数据结构第19讲关键路径与最短路径

（2） 向源点递推 由上一步的递推，最后总可求出汇点的最早发生时
间ve[n]。因汇点就是结束点，最迟发生时间与最早发生 时间相同，即vl[n]=ve[n]。从汇点最迟发生现时间vl[n] 开始，利用下面公式：
Vi
Vj
S
vl(汇点) = ve(汇点);
vl(i) = Min{ vl(j) – dut(<i, j>) }
AOE-网
AOE－网(Activity On Edge Network)：即 边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向 无环图。其中： 顶点表示事件（Event） 弧表示活动（Activity） 权值表示活动持续的时间
通常可用AOE网来估算工程的完成时间。
v1 表
示
整
个
工
程
的
开
始
v5表示a4和a5已经完
if(!indegree[i])Push(S，i) //入度为0者进栈 count=0；
发生时间 ve(j)和 最迟发生时间vl(j)。
若活动ai由弧<i,j>表示，持续时间记为dut(<i,j>)，
则有如下关系：
Vi
ai
Vj
活动i的最早开始时间等于事件j的最早发生时间 e(i)＝ ve(i)
活动i的最迟开始时间等于事件k的最迟时间减去活动i 的持续时间
l(i)＝ vl(j) - dut(<i，j>)
第7章 图
7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历 7.4 图的连通性问题 7.5 有向无环图及其应用
7.5.1 拓扑排序 7.5.2 关键路径
7.6 最短路径
7.5.2 关键路径
对整个工程和系统，人们关心的是两个方面 的问题：
1）工程能否顺利进行 对AOV网进行拓扑排序
2）估算整个工程完成所必须的最短时间 对AOE网求关键路径
依据AOE-网可以研究什么问题？ （1）完成整项工程至少需要多少时间？ （2）哪些活动是影响工程进度的关键？
完成工程的最短时间是从源点到汇点的最长路径的 长度。路径长度最长的路径叫做关键路径。
从v1到v9的最长路径是（v1,v2,v5,v8,v9），路径长 度是18。
事件vi的最早发生时间
V9
公式意义：由从Vi顶点指出的弧所代表的活动中取需最早 开始的一个开始时间作为Vi的最迟发生时间。
由此得到下述求关键路径的算法：
1）输入e条弧<i,j>，建立AOE网的存储结构。 2）从源点v0出发，令ve[0]＝0按拓扑有序求其余各顶点的
最早发生时ve[i]（1≤i≤ n-1）。如果得到的拓扑有 序序列中顶点个数小于网中顶点数n，则说明网中存在 环，不能求关键路径，算法终止；否则执行步骤（3）。 3）从汇点vn出发，令vl[n-1]= ve[n-1]，按逆拓扑有序求 其余各顶点的最迟发生时间vl[i] (n-2 ≥i≥ 0)； 4）根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开始时间e(s) 和最迟开始时间l(s)。若某条弧满足条件e(s)=l(s)， 则为关键活动。
的
最
早
发
生
时
间 是 18
假设开始点是v1，从v1到vi的最长路径长度叫做事
件vi的最早发生时间。这个时间决定了所有以vi为尾的
弧所表示的活动的最早开始时间。
用e(i)表示活动ai的最早开始时间。
活动的最迟开始时间l(i)，这是在不推迟整个工程完 成的前提下，活动ai最迟必须开始进行的时间。
a6的最早开始时间是5，最迟开始时间是8。如a6推迟3天开 始或延迟3天完成，都不会影响整个工程的完成。
2）判断 l(i) = e(i)的活动（关键活动）
求最早发生时间ve的算法
Status TopologicalOrder(ALGraph G，Stack &T){ //有向网G采用邻接表，求各顶点事件最早发生时间ve(全局变量) //T为拓扑序列顶点栈，s为零入度顶点栈。
FindInDegree(G，indegree)；//对各顶点求入度 InitStack(S)； //建零入度顶点栈S for(i=0；i<G.vexnum； ++i)
3）为了能按逆拓扑有序序列的顺序计算各顶点的vl值， 需记下在拓扑排序的过程中求得的拓扑有序序列，则需要 在拓扑排序算法中，增设一个栈以记录拓扑有序序列，则 在计算求得各顶点的 ve 值之后，从栈顶至栈底便为逆拓 扑有序序列。
总之，关键路径的求解操作包括：
1）计算 ve[j] 和 vl[j] ① 向汇点递推 ve(源点) = 0 ； ve(j) = Max { ve(i)+ dut(<i, j>)} ② 向源点递推 vl(汇点) = ve(汇点); vl(i) = Min { vl(j) – dut(<i, j>)}
求ve(j)和 vl(j)需分两步进行：
ve[j]和vl[j]可以采用下面的递推公式计算： （1）向汇点递推
ve(源点) = 0 ； ve(j) = Max{ ve(i) + dut(<i, j>)}
p
Vi
Vj
公式意义：从指向顶点Vj的弧的活动中取最晚完成的一 个活动的完成时间作为Vj的最早发生时间ve[j]
成， a7和a8可以开始
v9 表
示
整个ຫໍສະໝຸດ 工程的结
与每个活动相联系的数是
束
执行该活动所需的时间
上图AOE-网中：
共有11项活动：a1,a2,a3,…a11；
共有9个事件：v1,v2,v3,…v9，每个事件表示在它之 前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。
源
汇
点
点
由于整个工程只有一个开始点和一个完成点，在正 常的情况（无环）下，网中只有一个入度为零的点（称 作源点）和一个出度为零的点（称作汇点）
如上所述，计算顶点的ve值是在拓扑排序的过 程中进行的，需对拓扑排序的算法作如下修改：
1）在拓扑排序之前设初值，令ve(i)=0（0<=i<n-1）;
2）在算法中增加一个计算vi的直接后继vj的最早发生 时间的操作：若 ve(i)+dut(<i,j>) > ve(j), 则 ve(j) = ve(i)+dut(<i,j>)；
l(i)－e(i)两者之差意味着完成活动ai的时间余量。 我们把l(i)＝e(i)的活动叫做关键活动。
显然，关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提 前完成非关键活动并不能加快工程的进度。
由此可知：辨别关键活动就是找e(i)＝l(i)的活动。
为求得AOE网中活动的e(i)和l(i)，首先应求得事件的最早