．45D ．603．如图，已知：30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A -⋯⋯在射线ON 上，点1B 、2B 、3B ⋯⋯在射线OM 上，112A B A 、223A B A 、334A B A ⋯⋯ 均为等边三角形，若11OA =，则201820182019A B A 的边长为（）A．2017B．2018C．201722D．2018 4．如图所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，O C．以下五个结论：①△ACD≌△BCE；②△AOC≌△BQC;③△APC≌△BOC;④△DPC≌△EQC;⑤∠AOB＝60°．其中正确的是（）A．①②③④⑤B．①④⑤C．①④D．①③④二、填空题：5．如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝P A，过点P作PE ⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为．6．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为cm时，线段CQ+PQ的和为最小．7．如图△AB C中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为．三、解答题：8．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。
考点4 等边三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质
∴DE＝DA. ∴DE＝DB.
(2)解：△ABE是等边三角形. 理由如下. ∵BC是线段AE的垂直平分线， ∴BA＝BE，即△ABE是等腰三角形. 又∵∠CAB＝60°， ∴△ABE是等边三角形.
12. 已知：如图M13-35，△ABC，△CDE都是等边三角形， AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点． （1）求证：AD=BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形．
5. 如图M13-28是屋顶的“人”字形钢
架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝
120°，跨度BC＝10 m，AD为中柱(即 底边的中线)，两根支撑架DE⊥AB，DF⊥
５ m. AC，则DE＋DF＝＿＿＿
6. 如图M13-29，已知在等边△ABC中，点D， E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE
４ m. ＝＿＿＿
8. 如图M13-31，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航 行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，2小时后，轮船 在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海
里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
解：如答图M13-3,过点P作PC⊥AB，垂足为点C.
翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边
AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC
80° . 的度数为＿＿＿
7. 如图M13-30是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，
其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝
150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h
10. 如图M13-33，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，
BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝求AD的长.
部编数学八年级上册专题08等边三角形的判定和性质(解析版)含答案
2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题08 等边三角形的判定和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP V 中， 60P Ð=° ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP V 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ V 周长是（ ）A ．8＋2mB ．8＋mC ．6＋2mD ．6＋m 【答案】C【完整解答】解：∵60P Ð=° ， MN NP = ，∴△PMN 是等边三角形，∵MQ PN ⊥ ，∴QN=PQ= 12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，∵NG NQ = ，∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= 12MN ，∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG ，∵MNP V 的周长为12， MQ m = ，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，∴MGQ V 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形，得QN=PQ=12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=12MN ，推出QM=QG ，根据△MNP 的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，据此求解.2．（2分）（2021八上·铁岭期末）如图，E 是等边ΔABC 中AC 边上的点，12Ð=Ð，BE CD =，则ADE ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】B【完整解答】解：∵△ABC 为等边三角形∴AB=AC ，∠BAE=60°，∵∠1=∠2，BE=CD ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴AE=AD ，∠BAE=∠CAD=60°，∴△ADE 是等边三角形．故答案为：B ．【思路引导】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。
等边三角形的判定与性质难题
等边三角形的判定与性质难题(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--等边三角形的判定与性质难题一、选择题（共1小题）1．（2006?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A 等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）2．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是_________ ．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）3．如图，P是等边△ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2．4．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．（1）求证：BE=EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．（2008?朝阳区二模）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．6．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若PA=PB=PC，则△PMC是_________ 三角形；（3）若PA：PB：PC=1：：，试判断△PMC的形状，并说明理由．7．（2006?徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S．（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，①求证：△D2E2F2是等边三角形；②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2= _________ ；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=_________ ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当D n、E n、F n分别是等边△ABC三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（n为正整数）△D n E n F n是_________ 三角形；若用S表示△AD n F n的面积S n，则S n= _________ ；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′n= _________ ．8．（2009?莆田）已知：等边△AB C的边长为a．探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【考点训练】等边三角形的判定与性质-1参考答案与试题解析一、选择题（共1小题）1．（2006?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A 等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°考点：等边三角形的判定与性质．分析：先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．解答：解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC=CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B=60°，∴∠A=30°，故选：B．点评：考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）2．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是17 ．考点：等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角．专题：计算题．分析：先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可．解答：解：如图所示，∵六个内角都是120°，∴三角形的每个内角都是60°，即△CDE，△BFG，△AHI，△ABC都为等边三角形，∴CE=2，BF=3，∴BC=2+4+3=9，∴AH=AB﹣GH﹣BG=9﹣1﹣3=5，∴DI=AC﹣AI﹣CD=9﹣5﹣2=2，HI=AH=5，∴该六边形的周长是：1+3+4+2+2+5=17．故答案为17．点评：主要考查了正多边形的相关性质．边相等，角相等．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）3．如图，P是等边△ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2．考点：等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．分析：首先将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，易证得△PCQ是等边三角形，△APQ是直角三角形，则可求得∠APC的度数，然后可求得∠APD的度数，在Rt△APD中，即可求得AD与CD的长，继而求得AC2．解答：解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形，∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，∴AQ2=PA2+PQ2，∴∠APQ=90°，∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，∴∠APD=30°，在Rt△APD中，AD=PA=2，PD=AP?cos30°=2，则CD=PC+PD=3+2，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=4+（3+2）2=25+12．点评：此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．（1）求证：BE=EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：（1）利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论；（2）由中位线的性质、平行线的性质，等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明．解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=CA，∵DE是中位线，∴E是AC的中点，∴BE平分∠ABC，AE=EC，∴∠EBC=∠ABC=30°∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠CEF=∠F．∵∠CEF+∠F=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠EBC=∠F∴BE=EF；（2）结论任然成立．∵DE是由中位线平移所得，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°．∴△ADE是等边三角形．∴DE=AD=AE，∵AB=AC，∴BD=CE，∵AE=CF，∴DE=DF，∵∠BDE=180°﹣∠ADE=120°，∠FCE=180﹣∠ACB=120°，∴∠FCE=∠EDB，∴△BDE≌△ECF，∴BE=EF．点评：此题考查等边三角形以及三角形全等的判定与性质等知识点．5．（2008?朝阳区二模）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH=BG．由D、E、F是等边△ABC三边中点，可得△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD，可证明△DBG≌△DEH，然后即可证明；（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．可得DG=DH，∠BDG=∠EDH．由∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60°，可得∠GDH=∠EDH﹣∠EDG=60°，即可证明．（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．解答：证明：连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH=BG．∵D、E、F是等边△ABC三边中点，∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD．在△DBG和△DEH中，，∴△DBG≌△DEH（SAS），∴DG=DH．∴∠BDG=∠EDH．∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°，∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．∴DG=DH，∠BDG=∠EDH．∵∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60°，∴∠GDH=∠EDH﹣∠EDG=60°．∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是巧妙地作出辅助线进行解题．6．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若PA=PB=PC，则△PMC是等边三角形；（3）若PA：PB：PC=1：：，试判断△PMC的形状，并说明理由．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．专题：探究型．分析：（1）通过观察应该是相等关系，可通过证三角形APB和BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠ABP和∠MBC 都是60°﹣∠PBC，因此这两个角相等，也就凑成了三角形全等的所有条件．因此可得两三角形全等，也就证明了AP=CM；（2）根据（1）的结论AP=CM，又有三角形BPM是等边三角形，因此PA=PB=PC可写成PM=PC=CM，也就是说三角形PMC是等边三角形．（3）根据AP=CM，BP=PM，我们可将题中给出的比例关系式写成CM：PM：PC=1：：．我们发现这三边正好符合勾股定理的要求．因此三角形PMC是直角三角形．解答：解：（1）AP=CM．∵△ABC、△BPM都是等边三角形，∴AB=BC，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°．∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°．∴∠ABP=∠CBM．∴△ABP≌△CBM．∴AP=CM．（2）等边三角形．（3）△PMC是直角三角形．∵AP=CM，BP=PM，PA：PB：PC=1：：，∴CM：PM：PC=1：：．设CM=k，则PM=k，PC=k，∴CM2+PM2=PC2∴△PMC是直角三角形，∠PMC=90°．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定以及直角三角形的判定．通过全等三角形得出线段相等是本题的解题关键．7．（2006?徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S．（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，①求证：△D2E2F2是等边三角形；②若用S表示△A D2F2的面积S2，则S2= S ；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=S ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当D n、E n、F n分别是等边△ABC三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（n为正整数）△D n E n F n是等边三角形；若用S表示△AD n F n的面积S n，则S n= ；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′n=．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）由等边三角形的性质和已知条件可证△ADF2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2所以△D2E2F2为等边2三角形．（2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求．解答：解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）由已知得AD2=AB，BE2=BC，∴AF2=AC，BD2=AB∴AD2=BE2，AF2=BD2（2分）△AD2F2≌△BE2D2（3分）∴D2E2=F2D2同理可证△AD2F2≌△CF2E2F2D2=E2F2（4分）∴D2E2=E2F2=F2D2∴△D2E2F2为等边三角形；（5分）②；（6分）S′2=S﹣S×3=S（7分）（2）由（1）可知：△D n E n F n等边三角形；（8分）由（1）的方法可知：，S3=S，…；（9分）S2′=S，S3′=…．（10分）点评：本题考查了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律．8．（2009?莆田）已知：等边△ABC的边长为a．探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．考点：等边三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：综合题；压轴题．分析：（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；（2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确．解答：（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵BC⊥MN，BA⊥MG，∴∠CBM=∠BAM=90°．∴∠ABM=90°﹣∠ABC=30°．∴∠M=90°﹣∠ABM=60°．同理：∠N=∠G=60°．∴△MNG为等边三角形．在Rt△ABM中，BM=a，在Rt△BCN中，BN=a，∴MN=BM+BN=a．（2）②：结论1成立．证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，∴△AGH是等边三角形，∴GH=AH．∵OE⊥BC，∴OE∥HM，∴四边形OEMH是矩形，∴H M=OE．在Rt△ODG中，OD=OG?sin∠DGO=OG?sin60°=OG，在Rt△OFH中，OF=OH?sin∠OHF=OH?sin60°=OH，在Rt△HMC中，HM=HC?sinC=HC?sin60°=HC，∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH=（GH+HC）=AC=a．（2）②：结论2成立．证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，∴BE2+CF2+AD2=（a﹣AD）2+（a﹣BE）2+（a﹣CF）2=a2﹣2AD?a+AD2+a2﹣2BE?a+BE2+a2﹣2CF?a+CF2整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF=a．点评：本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．。
等边三角形的性质与判定(3种题型)-2023年新八年级数学(苏科版)(解析版)
等边三角形的性质与判定（3种题型）了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．一．等边三角形的性质（共9小题）1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC 于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC 交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2022秋•姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．3．（2022秋•常州期中）如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】由已知条件AD＝AP可知∠ADP＝∠APD，结合∠APD＝70°可得∠ADP的度数，从而得到∠P AD 的度数；根据等边三角形的性质，可以得到∠BAC＝60°，结合∠PAB＝∠BAC﹣∠PAD即可解答此题．【解答】解：∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD．∵∠ADP＝∠APD，∠APD＝70°，∴∠ADP＝70°，∠PAD＝40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠PAB＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．4．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．5．（2022秋•启东市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（）A．60°B．105°C．75°D．15°【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC＝30°（三线合一），在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．7．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故选：C．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．8．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝°．【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝85°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵∠CED＝25°，∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝85°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，故答案为：50．9．（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP．则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，即，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴r1+r2+r3＝h（定值）；（2）存在．r＝2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．二．等边三角形的判定（共6小题）10．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．11．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD ＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．12．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，进而可得出a＝b＝c，再结合a，b，c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，又∵a，b，c是三角形的三边长，∴这个三角形是等边三角形．故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方及绝对值的非负性，牢记三条边都相等的三角形是等边三角形是解题的关键．13．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．14．（2022秋•常州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，故答案为：30°．（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形．15．（2022秋•江都区校级月考）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠P AQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．【解答】解：△APQ证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．三．等边三角形的判定与性质（共9小题）16．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．【解答】解：如图所示：连接AC．∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故选：A．【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得△ABC为等边三角形是解题的关键．17．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．18．（2022秋•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．19．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为．【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．【解答】解：①当D在线段BC上，如图：∵等边△ABC的边长为5，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∵BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，∴△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝4；②当D在线段CB的延长线上，如图：同法可得：△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝BC+BD＝6；综上：DE的长为：4或6；故答案为：4或6．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．20．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s时，△PBQ第一次为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．21．（2022秋•泰州月考）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．22．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．23．（2022秋•启东市校级月考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A 满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A 是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，∠B＝＝50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，故答案为：60°．（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．24．（2022秋•铜山区校级月考）已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．求证：（1）AE＝DB；（2）△CMN为等边三角形．【分析】（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•梁溪区期中）下列命题不正确的是（）A．等腰三角形的底角不能是钝角B．等腰三角形不能是直角三角形C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．【解答】解：本题可采用排除法；A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．即答案选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，要求学生在学习过程中要对所学过的知识进行总结和复习，以便灵活的运用所学的知识．2．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC ≌△ABD，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．3．（2022秋•射阳县校级月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），按此方法，若点C的坐标为（2，m，m﹣2），则m＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），得到经过该点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左，上，下，即可解答．【解答】解：由题意得：点C的坐标为（2，4，2），∴m＝4，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，规律型：数字的变化类，找出题中的规律是解题的关键．4．（2022秋•扬州期中）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解答】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．5．（2022秋•邗江区月考）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB 于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）6．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，则BC＝6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°．7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝．【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD ＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
专题7 等边三角形的判定与性质（含答案）
专题7 等边三角形的判定与性质知识解读等边三角形的判定方法有三种：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在这三种判定方法中，证明角度等于60°和证明两个角度相等比证明线段相等容易些，因此在证明一个三角形是等边三角形的时候，尽可能寻找60°的角.如果能找到两个60°的角，则就完成了三角形全等的证明.如果找到一个60°的角，则可继续证明这个三角形是等腰三角形．当一个图形中出现等边三角形时，由于等边三角形的三边相等，三个角都等于60°，这就为全等三角形提供了可能.而当一个图形中出现两个等边三角形的时候，由于图中出现了太多相等的线段和相等的角，此时一般会出现全等三角形．培优学案典例示范一、等边三角形判定方法的选择例1 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE=BD．求证：△DAE为等边三角形．【提示】由于CE=BD，AB=AC，因此可考虑证明△ABD≌△ACE，因此可证AD=AE，要说明△DAE为等边三角形，我们只需证明DE和AD，AE相等或者证明△ADE中一个角等于60°即可．【解答】EABCD【技巧点评】要证明一个三角形是等边三角形时，当已知这个三角形是等腰三角形，可设法证明第三条边和这两条边相等，或者证明这个三角形中有一个角等于60°．跟踪训练1．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于点E 和点F ，求证：△OEF 是等边三角形．FEOCBA二、等边三角形为全等三角形提供可能例2 如图，△ABD 、△AEC 都是等边三角形，BE 、CD 相交于点O ．（1）求证：BE=DC ； （2）求∠BOC 的度数． 【提示】（1）BE 和DC 可置于△ACD ，△AEB 中，通过证明△ACD ≌△AEB ，来证得BE=DC ，要证明△ACD ≌△AEB 需要的条件可从等边三角形中获得；（2）根据外角的性质可知∠BOC=∠BDO +∠DBO ，可将求∠BOC 转化为求∠BDO +∠DBO ． 【解答】OEDCBA【技巧点评】等边三角形的三条边相等、三个角相等，相等的线段、相等的角是三角形全等的条件，因此当图形中出现两个等边三角形时，一般会出现全等三角形．跟踪训练2．在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ．（1）如图1，若∠AOB =∠COD =60°，求证：①AC=BD ；②∠APB =60°；（2）如图2，若∠AOB =∠COD=a ，则AC 与BD 间的等量关系式为 ，∠APB 的大小为 （直接写出结果，不证明）图 1 图 2PPOCAODCBA三、旋转线段，构造等腰直角三角形和等边三角形例3 已知：如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，将线段CB 绕点C 旋转60°得到CB'，∠ACB 的平分线CD 交直线AB'于点D ，连接DB ，在射线DB'上截取DM=DC ． （1）在图1中证明：MB'=DB ；（2）若6，分别在图1、图2中，求出AB'的长（直接写出结果）．【提示】（1）本题隐含两个等边三角形，△BCB'和△CDM 都是等边三角形，连接CM 后，可得到一对全等三角形；（2）在图1中，可证明△ACB'是一个等腰三角形，其底角为15°6，要求的是底边长；图2中，图1的两个三角形仍然全等，△ACB'还是等腰三角形，其顶角是30°6，要求的是底边长，充分利用30°角构造直角三角形可解决这个问题． 【解答】图 1 图 260°60°M B'DCBAB'MDC BA【技巧点评】线段绕其一个端点旋转60°，连接另一个端点的对应点，可得一个等边三角形，线段绕其一个端点旋转90°，连接另一个端点的对应点，可得一个等腰直角三角形．跟踪训练3．（北京中考题）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=a （0°<a <60°），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ．（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE ，若∠DEC=45°，求a 的值．图 1 图 2EDCBA DCBA四、借助60°构造等边三角形解决问题例4 如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE=BD ，连接CE 、DE ．求证：EC=ED ．【提示】要证明EC=ED ，可考虑将这两条线段置于一对全等三角形中，图中没有全等三角形，可设法构造全等三角形，由于∠B =60°，可考虑延长BD 到点F ，构造一个等边三角形． 【解答】F EDC B A跟踪训练4．已知：△ABC 为等边三角形．（1）如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°.试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°.求证：PA+PD+PC >BD ．图 1 图 2PDCBAPCBA拓展延伸五、与等边三角形有关的动态问题例5 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 都停止运动．（1）出发后运动2s 时，试判断△BPQ 的形状，并说明理由；那么此时PQ 和AC 的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为t ，△BPQ 的面积为S ，请用t 的表达式表示S ．QP C BA【提示】（1）当出发后两秒时，AP =2×1=2，所以BP =4，BQ =2×2=4，又△ABC 是等边三角形，∠B =60°，所以△BPQ 是等边三角形，∠BPQ =∠A =60°，所以PQ //AC ．（2）过Q 作QH ⊥AB ，因为∠B =60°，所以∠BQH =30°，又BQ =2t ，所以BH=t ，由勾股定理，得3t ，所以得面积S ()36t -． 跟踪训练5.如图2-7-10，在等边△ABC 中，AB =9cm ，点P 从点C 出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 点从B 点出发沿BA 边向A 点以5cm/s 速度移动.P ，Q 两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟。
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第1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）一•选择题（共8小题）1 •如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中 / a+ / B的度数是（）A •180 ° B .220 ° C •240 ° D .300 °2 .下列说法正确的是（）A .等腰三角形的两条高相等C.有一个角是60。
的锐角三角形是等边三角形B .等腰三角形一定是锐角三角形 D •三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3 .在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若/ A= / B= / 6则厶ABC为等边三角形；③有两个角都是60。
的三角形是等边三角形；④一个角为60。
的等腰三角形B D EC 是等边三角形•上述结论中正确的有（）A •1个B •2个C •3个D •4个4 .如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△ BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E 处，则/ A 等于（）A . 25 °B . 30 °C. 45 °D . 60 °5 .如图，已知D、E、F分别是等边△ ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE丄BC、EF丄AC、FD丄AB，则下列结论不成立的是（）A . △DEF 是等边三角形B . △ADF ◎△ BED ◎△ CFEC. DE=ABD. S △ABC=3S △DEF6 .如图，在厶ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC ,则/ BAC的度数是（）A . 30 °B. 45 °C . 120 ° D . 15 °7 .如图，在△ ABC中，AB=AC , / A=120 °BC=6cm , AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E , AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm第1题第4题第5题第7题8 .已知/ AOB=30 °点P在/ AOB内部，P1与P关于0B对称，P2与P关于OA对称，则P l, 0 , P2三点所构成的三角形是（）A.直角三角形 B . 钝角三角形C. 等腰三角形D.等边三角形二.填空题（共10小题）9 .已知等腰△ABC 中，AB=AC , / B=60 °贝U / A= 度.10 . △ABC 中，/ A= / B=6 0 °且AB=10cm，贝U BC= __________________ cm .11 .在△ABC中，/ A= / B= /。
，则厶ABC是_____________________ 三角形.12 .如图，将两个完全相同的含有30。
角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ ABD的形状是_______________13 .如图，M、N是厶ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN .则/ BAN= _14 .如图，用圆规以直角顶点0为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点, 若再以A为圆心，以0A为半径画弧，与弧AB交于点C,则/AOC等于多少？15 .已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E,使CE=CD , 不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)(2) _____________ ； (3) _____________16 .如图，将边长为6cm的等边三角形△ABC沿BC方向向右平移后得厶DEF，DE、AC相交于点G，若线段CF=4cm，则△GEC的周长是_______________ cm.17 .如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则/ BCD+ / CBE=_ 度.课后作业1.2. 等边三角形是轴对称图形，它有________________ 条对称轴。
3. 等边三角形两个内角的平分线所成的钝角的度数是_____________________ .4. 若一个三角形有两个外角都是120 °，则这个三角形是 _____________ 三角形。
5. 等边三角形的两条中线相交所成的锐角的度数是__________________ 。
6. •若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角形是 _________________ 三角形。
7. 若右图所示，已知点 D 在BC 上，点E 在AD 上，BE=AE=CE,并且/仁/2= 6 0 °求证: △AB C 是等边三角形。
8、已知Z\ABC 中，/A= ZB=60 °,AB=3cm 则△ABC 的周长 _________ △ABC 是等腰三角形，周长为 15cm 且ZA=60。
，^UBC= ________________9 .三个等边三角形的位置如图所示，若 / 3=50。
，则/ 1+ / 2=10 .如图，△ ABD 与厶AEC 都是等边三角形， AB 协C .下列结中，正确的是 __① BE=CD ;②/ BO D=60 ° ③/ BDO= / CEO .11.如右图所示，在等边三角形 ABC 的边AB 、AC 上分别截出AD =AE ，△ADE 是等边三角 形吗？说明理由。
12 .如图，A ABC 为等边三角形，AE=CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ _LAD 于点Q ，PQ=3，,若 AD=AC ,贝UZBDC= _____ •PE=1 .(1) 求证：AD=BE ;(2) 求AD的长13 .已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC , AE=CD=AB，顺次连接D, E , F,得到A DEF为等边三角形.求证:14 .如图，已知△ ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD , AD与BE相交于点F .(1) 求证：△ ABE ◎△ CAD ;(2) 求/ BFD的度数.15 .如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由.16 .已知：如图，在△ABC 中，AB=BC，/ABC=120 °BE 1AC 于点D，且DE=DB，试判断△CEB的形状，并说明理由.17 .如图，已知B、C、E三点共线，分别以BC、CE为边作等边△ ABC和等边△:DE，连接BD、AE分别与AC、CD交于M、N , AE与BD的交点为F .(1) 求证：BD=AE ;(2) 求Z AFB的度数；(3) 求证：BM=AN ;(4) 连接 MN，求证：MN /BC .23 .已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM , △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.(1)求证：AN=BM ;(2)求证：△CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90 °其他条件不变，在图2中补出符合要求的形,并判断第(1 )、(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求证明一、CDDBDCCD二、9、60; 10、10 ; 11、等边；12、等边三角形；13、90 度；14、60 度；15、6;16、60 ；17、130 ；18、①②三、19、( 1)证明：•「△ABC为等边三角形，•••启AC= J C=60 °,AB=CA，即Z BAE= J C=60 ° ,r AB=CA在A ABE 和△CAD 中，* ZBAE二ZC , k AE=CD•••公BE 也zCAD ( SAS ).(2 )解：•••/BFD= Z ABE+ /BAD ,又v^ABE ^zCAD ,•••△BE= ZCAD .•••启FD= ZCAD+ ZBAD= ZBAC=60 ° .20、解答：解: ABDC也zAEC .理由如下：•••公BC >AEDC均为等边三角形，••BC=AC , DC=EC，/BCA= ZECD=60 ° .从而ZBCD= ZACE .r BC=AC在厶BDC 和MEC 中，，ZBCD二ZACE ,k DC=EC•△DC 也zAEC （SAS ）.21、解答：证明：（1）VBF=AC , AB=AE （已知）••FA=EC （等量加等量和相等）.（1分）VZDEF是等边三角形（已知），••EF=DE （等边三角形的性质）.（2分）又•••AE=CD （已知），•••公EF ^zCDE （SSS ）. （4 分）（2）由厶AEF也zCDE，得ZFEA= ZEDC （对应角相等），•••启CA=左DC+ ZDEC= ZFEA+ ZDEC= ZDEF （等量代换）,△DEF是等边三角形（已知），•••ZEF=60。
（等边三角形的性质），•••启CA=60。
（等量代换），由AAEF BJCDE，得ZEFA= ZDEC ,•••QEC+ ZFEC=60•••/EFA+ ZFEC=60又Z BAC是△AEF的外角，•••启AC= Z EFA+ Z FEC=60 ° ,•••公BC中，AB=BC （等角对等边）.（6分）•••公BC是等边三角形（等边三角形的判定）.（7分）22、解答：解：A CEB是等边三角形.（1分）证明：••• AB=BC，/ABC=120 °, BE 1AC ,•••£BE=厶BE=60 ° .（3 分）又DE=DB , BE _LAC ,••CB=C E . （5 分）•••©EB是等边三角形.（7分）23、（1）证明：•「△ACM ‘△CBN是等边三角形，••AC=MC , BC=NC，/ACM=60 °,K CB=60 ° ,/.JACM+ zdMCN= ZNCB+ d MCN ,即: Z ACN= d MCB ,在A ACN和AMCB中，AC=MC，/ACN= ZMCB, NC=BC ,•••公CN 也JMCB （SAS ）.••AN=BM .（2）证明：•「△AC NBJMCB ,•••£AN= J CMB .又•「J MCF=180 ° A CM -NCB=180 °6Q 飞& °60 ° ,。